B B B. 5.2 Circuiti in regime sinusoidale. (a) (b) (c)

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1 V V A 5.2 Circuiti in regime sinusoidale 219 W B B B (a) (b) (c) Figura 5.4. Simboli del (a) voltmetro, (b) amperometro e (c) wattmetro ideali e relativi schemi di inserzione I I V Nel simbolo del voltmetro ideale uno dei due terminali è contrassegnato con il : ciò serve ad indicare senza ambiguità il verso di riferimento per la tensione del bipolob da misurare. L amperometro ideale per il regime stazionario è un bipolo che collegato in serie ad un dato bipolo ne misura l intensità di corrente senza influire sul funzionamento del circuito in cui è inserito (in altri termini l intensità di corrente misurata con l amperometro è la stessa che si avrebbe nel bipolo in esame se esso non fosse inserito nel circuito). È chiaro dunque che un amperometro ideale è equivalente ad un corto circuito. Nel simbolo del amperometro ideale uno dei due terminali è contrassegnato con il : esso va connesso al terminale per il quale il verso di riferimento è entrante. Il wattmetro ideale per il regime stazionario misura la potenza elettrica assorbita dal bipolo, ancora una volta senza alterare il funzionamento del circuito in cui è inserito. La coppia (di terminali) voltmetrica è collegata in parallelo e la coppia amperometrica in serie al bipolob, fig. 5.4c. Per la coppia voltmetrica del wattmetro, il morsetto contrassegnato con il va connesso al terminale del bipolo contrassegnato con il e per la coppia amperometrica il morsetto contrassegnato con il va connesso al terminale per il quale il verso di riferimento è entrante. In tal modo la misura di potenza è in accordo con la convenzione dell utilizzatore. 5.2 Circuiti in regime sinusoidale Consideriamo ora un circuito dinamicoc d lineare tempo invariante costituito da resistori, condensatori, induttori e generatori indipendenti di tensione e/o di corrente sinusoidali alla stessa pulsazione ω (isofrequenziali). Si assuma che il circuitoc d sia a regime (ogni eventuale transitorio nella sua dinamica si è estinto). Dunque, per quanto affermato in precedenza, tutte le tensioni e le intensità di corrente del circuito variano sinusoidalmente nel tempo Grandezze sinusoidali Una funzione (del tempo) sinusoidale ha in generale la forma: a (t) = A m cos(ωt α) = A m cos(2πf t α), (5.4)

2 252 5 Circuiti dinamici lineari a regime V I R R V C V C V I V R R L V L (a) (b) Figura Bipoli di impedenze: (a) RC serie e (b) RL serie positiva se gli elementi del bipolob ω sono tutti passivi. Invece, il segno della reattanza può essere sia positivo che negativo. Se il bipolo contiene resistori e induttori la sua reattanza è positiva; se, invece, contiene solo resistori e condensatori la sua reattanza è negativa. La parte immaginaria dell impedenza può essere uguale a zero anche quando nel bipolo ci sono sia induttori che condensatori: ciò accade se la potenza reattiva assorbita dagli induttori è uguale a quella erogata dai condensatori (circuiti risonanti) Bipolo RC serie Si consideri il bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C collegati in serie (bipolo RC serie), fig. 5.24a. L impedenza di questo bipolo è: Ż RC = R j 1 ωc. (5.95) Per ω 0 la parte immaginaria, e dunque il modulo dell impedenza tende ad ed il bipolo, praticamente, si comporta come se fosse un circuito aperto. Invece, per ω la parte immaginaria tende a zero ed il comportamento del bipolo è equivalente ad un resistore di resistenza R. Posto: τ RC = RC, (5.96) si ha che per ω << 1/τ RC la parte immaginaria di Ż RC è molto più grande di quella reale. In queste condizioni il bipolo si comporta, in prima approssimazione, come se il resistore non vi fosse. Per ω >> 1/τ si ha la situazione duale: il bipolo si comporta, in prima approssimazione, come se il condensatore non vi fosse. L espressione del modulo dell impedenza ŻRC è: Z RC = R 1 1 (ωτ RC ) 2, (5.97)

