Scopo della lezione è presentare le modalità di rappresentazione dei numeri utilizzate dalla macchina.

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1 Scopo della lezione è presentare le modalità di rappresentazione dei numeri utilizzate dalla macchina. Supponiamo di avere a disposizione un insieme di simboli, che chiamiamo alfabeto. Un esempio di alfabeto è l alfabeto usuale, {A, B,, Z}. Le macchine utilizzano un alfabeto ridotto composto da soli due simboli, {0, 1}. La relazione che associa ad una particolare combinazione di simboli un particolare dato è detta codice. Ad esempio l insieme ordinato di simboli GATTO codifica l idea di un animale con quattro zampe, una coda, etc Il codice (in questo caso la lingua italiana) mette dunque in relazione le successioni ordinate di simboli con il loro significato. E importante notare che non sono solo i simboli utilizzati a codificare per un determinato significato, ma anche il loro ordinamento: la parola GOATT non significa nulla nel codice lingua italiana, pur essendo costituita dagli stessi simboli della parola GATTO. I calcolatori utilizzano un particolare alfabeto per la codifica dell informazione. In particolare, nei calcolatori ogni tipo di informazione è rappresentato in forma binaria. L alfabeto dei calcolatori è dunque costituito da due soli simboli, per convenzione {0, 1}. Attenzione! 0 e 1 non rappresentano in questo caso due numeri, sono semplicemente i due simboli dell alfabeto utilizzato (quindi potrebbero essere sostituiti, ad esempio, da {TRUE, FALSE}, {ALTO, BASSO} etc, senza che cambi il significato della rappresentazione). Dal punto di vista fisico, i due differenti valori corrispondono in genere a due diversi stati di tensione elettrica in qualche punto del calcolatore (es. 0V per 0 e 5V per 1 ). Avendo a disposizione un singolo bit, è possibile rappresentare 2 stati diversi: 0 e 1. Con due bit, gli stati diventano quattro: 00, 01, 10, 11. Con 3 bit, 8 stati E facile dimostrare che, avendo a disposizione una stringa di n bit, è possibile rappresentare 2 n stati diversi. L alfabeto binario è utilizzato dai calcolatori per rappresentare l informazione in forma numerica. Ad esempio, il codice ASCII associa ad ogni carattere a, b, c,, A,, 5, etc., un numero compreso tra 0 e 255. In un file di testo troviamo una sequenza di numeri, ciascuno compreso tra 0 e 255, a ciascuno dei quali viene associato un carattere mediante la codifica ASCII. Ogni numero compreso tra 0 e 255 viene rappresentato utilizzando una stringa di 8 bit. Il processo completo per la comprensione di un file ASCII è dunque rappresentato da: leggi 8 bit, es converti in numero decimale, es. 35 identifica il carattere ASCII associato a quel numero, cioè #. In realtà il calcolatore non effettua la conversione binario numero decimale, bensì interpreta direttamente la stringa come il carattere # in formato ASCII. Dunque, per riassumere, noi utilizziamo i numeri utilizzando un alfabeto di dieci simboli, {0, 1,, 9}. Il computer rappresenta i numeri utilizzando un alfabeto di soli due simboli, {0, 1}. Un Bit è propriamente una binary digit, ovvero una cifra binaria, ovvero una cifra che può assumere solo due diversi valori. Il bit è anche l unità con cui viene misurato il contenuto di informazione (la quantità di informazione contenuta in un immagine o in qualche altro tipo di dato può essere quantificata utilizzando il bit come un unità di misura, ad esempio si può dire che un immagine contiene 3.4 bit di informazione teoria dell informazione di Shannon). L informazione contenuta in un bit è scarsa: può solo distinguere tra diversi stati. Mettendo insieme 8 bit in una sequenza ordinata è invece possibile ottenere 256 configurazioni diversi. Una sequenza di 8 bit è detta byte. Dunque, con un byte, è possibile rappresentare ad esempio i numeri che vanno da 0 a 255, oppure i numeri che vanno da -127 a 128, oppure un set di 256 caratteri diversi (come avviene nel caso della codifica ASCII). 8 bit è anche la lunghezza tipica delle celle di memoria. I computer sono costruiti per elaborare una quantità minima di informazione pari ad 1 byte. Infatti, si accede alle celle di memoria (che possono essere prelevate, portate nella CPU, elaborate, ricopiate in memoria) utilizzando 1 byte come porzione minima. Att.ne! Questo non significa che il PC non sia in grado, ad esempio, di modificare un singolo bit in memoria; significa che per farlo accede al byte che contiene il bit di interesse, lo porta in CPU, modifica il bit di interesse nel byte, ricopia il byte in memoria. Dunque, nella memoria del computer vengono registrate sequenze di bit il processore elabora sequenze di bit. Analizziamo con maggiore dettaglio i diversi modi di rappresentare i numeri.

