Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea in Fisica Andrea Sambusetti 19 Dicembre 2008

Transcript

1 Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea i Fisica Adrea Sambusetti 19 Dicembre 28 La particella Mxyzptlk. 2 La particella Mxyzptlk vive i u uiverso euclideo -dimesioale. È costituita da u ucleo (putiforme) mxyzptlk + e da u certo umero di subparticelle (putiformi) mxyzptlk, che orbitao a distaza r dal ucleo e stao sempre tutte a uguale distaza d tra di loro. Ua particella Mxyzptlk è satura se il umero di mxyzptlk che possiede è massimo. (i) Le mxyzptlk di ua particella Mxyzptlk soo i posizioe geerale? Se ua Mxyzptlk o è satura, è davvero ua particella -dimesioale? Perché? (ii) Calcolare il umero di mxyzptlk che possiede ua Mxyzptlk satura. (iii) Dimostrare che il ucleo di ua Mxyzptlk satura occupa il baricetro delle sue mxyzptlk. Questo è vero ache per ua Mxyzptlk o satura? (iv) Calcolare la relazioe tra il raggio r dell orbita e la distaza d tra gli mxyptlk di ua Mxyzptlk satura. (v) Calcolare il volume (-dimesioale) occupato da ua particella Mxyzptlk satura. (vi) Sia m < : le subparticelle mxyzptlk di ua Mxyzptlk m satura stao più strette o più larghe delle mxyzptlk di ua Mxyzptlk satura? Precisare matematicamete la questioe i modo che abbia u seso. La particella Mxyzptlk satura è più comuemete ota, i geometria, col ome di -simplesso regolare euclideo. Idicazioi. a. Il baricetro di puti P 1,..., P (supposti di ugual massa) è il puto G tale che GP i =. Mostrare che tale puto esiste ed è uico. i=1 b. Tutto quel che è ecessario sapere sul volume -dimesioale di u isieme S è: il volume -dimesioale di u isieme S otteuto da S tramite ua dilatazioe di fattore λ è (ovviamete): vol (S ) = λ vol (S); il volume -dimesioale di u isieme S ragioevole (come l -simplesso, per esempio) può essere calcolato per fette parallelele ad u iperpiao fissato: cioè, se S è compreso tra gli iperpiai x = a ed x = b, e se chiamiamo le fette soo gli isiemi S t = S {x = t}, si ha vol (S) = b a vol 1 (S t )dt che è u usuale itegrale della fuzioe di ua variabile f(t) = vol 1 (S t ). Si procede poi per ricorreza......e auguri a tutti! 1 A chi risolverà correttamete il problema l Epifa i -a porterà i premio ua calza -dimesioale. 2 Premi di cosolazioe a coloro che saprao almeo spiegare da dove viee il ome della particella. 1

2 Soluzioe. Idicheremo, per comodità, ua particella Mxyzptlk co M k (d) = (m + ; m,..., m k ), dove m+ è il puto di R che rappreseta il suo ucleo mxyzptlk +, e gli m i rappresetao le sue subparticelle mxyzptlk, tutte a distaza d > tra di loro. Il raggio di M k (d) è r = d(m +, m i ) (uguale per ogi i, per defiizioe). Per volume occupato dalla particella M k (d) si itede il volume dell iviluppo covesso Cov(M k (d)): questo è il più piccolo isieme covesso che cotiee tutti i puti m +, m,..., m k della particella.3 Dire che ua particella (ovvero u isieme di puti) è N-dimesioale vuol dire che tutti i suoi puti soo coteuti i uo spazio affie di dimesioe, e o soo coteuti i alcu sottospazio di dimesioe più piccola. Per il seguito, ci sarà utile avere u ome per il più piccolo sottospazio affie coteete k puti p,, p k : lo chiameremo Spa aff (p,, p k ). Pertato: i puti p,, p k soo i posizioe geerale se dimspa aff (p,, p k ) = k M k (d) = (m + ; m,..., m k ) è N-dimesioale se dimspa aff (m+, m,, m k ) = N. Se M k (d) è N-dimesioale diremo brevemete che è ua Mxyzptlk N. 4 Ua M k (d) N-dimesioale è satura se ha il umero massimo possibile di mxyzptlk per ua Mxyzptlk N. Sia duque M k (d) = (m + ; m,..., m k ) ua Mxyzptlk. Sia π k = Spa aff (m,..., m k ), e siao r k e v k rispettivamete il raggio di M k (d) e il volume da essa occupato. Dimostreremo che: (i) gli m i soo i posizioe geerale, duque dim(π k ) = k; (ii) esiste uo e u solo puto i π k a ugual distaza da tutti gli m i, e tale puto è il baricetro G k = bar{m,..., m k }; (iii) la particella M k (d) è satura se e solo se m + π k ; i tal caso, m + = bar{m,..., m k } e la sua dimesioe è k; k (iv) (v) se M k (d) è satura, allora: r k (d) = d, v 2(k+1) k(d) = ( ) k+1 k. d k! 2 Ciò rispoderà ai primi 5 puti del problema; i particolare, per (iii), ua Mxyzptlk N satura ha (N + 1) mxyzptlk. Notiamo ioltre che se la particella M k (d) o è satura, allora la sua dimesioe è superiore a k: difatti, Spa aff (m,, m k ) = π k, che ha dimesioe k per (i), ma dimspa aff (m +, m,, m k ) > k poiché m+ π k per (iii). Per quato riguarda il sesto puto del problema, è ecessario precisare matematicamete come si misura la larghezza (o desità ) delle subparticelle m i detro M k (d): se le subparticelle soo pesate perfettamete putiformi, e per misura aturale della loro larghezza i M k (d) si prede la distaza tra esse, è chiaro che le mxyzptlk starao sempre strette (o larghe) uguali i ogi dimesioe (essedo d(m i, m j ) = d per ogi ); se ivece le subparticelle soo pesate corpuscolari, co u volume cioè, seppur piccolissimo, o ullo (e i tal caso, d rappreseta la distaza tra i loro cetri di massa), allora ha seso predere per misura della loro larghezza il volume k-dimesioale a disposizioe di ciascua di esse detro M k (d), cioè v(k, d) = v k(d). La crescita/decrescita di k+1 questa fuzioe dipede iizialmete dal valore d, ma si ha comuque, defiitivamete, per ogi d fissato, v k (d) e duque a fortiori v(k, d). I tale ipotesi pertato, per d fissato, le mxyzptlk starao sempre più strette i M k (d) ma mao che la dimesioe k sale. 3 U isieme S si dice covesso se per ogi P, Q S si ha che tutto il segmeto P Q S. 4 Attezioe a o cofodere l idice k di M k (d) (che ci dice il umero di mxyzptlk della particella) co l idice N i Mxyzptlk N (che ci dice la sua dimesioe): k ed N soo, a priori, diversi. 2

