L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA. (Plank Einstein)

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1 L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA POSTULATO DI DE BROGLIÈ Se alla luce, che è un fenomeno ondulatorio, sono associate anche le caratteristiche corpuscolari della materia (Einstein: fotone), allora deve essere vero anche il contrario: LA MATERIA, che ha con certezza caratteristiche corpuscolari, DEVE POSSEDERE ANCHE PROPRIETÀ ONDULATORIE E = mc 2 (Einstein) E = hν (Plank Einstein) Significa che se la massa si converte in energia allora alla massa posso associare un onda hν E = mc 2 = hν = h c/λ Questo postulato perde significato nel campo MACROSCOPICO λ = h/(m c) c = velocità della luce generalizzando Quantità di moto λ = h/(m v) N.B.: QUESTA ESPRESSIONE DEFINISCE UN ONDA ASSOCIATA ALL ELETTRONE LIBERO DI MUOVERSI NELLO SPAZIO (NON VINCOLATO NEL CAMPO DEL NUCLEO). Risultato che rivoluzionò la fisica. Ogni cosa in natura possiede sia le proprietà di particella (unità discreta) che le proprietà di onda (continuità). L aspetto particellare è più importante nel descrivere oggetti di massa relativamente grande; l aspetto ondulatorio è più importante nel descrivere oggetti di massa minutissima (come elettroni, neutroni, protoni).

2 Schrödinger applicò la relazione di De Broglie anche al moto di particelle VINCOLATE (quali sono gli elettroni all interno dell atomo). Ricavò così un EQUAZIONE D ONDA, che descrive gli elettroni all interno di un atomo come ONDE MATERIALI TRIDIMENSIONALI STAZIONARIE (nello spazio limitato intorno al nucleo). L ampiezza dell onda o FUNZIONE D ONDA è detta ψ (psi) e la formulazione matematica dell equazione risulta: 2 ψ x 2 2 ψ y 2 L ELETTRONE COME ONDA MATERIALE 2 ψ L EQUAZIONE DI SCHRŐDINGER z 2 8 π 2 m ( E V ) h 2 Ψ = 0 m = massa e - ; E = energia totale; V = energia potenziale; x,y,z = coordinate cartesiane; h = costante di Plank L equazione d onda ammette infinite soluzioni, ma solo le FUNZIONI D ONDA (ψ) ASSOCIATE A ONDE STAZIONARIE SONO SOLUZIONI ACCETTABILI. Tali soluzioni si rivelarono esatte per descrivere il moto dell elettrone nell atomo di idrogeno e sufficientemente approssimate per descrivere il moto di un elettrone in atomi contenenti più di un elettrone. COSA SI INTENDE PER ONDA STAZIONARIA? Un onda che vibra in una determinata regione dello spazio e la cui configurazione non varia nel tempo. LA SUA AMPIEZZA NON DIPENDE DAL TEMPO. CRESTE E NODI NON CAMBIANO POSIZIONE. L onda stazionaria, una volta formata, continua indefinitamente, se non incontra attriti, dando origine a STATI STAZIONARI, ovvero di ENERGIA COSTANTE. Poichè l Energia dell elettrone è quantizzata, posso avere un numero intero discreto (quantizzato) di lunghezze d onda possibili e quindi di funzioni d onda, ma ogni funzione d onda deve avere un valore di E costante, non variabile. Ecco perchè SOLO LE ONDE STAZIONARIE possono essere SOLUZIONI ACCETTABILI DELL EQUAZIONE DI SCHRŐDINGER.

3 LE ONDE STAZIONARIE Onde generate da una corda vincolata a due punti fissi (es.: corda della chitarra): vibrazioni monodimensionali. Le sole vibrazioni permesse sono quelle vincolate a certe condizioni: la corda in ogni momento deve rimanere fissata alle estremità; le vibrazioni sono sempre e solo quelle che vedono la lunghezza l della corda distorcersi in un numero intero n di mezze lunghezze d onda. In altre parole le lunghezze d onda delle infinite armoniche possibili non possono avere valore qualsiasi ma soli valori discreti ricavati dall equazione λ = 2 l /n Quindi: la corda di chitarra è un sistema quantizzato Si possono trovare anche esempi per onde stazionarie che si propagano in modo bidimensionale lungo una circonferenza (percussione di un tamburo, sasso nell acqua). L ELETTRONE, onda di materia, è assimilabile ad un ONDA MATERIALE STAZIONARIA (Ψ), con STATI STAZIONARI di energia (E = costante), che si propaga nelle tre direzioni dello spazio (x, y, z) disegnando FIGURE INTORNO AL NUCLEO. Queste funzioni d onda (Ψ) risultano matematicamente descritte da TRE NUMERI INTERI detti NUMERI QUANTICI, indicati con le lettere n l m. Una funzione d onda caratterizzata da ben precisi valori di numeri quantici (Ψ n,l,m ) si dice ORBITALE.

