4 I Condensatori. 4.1 Struttura dei condensatori. Condensatore sferico

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1 4 I ondensaori 4. Sruura dei condensaori onsideriamo un sisema cosiuio da due lasre condurici sagomae a disco, di raggio e spessore molo piccolo rispeo al raggio. Le lasre si rovano affacciae l una di frone all alra a disanza d, di dimensioni per cui sia d, e su di esse viene disribuio la sessa d quanià di carica, ma con segno opposo. Una simile sruura prende il nome di condensaore, e le lasre condurici vengono dee armaure. Le linee di forza del campo elerico saranno quelle qualiaivamene illusrae in figura, con la carica sulle armaure per la gran pare concenraa sullo srao superficiale delle facce inerne, a causa degli effei di induzione reciproca. Adopereremo, nel seguio, un modello che ben approssima condensaore reale, assumendo che le due cariche e siano ineramene localizzae sulle superfici inerne, e disribuie uniformemene su di esse. In ale modo rascureremo ui i piccoli effei ai bordi della sruura, ed il campo elerico risulerà diverso da zero solo nella regione di affaccio, e lì perpendicolare alle armaure. uesa semplificazione, unia alla condizione d, permee di avvalersi della formula per il campo elerico del doppio srao infinio. Perano, se S è la misura della superficie dove la carica è disribuia, fra le armaure abbiamo un campo uniforme, la cui inensià nel vuoo vale: E 0 S 0 0 La geomeria a disco qui proposa per una ale sruura, non è vincolane: nelle realizzazioni praiche la forma delle armaure può essere di vario ipo, purché si rispeino le due condizioni di: induzione complea e disanza di separazione molo minore dell esensione lineare. Sono concepibili, quindi, condensaori a forma di sfera conenui in cavià mealliche ad essa concenriche, a forma di cilindro, e così via. Fra le armaure, inolre, si è solii porre uno srao di dielerico, il quale si polarizza, e come si è viso a suo empo, ha l effeo di indebolire di un ondensaore sferico

2 faore, a parià di carica localizzaa, il valore del campo E nello r egione Neura spazio inerposo. Infai la endenza delle molecole del dielerico, a deformarsi od allinearsi lungo la direzione del campo, lascia neura la regione inerna e produce l equivalene di uno srao superficiale di carica. ueso origina un campo aggiunivo E p che si sovrappone, con direzione opposa, ad E 0, riducendo l inensià del campo risulane: E E 0 E p. Se lo spazio di separazione è omogeneamene riempio, si che, indipendenemene dalla carica E0 localizzaa sulle armaure, il rapporo r è legao unicamene al E osserva sperimenalmene ipo di maeriale dielerico uilizzao. Il valore numerico di queso rapporo, r, prende il nome di cosane dielerica del mezzo. Fra le armaure avremo quindi un campo di inensià: E0 E. r 0 r E dielerico E armaure La realizzazione praica di un condensaore a facce piane parallele fa uso di alcuni accorgimeni ecnici, come quello di uilizzare per armaure delle soili srisce mealliche separae da pellicole isolani. La sruura viene avvola a roolo, come in figura, e si presena a forma di piccolo cilindro. Si cosruiscono anche condensaori in cui una delle due armaure è cosiuia da una soluzione liquida o gelainosa, generalmene di eraborao di sodio, dei condensaori eleroliici. La configurazione è quella di un involucro cilindrico di alluminio, conenene la soluzione eleroliica, ed al cenro un alro conduore cilindrico di alluminio. Inorno a ques ulimo, immerso nella soluzione, araverso un opporuno passaggio di carica si fa formare un soile srao di bollicine di idrogeno. ueso soilissimo srao fa deposiare sul conduore inerno dell ossido di alluminio, che rivese il ruolo del dielerico per queso ipo di onduore condensaore. L involucro e la soluzione possono quindi essere caricai Isolane negaivamene, menre il conduore inerno fa da armaura posiiva. Ossido di Al soluzione eleroliica 4. L energia poenziale dei condensaori. Proprieà generali Un condensaore è un sisema di due conduori carichi, ed in quano ale possiede energia poenziale elerosaica. ome sappiamo, essa è definia come pari al lavoro svolo dal campo elerosaico quando si smembra la ondensaore eleroliico