3 292 5 Circuiti dinamici lineari a regime 1:n n:1 E. Z u (a) E I g 1:n I l V 1 R l V 2 n:1 I c. Z u V c T 1 T 2 (b) Figura (a) Schema di principio di un sistema in alta tensione per la trasmissione dell energia elettrica; (b) suo circuito equivalente di un fattore n, il secondo fa esattamente l operazione inversa. In fig. 5.49b la linea è stata modellata tramite un impedenza equivalente. Questo circuito è il più semplice modello di un sistema di trasporto dell energia elettrica: l impedenza Żl porta in conto gli effetti dovuti ai conduttori delle linee elettriche con i quali viene trasportata l energia elettrica dalle centrali di produzione ai luoghi dove deve essere utilizzata (queste linee possono essere lunghe parecchie centinaia di chilometri, eventualmente migliaia) L utilizzatore è caratterizzato dal valore efficace nominale V u della tensione, dalla potenza media assorbita P u e dal fattore di potenza cosφ u (si assuma che la potenza reattiva da esso assorbita sia positiva). Pertanto è fissato il valore efficace nominale della sua corrente I u ed il ritardo del fasore della corrente rispetto a quello della tensione. La potenza dissipata lungo la linea è data da: P l = R l I 2 l, (5.221) dove I l è il valore efficace dell intensità di corrente di linea ed R l la resistenza. Usando le equazioni caratteristiche del trasformatore ideale, si ottiene: V u = V 2 n, V1 = nē, Ī l = Īu n, Ī g = nīl. (5.222)

4 300 5 Circuiti dinamici lineari a regime P 1 Q 1 P 1 = 10 kw, Q 1 = 6 kvar, P 2 = 2 kw. P 2 Q 2 Figura Due utilizzatori trifase equilibrati in parallelo Vogliamo calcolare: a) il valore efficace delle correnti di linea quando Q 2 = 1 kvar; b) il valore di Q 2 per il quale i generatori vedano un utilizzatore puramente resistivo, calcolando nuovamente in tali condizioni le correnti di linea. Essendo il circuito in esame equilibrato, possiamo calcolare quanto richiesto senza passare per i fasori. Posto anzitutto Q 2 = 1 kvar, le potenze medie e reattive assorbite dai due utilizzatori sono: P tot = P 1 P 2 = 12 kw, Q tot = Q 1 Q 2 = 7 kvar. Pertanto l utilizzatore complessivo è caratterizzato da un fattore di potenza: φ = arctan Q tot P tot = 0.53 cosφ = Dall espressione (5.245) possiamo direttamente ricavare il valore efficace delle correnti di linea: I eff = P tot = 21.2 A. 3Veff cosφ Per rispondere al punto b), ovvero ottenere un utilizzatore complessivo equivalente ad un resistore, bisognerà che l utilizzatore 2 assorba una potenza reattiva uguale in valore assoluto a quella dell utilizzatore 1 e di segno contrario, ovvero Q 2 = 6 kvar. In tal caso si avrà cosφ = 1 ed il valore efficace delle correnti di linea è: I eff = P tot 3Veff = 18.2 A. Come si vede, esse risultano significativamente più basse del caso precedente!

5 6.1 Elementi circuitali a più terminali 317 v 12 i 1 i 2 i 1 i 2 v 31 v 23 v 13 v 23 i 3 i 3 (a) (b) Figura 6.3. (a) Insieme delle tensioni ed intensità di corrente definibili per un tripolo; (b) un tripolo collegato a due bipoli Grandezze descrittive di un Npolo Ricordiamo che, i bipoli (una volta fissati i versi di riferimento per l intensità di corrente e la tensione) sono caratterizzati da un unica intensità di corrente ed un unica tensione. Com è facile intuire, per gli elementi con più di due terminali se considerassimo le intensità di corrente di ciascuno dei terminali, e le tensioni fra tutte le possibili coppie di terminali, avremmo delle ridondanze che si tradurrebbero nel considerare grandezze in realtà dipendenti da altre. D altro canto, un buon modello di un qualsiasi sistema fisico deve certamente poter essere fondato su un insieme minimo di grandezze indipendenti che lo possano descrivere in modo completo! Per analizzare le grandezze descrittive di un generico elemento con N terminali consideriamo il caso più semplice da immaginare, ovvero un elemento con soli tre terminali; le considerazioni che faremo potranno facilmente essere generalizzate ad elementi con N qualsiasi. Scegliamo i versi di riferimento per le intensità di corrente entranti nel tripolo (vedi fig. 6.3a). È immediato rendersi conto che nelle stesse ipotesi che ci hanno portato a definire il bipolo (essenzialmente che al di fuori della superficie limite del componente possiamo considerare i modelli quasi stazionari elettrico e magnetico), la somma delle intensità di corrente di ciascun terminale del tripolo è uguale a zero: i 1 i 2 i 3 = 0. (6.1) Da ciò discende immediatamente che una di esse potrà essere espressa come la somma delle altre due, e dunque le tre intensità di corrente non sono indipendenti tra loro. Nel caso del tripolo solo due sono indipendenti, ed in generale per un Npolo sono N 1 (per un bipolo una sola è l intensità di corrente indipendente). Analogo discorso può essere fatto per le tensioni tra i terminali, v 12, v 23, v 31, dove indichiamo genericamente con v ij la tensione tra il terminale i e quello

