7.1 - Campi magnetici generati da correnti

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1 7.1 - ampi magnetici generati da correnti ampi magnetici generati da correnti Le correnti generano i campi magnetici. Per calcolare il campo magnetico prodotto da un filo percorso da corrente dobbiamo usare una procedura simile a quella della legge di oulomb e sapere qual è la forza elementare in un punto nello spazio dovuta ad u elemento di filo percorso da corrente. Possiamo considerare un filo qualunque percorso da corrente i ed individuare un elemento ds(tangente al filo ed orientato secondo la corrente). Possiamo trovare che il contributo di campo magnetico generato da questo elemento idssinθ r 2 è db = µ 0 con θ l angolo tra ds ed il vettore r che individua il punto nello spazio nel quale calcoliamo db. La quantità µ 0 è detta permeabilità magnetica del vuoto ed ha valore µ 0 = 10 7 T m/a o anche esprimibile in H/m (henry/metro). La direzione esatta di db si ricava dal prodotto vettoriale di ds û r per cui la precedente espressione la possiamo scrivere come i ds û r db = µ 0 nota come Prima Legge elementare di Laplace legge che di fatto ha un andamento come 1/r 2 come la legge di oulomb. Per un circuito finito di conseguenza si avrà ds û r B = µ 0i r 2 r 2 che viene detta Legge di Ampere-Laplace ampo magnetico generato da una carica in moto Una carica in moto produce una corrente la cui densità è j = i Σ = nq v per cui il campo da essa generato è µ 0 q v û r r 2 (nσds) = µ 0 q v û r r 2 (ndτ) e nσds = ndτ il numero di cariche nel volume descritto dalla carica in moto. Nel caso di un unica carica in movimento si ha B = µ 0 q v u r r 2 Equazione che evidenzia il fatto che una carica in moto oltre ad un campo elettrico genera un campo magnetico. ap7-vol II-Teorema Ampere 1

2 7.2-Legge di Biot-Savart, campo magnetico del filo rettilineo indefinito 7.2-Legge di Biot-Savart, campo magnetico del filo rettilineo indefinito L espressione che dimostreremo fornisce come modulo del campo magnetico, nel caso il filo sia rettilineo e indefinito un valore che è B = µ 0i 2πr inoltre le linee del campo magnetico si avvolgono attorno al filo con tante linee concentriche al filo e percorrenza secondo la regola della mano destra:afferriamo idealmente il filo con il pollice puntato secondo la direzione della corrente nel filo. Il verso di rotazione stabilito dalle altre dita indica il verso delle linee del campo magnetico generato dal filo Questo vale anche per i singoli elementi infinitesimi.dimostrazione della formula: onsideriamo un generico elemento ds del filo (vedi figura) facendo il prodotto vettoriale di ds ûr = dssinθ per cui db = µ 0 i dssinθ e la direzione di db è perpendicolare al piano r 2 della figura e per ogni tratto ds db ha la stessa direzione e verso per cui possiamo direttamente integrare per ottenere il risultato. Osserviamo prima che la metà inferiore del filo e quella superiore a partire dal punto P danno contributi tra loro uguali se il filo è infinito. Pertanto possiamo dire che B = µ 0i dssinθ r 2 ap7-vol II-Teorema Ampere 2

3 ma le variabili ds r e sinθ sono tra loro collegate infatti: R = rsin(π θ) = rsinθ 1 r 2 = sin2 θ R 2 R = stan(π θ) s = Rcot(π θ) ds = + Rdθ sin 2 θ e per cui l equazione diventa = µ 0i s= B = µ 0i 2π s=0 Rdθ sin 2 θ sin 2 θ R 2 sinθ = µ 0i R ds = (s 2 +R 2 ) 3 2 θ= µ 0 i θ=0 dθ R sinθ = 2πR = i R ampo del filo piegato ad arco e spira circolare ampo del filo piegato ad arco e spira circolare Se il filo è piegato ad arco e consideriamo il campo risultante nel centro di questo arco abbiamo che dalla figura l angolo tra ds e r è 90 per cui abbiamo che db = µ 0i dssin90 = µ 0i ds R 2 tale valore è lo stesso sia come modulo che R 2 come direzione e verso per tutti gli elementi infinitesimi per cui abbiamo che nel centro di curvatura del filo si ha φ µ 0 i ds B = db = R 2 = φ 0 µ 0 i 0 Rdφ R 2 = µ 0i φ R Nel caso l arco sia in realtà una spira circolare allora il campo magnetico risultante al centro della spira ha direzione perpendicolare al piano della spira e modulo pari a B = µ 0i 2π R = µ 0i 2R Esempio svolto 30.2 ap7-vol II-Teorema Ampere 3

