Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

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1 Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione descriv il profilo del serbtoio deve soddisfre principlmente due condizioni: ) non deve essere derivbile nel punto 0, ) dev essere f () f ( ) 0 Si vede fcilmente che l f risult derivbile in 0 e dunque non ssume form spigolos, m lisci. Invece l f si nnull nei punti ± solo per k, m per questo vlore non vengono soddisftte le ulteriori richieste sull funzione. Ad esempio clcolndo f0 nell intervllo (0, ): f0 () + quest si nnull nei punti: L derivt prim e un prbol con concvit verso il bsso e due zeri compresi tr 0 e, quindi cmbi di segno. Di conseguenz l funzione non risult monoton, come invece deve evidentemente essere dto il disegno fornito dll mministrtore. L funzione giust e quindi l f.. Punto Dt quindi f () ( ) k serve trovre un vlore di k tle che il volume totle del serbtoio si lmeno di m. Trovimo dunque l formul del volume. Dto che f e un funzione pri (risult fcilmente che f ( ) f ()), si puo restringere lo studio ll intervllo [0, ]. L re dell superficie frontle del serbtoio, in funzione di k e dunque dt dll integrle definito dell funzione nell intervllo [0, ] moltiplicto per due: h i h i0 0 /k /k ( )/k+ k 0 ( ) d ( ) d k+ m + k

2 Figure : Sezione del serbtoio. Moltiplicndo per l profondit si ottiene il volume: k V (k) S(k) L 6 k+ m Bisogn trovre il vlore di k tle che V (k) m. E dunque k 6 k+ 6k (k + ) k Non rest che verificre l condizione sull ngolo. Scelto come k, il primo vlore intero mggiore di /, l funzione divent: f () ( ) l cui h derivt, i restringendosi ll intervllo (0, ], e d ( ) d ( ) L funzione in 0+ ssume un coefficiente ngolre pri, che cor risponde d un inclinzione di rctn( ) 0,. Per cui nche l π condizione sull ngolo risult verifict.. Punto Per determinre l espressione del volume, concentrimoci nuovmente sull semisuperficie d 0. In corrispondenz dell quot z rggiunt dl liquido, ci ccorgimo che l superficie puo essere divis in due sezioni: un prte rettngolre di bse ed ltezz z, ed un prte sottes dll funzione f () nell intervllo [, ]. Per trovre l espressione del punto in funzione di z, risolvimo: f () ( )/ z z + Clcolimo l sezione sottes dll funzione trmite l integrle definito: ( )/ d 6 ( )6/ 6 ( + z )6/ 6 z 6 L superficie totle d considerre e dt dl precedente integrle piu l re del rettngolo. Quindi si ottiene:

3 % Figure : L funzione V (z) e Vmm (z) confronto. S(z) 6 z 6 + z ( z + ) z 6 z 6 ed il volume percentule in funzione di z e : 6 6 V (z) S(z) L z z Vtot 6 in cui si intende: Vtot S() L m. Punto : obiezione dell mministrtore L obiezione moss dll mministrtore si puo rissumere mtemticmente evidenzindo che egli si spett che il volume si direttmente proporzionle ll ltezz rggiunt dl gsolio ( V (z) z ). Solo in questo cso, inftti, l quntit percentule dell un grndezz coincide con quell dell second. (z) m % Vmm (z) z m Vmm z Vtot m z Vmm (z) Invece l espressione del volume percentule V (z) ottenut l precedente punto non e direttmente proporzionle z, come evidenzito dl grfico delle due funzioni. % Dove l rett corrisponde Vmm (z) e l curv V (z). L errore che si commette e l differenz tr le due espressioni percentuli: 6 6 % E(z) V (z) Vmm (z) z 6 z 6 z z 9 z Il suo mssimo si clcol imponendo l derivt prim ugule 0: / E 0 (z) 6 zerr 6 0, 7 z 0 e verificndo che l derivt second nel punto e negtiv: E 00 (z) 6 E 00 (zerr ) 6 z (0, 7) 0, Secondo Problem Condizioni inizili: f (0)

4 f () f () f () 0 f (7) f () 0 f (0) lim7 0+ f 0 () + f 0 () poiche e il vlore del coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico in f 0 () poiche e il vlore del coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico in per : f 0 () f 0 () f 0 (7) 0 poiche sono punti di min/m reltivo f 00 () 0 poiche e un punto di flesso. Punto. Punto. Punto Dti: f ()d 0 f ()d Per il teorem del vlor medio si h che il vlor medio di f () nell intervllo [0; ] e 0 f ()d 0 0 f () d 0 7 f 0 ()d 7 f ()d+ f ()d 0 Il vlore medio di f () in [0; ] e f () d+ f () d 0 0 Il vlore medio di f () in [; 7] e + () f (7) f dove si e utilizzto il teorem fondmentle del clcolo integrle per risolvere f ()d. Il vlore medio di F() in [9;0] e F () 0 f ()d + f ()d 0 Per si h F () 0 + f ()d 0 + ( 6)d e per il teorem del vlore medio, il vlor medio di F () nell intervllo [9, 0] vle: h i0 0 F d Punto Nel punto l F () h un minimo reltivo. Dunque l rett tngente h coefficiente ngolre pri 0, e l su equzione risult fcilmente: y F () 0 Nel punto 0 bbimo: m F 0 (0) f (0) d cui l equzione dell tngente: y + q per determinre q impongo il pssggio dl punto (0,0)