3 Dimostreremo le affermazioi (i), (ii), (iii), (iv) (v) per iduzioe sul umero k di mxyzptlk (così imparate ache il ragioameto per iduzioe). Questo vuol dire: dimostrare che soo vere quado k = 1 (base dell iduzioe); quidi mostrare che, se soo vere per ogi k 1 (ipotesi iduttiva), allora soo vere per k = (passo iduttivo). Ciò dà u modo formale di procedere k dopo k, e dimostra che le affermazioi sarao vere per ogi k. Comiciamo col dimostrare la base iduttiva : cioè, che tutte le affermazioi (i), (ii), (iii), (iv) (v) valgoo per k = 1. I tal caso M1 (d) = (m + ; m, m 1 ), dove m, m 1 soo 2 puti a distaza d >, quidi i posizioe geerale. Le proprietà (ii) e (iii) soo i tal caso evideti. I effetti, l uico puto sulla retta π 1 a ugual distaza da m, m 1 è il loro puto medio (o baricetro). Ioltre, se m + = bar(m, m 1 ) π 1 allora M 1 (d) è satura, i quato o esistoo tre puti a ugual distaza tra loro su ua retta; viceversa, se m + π 1, allora M 1 (d) ha dimesioe 2, e quidi o avrebbe il umero massimo di mxyzptlk permessi dalla sua dimesioe, cioè 3 (tre mxyzptlk disposti sui vertici di u triagolo equilatero, co m + el suo cetro, formao ifatti ua Mxyzptlk 2 satura). Ifie, le formule i (iv) (v) per k = 1 soo semplicemete quelle per il raggio del cerchio circoscritto ad u triagolo equilatero di lato d, e l area del triagolo. Passiamo ora al passo iduttivo : suppoiamo che (i), (ii), (iii), (iv) (v) siao vere per k 1, e dimostriamo che soo vere per k =. Sia duque M (d) = (m + ; m,..., m ) u Mxyzptlk co + 1 mxyzptlk. Cosideriamo l isieme M 1 (d) = (G 1 ; m,..., m 1), dove G 1 = bar{m,..., m 1}. Questo, per l ipotesi iduttiva (ii), è ua Mxyzptlk e, per (i), i puti m,..., m 1 soo i posizioe geerale e lo spazio π 1 = Spa aff (m,..., m 1 ) ha dimesioe 1. Ioltre, per (iii), M 1 (d) è ua Mxyzptlk 1 satura poiché G 1 π 1 ; duque ha raggio r 1 e volume v 1 espressi dalle formule (iv) (v). Mostriamo (i) per k =. Cosideriamo le proiezioi ortogoali p di m e p + di m + su π 1. Per ogi i < si ha, per il teorema di Pitagora, d(m i, p ) 2 = d 2 d(m, π 1 ) 2 (idipedete da i) (1) d(m i, p+ ) 2 = r 2 d(m +, π 1 ) 2 (idipedete da i) (2) duque per ipotesi iduttiva (ii) si ha p = p + = G 1. Notiamo adesso che ecessariamete m π 1. Altrimeti, si avrebbe m =p =G 1 e, sempre per Pitagora, d(m +, m i )2 = d(m +, G 1 ) 2 + d(g 1, m i )2 > d(m +, G 1 ) 2 = d(m +, m ) 2 per i, il che è escluso dalla defiizioe di Mxyzptlk. Poiché m π 1, i puti m,, m soo duque i posizioe geerale. Mostriamo ora (ii) per k =. Suppoiamo che m + π. Dal fatto che p = p + = G 1 deduciamo che m = G 1 + v m + = G 1 + g v (3) per u vettore uitario v di π = Spa aff (m,, m ) ortogoale a π 1 (precisamete: v π, v π 1 ), e per qualche > e g R. 3