4 Esempio svolto 30.2 i 1 = 15 A i 2 = 32 A d=53 cm Forza tra due conduttori paralleli Forza tra due conduttori paralleli Poichè un filo percorso da corrente ed immerso in un campo magnetico risente di una forza di Lorentz, allora anche due fili paralleli percorsi da corrente interagiscono tra loro, in quanto ognuno di essi genera un campo magnetico e tramite questo producono una forza di Lorentz sull altro filo. onsideriamo il caso in cui i due fili sono paralleli ed infiniti, allora calcoliamo il campo magnetico del filo 1 nella posizione del filo 2 che è distante d dall altro. Il campo sarà B 1 = µ 0i 1 2π d. La forza di Lorentz prodotto da questo campo è allora F 21 = i 2L B1 = i 2 L µ 0i 1 2π d Possiamo anche vedere l effetto che il secondo filo produce sul primo e troveremo che la forza in modulo è la stessa (il verso è opposto). Per quanto riguarda la direzione ed il verso dal prodotto vettoriale tra L e B ci rendiamo conto che se le correnti sono concordi e parallele la forza è attrattiva mentre se le correnti sono discordi e parallele la forza è repulsiva. L espressione della forza trovata prima inoltre permette di definire l ampere come quella corrente che produce una forza di N sui due fili paralleli per ogni metro di lunghezza- questa è la ragione per cui la corrente è la grandezza fondamentale nel S.I. 7.4 Legge di Ampere ap7-vol II-Teorema Ampere 4

5 7.4 Legge di Ampere La legge di Ampere stabilisce che B ds = µ0 i conc ovvero che la circuitazione di B lungo un percorso chiuso è pari alla somma delle correnti concatenate al percorso stesso. Per esaminare il significato di questa legge partiamo dalla situazione nella figura e seguiamo un arbitrario percorso chiuso e dobbiamo calcolare B ds per poi integrarlo.in realtà non sappiamo il valore di B ma sappiamo comunque che è nel piano della figura quindi B ds = Bdscosθ Nel fare l integrale attribuiamo un verso di B concorde a quello di integrazione (da noi stabilito), effettuiamo l integrale, e poi diamo un segno alle correnti (secondo membro) in modo da considerare positive le correnti che sono concordi (secondo l avvitamento della mano destra) alla direzione nel percorso di integrazione e negative se discordi. dimostrazione teorema ampere dimostrazione teorema ampere onsideriamo innanzitutto la situazione del filo rettilineo indefinito e percorso da coorente i (uscente). Le linee di campo in questo caso sono circonferenze concentriche che si avvitano con orientazione antioraria. Se d s è un elemento del tratto di linea di campo allora il prodotto scalare B d s = µ 0i 2πr ds = µ 0i 2π dθ con con dθ l angolo sotteso dal vettore d s. Di conseguenza anche per un tratto finito di circonferenza si avrà che: D B d s = µ 0i 2π D dθ = µ 0i 2π θ ap7-vol II-Teorema Ampere 5