6 328 6 Doppi bipoli i 1 n:1 i 2 v 1 v 2 Figura Simbolo del trasformatore ideale La potenza erogata dal generatore di tensione vale, allora: ( ) p i = e i i 1 = e i βr 0 β 1. mentre la potenza assorbita dal resistore R vale: p = Ri 2 = e 2 i R R 2 0 Quindi il guadagno di potenza p/p i è: p p i = β2 1 β ( ) 2 1 β 1. R R 0, Scegliendo opportunamente R ed R 0 si può ottenere un guadagno di potenza arbitrariamente grande per un valore fissato di rapporto di trasferimento β. L amplificazione di potenza è resa possibile dal fatto che il generatore controllato è un elemento attivo Trasformatore ideale Nella classe dei doppi bipoli lineari adinamici che stiamo considerando, assumono particolare importanza il trasformatore ideale ed il giratore, che sono due elementi circuitali in grado di realizzare importanti funzioni. Il trasformatore ideale è un doppio bipolo lineare il cui funzionamento è descritto dalle seguenti relazioni: v 1 = nv 2, i 2 = ni 1, (6.16) dove la costante positiva n è detta rapporto di trasformazione. Il simbolo circuitale del trasformatore ideale è illustrato in fig Come si vede subito dalle equazioni (6.16), la proprietà fondamentale è che le grandezze tensioni alla porta 1 ed alla porta 2 sono legate tra loro dal rapporto fisso n, ed in modo inverso (ed opposto) le corrispondenti intensità di corrente. È immediato verificare, sostituendo nell espressione della potenza le relazioni caratteristiche (6.16), che la potenza elettrica assorbita dal trasformatore

7 330 6 Doppi bipoli i 1 i 2 1/n i 1 v 1 nv 2 v 2 Figura Realizzazione di un trasformatore ideale mediante generatori controllati Esempio 6.4. Realizzazione di un trasformatore ideale mediante generatori controllati Un trasformatore ideale può essere realizzato attraverso un generatore di corrente controllato in corrente ed un generatore di tensione controllato in tensione, così come illustrato in fig Esempio 6.5. Trasporto al primario di un bipolo di Thévenin Consideriamo il circuito in fig. 6.17a, nel quale alla porta 2 di un trasformatore ideale è collegato un generatore equivalente di Thévenin. Esso può essere visto come l equivalente di un generico bipolo lineare collegato alla porta 2 del trasformatore. Con le convenzioni fissate, la relazione caratteristica del generatore è espressa da: v 2 = E 0 R Th i 2. Sostituendo in tale espressione le relazioni caratteristiche del trasformatore ideale otteniamo: v 1 = ne 0 n 2 R Th i 1. Pertanto il bipolo visto dalla porta 1 del trasformatore è equivalente al bipolo riportato in fig. 6.17b. v 1 i 1 n:1 i 2 R ThE0 v 1 i 1 n 2 RTh ne 0 (a) (b) Figura Trasporto al primario di un bipolo di Thévenin

8 6.4 Trasformatore 357 i 1 M i 2 v 1 L 1 L 2 v 2 Figura Simbolo di un trasformatore circuiti accoppiati con i 2 = 0 è uguale a quello nei due circuiti accoppiati con i 1 = 0, dunque: M 12 = M 21 = M. (6.75) Il coefficiente di mutua induzione è indicato con M e si misura in henry [H], come i coefficienti di autoinduzione. Assumiamo di aver scelto i versi di riferimento delle intensità di corrente in modo tale da avere M > 0. Combinando le (6.73), (6.74) e (6.75) si ottengono le relazioni caratteristiche del trasformatore: di 1 v 1 = L 1 dt M di 2 dt, (6.76) v 2 = M di 1 dt L di 2 2 dt. Il trasformatore è dunque un doppio bipolo dinamico lineare. In fig ne riportiamo il simbolo circuitale comunemente adottato. Nel simbolo sono indicati i versi di riferimento che bisogna scegliere per entrambe le intensità di corrente affinché il contributo di mutua induzione compaia con il segno positivo nelle relazioni caratteristiche: i versi di riferimento devono essere entrambi entranti (o entrambi uscenti) dalla coppia di terminali contrassegnati con i due pallini. Va da sé che alle equazioni differenziali (6.76) bisogna affiancare, come per tutti gli elementi dinamici, le condizioni iniziali che in questo caso corrispondono ai valori delle intensità di corrente i 1 ed i 2 ad un istante assegnato; è evidente che i 1 t) ed i 2 (t) dipendono sia dalla storia delle tensioni v 1 (t) ed v 2 (t) nell intervallo (0,t) che dai loro valori iniziali. Per questa ragione si dice che il trasformatore è un doppio bipolo a memoria, cioè il suo comportamento al generico istante t dipende anche da ciò che è accaduto negli istanti precedenti Potenza ed energia Come per qualsiasi doppio bipolo, la potenza assorbita dal trasformatore è data dalla somma di quella assorbita da ciascuna porta. Sostituendo le relazioni caratteristiche (6.77) nell espressione della potenza si ha: p(t) = dw m dt. (6.77)

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