2 - Le successioni per ricorrenza
|
|
- Valentina Brescia
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 - Le successioni per ricorrenza Le successioni per ricorrenza sono un po come le serie numeriche delle successioni di numeri reali abbastanza particolari. A differenza delle successioni standard, come ad esempio a n = 1, b n n = n +n, n +3 c n = ( 1 + n) 1 n e chi più ne ha più ne metta, non hanno un espressione analitica esplicita ma, anzi, sono definite in modo implicito assegnando il valore iniziale ed una legge di costruzione dell (n + 1)-mo valore a partire dall n-mo (o a partire da quest ultimo e dall (n 1)-mo, (n )-mo, eccetera): a 1 = α, a n+1 = f(a n ) (a n+1 = f(a n, a n 1, a n,...)) L esempio più semplice di successione definita per ricorrenza è quello della successione a n dei numeri naturali: a 1 = 0, a n+1 = a n + 1. In questo caso (che è una rarità) possiamo passare dall espressione implicita della successione alla sua espressione esplicita : dato che a 1 = 0 e che a n+1 è a n + 1, abbiamo subito a = 1, a 3 =, a 4 = 3 e, in generale, a n = n 1 (come si verifica facilmente). La successione dei numeri naturali è però solo un caso particolare di successione per ricorrenza per la quale si sa scrivere esplicitamente la successione: data una funzione f(x) qualsiasi, in generale non sarà possibile passare dalla relazione a n+1 = f(a n ) alla relazione a n = g(n) per qualche funzione g. Che fare, allora? L esercizio-tipo sulle successioni per ricorrenza chiede il calcolo del limite della successione: come facciamo a sapere che tale limite esiste? Se prendiamo la successione per ricorrenza così definita: a 1 = 1, a n+1 = a n, è chiaro che il limite non esiste; si vede infatti facilmente che a n = ( 1) n (esercizio: per quali valori di a 1 esiste il limite di a n?). Ed anche sapendo che il limite esiste, quanto vale? A questa domanda nel caso in cui la funzione f sia continua sappiamo rispondere. Se a n converge ad L, evidentemente anche a n+1 converge ad L mentre f(a n ) converge, per continuità, a f(l). Passando al limite nella relazione a n+1 = f(a n ) otteniamo la cosiddetta relazione di chiusura: L = f(l). Pertanto, se la successione a n converge ad L, allora L = f(l); in altre parole, i possibili limiti della successione a n vanno cercati tra le soluzioni dell equazione L = f(l). Solo tra questi valori? Non 1
2 necessariamente: torniamo all esempio dei numeri naturali: a 1 = 0, a n+1 = a n + 1. In questo caso, f(x) = x + 1, e quindi l equazione L = f(l) = L + 1 non ha soluzioni; però la successione a n ammette limite: a n = n 1 diverge a +. E guarda caso se calcoliamo il limite di f(x) per x tendente a + troviamo proprio +. In altre parole, data la successione per ricorrenza definita da a n+1 = f(a n ), se lim f(x) = +, x + allora all insieme dei possibili limiti di a n dobbiamo aggiungere +, ed analogamente, se lim f(x) =, x all insieme dei possibili limiti di a n dobbiamo aggiungere. Ricapitolando: i possibili limiti della successione a n definita per ricorrenza dalla legge a n+1 = f(a n ) sono: tutte le soluzioni reali dell equazione L = f(l); + se f(x) diverge a + quando x tende a + ; se f(x) diverge a quando x tende a. Una volta identificati i possibili limiti, come facciamo a dire che a n ammette limite? L unico risultato teorico che viene in nostro aiuto è il seguente: se a n è una successione monotona, allora ammette limite (finito se la successione è limitata, infinito altrimenti). Per poter risolvere l esercizio dobbiamo quindi dimostrare che la successione a n è monotona (crescente o decrescente). È a