6 con θ l angolo sotteso dall arco D. Dal ragionamento deriva quindi che qualunque sia la forma della curva da a D il risultato dell integrale dipende solo dall angolo sotteso dalle due semirette che dal centro del filo uniscono e D ed il segno che dipende solo dal fatto che la percorrenza è concorde o discorde al verso indicato dalle linee di campo magnetico. Ad esempio nel caso in figura si ha che D 1 B d s = + µ 0i 2π θ mentre D 2 B d s = µ 0i 2π θ Valutiamo adesso l integrale calcolato su una linea chiusa come da ipotesi del teorema. Distinguiamo due casi: - la linea di integrazione concatena la corrente (cioè ci gira intorno) - la linea di integrazione non concatena la corrente. Nel primo caso dalla relazione di sopra l angolo θ = 2π per cui B d s = µ 0i 2π 2π = µ 0i Nel secondo caso ci ritroviamo in una situazione tipo questa: ovvero si può sottendere la curva sotto un angolo θ che individua 2 punti e D (le tangenti alla curva) e in base alla precedente considerazione si ottiene B d s = µ 0i 2π θ µ 0i 2π θ = 0 ome conseguenza del teorema di ampere, dato che la circuitazione di B è diversa da zero il campo B non è conservativo forma locale teorema ampere forma locale teorema ampere La forma locale del teorema di Ampere la troviamo applicando il teorema di Stokes che applicato al campo elettrico era: E d s = ( E) û N dσ Σ e possiamo applicarlo come teorema matematico al caso del campo magnetico partendo dal calcolo della circuitazione su un percorso chiuso generico: B d s = ( B) û N dσ Σ ap7-vol II-Teorema Ampere 6

7 conσunaqualunquesuperficiechesiappoggiallalineachiusadipartenza. Attraverso Σ passa una corrente che possiamo definire come i = Σj û n dσ Da cui la legge di Ampere la riscriviamo così : ( B) û N dσ = µ 0 j û n dσ Σ Valendo per ogni superficie che abbia la curva come contorno (o che si appoggi sulla curva ) si ha quindi B = µ 0 j che è la versione locale della legge di Ampere Applicazione del teor. Ampere: campo del filo infinito Applicazione del teor. Ampere: campo del filo infinito Nel caso trattiamo un solo filo ed infinito, consideriamo un percorso circolare (essendo arbitrario il percorso scegliamo il più comodo) avente centro nel filo e raggio r. In questo caso si ha B ds = Bcosθds = B ds = B(2πr) per il teorema B(2πr) = µ 0 i B = µ 0i che ovviamente verifica quanto 2πr già trovato in precedenza ampo del filo infinito all interno del filo stesso-esempio 7.2 ampo del filo infinito all interno del filo stessoesempio 7.2 Σ La legge di Ampere permette di calcolare agevolmente anche il campo magnetico all interno del filo percorso da corrente.infatti applicando il teorema ad un percorso circolare concentrico al filo e di raggio r < R interno al filo il primo membro del teorema è ancora B ds = B ds = B(2πr) ma il termine al secondo membro è invece µ 0 i conc e quindi dobbiamo calcolare la corrente concatenata. La corrente concatenata è quella che attraversa il percorso circolare e chiaramente ap7-vol II-Teorema Ampere 7

8 1 PROBLEMA SVOLTO 30.3 è una porzione della totale. Dalla definizione di densità di corrente, dal momento che la corrente si distribuisce uniformemente sulla sezione del conduttore, abbiamo che i conc = js = jπr 2 e j = i da cui B2πr = µ 0i πr 2 πr 2 πr 2 semplificando si ha quindi B = µ 0i 2πR 2r 1 Problema svolto 30.3 Problema svolto 30.3 In un cilindro cavo di raggi interni a=2 cm ed esterno b=4 cm scorre una corrente uscente rispetto il piano della figura con densità di corrente non uniforme secondo la legge j = cr 2 con c= A/m 4 ed r in metri. Quanto vale B in un punto distante 3 cm dal centro? Il punto è interno al filo quindi B = µ 0i conc 2πr la corrente concatenata è in questo esempio i conc = r a JdS = r a cr2 (2πr)dr (J è variabile sulla superficie) quindii conc = 2π c r4 a 4 4 dai conti quindi B= T Esempio 7.3- ampo magnetico di solenoidi e toroidi ideali Esempio 7.3- ampo magnetico di solenoidi e toroidi ideali Il solenoide ideale è costituito da un lungo filo avvolto a forma di spirale attorno ad un supporto cilindrico, e le varie spire sono strettamente addossate l una all altra. Assumiamo che la lunghezza del solenoide sia molto grande (o comunque molto più grande del suo diametro) e analizziamo una sezione trasversale di questo solenoide. Nel caso ideale queste spire sono così vicine tra loro da formare un continuo e come visibile in figura in questa situazione il campo magnetico tende a disporsi secondo l asse orizzontale del solenoide stesso. Inoltre se il solenoide è di lunghezza infinita e le spire sono strettamente addossate non vi sono linee di campo che possono uscire dal solenoide. Pertanto la situazione è approssimabile a quella in ap7-vol II-Teorema Ampere 8