4 Verifichiamo che g = ( + 1) > (4) Si cosideri ifatti il triagolo isoscele m i m+ m (figure I&II): e il triagolo rettagolo m i G 1m Si ha (i etrambi i casi descritti dalle due figure) duque r satura) si ha r 1 2 = ( 1) 2 r 2 1 = r 2 g 2 = (r + g )(r g ) = (2r ) = r2 1 +h2 2 = d2 r 1 = D altra parte, per ipotesi iduttiva (poiché M 1 (d) è d2 = ( 1) 2 (h2 + r 1) 2 da cui: r = d2 2 = r2 1 + h 2 2 = ( + 1) < (5) Siamo quidi el caso della figura I, cioè g = r >. Sostituedo a r l espressioe i (5) deduciamo che g = h. (+1) Dalla formula (4) segue ioltre che, se m + π, allora m + coicide co il baricetro G = bar(m,..., m ): difatti, sfruttado l idetità 1 G 1 m i = e usado (3)&(4), troviamo m + m i = m + G 1 + G 1 m i = ( + 1)g v + v = e cioè m + soddisfa l idetità caratteristica del baricetro. Mostriamo quidi (iii) per k =. Abbiamo visto che se m + π, allora M (d) è satura, ha dimesioe. Quidi ua Mxyzptlk ha almeo + 1 mxyzptlk. Abbiamo ache visto che qualsiasi puto m di π cha abbia ugual distaza dagli m,..., m 1 si scrive m = G 1 ± v, co = d 2 r 1; 2 ma o è possibile che ci sia u mxyzptlk i etrambi i puti G 1 ± v, altrimeti si avrebbe = d = r 2, m + = G 1 e 3 2 d, d 2 = d(m, m + ) d(m i, m+ ) = d(m i, m ) 2 + d(m, m + ) 2 = cotraddizioe. Pertato, ua Mxyzptlk satura ha precisamete ( + 1) mxyzptlk. Questa osservazioe mostra che se m + π, allora M (d) ha il umero massimo di mxyzptlk per la sua dimesioe, duque è satura. Viceversa, se m + π allora M (d) o è satura. Ifatti, i tal caso M (d) π +1 = Spa aff (m +, m,..., m ) 4

5 ha dimesioe ( + 1), ed ua Mxyzptlk +1 può avere fio a ( + 2) mxyzptlk : per esempio, detto ˆr = d(g, m i ) e v π +1 u vettore uitario ortogoale a π, l isieme M +1 = (G +1 ; m,..., m +1) è ua Mxyzptlk +1 co ( + 2) mxyzptlk, se prediamo m +1 = G + v d 2 ˆr 2 e G +1 = bar(m,..., m +1). Da (ii) segue ioltre che, se M (d) è satura, allora m + (essedo i π ) coicide ecessariamete co il baricetro m + = G = bar(m,..., m ). Mostriamo ifie (iv)-(v) per k =. Utilizzado la secoda formula i (5) si deducoo i valori espliciti: + 1 (d) = 2 d r (d) = 2( + 1) d g 1 (d) = 2( + 1) d (6) per ua M (d) satura. Si oti che queste formule mostrao che per oguo dei triagoli (m i, m+, m j ) tede ad u triagolo rettagolo isoscele, ed il baricetro G tede ad avviciarsi ad ogua delle ( 1)-facce del simplesso. Calcoliamo ora il volume v di = Cov(M (d)) π. Notiamo che, se π 1 t è l isieme dei puti di π a distaza t da π 1 e t 1 = π 1, t si ha = t t 1. Notiamo altresì che l applicazioe affie f t : 1 t 1 ( ) t f t (P ) = P t = P + P m porta effettivamete (i modo biuivoco) 1 i t 1. Difatti d(p t, π 1 ) = ( ) ( ) t t ( P P t v = P m v = P G 1 + ) ( t G 1 m v = ) = t Ioltre, l applicazioe f t cotrae le distaze del fattore (h t) di Talete si ha d(p t, Q t )/d(p, Q) = ( t)/t, v. figura III) (i quato per il teorema Se e deduce che v (d) = h vol 1 ( t 1)dt = k=2 h ( h t ) 1 v 1 (d)dt = v 1 (d) Per ricorreza, e utilizzado (6), si trova allora ( ) h k (d) v (d) = v 1 (d) = d k + 1 k! 2k = k=2 1 ( + 1 d! t 1 dt = 2 ) ( ) h v 1 (d) 5