questo punto che il valore iniziale a 1 = α dato alla successione entra in gioco, come si vede nel seguente esempio: a 1 = α, a n+1 = a n. Se calcoliamo i primi valori, troviamo a = α, a 3 = α 4, a 4 = α 8 e, in generale, a n = α n 1. Pertanto la successione è monotona decrescente (a zero) se 0 < α < 1, è costantemente uguale a 0 o ad 1 se α vale 0 od 1, ed è monotona crescente (e divergente) se α > 1. Potevamo distinguere i due casi interessanti (quelli nei quali la successione non è costante) semplicemente sfruttando la definizione di a n+1 in termini di a n (senza cioè calcolarla)? Proviamo a vedere se riusciamo a trovare delle condizioni su α tali che la successione sia monotona crescente, ovvero sia tale che a n+1 > a n. Stante la definizione di a n+1, si ha a n+1 > a n a n > a n a n < 0 o a n > 1. Pertanto, se per qualche valore di n si ha ad esempio a n > 1, allora a n+1 sarà maggiore di a n. Il che vuol dire che per dimostrare che a n è
3 monotona crescente, dobbiamo dimostrare che a n > 1. A questo punto entra in gioco il principio di induzione matematica: avremo a n > 1 per ogni n se riusciamo a dimostrare che: a 1 > 1, e che a n > 1 implica a n+1 > 1. La prima proprietà ci porta ad un ipotesi sul dato iniziale α: dal momento che a 1 = α, si avrà a 1 > 1 se e solo se α > 1. Per la seconda parte, essendo a n+1 = a n per definizione, è evidente che se a n > 1, allora a n+1 > 1. In definitiva, se partiamo da un dato iniziale α > 1, allora la successione a n si mantiene sopra 1 per tutti i valori di n e quindi è monotona (strettamente) crescente. A questo punto, essendo a n monotona crescente, avrà limite. I limiti possibili sono le soluzioni dell equazione L = L (ovvero L = 0 o L = 1), nonché +. Dal momento che a n > 1 per ogni n, ed è crescente, i due valori 0 ed 1 non sono ammissibili. Pertanto a n diverge a +. Fermiamoci un attimo. Tiriamo il fiato e ripensiamo a quello che abbiamo fatto. Per dimostrare che a n ammetteva limite (finito o meno) era necessaria la monotonia di a n. Abbiamo provato a vedere se la successione a n era monotona crescente, il che ci ha portato a risolvere la disequazione a n+1 > a n ; essendo a n+1 = f(a n ), ci siamo ritrovati a dover risolvere la disequazione f(x) > x. Come tutte le disequazioni, l insieme delle soluzioni era l unione di intervalli (limitati o meno). Nel nostro caso, la disequazione f(x) > x era verificata se e solo se x < 0 o se x > 1. Abbiamo quindi spostato la nostra attenzione dalla monotonia (a n+1 > a n ) all essere a n > 1 per ogni n. Invocando il principio di induzione, abbiamo verificato che tale proprietà era soddisfatta per ogni n se a 1 = α > 1. Una volta dimostrata la monotonia abbiamo usato nuovamente il fatto che a n > 1 per scartare due possibili valori per il limite di a n, dimostrando che divergeva. Ebbene, questa è la strategia da adottare per risolvere gli esercizi sulle equazioni per ricorrenza. Cosa bisogna saper fare? Serve saper risolvere equazioni (L = f(l)), calcolare limiti (a ± ), risolvere disequazioni (per la monotonia), applicare il principio di induzione (sempre per la monotonia e per scartare possibili limiti). Insomma, un sacco di roba... Con, in più, un dubbio: che tipo di monotonia cerchiamo di dimostrare? Crescente o decrescente? Cosa ci può aiutare? Innanzitutto il testo: se come è capitato si chiede di dimostrare che la successione è monotona crescente (o decrescente), sappiamo già cosa c è da fare. Se, invece, l esercizio è vago, un aiuto a capire quale tipo di monotonia serve dimostrare ce lo 3
