Nel triangolo ABC la retta DE sia parallela alla base BC. La proposizione VI.2 afferma che AD: BD = AE: EC
|
|
- Silvana Rosso
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 OTTAVA LEZIONE- LE ISOMETRIE Talete e primo criterio di similitudine Prima di iniziare il nuovo argomento delle isometrie terminiamo l'esame dei libri di Euclide con l'enunciato (senza dimostrazione) del teorema di Talete e del primo criterio di similitudine. Questi due teoremi sono enunciati nel libro VI degli Elementi di Euclide come proposizioni VI.2 e VI.4. Fanno uso del concetto di proporzione fra segmenti, e sono dimostrati con le stesse tecniche utilizzate per dimostrare il teorema di Pitagora. Ci limitiamo a dare gli enunciati. Proposizione VI.2 (Talete ): in un triangolo la parallela ad un lato divide gli altri due lati in parti proporzionali. Nel triangolo ABC la retta DE sia parallela alla base BC. La proposizione VI.2 afferma che AD: BD = AE: EC Proposizione VI.4 (criterio di similitudine): due triangoli che hanno gli stessi angoli hanno i lati corrispondenti proporzionali. Il criterio di similitudine è un corollario del teorema di Talete. È dimostrato usando due volte Talete sul triangolo CGD: una prima volta si considera la parallela BF al lato CG; una seconda volta si considera la parallela AB al lato GD. Il teorema di Talete fornisce allora le due proporzioni: CB:BD=AB:DF CB:BD=AC:DF Da queste si ottiene il criterio di similitudine. Il criterio afferma che se gli angoli nei due triangoli sono uguali a coppie, tra i lati corrispondenti valgono le proporzioni AC:BF=AB:DF=CB:BD
2 Isometrie Veniamo adesso all'argomento delle isometrie. Divideremo la discussione delle isometrie nelle seguenti parti: 1. Spostare una figura senza deformarla; 2. Isometrie; 3. Galleria di isometrie; 4. Composizione di isometrie; 5. Quattro è solo quattro; 6. Come si riconosce un isometria; 7. Simmetrie di una figura. Punto 1: Spostare una figura senza deformarla: Partiamo dalla definizione intuitiva di isometria: una isometria è un operazione che consiste nello spostare una figura senza deformarla. Nella pratica può essere realizzata mediante un lucido trasparente posto sopra il piano di riferimento. Figura sul piano Ricopio la figura sul lucido Muovo il lucido
3 Il risultato finale è quello di stabilire una corrispondenza puntuale del piano in se stesso che ad ogni punto A associa un punto A I,. Questa corrispondenza è inizialmente definita sui punti della figura: deve però essere intesa come estesa all'intero piano. Da un punto di vista matematico: un isometria è una corrispondenza biunivoca dell'intero piano in sè che mantiene invariata la distanza tra una qualunque coppia di punti. Lo studio delle isometrie ci permette di introdurre il concetto di simmetria di una figura. Una simmetria è un isometria che lascia invariata la figura (nell esempio precedente significa che la figura verde dopo l isometria si sovrappone la figura rossa). Si chiama gruppo di simmetria l'insieme di tutte le isometrie che lasciano invariata una figura. L'ampiezza del gruppo è una misura della simmetria della figura. Punto 2: isometrie. Nel concetto di isometria è fondamentale la mancanza di deformazione nello spostamento. All isometria si richiede di lasciare invariata la distanza tra i punti per garantire l invarianza della forma delle figure. Per definire un isometria bisogna quindi partire dal concetto di distanza tra i punti del piano. Qui ricompare Pitagora (questo teorema è alla base della teorie delle isometrie). Seguendo Cartesio (XVII secolo) introduciamo nel piano due assi ortogonali e associamo ad ogni punto le sue coordinate cartesiane: Consideriamo una coppia di punti P e Q e chiediamoci come si possa calcolare la distanza che li separa usando le loro coordinate cartesiane.
4 La conoscenza delle coordinate di P e Q ci fornisce subito la lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo PQR. Dunque la distanza PQ può essere calcolata con il teorema di Pitagora Questa è la formula della distanza euclidea ( per punti del piano ). Consideriamo ora una corrispondenza che ad ogni punto P del piano associ un punto P I in maniera biunivoca. Tale corrispondenza può essere data sia graficamente (ad esempio con costruzione tipo riga e compasso) che analiticamente. In quest'ultimo caso la corrispondenza è precisata quando si diano le coordinate (X I,Y I ) di P I in funzione delle coordinate (X,Y) di P mediante una coppia di funzioni Queste funzioni devono: X I =F(X;Y) Y I =G(X,Y) 1. essere definite per ogni coppia di coordinate X,Y: le isometrie sono trasformazione dell'intero piano 2. garantire che punti distinti vengono mandati in punti distinti: le isometrie sono trasformazioni invertibili del piano in sé. 3. lasciare invariate le distanze: questa è la condizione che caratterizza le isometrie Osservo che la seconda condizione è implicata dalla terza. Punto 3: galleria di isometrie. Daremo ora quattro esempi di isometrie elementari. In seguito mostreremo che tali isometrie sono i mattoni con cui si fabbricano tutte le isometrie.