3 configurazione di cariche in eccesso su ciascuna delle armaure separandole fino a disanza infinia. Poiché uavia, al ermine dello smembrameno, avremo due lasre condurici neure affacciae, il fao che la forza elerosaica sia conservaiva ci auorizza a dire che il lavoro svolo dal campo durane qualunque processo che conduca ad un ale sao finale è sempre pari all energia poenziale del sisema. Perano si è solii parlare di energia poenziale elerosaica del condensaore come lavoro svolo dal campo elerico durane il passaggio della carica in eccesso sull armaura posiiva a quella sull armaura negaiva. Un ale processo è deo anche scarica del condensaore; dao che la scarica è agevolaa dalle forze del campo, l energia poenziale di un condensaore è posiiva. UN ONDENSATOE È UINDI UN DISPOSITIVO IN GADO DI AUMULAE ENEGIA POTENZIALE ELETTOSTATIA lo si dovrà immaginare come una molla compressa, in grado di rilasciare la sua energia allungandosi di scao non appena gliene venga daa l opporunià. Un condensaore si dice perano carico quando vi è saa incameraa energia poenziale. Si faccia perano aenzione all ambiguià del ermine carico, che, in queso caso, non si riferisce ad una localizzazione di carica elerica. In effei un condensaore non accumula carica, dao che nel complesso si raa di un oggeo neuro: la sua carica complessiva è 0. Un modello di condensaore che si rifà all idraulica viene proposo qui a lao. Supponiamo che all inerno di una conduura piena di acqua vi sia una camera cilindrica con un seo separaore connesso con delle molle. Tale disposiivo blocca lo scorrimeno dell acqua al suo inerno, e può, in un cero senso, essere caricao. omprimendo la prima molla in una qualunque delle due direzioni, e conseguenemene esendendo l alra, il condensaore incamera energia poenziale, che è in grado di rilasciare spingendo l acqua araverso un ubo di uscia. Se, poi, queso ubo è collegao all alro in ingresso in una sora di circuio, allo svuoameno di una regione corrisponderà il riempimeno dell alra, e durane il processo si avrà una violena scarica di acqua nelle conduure. Al ermine, il disposiivo sarà riempio esaamene dello sesso quaniaivo di acqua che coneneva inizialmene, ma la sua energia poenziale sarà scesa a zero. Per porare all infinio le cariche posiive senza disruggere il reicolo dell armaura possiamo immaginare che la lasra meallica si vada esendendo infiniamene, di modo che gli ammanchi di eleroni si disperdano su di essa a disanza infinia le une dalle alre. 3

4 Il condensaore orna uile ue le vole che si ha bisogno di una sora di molla elerica: ovvero di produrre un inenso flusso di cariche che scorrano in un empo brevissimo. Nei disposiivi di defibrillazione del cuore, ad esempio si fa ampio uso di ale proprieà, così come nei flash delle macchine foografiche. alcoleremo ora la proprieà di incamerare energia in relazione alla carica che poniamo su una delle due armaure. Indichiamo con V il poenziale dell armaura carica posiivamene e con V quello dell armaura negaiva affacciaa.. La capacià dei condensaori Definiamo prima una nuova grandezza fisica che descrive il condensaore esprimendo quana carica si deve porre sull armaura posiiva (e quindi quana sulla negaiva) per ogni Vol di differenza di poenziale che si desidera sabilire. Si raa del rapporo: V V V Il numero viene deo capacià del condensaore, e dipende innanziuo dalla geomeria e dal dielerico inerposo fra le armaure. i chiediamo ora: dipende pure da e V? A ben pensarci la capacià risulerebbe essere un paramero uile solo nel caso in cui fosse del uo indipendene da e V. In queso caso infai il quaniaivo di carica da porre sulle armaure per avere ogni Vol di differenza di poenziale non dipenderebbe né dalla carica già ivi presene né dalla differenza di poenziale già sabilia, ma sarebbe una cosane, caraerisica di quel condensaore. ome uilià assomiglierebbe in un cero senso alla resisenza, che è indipendene dalla ensione applicaa e dalla correne presene, come sabilio dalla legge di Ohm. Dimosriamo quindi che la capacià è una cosane caraerisica solo della geomeria e del dielerico inerposo, araverso una caena di ragionameni.. La geomeria del condensaore cosringe le cariche a disribuirsi in modo uniforme sulle due facce affiancae.. Se quindi aumena di un cero faore, di quello sesso faore aumena (essendo fissaa la superficie). 3. Ne segue che del medesimo faore cresce E. 0 V V 4. Essendo E, e rimanendo fissa la disanza d fra le s d armaure, anche V cresce nel medesimo rapporo. 4

