Il vettore velocità angolare (avendo scelto θ come in Figura) si scrive come:

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1 9 Moti rigidi notevoli In questo capitolo consideriamo alcuni esempi particolarmente significativi di moto di un sistema rigido. Quelle che seguono sono applicazioni delle equazioni cardinali di un sistema rigido 8.1, che qui ricordiamo: R e,a + R e,v = M a G M e,a + M e,v = { I ω + ω I ω +MG a solidale a B I G ω + ω I G ω +MG a G qualunque e del teorema dell energia 8.1: π e,a + π e,v = dt 9.1 Corpo rigido con asse fisso Consideriamo un corpo rigido con asse fisso di versore n. Si tratta di un sistema con un grado di libertà. Scegliamo come polo un qualunque punto appartenente all asse fisso. In questo modo le equazioni cardinali diventano: { m a G = R e,a + R e,v I ω + ω I ω = M a + M v Il vettore velocità angolare avendo scelto θ come in Figura si scrive come: ω = θ n. Moltiplicando la seconda equazione cardinale scalarmente per n, otteniamo: I n θ n + θ n n I n = M }{{} a n + M v n =0 Supponiamo ora che il dispositivo che esercita il vincolo sia ideale. In base alla Definizione 8.5, questo significa che θ M v n =0 θ e quindi: M v n =0. Quindi la proiezione della seconda equazione cardinale sull asse di rotazione fornisce l equazione pura di movimento: θ = M nt, θ, θ I n

2 10 CAPITL 9. MTI RIGIDI NTEVLI dove M n t, θ, θ := M v n. La prima equazione cardinale e la proiezione della seconda equazione cardinale sul piano perpendicolare a n possono essere utilizzate per determinare il risultante R e,v e il momento risultante delle reazioni vincolari: M e,v, R e,v = M a G R e,a M e,v, = θ [I n] + θ [ n I n] M e,a, θ = Mnt,θ, θ I n Limitiamoci all espressione del risultante delle reazioni vincolari, si ha: R e,v = R e,a + m a G poichè a G = d v + ω G }{{} =0 = R [ ] e,a + m ω G + ω vg poichè v G = v }{{} + ω G =0 = R { } e,a + m ω G + ω [ ω G ] usando la proprietà.5 = R { } e,a + m ω G + ω [ ω G ] G ω Scelto il polo sull asse in modo che G n =0 = R { } e,a + m ω G G ω usando le equazioni pure di movimento 9.1 { = R e,a Mn + m n G G I θ }. n Energia cinetica L espressione dell energia cinetica per un corpo rigido con asse fisso si ottiene immediatamente dall Eq.8.5: T = 1 I, n θ. 9. Problemi di meccanica del corpo rigido: corpo rigido con asse fisso Consideriamo una lamina rettangolare omogenea ABC di lati: { A = a AB =a La lamina è vincolata a ruotare intorno all asse verticale coincidente col lato C ed è soggetta ad una forza F applicata in B, di modulo F, direzione parallela all asse y e verso indicato in figura. È inoltre presente una molla di costante elastica κ e lunghezza a riposa nulla che collega il vertice A della lamina con il punto H =a, 0, 0.

3 9.. PRBLEMI DI MECCANICA DEL CRP RIGID: CRP RIGID CN ASSE FISS 11 z e C B F G y e x e 1 H θt A Si scrivano la prima equazione cardinale, la seconda equazione cardinale rispetto al polo e l energia cinetica del sistema, sapendo che il vincolo è ideale. Prima equazione cardinale Si ha: La sollecitazione attiva agente sulla lamina è: R a + R v = M a G F = { M g, κa H, F } Quindi: M g κa H+ F = M a G. Abbiamo: A H =A + H = acos θ 1, sin θ, 0 G = a cos θ, sin θ, v G = a θ sin θ, θ cos θ, 0 Quindi la prima equazione cardinale si scrive: a G = a θ sin θ θ cos θ, θ cos θ θ sin θ, 0 aκcos θ 1 + R v x aκ sin θ + F + R y v mg + R z v =0 = Ma θ sin θ + θ cos θ θ cos θ θ sin θ = Ma