2 Il sistema di numerazione romano è un esempio di rappresentazione additiva/sottrattiva: Il significato dei simboli che compongono un numero è indipendente dalla posizione in cui compaiono ( I significa 1, V significa 5 etc ). L ordine in cui compaiono i simboli determina il significato additivo / sottrattivo (ad esempio IX per 9, XI per 11). Il sistema posizionale è quello con cui siamo abituati a lavorare tutti i giorni. In Europa il sistema di numerazione arabico è stato introdotto nel Medioevo. E basato su una basi di dieci simboli (0, 1, 9) si parla di notazione in base dieci. Per notazione posizionale si intende il fatto che il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nella successione di simboli che rappresenta il numero. Ad esempio, nel numero 1234 la cifra 3 indica 30, nel numero 3421 la cifra 3 indica Per passare dalla rappresentazione di un numero al suo significato utilizzando la notazione posizionale si opera come segue: 1735 = In generale, per un numero composto di n cifre si ha che: c n 1 c n 2...c 1 c 0 = c n 1 10 n 1 + c n 2 10 n c c Si chiamano cifre piú significative quelle associate ai pesi maggiori. La cifra c n 1 è la piú significativa e c 0 è la cifra meno significativa. La notazione posizionale è facilmente estendibile al caso in cui la base sia composta da un numero di simboli diverso da dieci. Ad esempio, il computer ha a disposizione i soli due simboli {0, 1}, dunque utilizza un sistema posizionale binario. Dal momento che la rappresentazione in binario può risultare dispendiosa in termini di spazio, sono spesso utilizzati anche il sistema in base 8, con simboli {0, 1, 7}, ed il sistema in base sedici, con simboli {0, 1,, 9, A, B,, F} per ottenere delle rappresentazioni più compatte. Se consideriamo un sistema in base B, abbiamo a disposizione le cifre da 0 a B-1. Mediante una stringa di n cifre in base B è possibile rappresentare B n numeri naturali, ad esempio quelli che vanno da 0 a B n -1. Se consideriamo la stringa di cifre cn c n 1...c 1 c 0 in base B, avremo: c n c n 1...c 1 c 0 = c n B n + c n 2 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 = Σ i=0...n c i B i Ad esempio: = 7x x81 + 5x8 0 = , dove il pedice indica la base che viene utilizzata per la rappresentazione del numero. La rappresentazione posizionale presenta alcune proprietà notevoli: 1) un 1 seguito da n 0 rappresenta il numero B n. (Es. base 10: = 10 5 ; base 2: = 2 5 ). 2) n cifre massime rappresentano il numero B n -1 (base 10: = ; base 16: FFFFF = ). E possibile per un numero passare dalla rappresentazione in una base ad un rappresentazione in una base diversa mediante l applicazione di alcune regole. La definizione già data permette di passare dalla base B alla base 10: c n c n 1...c 1 c 0 = c n B n + c n 2 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 = Σ i=0...n c i B i (1) applichiamola ad alcuni esempi: In questo modo riusciamo a convertire un numero da base B a base 10.