5 Ne concludiamo che la capacià di un condensaore (lonano da influenze eserne) è una cosane: raddoppiando la carica raddoppia riplicandola riplica, e così via. V, 3. alcolo della capacià di un condensaore piano A iolo di esempio calcoliamo la capacià di un condensaore piano con armaure di area S, separae da una disanza d. Abbiamo viso che la diminuzione di poenziale sposandosi lungo le linee di forza, che vanno dall armaura posiiva quella negaiva, vale V V E d. Si ricava quindi: V E V d Ma sappiamo anche che fra le armaure il campo elerico è cosane, e pari a E ( E nel caso di dielerico inerposo). 0 0r d onfronando oeniamo V V, che sosiuio nella formula per fornisce: 0 S V V d d 0 0 dove si è sfruao che. Se vi è un dielerico inerposo, ripeendo S S 0 r i passaggi la formula cambia in:, evidenziando come il d dielerico accresca il valore della capacià, essendo sempre r. 4. alcolo dell energia immagazzinaa nel condensaore La conservaivià della forza elerosaica ci consene di immaginare un qualunque processo per caricare le armaure e calcolare l energia poenziale della configurazione oenua per quesa via: in ogni caso il risulao è seguia. idenico viso che il lavoro non dipende dalla raieoria Supponiamo quindi di parire dalle due armaure neure e di sposare di vola in vola un cero quaniaivo di carica 0 dall armaura che divenerà negaiva a quella che divenerà posiiva. Sarà un po come scavare una buca nel suolo per cosruire una collina con la erra esraa. Ad ogni sposameno di poenziale del condensaore, pari a: si ha un incremeno pari a U nell energia V ( ) V ( ) 5

6 U U U V [ ( ) V ( )] fin in Se volessimo calcolare l energia poenziale finale, quando sulle armaure abbiamo poso complessivamene la carica e fra di esse si è sabilia la differenza di poenziale V dovremmo addizionare ui quesi U : U U U... Ma in ognuno dei U viene conemplaa una differenza di poenziale V ( ) V ( ) che cresce ad ogni nuova aggiuna di carica, proprio come la collina di erra sale di livello ad ogni aggiuna di maeriale, ed ogni vola dobbiamo faicare un po di più per porarla fino in cima. Infai ogni nuova carica posiiva srappaa rende l armaura negaiva un poco più negaiva, così da opporsi di più alla successiva esrazione. Analogamene ogni aggiuna di sull armaura posiiva la rende un poco più posiiva, così da opporsi maggiormene al successivo inserimeno. E insomma come una srana scala i cui gradini aumenano ad ogni nosro passo. Ma se raffiguriamo nel piano ( ) (carica sulle armaure al empo ), V( ) (differenza di poenziale fra le armaure al empo ) la relazione che definisce la capacià: ( ) V( ) V V fin V( ) ( ) V( ) oeniamo una rea di coefficiene angolare. ome si vede, in queso piano ogni incremeno di energia U corrisponde all area del reangolo soeso dalla rea, di base ed alezza V( ). L energia complessivamene incameraa sarà perano l inera area del riangolo evidenziao in giallo di base fin ed alezza V fin, quelli che finora abbiamo chiamao semplicemene e V, cioè rispeivamene la carica deposiaa sulle armaure e la differenza di poenziale raggiuna. Si oiene: U V V 0 fin ( ) ( ) Esempio Il flash di una macchina foografica è alimenao dalla scarica di un condensaore di capacià poenziale fra le armaure V 400 F caricao ad una differenza di V 300 V. L energia rilasciaa vale: U ( )(300) V 6.00J 6