4 4 può dare il calcolo dei primi elementi della successione. Calcolare a, a 3 e a 4 può dare un indicazione sul tipo di monotonia della successione ovvero che tipo di segno tra e mettere tra a n+1 ed a n per dimostrare la monotonia. Attenzione: verificare con conti espliciti che a 3 > a > a 1 non è sufficiente a dimostrare che la successione è monotona crescente: il calcolo esplicito dei primi elementi della successione serve solo a capire che tipo di monotonia può avere a n : la monotonia vera e propria va dimostrata. Scrivere frasi del tipo dato che a 3 > a > a 1, allora a n è monotona crescente è considerato un errore, ed il punteggio assegnato a quella parte di esercizio: 0 (no, non è il vettore nullo, è proprio zero ). Proviamo ora a mettere in pratica i consigli precedenti su un caso esplicito. Esercizio 1. Sia a n la successione definita dalla seguente legge: a 1 = α, a n+1 = a n 3. Studiare la successione al variare di α in R. Svolgimento. Alla successione a n associamo la funzione f(x) = x 3. Essendo f una funzione continua, consideriamo la relazione di chiusura: L = f(l) L = L 3 L = 3. Inoltre, essendo lim f(x) = ±, x ± i limiti possibili della successione a n sono 3, + e. Per dimostrare che a n ammette limite, è necessario studiarne la monotonia. Dal momento che abbiamo un dato iniziale variabile (dal quale non si possono ricavare indicazioni calcolando i primi valori della successione), studiamo la monotonia crescente. Si ha a n+1 a n a n 3 a n a n 3. In sostanza, se per qualche n si ha a n 3, allora si avrà a n+1 a n. Osserviamo che in questo caso si avrebbe a n+1 a n 3, e quindi a n+1 3, da cui si ricava a n+ a n+1, e così via. In altre parole, se esiste un indice n per il quale si ha a n 3, allora a n+1 a n 3 per ogni n n. Analogamente, se per qualche n si ha a n < 3, allora a n+1 < a n < 3, e quindi anche a n+ < a n+1 < a n < 3,, e così via. Ricapitolando, se a n è sopra 3 per qualche n, continua ad esserlo da quell indice in poi, crescendo. Se è sotto 3 per qualche n, continua ad esserlo da quell indice in poi, decrescendo. A questo punto è facile capire cosa succede al variare di α. Se α > 3, allora a 1 = α > 3 e
5 quindi tutti i valori di a n sono maggiori di 3 e la successione è monotona crescente. Se α < 3, allora a 1 = α < 3 e quindi tutti i valori di a n sono minori di 3 e la successione è monotona decrescente. Se caso fortunato! α = 3, allora a n = 3 per ogni n in N (come si verifica facilmente). Mettendo insieme tutti i risultati, otteniamo monotona crescente se α > 3, a n è costantemente uguale a 3 se α = 3, monotona decrescente se α < 3. Dato che a n è monotona per tutti i valori di α, allora avrà limite. Se α > 3, la successione non può tendere né a (dato che è maggiore di 3 per ogni n), né a 3 (dato che è maggiore di 3 per ogni n ed è strettamente crescente); pertanto, diverge a +. Se α < 3 possiamo scartare le possibilità 3 e + (con un ragionamento analogo), cosicché la successione diverge a. Se α = 3 la successione è costante e quindi converge a 3. In definitiva, + se α > 3, lim a n = 3 se α = 3, n + se α < 3. Esercizio (Altamente diseducativo). Sia a n la successione definita dalla seguente legge: a 1 = α, a n+1 = a n 3. Studiare la successione al variare di α in R. Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che la successione particolare a n = 3 soddisfa l equazione per ricorrenza (ma non il dato iniziale a meno che α non sia 3). Affrontiamo poi l equazione per ricorrenza (che chiameremo omogenea ) a n+1 = a n. Si verifica abbastanza facilmente, sostituendo, che ã n = A n verifica tale equazione qualsiasi sia il valore della costante A in R. Infine, osserviamo che a n = a n + ã n = 3 + A n soddisfa la legge a n+1 = a n 3 qualsiasi sia A in R, e soddisfa anche il dato iniziale a 1 = α a patto di prendere A = α 3. In definitiva, a n = 3 + α 3 n è il valore esplicito della successione per ricorrenza definita sopra. Si lascia al lettore il compito di verificare che tale successione è effettivamente monotona crescente se e solo se α > 3. Domanda finale (leggermente meno diseducativa): il procedimento di trovare una soluzione dell equazione omogenea ed una soluzione particolare ricorda qualcosa? 5
6 6 Come al solito, finite le chiacchiere si passa agli esercizi Esercizio 3. Sia a n definita dalla legge a n+1 = log(1 + a n ), a 1 = 10. Sapendo che l unica radice reale dell equazione L = log(1 + L) è L = 0, e che 0 log(1 + x) x per ogni x 0, dimostrare che a n ammette limite e calcolarlo. Che succede se a 1 = 10 6? Esercizio 4. Sia a n definita dalla legge a n+1 = 3 a n, a 1 = α. Studiare il comportamento della successione per α = 0 e per α = 1. Esercizio 5. Sia a n definita dalla legge a n+1 = sen(a n ), a 1 = α. Studiare il comportamento della successione al variare di α [0, π], sapendo che l unica soluzione reale dell equazione L = sen(l) è L = 0. Esercizio 6. Sia a n definita dalla legge a n+1 = 1 ) (a n + 1an, a 1 = α. Studiare il comportamento della successione per α = e per α = 1. Esercizio 7. Sia a n definita dalla legge a n+1 = 1 a n + a n, a 1 = α. Studiare il comportamento della successione per α = 0, per α = 1 e per α =. Esercizio 8. Sia k > 0 e sia a n definita dalla legge a n+1 = 1 ) (a n + k, a 1 = α. Dimostrare che a n converge a k qualsiasi sia il valore iniziale α > 0. a n
7 7 Appendice: esempi di successioni per ricorrenza Esempio 1. Uno dei più famosi esempi di successione definita per ricorrenza è il seguente: F n+ = F n+1 + F n, F 1 = 1, F = 1. In questo caso abbiamo la successione 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33,... detta successione di Fibonacci, dal nome del matematico pisano Leonardo Fibonacci ( ) che la introdusse nel suo Liber abaci. Cosa possiamo dire di tale successione? Innanzitutto che F n > 0 per ogni n in N, dato che i due valori iniziali sono positivi: essendo ogni valore successivo la somma dei due precedenti, F 3 è positivo, quindi F 4 è positivo, e così via. Dall essere F n > 0 per ogni n segue che F n è strettamente crescente; infatti F n+ = F n+1 + F n > F n+1. Essendo F n monotona crescente, ammette limite. Quali sono i limiti possibili per F n? La relazione di chiusura è L = L+L, da cui L = 0. A questo valore devono essere aggiunti sia + che, ma solo il caso + è accettabile (0 e non sono limiti possibili perché F n è strettamente positiva per ogni n). Dunque, la successione di Fibonacci diverge. Dovendo un altra volta! essere diseducativi, proviamo a supporre che F n = A n per qualche valore di A in R. Sostituendo nella relazione per ricorrenza, otteniamo A n+ = A n+1 + A n A = A + 1 A = 1 ± 5. Se definiamo ϕ = 1+ 5, allora i possibili valori di A sono ϕ e 1 ϕ (come si vede facilmente). In altre parole, sia ϕ n che (1 ϕ) n risolvono la relazione per ricorrenza (non assumono, però, i valori iniziali). La cosa interessante è che non solo ϕ n e (1 ϕ) n risolvono la relazione, ma anche ogni loro combinazione lineare: F n = α ϕ n + β (1 ϕ) n, è tale che F n+ = F n+1 + F n per ogni n in N, qualsiasi siano i valori di α e β. Se fissiamo n = 1 abbiamo mentre se scegliamo n = abbiamo 1 = F 1 = α ϕ + β (1 ϕ), 1 = F = α ϕ + β (1 ϕ). Risolvendo il sistema si trova α = 1 5 = β, cosicché [( F n = ϕn (1 ϕ) n = ) n ( 5 1 ) n ] 5.