3 Soffermiamoci per un attimo sulla base binaria, che è utilizzata dai calcolatori. Sappiamo che utilizzando n cifre per rappresentare un numero in base B, possiamo esprimere ad esempio tutti i numero interi che vanno da 0 a Bn-1. Dunque, con n bit possiamo esprimere 2 n numeri naturali, quelli che vanno da 0 a 2 n -1. E pratica comune utilizzare 32 bit per la rappresentazione dei numeri naturali nei calcolatori, dunque il range rappresentabile è: = 4,294,967,295 4x10 9 Raddoppiando la lunghezza della stringa utilizzata per la rappresentazione, il massimo numero rappresentabile aumenta esponenzialmente. Ad esempio, utilizzando 64 bit il massimo numero rappresentabile diventerebbe: ,6x10 19 Per passare da un numero in base 2 allo stesso numero in base dieci è sufficiente applicare la definizione c n c n 1...c 1 c 0 = c n B n + c n 2 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 = Σ i=0...n c i B i con B=2. Quindi, per fare un esempio: due = (1x x x x x x2 0 ) dieci = ( ) dieci = 44 dieci Utilizzando quindi sequenze di 0 e 1 possiamo facilmente rappresentare i numeri naturali, cioè i numeri interi positivi da o in su. Consideriamo il seguente problema: abbiamo a disposizione celle di memoria di 6 bit. Possiamo rappresentare l operazione 30+40? La risposta è no, perché con 6 bit riusciamo a rappresentare i numeri da 0 a 2 6, cioè da 0 a 64. Dal momento che 30+40=70, non abbiamo a disposizione bit sufficienti per rappresentare il numero 70! Si parla in tal caso di errore di overflow. Supponiamo poi di dover effettuare l operazione Come è possibile rappresentare il numero -10? E evidente che la notazione che stiamo utilizzando deve essere in qualche modo estesa per tenere conto di questi casi e di altre generalizzazioni (es. numeri con virgola ). Per rappresentare i numeri interi relativi, è possibile impiegare il primo bit della stringa per indicare il segno (0 per +, 1 per - ), Gli altri (n-1) bit vengono invece impiegati per rappresentare il valore assoluto del numero. Nella codifica con modulo e segno avremo allora: , , , Questa notazione ha il difetto di duplicare la rappresentazione del numero zero, cosa che può complicare l esecuzione ed il controllo delle operazioni aritmetiche! I numeri rappresentabili vanno da (2 n-1-1) a (2 n-1-1), con una doppia rappresentazione per lo zero. Per poter trattare i numeri interi con segno si fa ricorso alla notazione a complemento. Senza scendere nei dettagli, possiamo pensare che, avendo a disposizione n bit, l intervallo dei numeri rappresentabili va da 0 a (2 n -1). Nulla vieta, però, di cambiare le convenzioni in modo opportuno per rappresentare sempre 2 n numeri, ma nell intervallo (-2 n-1 ) (2 n-1-1). In questo modo possiamo quindi rappresentare i numeri interi negativi. Per poter trattare numeri reali (quelli con la virgola), si fa ricorso alla notazione in virgola mobile. Siccome il numero di cifre massimo è limitato, la precisione (cioè il numero di cifre significative dopo il primo 0) raggiungibile nella rappresentazione dei numeri reali è limitata; abbiamo le seguenti precisioni, che spiegheremo poi: semplice (32 bit per numero), doppia (64 bit per numero), estesa (128 bit per numero). Per capire come vengono rappresentati i numeri con virgola nei calcolatori, introduciamo la notazione scientifica. In notazione scientifica, un numero viene rappresentato come ± m x 10 p,es = 1,23x108. Più in generale, se la base è B, avremo: ± m x B p Il coefficiente m è detto MANTISSA. Per convenzione, m è un numero in cui la parte intera è composta da una singola cifra (la convenzione è quindi di inserire implicitamente la virgola decimale subito dopo la prima cifra). p è detto CARATTERISTICA, è l esponente a cui elevare la base B.

4 Abbiamo a questo punto a disposizione tutti gli strumenti per la rappresentazione dei numeri nei calcolatori. La base utilizzata sarà ovviamente la base binaria. Adottando la notazione scientifica possiamo rappresentare numeri con virgola, dal momento che nella mantissa la virgola è sempre posizionata dopo la prima cifra. La regole di conversione sono già state spiegate. La rappresentazione binaria dei numeri reali che usa la notazione scientifica è detta rappre-sentazione in virgola mobile (floating point). Con questa rappresentazione otterremo una precisione diversa a seconda del numero di cifre impiegato per la rappresentazione della mantissa e dell esponente (dobbiamo sempre ricordare che il numero di bit a disposizione è limitato, dunque il numero di cifre a disposizione per rappresentare esponente e mantissa è limitato e sarà necessario un compromesso sulla precisione). Dunque in notazione scientifica con virgola mobile abbiamo a che fare con numeri del tipo: mee, dove m è la mantissa, E indica la fine della mantissa e l inizio dell esponenziale, e è la caratteristica, dunue mee = m B e. Ad esempio, il