4 1 CAPITL 9. MTI RIGIDI NTEVLI Sappiamo dall analisi precedente che questa equazione viene utilizzata per trovare la reazione vincolare, quindi scriviamo: R x v = aκcos θ 1 Ma θ sin θ + θ cos θ R v y R v z Seconda equazione cardinale e 1 θt = aκ sin θ + Ma = mg Si ha: θ cos θ θ sin θ F M a + M v = I ω + ω I ω + MG a poichè il polo è fisso. Fissiamo la base solidale { f 1, f, f } in figura. e Essa è descritta dalle equazioni: f f 1 = cos θ e 1 + sin θ e f = sin θ e 1 + cos θ e f = e f Il tensore di inerzia nella base solidale { f 1, f, f } si scrive: e 4 Ma 0 Ma Quindi: f 1 I = 0 5 Ma 0 Ma Ma 0 Quindi: I ω + ω I ω =Ma [ θ ω = θ f I ω =Ma θ [ ω I ω = det f 1 + f Ma = θ f θ f f 1 + f ] f 1 f f 0 0 θ Ma Ma θ 0 θ usiamo la base fissa [ = Ma θ cos θ + θ sin θ e 1 + θ sin θ + θ cos θ e + ] ] θ e 9. Calcoliamo ora i momenti delle forze. Notiamo preliminarmente che: B =acos θ, sin θ, A =acos θ, sin θ, 0

5 9.. PRBLEMI DI MECCANICA DEL CRP RIGID: CRP RIGID CN ASSE FISS 1 Quindi: Mettendo assieme le Eq.9. e 9.: B F = af e 1 + af cos θ e κa A H = a κ sin θ e 9. G M g = amg sin θ e 1 + amg sin θ e af amg sin θ + M v amg sin θ + M v y = Ma af cos θ a κ sin θ + M v x = Ma θ cos θ + θ sin θ θ sin θ θ cos θ z = Ma θ L idealità del vincolo ci dà: M v z =0 e quindi Ma =af + amg sin θ + θ cos θ + θ sin θ Ma = amg sin θ + θ sin θ θ cos θ af cos θ a κ sin θ = Ma θ M v x M v y La terza equazione è l equazione pura di movimento: Moltiplicando per θ: otteniamo: e infine: θ = F cos θ aκ sin θ Ma θ θ = F Ma θ cos θ aκ θ sin θ d θ = 6 Ma d F sin θ + aκ cos θ θ = 6 F sin θ + aκ cos θ+ θ0 Ma Integrando questa equazione si trova l equazione finita di movimento t θt sostituendo questa equazione nelle rimanenti equazioni si trovano le reazioni vincolari. L energia cinetica della lamina è data dall Eq.8.5 con v = 0: T = 1 θ e I e = Ma 6 θ

6 14 CAPITL 9. MTI RIGIDI NTEVLI 9. Corpo rigido con polo fisso Consideriamo un corpo rigido con un punto fisso E. Si tratta di un sistema fisico con tre gradi di libertà. Il sistema di riferimento solidale I compie un moto di trascinamento rotatorio polare rispetto al sistema di riferimento fisso I. Possiamo quindi utilizzare l analisi svolta in.7. In particolare sappiamo che gli angoli di Eulero ψ, θ, ϕ forniscono una descrizione completa della posizione del corpo nel riferimento I. La forma più conveniente delle equazioni cardinali si ottiene scegliendo come polo: L energia cinetica è invece data da: { R a + R v = m a G M a + M v = I ω + ω I ω T = 1 ω I ω vedi Eq.8.5. Il precedente sistema di equazioni non è risolubile, se non ci si pronuncia sulla caratterizzazione costitutiva del dispositivo che vincola il corpo rigido B a ruotare intorno a. Supponiamo che sia ideale vedi Definzione 8.5, questo significa che: v R v + ω M v =0 v, ω compatibili coi vincoli. e quindi, poichè v = 0, ω M v =0 ω V. Questo è chiaramente equivalente al fatto che il momento risultante della reazione vincolare rispetto al polo è nullo: M v =0 e quindi le equazioni cardinali si riscrivono nella forma: { R a + R v = m a G = I ω + ω I ω M a La seconda equazione cardinale dà le equazioni pure di movimento e quindi, una volta assegnate le condizioni iniziali ψ0,θ0,ϕ0 ψ0, θ0, ϕ0, fornisce direttamente le equazioni finite di movimento. La prima equazione cardinale può invece venire usata per determinare le reazioni vincolari.