9 1 PROBLEMA SVOLTO 30.3 figura. Possiamo allora scegliere un percorso rettangolare ABD che si adatta a questo caso: B ds = µ0 i conc B ds B = A B ds+ B B ds+ D B ds+ A D B ds Di questi termini il secondo ed il quarto sono nulli in quanto il percorso ed il campo sono perpendicolari tra loro, il terzo è nullo perchè nel solenoide ideale il campo esterno è nullo per cui si ha B B ds = A B ds = B h = µ 0 i conc La corrente concatenata è la somma delle correnti delle spire intrecciate al percorso per cui indicando con n il numero di spire per unità di lunghezza i conc = n hi da cui B = µ 0 n i e i è la corrente che entra nel filo del solenoide. Esempio 7.4-Toroide Esempio 7.4-Toroide Toroide Nel caso del toroide (vedi figura) le spire si avvolgono attorno ad una ciambella. La legge di Ampere ci indica allora che B 2πr = µ 0 in (N è il totale delle spire) per cui B = µ 0N i 2πr ampo magnetico di una bobina ampo magnetico di una bobina ampo magnetico bobina ap7-vol II-Teorema Ampere 9

10 1 PROBLEMA SVOLTO 30.3 Il campo si ricava applicando direttamente la legge di Biot-Savart in quanto nel caso della spira percorsa da corrente non vi è una simmetria tale da risolvere il problema con Ampere.La spira abbiamo detto che è equivalente ad un dipolo magnetico µ e si trova che B(z) = µ 0 µ 2π per i punti (z 2 +R 2 ) 2 3 sull assezpassanteperilcentrodellaspiraeadessaortogonaleconµ = i S. Nel caso ci mettiamo al centro della spira (z=0) la relazione diventa: B = µ 0iiπR 2 2π R 3 ûn = µ 0i 2Rûn Mentre a grandi distanze quando R è trascurabile si ottiene: B = µ 0i µ 2π che r 3 è la relazione completamente equivalente a quella del dipolo elettrico. Possiamo dire quindi che una piccola spira di corrente è un dipolo magnetico e in analogia a quanto trovato per il caso elettrico potremmo estendere il campo del dipolo magnetico anche al caso sia fuori asse per trovare che B = µ 0i µ 2π (2cosθû r 3 r +sinθû θ ) Solenoide rettilineo (finito) Solenoide rettilineo (finito) Perilsolenoidedilunghezzad, raggioreconnspiretotali, sidefinisceilnumerospireperunitàdilunghezzan = N d selespiresonoabbastanzafittepossiamo trattarle come se fossero distribuite con continuità ed il numero totale di spire per un tratto di lunghezza dx è ndx e al centro dell asse del solenoide il campo è db = Prendendo in considerazione un punto sull asse del solenoide si hanno le seguenti relazioni: rsinφ = R, x x 0 = Rcotφ dx = Rdφ sin 2 φ da cui db = µ 0ni 2 sin φdφ Il campo complessivo in P si ottiene sommando tutti i contributi delle spire cioè integrando su φ: φ2 B = µ 0ni sinφdφ = 2 φ 1 µ 0 ni 2 (cosφ 1 cosφ 2 ) µ 0 ir 2 ndx 2r 3 ap7-vol II-Teorema Ampere 10