numero si scrive E2, cioè (Questo per fare un esempio in base 10). Se consideriamo la base 2, avremo per esempio: 101,001 1,01001 E 10 = ( ) 2 2. Per utilizzare i numeri in virgola mobile nel calcolare, abbiamo bisogno di specificare la dimensione della mantissa e della caratteristica. Tipicamente i numeri in virgola mobile vengono rappresentati nel calcolatore utilizzando una stringa di 32 bit (4 byte) si parla di rappresentazione in virgola mobile a precisione singola. I 32 bit sono organizzati in ordine come segue: - 1 bit per il segno (0=+, 1=-); - 8 bit per l esponente, rappresentato in eccesso 127 (dunque i valori per l esponente andranno da 0 a 255) bit per la parte frazionaria della mantissa F (la mantissa in toto è 1,F). Per convenzione, il primo numero della mantissa è 1 (si dice che il numero è normalizzato). Adottando questa regola, si evitano rappresentazioni multiple per i numeri! Consideriamo ad esempio la stringa Il primo bit è il bit di segno segno meno; - I bit dal secondo al settimo indicano l esponente in eccesso 127 ( )due = (132)10, dunque l esponente è = 5, dunque la parte esoinenziale del numero sarà I bit dal decimo al trentaduesimo indicano la parte frazionaria della mantissa, dunque avremo ; Dunque il numero rappresentato sarà: ( ) 2 5. La rappresentazione esatta di alcuni numeri richiederebbe un numero infinito di cifre, Es. 1/3=0, , π=3, Un problema analogo sorge per numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, in cui il numero di cifre richiesto non sarebbe infinito, ma molto elevato. In questi casi possiamo considerare solo le cifre piú significative. Qualunque sia la codifica scelta, la rappresentazione dei numeri nel calcolatore è soggetta ad approssimazioni. Il limitato numero di cifre disponibili nella mantissa porta ad errori di arrotondamento quando si debbano rappresentare numeri con una mantissa più lunga. Tali approssimazioni si propagano nel corso della esecuzione delle operazioni causando errori numerici anche importanti. Il calcolo numerico è la disciplina che studia le proprietà dell esecuzione delle operazioni tramite calcolatore e valuta l entità degli errori introdotti durante l esecuzione Dunque, per riassumere: i calcoli sono svolti dalla ALU, che è una parte della CPU. La ALU impiega i registri della CPU per rappresentare gli operandi. Dal momento che si utilizza una notazione binaria con un numero finito di bit, è necessario utilizzare un apposita notazione per la rappresentazione dei numeri (a complemento, a virgola mobile). Inoltre, la precisione nella rappresentazione dei numeri reali è finita. Attenzione però: dal momento che l intervallo di numeri rappresentabili è finito, non tutte le operazioni sono possibili. Ad esempio, se utilizziamo 8 bit per la rappresentazione dei numeri, possiamo utilizzare la notazione binaria convenzionale per rappresentare i numeri tra 0 e 255. Ma cosa succede su cerchiamo di eseguire l operazione = 260? Oppure, utilizzando la notazione in complemento a due, i numeri rappresentabili vanno da -128 a Cosa succede se cerchiamo di eseguire l operazione = - 300? In entrambi i casi si ha un errore di overflow, cioè il risultato dell operazione non è corretto in quando non rientra nel range dei numeri rappresentabili! Questi errori sono a volte insidiosi: spesso la CPU non controlla che il risulato sia corretto, quindi è possibile che si ottenga il risultato non corretto! Ad esempio, si può

5 ottenere = 0!!! Questo perché (255) 10 = ( ) 2, (1) 10 = ( ) 2, il risultato corretto dell operazione sarebbe (256) 10 = ( ) 2, ma siccome usiamo stringhe di 8 bit, il primo bit a sinistra del risultato non viene considerato dalla CPU, e si ottiene dunque (0) 10 = ( ) 2!!! Rappresentazione dei caratteri (codifica ASCII) ASCII e UNICODE sono due codici che permettono di rappresentare dei set di caratteri. Ad ogni carattere viene associata una stringa di 8 (ASCII) oppure 32 (UNICODE) bit; nel primo caso il numero di caratteri rappresentabili sarà pari a 2 8, nel secondo caso a Nella codifica ASCII, 128 caratteri sono definiti in modo univoco in tutto il mondo. Gli altri 128 sono definiti in modo diverso in vari paesi (ci sono versioni, dette ISO, diverse dei set di caratteri ASCII). Il codice ASCII è uno dei formati più interoperabili in assoluto, è standardizzato ed è leggibile da tutti i programmi che manipolano testi (strutturati e non). Cosa succede se scrivo un testo in Italia, lo salvo e vado ad aprire lo stesso file con un computer polacco? I caratteri ASCII (i primi 128) sono gli stessi, ma gli altri sono diversi (in Polonia usano l'iso )!!! Ad es., può darsi che la à diventi ad esempio una Ł. Se vogliamo avere a disposizione un set di caratteri più ampio, possiamo usare l UNICODE. In questo caso il numero di caratteri è così vasto (2 32 ) da poter contenere tutti i caratteri utilizzati un po in