4 SIGNIFICATO FISICO DELL ORBITALE (Ψ n,l,m ) Ψ n,l,m = FUNZIONE D ONDA = AMPIEZZA DELL ONDA (A) Ψ 2 n,l,m = FUNZIONE PROBABILITA (A2 ) INTENSITA (I A 2 ) NESSUN SIGNIFICATO FISICO FORMA DELL ORBITALE In un onda di luce, l intensità I (che è direttamente proporzionale a A 2 ) indica la densità dei fotoni in quel punto. Quindi A 2 determina la PROBABILITA di trovare il fotone in quel punto. Estendendo il concetto all onda tridimensionale Ψ n,l,m associata all elettrone, Ψ 2 n,l,m dà la probabilità di trovare l elettrone in un certo punto (x, y, z) dello spazio attorno al nucleo. QUINDI Ψ 2 n,l,m DETERMINA LA FORMA DELL ORBITALE Ψ 2 n,l,m : permette di visualizzare graficamente le zone dello spazio attorno al nucleo aventi più alta densità di carica elettronica. L informazione è di TIPO STATISTICO: non possiamo dire dove si trova esattamente la particella (e - ) in ogni istante, ma solo indicare quale PROBABILITA essa abbia di trovarsi in una determinata ZONA DELLO SPAZIO a sua disposizione. ORBITA 0.53Å Bohr vs teoria ondulatoria ATOMO di H ORBITALE Secondo Bohr: n = 1, probabilità di trovare l e - a 0.53Å dal nucleo = 100% = CERTEZZA Meccanica quantistica: 0.53 Å è solo la distanza PIÙ PROBABILE a cui può trovarsi e -

5 NUMERI QUANTICI: n, l, m Definendo una terna di numeri quantici si definisce un ORBITALE (Ψ n,l,m ): è definita sia l ENERGIA dell elettrone che la DISTRIBUZIONE DI CARICA NEGATIVA intorno al nucleo (Ψ 2 n,l,m ). n: numero quantico principale. Assume i valori 1, 2, 3,. Definisce l energia dell elettrone e le sue dimensioni. Al crescere di n aumenta l energia E n dell elettrone (più lontano dal nucleo) e la zona dello spazio in cui è più probabile trovarlo. l: numero quantico secondario. Assume i valori 0 l n 1. Quindi l = 0, 1, 2, n - 1 Definisce la forma dell orbitale. n = 1 l = 0 n = 2 l = 0, 1 n = 3 l = 0, 1, 2 n = 4 l = 0, 1, 2, 3 l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 orbitale tipo s orbitale tipo p orbitale tipo d orbitale tipo f s, p, d, f rappresentano diverse FORME DI ORBITALI m = numero quantico magnetico. Assume i valori - l m + l. Quindi 2l + 1 orientazioni Definisce l orientazione dell orbita nello spazio. l = 0 m = 0 1 orientazione nello spazio (s) -1 l = 1 m = 0 3 orientazioni nello spazio (p) l = 2 m = 0 5 orientazioni nello spazio (d) l = 3 m = 0 7 orientaz. nello spazio (f) In assenza di campo magnetico esterno le 2l+1 orientazioni hanno = E: ORBITALI DEGENERI

6 ORBITALI s: l = 0 Una sola direzione nello spazio, quindi ORBITALI SFERICI (Ψ 1,0,0 = 1s; Ψ 2,0,0 = 2s; Ψ 3,0,0 = 3s) ORBITALE 1s (Ψ 1,0,0 ) Ψ (r) 2 (1s) ψ (r) 2 (1s) 4π r 2 = P La probabilità di trovare l e - è maggiore dove la nuvola elettronica è più densa r La densità di probabilità (numero di osservazioni per unità di volume) debba essere massima in prossimità del nucleo. r (u.a.) Probabilità radiale: probabilità di trovare e - in un guscio sferico di raggio r e spessore dr (ovvero in un dato volume V). L andamento della funzione P (probabilità radiale) si comprende facilmente considerando che: - 4πr 2 è una funzione crescente (all aumentare del raggio aumenta la superficie della sfera) - Ψ 2 è una funzione decrescente (allontanandosi dal nucleo, è meno probabile trovare l elettrone). Quindi, in una prima fase, all aumentare di r la superficie della sfera (4πr 2 ) cresce più rapidamente di quanto diminuisca la densità dei punti (Ψ 2 ): P AUMENTA. Da un certo raggio in poi, Ψ 2 cala più rapidamente di quanto aumenti la superficie della sfera: P DIMINUISCE. Questo raggio definisce il guscio sferico di spessore infinitesimo entro cui è massima la probabilità di trovare e -.

7 ORBITALE 2s (Ψ 2,0,0 ) ORBITALE 3s (Ψ 3,0,0 ) 1s: n = 1 l = 0 m l = 0 2s: n = 2 l = 0 m l = 0 3s: n = 3 l = 0 m l = 0 Densità di probabilità radiale Dimensioni relative degli orbitali 1s, 2s e 3s

8 ORBITALI p: l = 1, m = -1, 0, +1 Tre direzioni nello spazio (p x, p y, p z ), ORBITALI A DOPPIA CLAVA Per n = 2: Ψ 2,1,-1 = 2p x ; Ψ 2,1,0 = 2p y ; Ψ 2,1,+1 = 2p z Per n = 3: Ψ 3,1,-1 = 3p x ; Ψ 3,1,0 = 3p y ; Ψ 3,1,+1 = 3p z piano nodale x-y piano nodale y-z piano nodale x-z N.B.: L INSIEME DEI TRE ORBITALI p CORRISPONDE AD UNA DISTRIBUZIONE SFERICA

9 ORBITALI d: l = 2, m = -2, -1, 0, +1, +2 Cinque direzioni nello spazio Per n = 3: Ψ 3,2,-2 ; Ψ 1,2,-1 ; Ψ 3,2,0 ; Ψ 3,2,+1 ; Ψ 3,2,+2 Per n = 4: Ψ 4,2,-2 ; Ψ 4,2,-1 ; Ψ 4,2,0 ; Ψ 2,2,+1 ; Ψ 4,2,+2 ORBITALI f: l = 3, m = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 N.B.: L INSIEME DEI CINQUE ORBITALI d CORRISPONDE AD UNA DISTRIBUZIONE SFERICA Questa è la forma calcolata per i nove orbitali g l = 4, m = -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4

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