Graficamente: si rintraccia f (A) sull asse y eseneanalizzanoinf, sup, min, max.

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1 3. FUNZIONI LIMITATE, ESTREMI DI UNA FUNZIONE Per funzioni reali (a dominio qualunque), im f è incluso in R e quindi ha senso la seguente: Definizioni. Sia f :domf X R esiaa dom f. 1 Si chiamano estremo inferiore e superiore di f su A ( inf f (x) e sup f (x)) x A x A l estremo inferiore e superiore dell insieme dei valori assunti da f su A, cioè inf x A f (x) :=inff (A) =inf{f (x) :x A} e sup f (x) :=supf (A) x A 2 Si chiamano minimo e massimo di f su A (min f (x) e max f (x)), se esistono, il x A x A minimo ed il massimo dell insieme dei valori assunti da f su A, cioè min x A Si scrive anche inf f (x) :=minf (A) e max f (x) :=maxf (A) x A A f, sup A f, min f, max f. A A se esistono. Se A =domf (e quindi f (A) =imf), si scrive inf f, sup f, min f, max f esiparla di inf, sup, min, max globali di f, evitando la specificazione «su A». Graficamente: si rintraccia f (A) sull asse y eseneanalizzanoinf, sup, min, max. Se A =[0, 2), allora inf f min f A A sup f max f A A inf f sup f inf f = 1, sup f =1 non esistono min f e max f inf a n =0, min a n non esiste sup a n =5=maxa n

2 3 f è (inferiormente/superiormente) limitata su A se tale è l insieme f (A), cioè: i) f è limitata inferiormente su A a R, x A, f (x) a (il grafico di f su A si svolge tutto sopra la retta y = a) 1 ii) f è limitata superiormente su A b R, x A, f (x) b (il grafico di f su A si svolge tutto sotto la retta y = b) iii) f è limitata su A a, b R, x A, a f (x) b (il grafico di f su A si svolge tutto nella striscia a y b) c>0, x A, f (x) c Se A =domf, non si specifica «su A» esiusadirecheleproprietàvalgonoglobalmente. 1 Per grafico di f su A si intende la parte di G f fatta dai punti con ascissa in A. Esempio notevole. Seno e coseno sono funzioni limitate: perognix R si ha 1 sin x 1 e 1 cos x 1

3 4. FUNZIONI MONOTÒNE In molti contesti concreti, la relazione di dipendenza funzionale y = f (x) tra due variabili ètaleche se il valore di x aumenta allora anche quello di y aumenta se il valore di x aumenta allora quello di y diminuisce. Situazioni molto particolari sono: x e y direttamente proporzionali (rapporto costante): y = mx x e y inversamente proporzionali (prodotto costante): y = k x Più in generale, per funzioni reali di variabile reale, si dà la seguente definizione: Definizione. Sia f :domf R R esiaa dom f. Sidicechef è: 1) crescente su A se x 1,x 2 A, x 1 <x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 2) strettamente crescente su A se x 1 <x 2 = f (x 1 ) <f(x 2 ) 3) decrescente su A se x 1 <x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 4) strettamente decrescente su A se x 1 <x 2 = f (x 1 ) >f(x 2 ) 5) (strettamente) monotòna su A se è (strettamente) crescente o decrescente su A. NOTE. i) Se A =domf, non si specifica «su A» esiusadirecheleproprietàvalgonoglobalmente. ii) La monotonia stretta può essere espressa equivalentemente con l equivalenza. iii) Alcuni dicono non-decrescente nel caso 1) e crescente nel caso 2).

4 Graficamente: i) f è crescente (strettamente) su A se e solo se all aumentare dell ascissa x in A l ordinata del corrispondente punto su G f non diminuisce (aumenta) ii) f è decrescente (strettamente) su A se e solo se all aumentare dell ascissa x in A l ordinata del corrispondente punto su G f non aumenta (diminuisce) strettamente crescente su (, 0] strettamente decrescente su [0, + ) globalmente strettamente crescente crescente non strettamente su (, 0) strettamente crescente su [0, + ) globalmente strettamente decrescente Un intervallo su cui f sia monotòna è detto intervallo di monotònia di f. Studiare la monotònia di f significa individuare i suoi intervalli di monotònia massimali, cioè gli intervalli di monotonia non contenuti strettamente in altri intervalli di monotonia. non globalmente monotona, con intervalli di monotonia (,a), (a, b] e (b, + ) non globalmente monotona, con intervalli di monotonia (, 0], [0,a] e [a, + )

5 Esempio notevole. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con base a = 1 sono globalmente strettamente monotone: crescenti se a>1, decrescenti se 0 <a<1. x 1,x 2 R, x 1,x 2 > 0, a x 1 <a x 1 <x 2 x 2 se a>1 loga x a x 1 >a x x 2 se 0 <a<1 1 <x 2 1 < log a x 2 se a>1 log a x 1 > log a x 2 se 0 <a<1 5. FUNZIONI SIMMETRICHE (PARI O DISPARI) Spesso accade che un grafico presenti certi tipi di simmetria: vediamo i due più semplici. Definizione. Sia f :domf R R una funzione con dominio simmetrico rispetto all origine (x dom f x dom f). Si dice che f è 1) pari se 2) dispari se x dom f, f ( x) =f (x) x dom f, f ( x) = f (x) Esempi. f (x) = x è pari : dom f =(, + ) èsimmetricoe x R, f ( x) = g (x) = tan x = sin x cos x è dispari: dom g = R \ + k : k Z è simmetrico e 2 x dom g, g ( x) =

6 Graficamente: i) f èpariseesoloseg f è simmetrico rispetto all asse delle ordinate ii) f èdispariseesoloseg f è simmetrico rispetto all origine f :[ a, a] R pari f : R R dispari f (x) = 1 x dispari Proprietà. Se f èdisparie0 dom f, allora f (0) = 0. Infatti... Esempio notevole. Le potenze ad esponente naturale (f (x) =x n con n N) sono funzioni pari o dispari a seconda che l esponente sia pari o dispari. n N, x R, ( x) n x n se n pari = x n se n dispari

7 6. FUNZIONI PERIODICHE Molti fenomeni sono periodici: al variare di una variabile indipendente, una variabile dipendente ripete ciclicamente i propri valori (ciclicità delle temperature medie stagionali, ripetersi delle maree, ritmo del battito cardiaco, valori dell altezza da terra di un punto su una ruota che rotola, ecc.). Tali situazioni si modellizzano tramite funzioni periodiche, nel senso della seguente: Definizione. Sia f :domf R R. Si dice che f è periodica se esiste un numero reale p>0 tale che x dom f, x ± p dom f e f (x + p) =f (x). In tal caso, si dice che p èunperiodo per f. Se f è periodica, allora x dom f si ha f (x +2p) = f (x p) = e, iterando i conti, risulta f (x + kp) =f (x) per ogni k Z. In particolare, f ha infiniti periodi: ogni multiplo np con n N èancoraunperiodo. Definizione. Se f :domf R R è periodica e l insieme dei suoi periodi ha minimo, tale minimo si chiama periodo minimo di f esiindicacont f (o solo T, se non ambiguo).

8 Graficamente: una funzione è periodica con periodo p se e solo se, suddiviso l asse delle ascisse in intervalli di ampiezza pari a p, il suo grafico si ripete uguale a se stesso su ciascuno di tali intervalli. y = sin x, T sin =2 M (x) =x [x] (mantissa di x), T M =1 Se T f esiste, ogni intervallo di ampiezza pari a T f prende il nome di intervallo di periocità di f. y = tan x, T tan =