tutto il mondo. E allora chiaro che, se usiamo UNICODE, possiamo scambiare senza problemi un file di testo tra diverse parti del mondo garantendo la leggibilità del file. Utile per Internet, ad esempio! Ovviamente in questo modo, però, sprechiamo spazio: un testo scritto con caratteri normali occupa il quadruplo rispetto allo stesso testo scritto con codifica ASCII. Rappresentazione delle immagini Le immagini analogiche (es. stampa di una foto su carta fotografica) rappresentano forme e colori che variano con continuità. Al contrario, nel caso delle immagini digitalizzate, sia le forme che i colori possono essere rappresentati all interno di un range finito di possibilità: si parla di quantizzazione. Nello spazio si opera un cosiddetto campionamento dell immagine per passare da un immagine analogica ad una digitale: l immagine digitale è cioè composta da un certo numero di campioni, corrispondenti ad esempio ai valori di grigio assunti dall immagine analogica all interno di una grigliatura regolare dello spazio. Ogni elemento della griglia è detto pixel (picture element). La densità di pixel è associata con la risoluzione dell immagine: si parla di dpi, ovvero dot per inch, ovvero numero di pixel contenuti in un pollice (2.54mm). Più fitta è la griglia, più la digitalizzazione è fedele all originale. Anche per quanto riguarda l intensità del colore, l informazione viene quantizzata. Consideriamo un immagine in bianco e nero, cioè un immagine in cui in ogni punto troviamo diverse intensità di grigio. Se usiamo due bit per ogni pixel, possiamo in ogni pixel avere due soli possibili livelli di grigio, bianco o nero. All aumentare del numero di bit utilizzati per ogni pixel, possiamo incrementare il numero di livelli di grigio dell immagine digitale (dinamica dell immagine), ottenendo quindi una rappresentazione più fedele. Ci sono tipicamente immagini con 1 bit per pixel, nelle quali compaiono solo elementi neri (0) o bianchi (1). Immagini a toni di grigio, ove di solito vengono utilizzati 256 livelli (8 bit) per rappresentare altrettante sfumature di grigio. Immagini a colori dove, per ogni pixel, vengono dati i valori di intensità della componente rossa, verde e blu; la sintesi additiva di questi tre colori permette di ottenere quasi tutte le combinazioni di colori. Utilizzando 3 byte per pixel (uno per ogni canale colore), ovvero 24 bit per pixel, otteniamo 256*256*256 = colori possibili. E possibile usare anche delle Palette per rappresentare delle immagini a colori impiegando un basso numero di bit. Ad esempio, con 8 bit per pixel, abbiamo a disposizione 256 possibili colori (ovvero combinazioni di R, G e B) ciascuno da abbinare ad un numero diverso compreso tra 0 e 255. Se un pixel assume valore 69, verrà colorato con il colore presente nella settantesima posizione dalla Palette. Tipicamente le immagini al calcolatore vengono dette bitmap (Estensione.bmp). Su una bitmap possiamo operare in modo diverso, ad esempio per ridurne le dimensioni o per ridurre lo spazio necessario per la sua memorizzazione. A seconda del modo in cui sono registrate, ci cono diversi formati disponibili per le immagini. Diversi formati utilizzano una diversa profondità colore (cioè un diverso numero di bit per pixel) e diverse tecniche di compressione dei dati (con, lossy, o senza, loseless, perdita di informazione).

6 Si parla di compressione loseless quando i dati relativi all immagini vengono compressi senza che venge persa l informazione. Si parla in questo caso di trasformazione reversibile, in quanto è possibile partire dati dati compressi per risalire all immagine originale. Esempi di compressione loseless sono: - run lenght encoding: se nell immagine compaiono dodici pixel adiacenti con valore 12, invece che scrivere 12, 12, 12,, 12, posso scrivere (9, 12). - Codifica di huffman: codifica i colori più frequenti in modo che occupino meno spazio (codifica a lunghezza variabile) Es: se Rosso più frequente di Bordeaux, allora Rosso=101, Bordeaux= Nelle compressione lossy si riduce invece la dimensione dell immagine, ma si perde anche di qualità. In seguito ad una compressione lossy, non è possibile ripristinare l immagine originale, ma solo una sua approssimazione. Si parla quindi di trasformazioni irreversibili. Ad esempio, con il formato jpg, si perdono i dettagli più minuti dell immagine, pur mantenendo l idea generale dell immagine. Il formato GIF, invece, risparmia sull utilizzo dei colori, riducendoli a 256. Un artefatto che si può generare con le immagini digitali è l aliasing. Se non ci sono abbastanza pixel per rappresentare la variazione spaziale del segnale,,,, perdiamo il segnale e si generano degli artefatti (è lo stesso motivo per cui vediamo andare le ruote dei carri all indietro quando riprese con una pellicola a bassa frequenza).

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