5 Figure : Soluzione del secondo punto -.

6 Figure : Soluzione del primo punto -. 6

7 Figure : Soluzione del secondo punto. 7

8 Figure 6: Quesito. 0 q dunque bbimo determinto l equzione dell rett tngente d F() nel punto 0: y Quesiti. Quesito + e d π e d + Poiche e e un funzione pri, e e d ', 77, llor deve essere positivo dto che e mggiore di,77. A 7 e d 0 Poiche l funzione integrnd e dispri. + B e d e d e d e d ( π ) π + C e d + icordimo che dll integrle di Guss e d π si ricv che + (e ) d π + Allor e d π. Quesito y b V ((, ) yk k 0 V (0, ( ) yk y

9 ± q k q bse rettngolo k ltezz rettngolo kq Are rettngolo k k q Perimetro rettngolo k + k Mssimizzimo l re: q k k k k k k ( k) k k 0 k k 0 k( + ) ] k + Sostituisco questo vlore di k nel perimetro q + ++ Perimetro rettngolo ( ++) + Mssimizzimo il perimetro: 6 (+) ( ++) 6 + (+) (+) 0 Quesito Volume sfer π r b [f ()] d π + (r )d π[r ] + r r ) πr h r ) π 0 (r )d π[r ]h r π[r h r (h r ] 0 Sottrendo dl volume totle πr, il volume di met sfer volume ricevuto prim, ottenimo: Volume clott π (h h ). Quesito 0 domnde risposte domnde rispost estt per ogni domnd A ispondere lmeno otto domnde P(A)? P(A) P(0 errori) + P( errore) + P( errori) P (0 errori) ( ) 0 P ( errore) n ( ) ( )9 P ( errori) n ( ) ( ) 0 9 P (A) () () ( ) [( ) + ( ) + ( ) ] , π(r πr e il

10 . Quesito K(,, ) P? punto di tngenz π : y + z 9 0 Vettore di prmetri direttori del pino π V P K [p k, y p yk, zp zk ] [p +, yp, zp ] Sostituimo prmetri direttori di V in π : (p + ) + (yp ) y + (zp ) z + d 0 p + yp Per l equzione dt di π zp p 0 yp P (0,, ) punto tngenz zp P Kp rggio r (p k ) + (yp yk ) + (zp zk ) p (0 + ) + ( ) + ( ) Quesito 6 P () P () cos 0 Poiche P () n n + n n , n 6 0 con n,..., 0 e n, second del segno di n lim P () ± In entrmbi i csi P () cos non puo essere 0 + Nel cso limite che P () 0 cost, P () cos 0 cos non puo essere 6 0 oscillndo il cos tr - e periodicmente..7 Quesito 7 Ci stimo chiedendo qule e l probbilit che l pedin pssi per B (in posizione (,)) in uno dei percorsi che vnno d O(0,0) d A (in posizione (7,7)). Quindi srebbe l probbilit di pssre in B spendo che sono ndto d O d A in pssi. Considero i percorsi totli per A in pssi NOTA: Posso rrivre in A solo in pssi, perche 7+7.! 7 7!7! I percorsi totli per B (in pssi perche +!!! Se sono in B, i percorsi totli d B d A in 6* pssi srnno: 6!!! *un volt che sono rrivto in B posso considerrl l nuov origine, rispetto ll qule il punto A e in posizione (,) Per determinre tutti i percorsi che rrivno d A pssndo per B, quindi, bst fre: 7!7!!!!! 0, 0

11 . Quesito f () : f () e ( + ) Si cerc l primitiv di f () pssnte per (, e) g() f ()d ; g() e g() e d + e d d e e d e e e e d e e d e e + e g() (6 e 6 e ) + ( e 6 e + 6 e ) + C e + C g() e e + C e C e g() e + e.9 Quesito 9 t r: y t zt ( +y+z 0 S: y 0 P (,0,-) (,,) vettore direttore di r Trsformo s dll form crtesin prmetric: ( y z S: ( y z) y 0 ( y z 6 y z y 0 ( y z z y + 6 ( y z z y (,, ) vettore direttore di S Dte due rette con prmetri direttori: (l, m, n ) e ((l, m, n ) π che soddisf le nostre condizioni. Possimo clcolre l equzione crtesin grzie ll nnullmento delle determinnti di quest specific mtrice: 0 y y0 z z0 l m n con 0, y0, z0 coordinte del punto P A l m n y z+ y z+ z+ y A + ( y z ) + ( + + z + ) ( + y) y + z z + + y + y + z + π : + y + z + 0

12 .0 Quesito 0 Dt l funzione: f :], + ) tle che f () e lnt t dt Per determinre l rett tngente l grfico nel punto e considero: f 0 () ln Quindi: e e e e e il coefficiente ngolre dell rett f 0 ( e) lne cerct. t : y e e + q Per determinre q considero f ( e) 0 poiche l rett tngente nel punto e h lo stesso vlore dell funzione, bst imporre: e e e + q 0 d cui q e L rett tngente sr quindi: t: y e e e Soluzioni cur di obert Coletti, Aser Osmn, Mtteo Del Prete, Ettore Stromboli, Letizi D Avino e Lorenzo Girell.

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