7 Esempio La fibrillazione venricolare è una conrazione del cuore in modo scoordinao. Poiché i muscoli sono delle macchine eleriche, è possibile risabilire la normalià araverso il rapido passaggio di carica prodoo dalla scarica di un condensaore. capacià Sapendo che il condensaore ha 75 F e che viene caricao con un energia di U 400J possiamo risalire alla differenza di poenziale fra le sue armaure: 400 V 400J V 000 V La densià di energia del campo elerico uando una regione di spazio è sede di un campo elerico significa che è sao compiuo del lavoro per disribuire le cariche nella configurazione che a ale campo dà luogo. Ad esempio lo spazio fra le armaure di un condensaore è sede di un campo elerico cosane e per produrlo si è dovuo lavorare conro il campo elerico al fine di separare le cariche che originano il campo e disporle sulle armaure. Da un puno di visa maemaico è comodo pensare che quesa energia la si rova disribuia nella regione di spazio che è sede del campo, e quindi risula uile associare una densià di energia ad ogni puno. Aenzione però che siamo parlando solo di una comodià maemaica, che non va presa alla leera. L energia è una grandezza fisica associaa all inerazione fra oggei, e misura la capacià di produrre lavoro del sisema di corpi in quesione. Non esise, nemmeno in linea di principio, dell energia separaa dagli oggei che ineragiscono. uindi non bisogna immaginare l energia come effeivamene localizzaa nello spazio, ma piuoso parliamo di densià di energia inendendo con essa uno srumeno per poer eseguire dei calcoli. Noa infai la densià di energia, baserà moliplicarla per il volume ove è localizzao il campo elerico (ad esempio lo spazio fra le armaure) per avere l energia complessiva. Indicaa quindi con u l energia per unià di volume, il condensaore piano di area A e disanza di separazione d ne consene agevolmene il calcolo come segue: densià di energia energia V u volume d A La definizione di energia come capacià di eseguire lavoro (in condizioni ideali) ha senso se riferia ad un sisema e non ad un singolo oggeo. 7

8 Esprimiamo ora u in funzione del campo elerico. Si ricavano le relazioni: E 0AE A 0 0 V E V Ed d he inserie nell espressione per u forniscono: u V 0 AE da d A E d 0E Abbiamo così mosrao che in una regione di spazio sede di campo elerico E cosane, ad ogni mero cubo risula associao un quaniaivo di energia pari a 0 E. uesa espressione è del uo generale e non dipende dal fao che sia saa ricavaa nel paricolare caso di un condensaore piano. Se infai accadesse che la densià di energia dovua ad una disribuzione di cariche che generano un campo di valore E, fosse dipendene da come sono dispose le cariche che lo producono, significherebbe che il campo elerico non conerrebbe informazioni sufficieni per descrivere le proprieà fisiche di quella regione di spazio. Il campo elerico sarebbe un conceo sbagliao ed inuile se, per ipoesi, in una regione sede di un valore di E idenico a quello fra le armaure del condensaore, ma originao da una disribuzione di cariche puniformi, si avesse una diversa densià di energia. hiaramene l espressione u 0E vale nel caso di campo cosane: se l inensià di E cambia da puno a puno, come vicino ad una carica puniforme, dovremo suddividere lo spazio in ani cubei all inerno dei quali il campo si può considerare cosane, applicare la formula u 0E in ognuno di essi e poi fare la somma su uo lo spazio. Volume u E 0 Volume u E 0 energia Vol 0E Vol 0E... oale 8

9 4.3 Il processo di carica e scarica del condensaore Scopo del presene capiolo è ricavare un espressione analiica per la correne in un circuio conenene un condensaore ed una resisenza durane il processo di carica e poi durane quello di scarica. Analizziamo il circuio a lao enendo presene che nella realà i poraori di carica sono gli eleroni, ma per semplicià si assume che la correne sia dovua allo sposameno di cariche posiive fiizie che si muovono in verso opposo a quello degli eleroni.. uando l inerruore viene porao nella posizione, sopra - - all armaura collegaa con il polo posiivo del generaore si deposiano cariche posiive perché essa si rova a poenziale inferiore. onemporaneamene alre cariche posiive si saccano dalla seconda armaura per porarsi sul polo negaivo del generaore, che si rova a poenziale minore dell armaura.. In realà il circuio è inerroo dal condensaore, quindi durane queso processo non sa circolando carica. Se infai considero una superficie fra le armaure del condensaore essa non è araversaa da nessuna paricella. Tuavia per ogni poraore che giunge sull armaura posiiva, ce n é uno che si sacca da quella negaiva e quindi uo va come se il circuio fosse chiuso. 3. ol procedere del deposiarsi di nuove cariche posiive sull armaura + le nuove arrivae vengono respine da quelle già preseni ed analogamene quelle posiive che desiderano lasciare l armaura - sono raenue dall eccesso di cariche negaive che lì si è formao. Il processo rallena progressivamene, per arresarsi quando le due armaure si sono porae al poenziale dei rispeivi poli del generaore e fra di esse si è riprodoa la fem del i( ) V ( ) generaore. 4. Per rappresenare il fao che filo e conai elerici offrono resisenza alla correne, rendiamo realisico il circuio inserendo nel disegno. ome vedremo, la possibilià di variarne il valore permee di conrollare il processo di carica. 5. Indichiamo con ( ) la quanià di carica che dall isane 0 in cui l inerruore è sao girao, fino all isane, è passaa araverso una sezione del filo. Si raa, evidenemene, dello sesso quaniaivo di carica deposiao sull armaura posiiva del condensaore. Durane il processo abbiamo viso che uo va come se ci fosse correne, ma non possiamo uilizzare la definizione daa per i circuii in correne coninua () dao che l espressione: 9