5 Le isometrie elementari sono: Traslazioni Riflessioni Rotazioni Glisso-riflessioni Le definiremo mediante costruzioni di tipo riga e compasso. Traslazioni Consideriamo una trasformazione del piano in sé nella quale tutti i punti subiscono spostamenti uguali, paralleli e nella stessa direzione come mostrato in figura 1. Per ipotesi il segmento orientato QQ I è uguale al segmento orientato PP I. Questa trasformazione è chiaramente un isometria per la proprietà dei parallelogrammi. Infatti il quadrilatero PP I QQ I di figura 2 è un parallelogramma e dunque PQ è uguale a P I Q I. Fig. 1 Fig. 2 Per definire una traslazione basta perciò dare lo spostamento di un solo punto, ad esempio dell origine O. Indichiamo il suo spostamento con il simbolo V che chiamiamo vettore. Ai punti P, Q,. associamo i punti P, Q,. in modo tale che i segmenti PP I, QQ I,. siano tutti uguali, paralleli ed equiorientati al vettore V, come mostrato in figura 3. Si dice che il vettore V definisce la traslazione. Riflessione Fig. 3 Se la traslazione è definita da un vettore (segmento orientato uscente dall'origine), la riflessione è definita da una retta l detta asse di riflessione.
6 Dato il punto P costruiamo il suo trasformato P I nel modo seguente: 1. se P appartiene a l, P I coincide con P; 2. se P non appartiene a l mandiamo la perpendicolare da P a l che prolunghiamo dall'altro lato di l; sulla perpendicolare prolungata prendiamo il punto P I simmetrico di P, cioè equidistante da l. Questa regola definisce una trasformazione biunivoca dell'intero piano in sé. Si tratta di una isometria, perché si può dimostrare che i segmenti PQ e P I Q I mostrati in figura 4 sono congruenti. Fig. 4
Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 )
Testo 1: Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 ) Lavoro di gruppo T1: discuti assieme ai tuoi compagni il significato di quanto hai letto
Dettagli1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati
1 L omotetia DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A tale che
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliI quadrati sono 5. Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura
Considera il piano cartesiano. Quanti sono i quadrati aventi un vertice in (-1;-1) e tali che uno degli assi coordinati sia asse di simmetria del quadrato stesso? I quadrati sono 5 Esercizio pagina 198
DettagliConsiderato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:
atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 8 PROBLE Considerato un qualunque triangolo BC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD= DE = EC Siano poi ed i punti medi rispettivamente
DettagliLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
pag. 1 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Trasformazione geometrica Movimento rigido Traslazione Simmetria Costruzione di due punti simmetrici rispetto ad una retta Poligoni aventi assi di simmetria Rotazione
DettagliPP ', stessa direzione e stesso verso.
1 ISOMETRIE Trasformazione geometrica: corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa un altro punto P' dello stesso piano. Se il punto trafformato P' (immagine del punto P) coincide con
DettagliSETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora
SETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora In questa lezione studiamo l equivalenza dei parallelogrammi, presentando due criteri che ci dicono quando parallelogrammi di forma diversa hanno la stessa area.
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna
Geometria euclidea Alessio del Vigna La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione sono il punto,
DettagliLa parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.
DettagliELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria
Richiami dal libro VI di Euclide: ELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria Definizione I del libro VI: due figure poligonali si dicono simili se hanno angoli uguali
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 17-24 Ottobre 2005 INDICE 1. GEOMETRIA EUCLIDEA........................ 2 1.1 Triangoli...............................
DettagliLezione 5 Geometria Analitica 1
Lezione 5 Geometria Analitica 1 Donato A Ciampa In questa lezione richiameremo alcune nozioni della geometria analitica, quali le trasformazioni del piano in se stesso e le varie equazioni relative alla
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre
Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione
DettagliLiceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 B
Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 011-01 Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: B 9.03.01 prof. Mimmo Corrado A. Dato il triangolo di vertici: 3, 1 4,
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P
DettagliGli enti geometrici fondamentali
capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento
DettagliSISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento
DettagliCorso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1 Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare
DettagliElementi di Euclide. Libro II. Algebra Geometrica. Proposizione 4: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2.