7 9.. CRP RIGID CN PL FISS 15 Equazioni di Eulero È utile riscrivere in modo più esplicito la seconda equazione cardinale. A tal fine introduciamo una terna ortonormale positiva, f 1, f, f solidale al corpo, che diagonalizzi la matrice di inerzia associata a I : I I I In questa base, abbiamo: I ω =I 1 ω 1 f1 + I ω f + I ω f ω I ω =[ω ω I I ] f 1 +[ω 1 ω I 1 I ] f +[ω 1 ω I I 1 ] f Possiamo quindi scrivere: M 01 = I 1 ω 1 + ω ω I I M 0 = I ω 1 + ω 1 ω I 1 I M 0 = I ω 1 + ω 1 ω I I È fondamentale notare che queste equazioni sono scritte nel riferimento solidale al corpo rigido, che è incognito. Quindi ciò che è effettivamente rilevante ai fini di determinare la posizione del corpo è l espressione delle equazioni di Eulero in termini degli angoli di Eulero. A questo proposito, ricordiamo l espressione della velocità angolare data dall Eq.4.17: ω = ψ e + θ N + ϕ f Al fine di esprimere ω nella base solidale ricordiamo che vedi Eq.4.16: N = cos ϕf 1 sin ϕf e = f e f + e f f = sin θ sin ϕ f 1 + sin θ cos ϕ f + cos θ f Sostituendo si trova: ω = θ cos ϕ + ψ sin θ sin ϕ f1 + ψ sin θ cos ϕ θ sin ϕ f + ϕ + ψ cos θ f In questo modo dovrebbe essere chiaro che le Equazioni di Eulero 9.4 per il corpo rigido sono un sistema di equazioni non lineari del secondo ordine nelle incognite ψ, θ, ϕ. Tale sistema è in generale estremamente difficile da risolvere. Nei paragrafi successivi studieremo alcuni casi particolari particolarmente semplici in cui l analisi di alcuni aspetti qualitativi della soluzione delle Equazioni di Eulero risulta fattibile. Preliminari a questa analisi sono alcune definizioni che diamo nel seguente paragrafo. Moti di precessione Definizione 9.1. Il moto di un corpo rigido B con punto fisso è detto moto di precessione se esistono due assi a e b tali che: 1. a è fisso nel sistema di riferimento fisso I;

8 16 CAPITL 9. MTI RIGIDI NTEVLI. b è fisso nel sistema di riferimento solidale I ;. l angolo formato da a e b è costante; L asse fisso a è detto asse di precessione, l asse solidale b è detto asse di figura. Si ha la seguente caratterizzazione dei moti di precessione. Proposizione 9.. Un moto è una precessione se e solo se esistono un versore fisso a e un versore solidale b tali che: ω = ω 1 t a + ω t b Dimostrazione. Supponiamo che il moto sia una precessione. Allora l angolo formato da a e b è costante e si ha: 0= d cos θ = d a b d a a = b + a da b formule 4.11 = a ω b proprietà ciclica = ω a b e quindi ω giace sul piano generato da a e b. Per l implicazione inversa basta notare che, se ω = ω 1 t a + ω t b, i precedenti passaggi valgono tali e quali: d cos θ = d a b d a a = b + a da b formule 4.11 = a ω b {[ = a ω 1 t a + ω t ] b } b =0 Definizione 9.. Consideriamo una precessione con ω = ω 1 a + ω b ω 1 è detta velocità di rotazione, ω è detta velocità di precessione. Una precessione è detta regolare se si ha: ω = ω 1 a + ω b con ω 1 e ω costanti. Una precessione regolare è detta una rotazione permanente se: ω = ω a