10 I pari al rapporo fra la carica nell inervallo e grandezza variabile: che araversa una sezione del filo, non è più un valore cosane, ma coniene la ( ) ( ) Infai se le nuove cariche in arrivo sono sempre più osacolae da quelle preseni, la quanià di carica che araversa la sezione del filo del circuio durane, diminuisce col passare del empo. Posso uavia generalizzare la definizione di correne considerando un inervallo infiniesimo, cioè: ( ) ( ) i( ) lim lim ( ) 0 0 on queso procedimeno si definisce una funzione a valori in ogni isane pari al rapporo fra l infiniesimo quaniaivo di carica che passa nella sezione ed il empuscolo infiniesimo durane il quale passa. Sineicamene si dice che la correne è la derivaa della carica rispeo al empo. 6. Indichiamo ora con V ( ) V V la differenza, variabile nel empo, fra il poenziale dell armaura posiiva e quello dell armaura negaiva ed applichiamo la legge delle maglie di Kirchhoff parendo dal polo negaivo del generaore. Si ha: i( ) V ( ) 0 ( ) Sappiamo che il rapporo è una grandezza cosane, caraerisica V ( ) del condensaore, cioè dipendene solo dalla sua geomeria e dai maeriali adoperai, ma non dalla quanià di carica deposiaa né dal empo ( ) rascorso. Abbiamo allora ( ) V. Inserendo le relazioni per la correne e la differenza di poenziale si ha: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Un equazione come quella sopra scria si dice equazione differenziale, in quano la sua incognia non è un numero, ma è una funzione, ( ), e coniene la derivaa di ale funzione, cioè '( ). Per risolverla osserviamo 0

11 che la grandezza ( ) ( ) è la derivaa della funzione ln[ ( ) ] rispeo al empo. A secondo membro c è invece la cosane. La funzione che, derivaa, produce come risulao è. Nel caso più generale dobbiamo enere cono della possibilià che ci fosse anche una cosane k scomparsa nella derivazione: D ln[ ( ) ] ln[ ( ) ] k ( ) e e e Ae k k avendo indicao con A il valore cosane k e. 8. Sapendo poi che all inizio la carica sulle armaure è nulla, cioè (0) 0, imponendo quesa condizione si rova A, che sosiuio produce: ( ) Ae ( ) ( e ) ( ) icordando poi che i( ) ( ) e che ( ) V oeniamo: i ( ) e V ( ) ( e ) 9. appreseniamo graficamene gli andameni di, V ed i in funzione del empo: ( ) lim ( ) i( ) lim i( ) 0 V ( ) lim V ( ) 0. La cosane empo:, legaa alla pendenza, ha le dimensioni di un V F s A V /s

12 e si dice cosane di empo del circuio. Se ad esempio 00 µf, 0 kω risula: s ( ) Maggiore è il valore di meno ripide risulano le curve ( ), V ( ) ed i( ), come si evince calcolandone la derivaa. La cosane rappresena infai il empo che occorre alla carica sul condensaore per raggiungere il 63.% del suo valore massimo : piccolo grande ( ) ( e ) ( e ) 0.63 oppure, analogamene, esprime il empo che occorre alla differenza di poenziale fra le armaure per raggiungere il 63.% del suo massimo. uando la correne i( ) è invece scesa al 36.8% del valore iniziale /. Anche se il empo ideale di carica è infinio si osserva che il condensaore è quasi compleamene carico per 4. uesa discrepanza con la eoria si spiega ricordando che ua la procedura ha fao uso dall approssimazione secondo la quale l inera carica delle V ( ) 4 armaure del condensaore si dispone solo sulle superfici affacciae delle armaure, rascurando gli effei al bordo. iò ha avuo il grande vanaggio di consenire di inrodurre la capacià del condensaore come una cosane, ed ora ci presena il piccolo prezzo da pagare in ermini di i( ) I max imprecisione nel empo di carica complessivo.. on un ragionameno analogo al precedene è possibile ricavare l andameno della correne in un circuio nel quale il condensaore si scarichi, come quello qua soo riporao: 0.37I max i( ) - - V Una vola escluso il generaore, e chiuso l inerruore nella posizione in figura, il condensaore funge da generaore enando di riporare le cariche posiive in eccesso su di un armaura a bilanciare quelle negaive in eccesso sull alra. Il processo funziona un po come quando si rilascia