8 8 Il numero ϕ, detto rapporto aureo, compare spesso in architettura ed in pittura: un quadro (un palazzo, una finestra) i cui lati siano in rapporto vicino al rapporto aureo è generalmente più gradevole alla vista di altri i cui lati siano lontani da ϕ (d altra parte, li abbiamo sempre visti in queste proporzioni...). Siccome si vede facilmente (esercizio!) che F n+1 lim = ϕ, n + F n allora si possono costruire rettangoli con lati in rapporto vicino al rapporto aureo prendendo come lunghezza dei lati due numeri consecutivi di Fibonacci: Esempio. Le successioni per ricorrenza possono essere definite non solo a valori reali, ma anche a valori complessi. L esempio più importante di successioni per ricorrenza a valori complessi è il seguente: dato un numero complesso ζ, definiamo z n nella maniera seguente Otteniamo così la successione z n+1 = z n + ζ, z 1 = 0. 0, ζ, ζ + ζ, (ζ + ζ) + ζ = ζ 4 + ζ 3 + ζ + ζ,... Se, ad esempio, ζ = 0, allora z n 0 per ogni n in N; se ζ = 1, allora z n assume i valori 0, 1,, 5, 6 (in questo caso si vede facilmente che z n diverge come successione di numeri reali). Se ζ = i, allora z n assume i valori 0, i, i 1, i, i 1, i (e quindi non converge a nessun numero complesso, pur essendo limitata). Se ζ = i, allora z n assume i valori 0, i, -3, 9 + i, i (in questo caso si può dimostrare che la successione diverge in modulo). Esistono, quindi, dei numeri complessi ζ per i quali la successione z n è convergente, altri per i quali diverge in modulo, altri ancora per i quali è limitata ma non convergente. Definiamo allora il seguente sottoinsieme dei numeri complessi: M = {ζ C : z n è limitata}. Ad esempio, 0 e i appartengono a M, mentre 1 e i non sono in M. Come è fatto M? Al solito, è meglio disegnarlo che descriverlo:
9 L insieme M, detto insieme di Mandelbrot, è un esempio di insieme frattale. 9
Serie numeriche e serie di potenze
Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliSoluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx
DettagliANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari
ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite
DettagliEsercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni
Esercizi riguardanti iti di successioni e di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Novembre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,
DettagliFunzioni implicite - Esercizi svolti
Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita
DettagliEsercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti
Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione
DettagliLaurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
Dettagli1 Successioni di funzioni
Successioni di Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = n x Osserviamo che fissato x R f n(x) = + n x x R. x ( n + x ) = pertanto la successione
DettagliUn paio di esempi su serie e successioni di funzioni
Un paio di esempi su serie e successioni di funzioni 29 novembre 2010 1 Successione di funzioni Ricordiamo innanzitutto un po di definizioni. Definizione 1. Una successione di funzioni è una corrispondenza
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1
Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 206-7 Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) 2. 2. Dire se esistono
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della
DettagliLUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011
LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11
DettagliRaccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliTracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93
Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliProve scritte di Analisi I - Informatica
Prove scritte di Analisi I - Informatica Prova scritta del 3 gennaio Esercizio Stabilire il comportamento delle seguenti serie: n= n + 3 sin n, n= ( ) n n + 3 sin n, n= (n)! (n!), n= n + n 9 n + n. Esercizio
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Analisi Matematica per i corsi di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica N-Z dell Università di Bologna. Anno Accademico 2003/2004.
DettagliDimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo
C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti
Dettagli1. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare lim n a n:
Serie numeriche.6 Esercizi. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare a n: a),, 4, 4 5,... b), 9, 4 7, 5 8,... c) 0,,,, 4,.... Studiare il comportamento delle seguenti successioni
DettagliAnalisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle probabilità per il corso di Laurea in Ingegneria per la parte di Elementi
DettagliSoluzioni delle Esercitazioni VIII 21-25/11/2016. = lnx ln1 = lnx. f(t)dt.
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 Soluzioni delle Esercitazioni VIII -5//6 A. Funzione integrale. La funzione integrale di f nell intervallo [, ] è per definizione F() = dt con [,].
