Matematica Finanziaria 13 settembre 2001

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1 Matematica Finanziaria 3 settembre 00 Prova Generale. ESERCIZIO : Algebra Lineare ² Dire se le seguenti applicazioni sono lineari e in caso a ermativo indicarne la matrice associata A: a)f : R >R : b)f : R >R : c)f : R >R 3 : f (x) = x x T x x f (x) = x + x T x x f (x) = x + x x x T ² Un mercato è suddiviso tra due azione e la matrice di transizione dei consumatori da azienda ad azienda è: 3 P = 4 dove le colonne sono intestate all azienda di partenza e le righe a quella d arrivo. Si determini la ripartizione stazionaria del mercato. ESERCIZIO : Ottimizzazione ² Data la seguente funzione: 4 3 f (x) =x x x Mediante il metodo della funzione Lagrangiana, individuare gli estremi della funzione di cui sopra dato il vincolo dove b; b>0, è una costante. x + x = b ² Determinare, mediante l utilizzo del moltiplicatore di Lagrange, la convenienza ad aumentare la disponibilità di b.

2 M.F. Appello Generale, 3 settembre 00 ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria Un impresa nanzia un investimento con un mutuo triennale. Le quote capitale che dovrà rimborsare alla ne dei prossimi tre anni sono C =60;C =80;C 3 =60: a) Determinato l importo del mutuo e dato che il tasso annuo applicato dalla banca è pari al 0%, costruire il piano di ammortamento del mutuo. b) Dopo il pagamento della prima rata, l azienda ottiene l allungamento del periododiammortamentodiunannoelasuatrasformazioneununmutuoarata costante, con un aumento di un punto percentuale del tasso di interesse. Determinare l ammontare della nuova rata. c) Dato che il mutuo serve per il nanziamento di un progetto con i seguenti ussi: t F lussi determinare l APV del progetto, dato un costo opportunità del capitale proprio pari al %.

3 Matematica Finanziaria 3 settembre 00 Prova Generale SOLUZIONI ESERCIZIO : Algebra Lineare a)f : R >R : f (x) = x x x x T la funzione non è lineare per via del termine x x ; b)f : R >R : f (x) = T x + x x x la funzione è lineare ed ammette la rappresentazione tramite una matrice x: x + x f (x) = x = x x x c)f : R >R 3 : f (x) = x + x x x T l applicazione non è lineare per la presenza della costante : ² La ricerca della ripartizione stazionaria del mercato richiede semplicemnte di trovare l autovettore associato all autovalore =che abbia somma delle componenti pari a. Quindi si ha: Px =x da cui si ha: (P I) x =0 cioè: che fornisce: x = 8 x x x =0 e quindi gli in niti autovettori: x = = t 8 ;t6= 0

4 M.F. Appello Generale, 3 settembre 00: Soluzioni Tra questi quello di interesse economico lo si trova scegliendo t in modo che: µ 8 t + = e quindi si ottiene che la ripartizione stazionaria del mercato è data da: 6:4% ¼ 38:46% ESERCIZIO :Ottimizzazione La condizione di regolarità dei vincoli è rispettata in quanto il gradiente del vincolo è non nullo e quindi ha rango, come il n. dei vincoli. Si può quindi costruire la f. Lagrangiana ed individuarne i punti stazionari: L (x ;x ; ) =x x x + b x x I punti stazionari si trovano risolvendo il seguente sistema di = x x =0 @x = =0 = b x x =0 Dalla seconda equazione si trova = che sostituito nella prima fornisce x = 4 e quindi dal vincolo si ricava x = b 6. Per determinare la natura del punto stazionario, costruiamo la matrice Hessiana orlata: 3 0 x s H (x ;x ; )= 4 x che nel punto stazionario diviene: µ s H 4 ;b 6 ; = Per stabilire la natura del punto occorre indagare il segno degli ultimi n m = = m.p. di NW, cioè calcolare il determinante della matricee nel punto in esame. Il 3

5 M.F. Appello Generale, 3 settembre 00: Soluzioni 3 determinante è pari a -4 e quindi poichè il segno coincide con quello di ( ),la condizione su iciente per un punto di minimo relativo vincolato è soddisfatta. Poichè f = b + o ( b) t b si ha che un incremento di b, cioè b >0, comporta una riduzione del valore della funzione obiettivo. Da cui la convenienza ad aumentare la disponibilità di b. OSSERVAZIONE: Volendo si poteva risolvere l esercizio ricavando dal vincolo x in funzione di x e sostituendo nella funzione obiettivo. Si trovava quindi facilmente che il punto (x ==4, x = b 6 ) rappresenta un punto di minimo. La funzione obiettivo in questo punto assume il valore: f = 6 b da cui un aumento in b comporta una riduzione in f. Da cui ancora la convenienza ad aumentare il valore di b, trattandosi di un problema di minimo. Comunque il testo richiedeva espressamente l utilizzo del metodo della f. Lagrangiana. ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria Un impresa nanzia un investimento con un mutuo triennale. Le quote capitale che dovrà rimborsare alla ne dei prossimi tre anni sono C =60;C =80;C 3 =60: a) Determinato l importo del mutuo e dato che il tasso annuo applicato dalla banca è pari al 0%, costruire il piano di ammortamento del mutuo. b) Dopo il pagamento della prima rata, l azienda ottiene l allungamento del periododiammortamentodiunannoelasuatrasformazioneununmutuoarata costante, con un aumento di un punto percentuale del tasso di interesse. Determinare l ammontare della nuova rata. c) Dato che il mutuo serve per il nanziamento di un progetto con i seguenti ussi t determinare l APV del progetto. a) L importo del mutuo è ovviamente dato dalla somma delle quote capitali: Il piano di ammortamento è dato da: D = = 00

6 M.F. Appello Generale, 3 settembre 00: Soluzioni 4 t C I R E D *00=0 60+0= *40=4 80+4= *60=6 60+6= b) Dopo il pagamento della prima rata, il debito residuo è pari a 40. Deve quindi essere rimborsato ancora in 3 anni, ma al tasso dell %. La rata costante risulta essere: 40 = Ra 3j0: da cui: R = 40 a 3j0: = 40 (:) 3 0: =7: 9 c) I ussi del progetto al netto del pagamento delle rate sono: t F lussi Rate F lussinetti :9 4: :9 4: :9 4:7 L APV, al tasso del %, è quindi dato da: AP V (i =%)=0+ 0 :0 + 4:7 (:0) + 4:7 (:0) 3 + 4:7 4 =9: 8 (:0)