13 una molla compressa. Si può dimosrare che durane queso processo, la carica sulle armaure del condensaore ( ) e la deo di scarica, correne nel circuio decrescono secondo le leggi: ( ) e i( ) e dove il segno meno in i( ) indica solo un verso opposo precedene rispeo correne di alla ( ) i( ) carica. che la carica scende esponenzialmene menre la correne pare dal valore che avrebbe se non ci fosse il condensaore, cioè per lim ( ) 0 lim i( ) 0 a zero parendo dal valore massimo, Guardandone gli andameni si vede annullarsi. Anche in queso caso il empo eorico di annullameno sarebbe infinio, ma nella praica dopo 4 non c è più correne.. L area soesa dalla curva i( ) si può esprimere per mezzo della somma delle aree dei reangoli di base ed alezza i(5 s) i( ). Ogni reangolo ha per area il piccolo incremeno di carica dao che: i( ) i( ) base alezza i(0 s) i(3 ) L area oale eguaglia dunque la carica complessivamene 5 s 0 s accumulaa sul condensaore: i( ) i( )... che come sappiamo vale. La formula rigorosa si esprime ramie il calcolo inegrale nel modo che segue: i()d 0 Osserviamo che:. All inizio del processo di carica il condensaore si compora come un rao di coro circuio (un pezzo di filo ideale con 0 ), poi man mano osacola sempre più la correne. Ad esempio nel circuio a desra è come se la baeria 3

14 fosse collegaa a due resisenze in parallelo, eq si ha I. e Al ermine del processo di carica il condensaore agisce come un inerruore apero ( ). Nel circuio a fianco è come se il rao con il condensaore fosse apero e si ha quindi I 3. Nel processo di scarica il condensaore svolge il ruolo di generaore e la resisenza di scarica non è deo che sia la sessa della carica, anzi, spesso si ha ineresse a cambiarla per alerare i empi. 4. Il circuio è l analogo elerico dello sciacquone del gabineo: accumula carica per poi rilasciarla ua insieme (un flusso di acqua cosane non avrebbe lo sesso effeo dello sciacquone). i( ) piccolo: scarica veloce grande: come una baeria (TV, P) A che serve un condensaore?. Separa due porzioni di un circuio a poenziale differene.. Produce scariche brevi ed inense come nel caso della macchina defibrillarice (una pila sul cuore non sarebbe lo sesso!) oppure dei flash foografici (c è anche un di carica) 3. E usao nei circuii che producono fenomeni inervallai nel empo. Ad esempio il emporizzaore del ergicrisallo può avere maggiore o minore riardo quando con la manopola aleriamo la cosane di empo di un circuio, e queso impiega un empo differene a caricarsi. Lo sesso principio per le frecce nelle auo o per i pacemakers nel cuore. 4. E usao come baeria in circuii con cosani di empo molo grandi. In queso caso produce una correne praicamene cosane per lunghissimo empo. Ne sono esempi gli orologi del P oppure le memorie della TV, alimenae da n condensaore caricao quando è accesa. E infai pericoloso aprire quesi 4