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
Dettagli1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n
2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliScritto d esame di Analisi Matematica I
Capitolo 2: Scritti d esame 07 Pisa, 8 Gennaio 999. Studiare il comportamento della serie al variare del parametro α > /2. ( ) n n sin α n 2α 2. Sia ( ) f(x) = log + sin3 x. 2 (a) Determinare la derivata
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di
DettagliAnalisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 2012 Uno svolgimento
Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 22 Uno svolgimento Prima di tutto, eccovi alcuni commenti che potrebbero aiutarvi a svolgere meglio le prove scritte. Ad ogni domanda del testo
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliSvolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a
DettagliLimiti di successioni
Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche
DettagliPrimo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali
DettagliEsercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi
Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA
Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 9/04/203 TOPOLOGIA Mostrare che uno spazio infinito con la metrica discreta non può essere compatto Soluzione: Per la metrica discreta d : X X
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 8 Gennaio 214 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile. (1) (Punti 8)
DettagliESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione
Dettagli1 Disquazioni di primo grado
1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni
DettagliANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE
ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento:
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché
DettagliScheda n.3: densità gaussiana e Beta
Scheda n.3: densità gaussiana e Beta October 10, 2008 1 Definizioni generali Chiamiamo densità di probabilità (pdf ) ogni funzione integrabile f (x) definita per x R tale che i) f (x) 0 per ogni x R ii)
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliComplementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro
Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliMassimo limite e minimo limite di una funzione
Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.
Dettaglif(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero
. Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliEsercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione
Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
DettagliAnno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza
Anno 2 Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza 1 Introduzione Perché studiare i radicali? In matematica ogni volta che facciamo un operazione dobbiamo anche vedere se è possibile tornare
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da
DettagliEsercizi sul Principio d Induzione
AM110 - ESERCITAZIONI I - II - 4 OTTOBRE 01 Esercizi sul Principio d Induzione Esercizio svolto 1. Dimostrare che per ogni n 1, il numero α(n) := n 3 + 5n è divisibile per 6. Soluzione. Dimostriamolo usando
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliMetodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa
Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliMicroeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini
Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte
ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
SERIE NUMERICHE Si consideri una successione di elementi. Si definisce serie associata ad la somma Per ogni indice della successione, si definisce successione delle somme parziali associata a la somma
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
Dettagli2.6 Calcolo degli equilibri di Nash
92 2 Giochi non Cooperativi Per queste estensioni di giochi non finiti si possono provare risultati analoghi a quelli visti per i giochi finiti. Rimandiamo alla bibliografia per uno studio più approfondito
DettagliESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione
ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom
DettagliCorrezione secondo compitino, testo B
Correzione secondo compitino, testo B 7 aprile 2010 1 Parte 1 Esercizio 1.1. Tra le funzioni del vostro bestiario, le funzioni che più hanno un comportamento simile a quello cercato sono le funzioni esponenziali
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliINTEGRALI Test di autovalutazione
INTEGRALI Test di autovalutazione. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d 2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva
DettagliDipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)
CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliAppunti sui Codici di Reed Muller. Giovanni Barbarino
Appunti sui Codici di Reed Muller Giovanni Barbarino Capitolo 1 Codici di Reed-Muller I codici di Reed-Muller sono codici lineari su F q legati alle valutazioni dei polinomi sullo spazio affine. Per semplicità
DettagliAnalisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1
Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
DettagliEsercizi svolti. delle matrici
Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliR. Capone Analisi Matematica Integrali multipli
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliAppunti di Algebra Lineare. Distanze
Appunti di Algebra Lineare Distanze 1 Indice 1 Distanze nel piano 1.1 Distanza punto-punto................................... 1. Distanza punto-retta.................................... 3 1.3 Distanza
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =
STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali
DettagliEquazioni esponenziali e logaritmi
Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali..................................................... 3 casi particolari............................................................
DettagliANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI
ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x
DettagliDefinizione. Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è.
VALORE ASSOLUTO Definizione a a, a, se a se a 0 0 Esempi.. 7 7. 9 9 4. x x, x, se x se x Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è. Utilizzando
DettagliUniversita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni
Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)
DettagliEsercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x.
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliSerie Borlini Alex
Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci:
DettagliESERCITAZIONE 8 : FUNZIONI LINEARI
ESERCITAZIONE 8 : FUNZIONI LINEARI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 27 Novembre 2012 Le funzioni lineari
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
DettagliEsercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2
Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio
DettagliDisequazioni fratte. Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria.
1 Disequazioni fratte Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria. Prima di affrontare le disequazioni fratte, ricordiamo il procedimento che utilizziamo per
Dettagli