11 1 PROBLEMA SVOLTO 30.3 e poichè l angolo φ 2 = π φ 2 si ottiene B = µ 0 ni 2 (cosφ 1 + cosφ 2 ) Se adesso scegliamo l origine del sistema di riferimento al centro del solenoide O allora porremo OP = x e si avrà O P = r 1 cosφ 1 d/2+x cosφ 1 = e (d/2+x) 2 +R PO = r 2 cosφ 2 2 cosφ 2 = d/2 x (d/2 x) 2 +R 2 Di conseguenza si ottiene che B(x) = µ 0ni 2 ( d+2x (d+2x) 2 +R + d 2x 2 (d 2x) 2 +R 2) e al centro della spira si ottiene infine B O = B(0) = µ 0nid d e nel limite di 2 +4R2 d si ritrova il caso ideale B = µ 0 ni Dalla formula inoltre possiamo trovare B negli estremi (x = ±d/2) nei quali si ha B O = B O magnetismo nella materia cenni 7.5-magnetismo nella materia cenni Si può affrontare il problema del magnetismo nella materia applicando un approccio simile a quello dei condensatori, e usando i solenoidi ideali come strumento per studiare il comportamento. Per prima cosa definiamo B il vettore H = 0 µ 0 che nel solenoide ideale è H = ni. Ora supponiamo di inserire un materiale a riempire completamente lo spazio tra le spire del solenoide ideale. Se si misura B all interno del materiale (ad esempio con una sonda ad effetto Hall) si trova che B B 0 = k m e la costante k m viene detta permeabilità magnetica relativa al vuoto e si ottiene che B = µ 0 k m H = µ H avendo definito con µ la permeabilità magnetica assoluta del mezzo La variazione rispetto al vuoto si ottiene valutando la differenza B B 0 = (k m 1) B 0 = µ 0 χ m H = la costante χ m = k m 1 è detta invece suscettibilità magnetica. In definitiva il materiale contribuisce con un termine che possiamo così evidenziare: B = B 0 + B m = µ 0 H +µ 0 k m H = µ 0 ( H + M) (1) con M = χ m H un vettore magnetizzazione che descrive le proprietà specifiche del materiale. Se analizziamo quindi il solenoide da cui siamo partiti, risulta che B = µ 0 ni+µ 0 χ m ni il secondo termine è dovuto al materiale effetto equivalente a delle correnti aggiuntive non di conduzione ma dovute a correnti di origine atomica che vengono dette amperiane. Per concludere a seconda del valore di k m i materiali vengono classificati così : ap7-vol II-Teorema Ampere 11

12 1 PROBLEMA SVOLTO 30.3 sostanze diamagnetiche per le quali k m < 1 (oro,argento,silicio,rame pb); sostanze paramagnetiche k m > 1 (alluminio,tungsteno,ossigeno); sostanze ferromagnetiche con k m che dipende dal valore di B e dal modo in cui è variato in precedenza. 7.6 correnti amperiane cenni 7.6 correnti amperiane cenni 7.7 legge gauss per B 7.7 legge gauss per B ome abbiamo visto nei vari esempi le linee di campo di B si richiudono sempre, di conseguenza qualunque superficie chiusa consideriamo il flusso entrante nella superficie equivale quello uscente per cui si avrà : B d Σ = 0 Σ che costituisce la legge di Gauss per il campo magnetico: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è sempre nullo. La forma locale di conseguenza è B = 0 che equivale a imporre la non esistenza dei monopoli magnetici. Il fatto che il flusso sia nullo attraverso qualunque superficie(campo solenoidale) ha una ulteriore implicazione che lo differenzia dal campo elettrico: onsidero una curva chiusa e due superfici che si appoggino al contorno della curva, delimitando così una superficie chiusa. Si avrà Φ(B) = B û n = B û n + B û n = 0 Σ Σ 1 Σ 2 Per cui tenendo conto del verso discorde nell orientazione delle superfici si avrà che Φ 1 (B) = Φ 2 (B) che significa che il flusso di B attraverso qualunque superficie che si appoggi ad un determinato contorno è costante per cui si parlerà di flusso concatenato alla linea chiusa 7.8- magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati ap7-vol II-Teorema Ampere 12

13 1 PROBLEMA SVOLTO magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati Il teorema di Ampere in presenza di mezzi magnetizzati può scriversi come B d s = µ 0 (i+i m ) se la linea chiusa abbraccia sia le correnti di conduzione che quelle di magnetizzazione che possono esplicitarsi come B d s = µ 0 (i+ M d s) e poichè B = µ 0 ( H + M) si ottiene H d s = i che è la versione del teorema di Ampere nella materia ap7-vol II-Teorema Ampere 13