9 9.. CRP RIGID CN PL FISS 17 Moti alla Poinsot Definizione 9.4. Si dice che un corpo rigido B compie un moto alla Poinsot se compie un moto rotatorio polare intorno a e M =0 Le equazioni che governano l evoluzione dei moti alla Poinsot sono date da: o, equivalentemente, dalle Equazioni di Eulero 9.4 con M = 0: I 1 ω 1 + ω ω I I = 0 I ω + ω 1 ω I 1 I = 0 I ω + ω 1 ω I I 1 = 0 I ω + ω I ω = Evidentemente un moto alla Poinsot è realizzato da un corpo rigido che ruota intorno a un punto fisso a cui è vincolato con un vincolo ideale. Consideriamo due particolari moti alla Poinsot. Struttura giroscopica completa In questo caso vedi Definizione 8.14: e le equazioni di Eulero diventano: I 1 = I = I I 1 ω 1 =0 I 1 ω =0 I 1 ω =0 In questo caso le equazioni finite di movimento sono date da: ω = cost. Quindi il moto di un corpo rigido B con struttura giroscopica completa e vincolato senza attrito a un polo fisso è una rotazione permanente. Struttura giroscopica Supponiamo che il corpo abbia struttura giroscopica rispetto all asse f. In base alla Definizione 8.14, questo significa: Le equazioni di Eulero diventano: Dalla terza Equazione otteniamo mentre la seconda equazione cardinale porge: I 1 = I I. I 1 ω 1 + ω ω I I 1 = 0 I 1 ω ω 1 ω I I 1 = 0 I ω =0 d L ω = ω 9.6 = I ω + ω I ω =0

10 18 CAPITL 9. MTI RIGIDI NTEVLI Quindi il momento angolare è una costante del moto. Quindi: L = I 1 ω 1 f1 + I 1 ω f + I ω f 9.7 ω = ω 1 f1 + ω f + ω f sostituendo la 9.6 = ω 1f1 + ω f + ω f = 1 I 1 ω 1f1 + I 1 ω f + I ω f I ω f + ω f I 1 I 1 sostituendo la 9.7 L = I L L + I1 I I 1 ω f Usando la Proposizione 9. possiamo concludere che un moto alla Poinsot di un corpo con struttura giroscopica è una precessione regolare in cui l asse di precessione è determinato dal momento angolare L, mentre l asse di figura coincide con l asse giroscopico. Rotazioni permanenti nei moti alla Poinsot Chiediamoci sotto quali condizioni un moto alla Poinsot è un moto di rotazione permanente. Proposizione 9.5. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un moto alla Poinsot sia una rotazione permanente con velocità angolare non nulla è che sia verificata una delle seguenti condizioni equivalenti: 1.. ω è diretta lungo un asse principale di inerzia. ω I ω = Dimostrazione. Supponiamo che sia verificata la 9.8. Allora, per un moto alla Poinsot: che è risolta da: I ω = 0 ω t = ω 0 Viceversa se in un moto alla Poinsot si ha ω t = ω 0, allora la 9.8 segue immediatamente dall Eq.9.5. Rimane da verificare l equivalenza delle due condizioni, ma questo è evidente poichè la condizione ω I ω = 0 vuole esattamente dire che I ω ω. 9.4 Corpo rigido libero Corpo rigido libero soggetto a forze baricentrali DA FINIRE