15 apparecchi se non si è esperi: occando un condensaore poremmo farlo scaricare araverso il nosro corpo producendo una correne anche molo grande. Esempio Walker p.04 n. 6 Un circuio è formao da due resisenze ( 6, 75 ) ed un condensaore da 8 µf ed una baeria 3.00 V in serie. alcola: la cosane di empo, il valore massimo della carica sul condensaore, dopo quani secondi dalla chiusura dell inerruore la carica avrà raggiuno l 80% del suo valore massimo. Il valore massimo della carica è: max 3.00V 8 0 F la cosane di empo vale: eq (6 75) F s Imponiamo che ( ) ( e ) sia pari all 80% del suo valore massimo, oenendo: ( e ) 0.80 e 0.0 ln s (Sudiare pp es p6 n 56, 57,58, 59) 4.4 ondensaori in serie e parallelo ombinando fra loro condensaori differeni formando dei sisemi, si poranno oenere valori differeni di capacià, e quindi variare a piacimeno gli accumuli di energia poenziale. SI DIE APAITÀ EUIVALENTE, DI UN SISTEMA DI ONDENSATOI, FA UN PUNTO ED UN PUNTO, LA APAITÀ DI UEL ONDENSATOE HE, UANDO VIENE OLLEGATA UNA SUA AMATUA AL PUNTO AL PUNTO, È IN E L ALTA GADO DI AUMULAE LA STESSA ENEGIA POTENZIALE A DEL SISTEMA. Vi sono, in realà, solamene due modi diversi di meere in relazione due B o più condensaori: in serie ed in parallelo. Due (o più) condensaori si dicono collegai in serie fra un puno ed un puno quando, per andare da a con un percorso coninuo che non invera mai direzione, siamo cosrei ad araversare le armaure di ui. 5 A e B in serie fra e

16 La capacià equivalene di due condensaori A e B collegai in serie si ricava enendo cono del fao che, posa una carica sulla prima armaura, essa si riprodurrà, per induzione, su ue le alre con i segni alernai, e che la differenza di poenziale fra il puno ed il puno è la somma delle differenze di poenziale inermedie. Si scrive quindi: V VA VB La capacià equivalene E, messa fra e al poso della serie, una vola caricaa con la medesima carica che si pone su ciascuno dei due condensaori, dovrà generare una differenza di poenziale fra le sue armaure pari proprio a queso valore V. Solo in queso modo infai essa incamererà la sessa energia della serie. Dovrà quindi essere: E E poiché è, per definizione, A V e B, sosiuendo: VA VB E A B e, semplificando: E A B Da ale formula si evince che la capacià equivalene ad una serie è più piccola della più piccola capacià presene. A B Due (o più) condensaori si dicono collegai in parallelo fra un puno ed un puno se possiamo andare da a, con un percorso coninuo che non invera mai direzione, araversando solo le due armaure di uno qualunque di essi. La capacià equivalene di due condensaori posi in parallelo, si ricava enendo cono che la differenza di poenziale fra le armaure di uno qualunque di essi, è sempre pari alla differenza di poenziale V fra il puno ed il puno. Infai ognuno dei condensaori ha la prima armaura collegaa con e la seconda con : le armaure di A e di B collegae al puno è come se fossero un unico conduore, e lo sesso può dirsi delle armaure collegae al puno. Perano, se le capacià sono differeni, la carica su ognuna delle armaure di A sarà senz alro differene da quella sulle armaure di B, ma 6 A e B in parallelo fra e

17 il prodoo di quese cariche per ciascuna capacià deve sempre dare V. ueso è possibile solo se la carica oale A B, che poniamo complessivamene sulle armaure ramie un generaore, si riparisce in maniera proporzionale alle capacià: A A V B B V Se ora, al poso del parallelo, si mee la capacià equivalene E, ua la carica andrà sulle sue armaure. Ma sappiamo che E deve incamerare la sessa energia del parallelo, e queso è possibile solo se V resa lo sesso di prima, da cui: E B A A B V V V V A B Sosiuendo abbiamo: E A B Da queso risulao si deduce che la capacià di un parallelo è maggiore della più grande capacià presene3. La formula che addiziona le capacià in parallelo può essere inuia osservando la figura accano. Immaginiamo di allonanare le armaure connesse al puno da quelle connesse al puno. Sarà allora più rasparene che, ponendo in parallelo due condensaori, in realà siamo accosando una sola armaura, composa da due lasre collegae fra loro, ad una seconda armaura, composa sempre da due lasre collegae fra loro. Appare quindi naurale sommare le capacià dei due se si vuole sosiuire al parallelo un solo oggeo. Si provi, per esercizio, a sabilire come sono disposi i sisemi di A condensaori in figura. A B B D 3 Il moivo per cui la formula per la capacià in parallelo ricalca quella per la serie di resisenze, e viceversa quella per la serie di condensaori ricorda il parallelo di resisenze è da ricercarsi nel fao che nella definizione di capacià la differenza di poenziale figura al denominaore: V menre nella definizione di resisenza che si oiene dalla legge di Ohm la differenza di poenziale figura al numeraore: V I. Serie o parallelo fra e? 7