Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica

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1 Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 26

2 Piano di Lavoro (parte comune alle classi A049 e A047) 21/2 Introduzione e motivazioni 14/2 Laboratorio Coniche con Geogebra 11/4 Classificazione delle coniche o Laboratorio 02/5 Sezioni coniche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 2 / 26

3 index Visione analitica, sintetica,..., trasversale 1 Visione analitica, sintetica,..., trasversale 2 Il capitolo "Coniche": un opportunità Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 3 / 26

4 Visione analitica, sintetica,..., trasversale Visione frammentaria Difficoltà a riconoscere il carattere unitario del sapere (matematico o in generale scientifico) Difficoltà a riconoscere connessioni tra i diversi rami pur strettamente collegati Difficoltà a riconoscere uno stesso oggetto se trattato da punti di vista diversi Difficoltà ad elaborare strategie: tendenza alla ripetitività nella risoluzione dei problemi Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 4 / 26

5 Visione analitica, sintetica,..., trasversale Tendenza a vedere i diversi rami delle disciplina come separati: una cosa è l Algebra ed un altra è la Geometria, e un altra ancora è l Analisi In particolare la Geometria viene vissuta come disciplina a parte (non integrata con il resto della matematica): «oggi facciamo geometria, domani matematica». Ma non solo: anche all interno della stessa disciplina i diversi segmenti sono vissuti come separati. In parte ciò dipende dal diverso taglio con cui lo studio viene affrontato a seconda del segmento scolastico. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 5 / 26

6 Visione analitica, sintetica,..., trasversale Approfittare di qualche occasione per mettere in evidenza come, senza una visione unitaria non si può cogliere il vero significato di un concetto, ovvero, senza guardare lo stesso oggetto da più parti non se capisce la vera essenza. Proporre lo stesso problema con diverse strategie risolutive: non c è un solo metodo, e nemmeno un metodo che sia sempre migliore degli altri. Importante che acquisiscano mentalità critica rispetto alle scelte da fare. La scelta dipende dal contesto, oltre che dal gusto personale. In alcuni casi senza usare insieme strategie diverse non si arriva al risultato (o ci si arriva con molta più fatica). Mettere in luce con esempi il vantaggio e pericolo di alcuni metodi (tipicamente, ad esempio, del metodo analitico): si arriva al risultato senza la necessità di averlo previsto, sembra che non sia necessario pensare. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 6 / 26

7 Visione analitica, sintetica,..., trasversale La geometria si presta bene a questo scopo: è una disciplina per sua essenza trasversale: chi studia Geometria (in qualsiasi settore) usa strumenti di Algebra, Algebra lineare, Analisi reale, Analisi complessa, Topologia, Topologia Algebrica, Logica, Combinatorica, Teoria dei grafi... L esempio più chiaro di ciò, a livello di studenti di scuola superiore, è fornito dallo studio delle coniche. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 7 / 26

8 index Il capitolo "Coniche": un opportunità 1 Visione analitica, sintetica,..., trasversale 2 Il capitolo "Coniche": un opportunità Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 8 / 26

9 Il capitolo "Coniche": un opportunità Coniche come luoghi geometrici Coniche come curve algebriche di secondo grado Coniche come forme quadratiche Coniche come sezioni di un cono Coniche come proiezioni di una circonferenza Coniche come trasformate di altre coniche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 9 / 26

10 e inoltre: Coniche nella Storia Coniche e Fisica Coniche e Macchine (tracciatori) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 10 / 26

11 Nei testi quasi sempre: definizione della conica come luogo geometrico scelta del sistema di riferimento equazione del luogo considerazioni di carattere geometrico che si possono dedurre dall equazione esercizi di tipo (quasi unicamente) analitico Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 11 / 26

12 Le proprietà di simmetria di una figura definita come luogo geometrico, possono essere osservate direttamente, senza ricorrere alla sua equazione Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 12 / 26

13 Così si acquista maggiore consapevolezza dell effetto della scelta del sistema di riferimento sull equazione del luogo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 13 / 26

14 In alcuni casi gli enunciati, dal punto di vista sintetico, sono più evidenti e significativi. Il luogo dei punti medi delle corde di una circonferenza passanti per un punto è una circonferenza Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 14 / 26

15 Anche per determinare le equazioni, ad esempio, delle rette tangenti a una conica, può essere più semplice non utilizzare solo la geometria analitica. Nel caso delle circonferenze Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 15 / 26

16 Ad esempio, per la parabola proprietà focale della parabola Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 16 / 26

17 In altri casi è bene aver presente le proprietà di invarianza rispetto alle trasformazioni: "di quale Geometria stiamo parlando?" Ad esempio, se il problema riguarda lunghezze e aree, bisogna chiedersi: l unità di misura è fissata dal contesto, o possiamo sceglierla noi? Stiamo affrontando un problema di Geometria Euclidea o di Geometria Euclidea Simile? Dobbiamo calcolare effettivamente delle lunghezze, o dobbiamo solo rapportarle fra loro? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 17 / 26

18 I triangoli delimitati da una tangente all iperbole e dagli asintoti hanno tutti le stessa area. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 18 / 26

19 In questo caso si tratta di confrontare tra loro delle aree. Sicuramente possiamo (per lo meno) lavorare a meno di similitudini, ma anche a meno di affinità. Le affinità infatti (non conservano le aree, ma) conservano i rapporti tra le aree. È un enunciato di Geometria Affine: possiamo ridurci al caso di un iperbole equilatero. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 19 / 26

20 Trovare il triangolo di area massima tra quelli inscritti nell ellisse e di vertice P Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 20 / 26

21 Anche in questo caso: le affinità conservano i rapporti tra le aree. Se l area è massima prima della trasformazione, resta massima dopo la trasformazione. È un problema di Geometria Affine: possiamo ridurci a studiarlo nel caso di una circonferenza. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 21 / 26

22 Si trasforma l ellisse con una affinità in una circonferenza. Nel caso della circonferenza la soluzione si trova in modo molto più semplice: è il triangolo equilatero. Con l affinità inversa si trova la soluzione al problema originale. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 22 / 26

23 TEOREMA DI PASCAL - Un esagono piano ABCDEF è inscritto in una conica se e solo se le coppie di lati apposti AB DE, BC EF e CD FA si intersecano in tre punti allineati. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 23 / 26

24 Il teorema di Pascal coinvolge solo proprietà e concetti invarianti per proiettività. È un enunciato di Geometria Proiettiva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 24 / 26

25 Fatto: Per un esagono inscritto in una circonferenza: se due coppie di lati sono paralleli, anche la terza coppia è fatta da lati paralleli. Per dimostrarlo si può utilizzare il seguente criterio: due rette che tagliano una circonferenza rispettivamente nei punti U, V e Z, W sono parallele se e solo se l arco UWZ è congruente all arco VZW. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 25 / 26

26 Con una proiettività si manda la retta LM (che per semplicità supponiamo esterna alla conica) all infinito e poi si riduce la conica in forma canonica (affine), cioè in una circonferenza. Allora anche N va all infinito, quindi è allineato con L e M. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 26 / 26