PAS 2014 GEOMETRIA Programma di massima: Elementi di logica elementare. La geometria degli Elementi di Euclide. De nizioni, assiomi e postulati. La geometria del triangolo. Criteri di uguaglianza. Teorema
DettagliLa composizione di isometrie
La composizione di isometrie Quello che è più interessante in una trasformazione geometrica è studiare quali effetti ha sulle figure e soprattutto valutare quali proprietà delle figure di partenza si conservano
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliDue rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.
Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliCORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 3
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 3 Le Isometrie trasformazioni geometriche che lasciano invariate la forma e le dimensioni delle figure I movimenti Traslazioni Rotazioni Ribaltamenti Principali
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliLe isometrie Capitolo
Le isometrie Capitolo Simmetria centrale e assiale erifica per la classe prima COGNOME............................... NOME............................. Classe.................................... Data...............................
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliGli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante:
ome sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione. In questo caso la riproduci isometricamente,
DettagliCOMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)
COMPITI VACANZE ESTIVE 017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 017 da parte degli studenti
Dettaglipunti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa
3) Dì quali sono i punti uniti, le rette di punti uniti, le rette unite di una a) simmetria centrale b) simmetria assiale c) traslazione d) rotazione e) omotetia Simmetria centrale: si ha un solo punto
DettagliI quadrilateri Punti notevoli di un triangolo
I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono
DettagliUn approccio costruttivo alle trasformazioni geometriche del piano
Un approccio costruttivo alle trasformazioni geometriche del piano Le cosiddette trasformazioni geometriche elementari del piano sono corrispondenze bigettive, del piano su se stesso, caratterizzate dalla
DettagliCostruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )
Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliC C B B. Fig. C4.1 Isometria.
4. Isometrie 4.1 Definizione di isometria Date due figure congruenti è possibile passare da una all altra con una trasformazione. Una trasformazione geometrica in un piano è una funzione biunivoca che
DettagliVettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
DettagliAppunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE
Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Per la teoria studiare su il libro di testo La retta e i sistemi lineari, modulo E, da pagina 594 a pagina 597. Esercizi da pagina 617 a pagina 623.
DettagliLiceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA
Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
DettagliCorso multimediale di matematica
2006 GEOMETRIA ANALITICA Il piano cartesiano rof. Calogero Contrino iano cartesiano Su un piano, si considerino due rette incidenti, sulle quali siano fissati due sistemi di ascisse. Si trasli una delle
Dettagli10 ottobre Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 10 ottobre 2007 Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it)
DettagliProgramma di matematica Classe: II BL Docente: Alessandra Mancini Anno scolastico: 2015/2016
Programma di matematica Classe: II BL Docente: Alessandra Mancini Anno scolastico: 2015/2016 NUCLEI DISCIPLINARI OBIETTIVI SPECIFICI 1. RIPASSO Saper operare con: 0.1 scomposizioni 0.2 frazioni algebriche
DettagliAnno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE
LICEO LAURA BASSI - BOLOGNA Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE MATEMATICA ARGOMENTI: EQUAZIONI
DettagliAssumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD.
Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue
DettagliProgramma di Matematica svolto durante l anno scolastico nella classe 2 sez.e
Programma di Matematica svolto durante l anno scolastico 2015-2016 nella classe 2 sez.e ALGEBRA 1) Richiami sul calcolo letterale e sulle equazioni algebriche lineari ad una incognita. 2) Disequazioni
DettagliElementi di Geometria euclidea
Elementi di Geometria euclidea Proprietà dei triangoli isosceli Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l eventuale lato non congruente si chiama base, i due lati congruenti si dicono lati
DettagliLe trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa.
τ : P P' oppure P'=τ(P) P immagine di P trasformato di P secondo τ se α è una figura geometrica α =τ(α) è la figura geometrica trasformata x' = f (x, y) τ : y' = g(x, y) espressione analitica della trasformazione
DettagliRiprendiamo la discussione dei sette punti in cui abbiamo suddiviso il Libro I di Euclide a partire dal secondo punto.
QUARTA LEZIONE: i triangoli Riprendiamo la discussione dei sette punti in cui abbiamo suddiviso il Libro I di Euclide a partire dal secondo punto. Punto 2: primo criterio di uguaglianza dei triangoli Il
DettagliVETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
DettagliOttavio Serra. Problemi.
Ottavio Serra Costruzioni e Problemi di geometria La geometria è l occhio della matematica Avvertenza. E bene, preliminarmente, avere (o acquisire) competenza sulle trasformazioni geometriche del piano,
DettagliProprietà focali delle coniche.
roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale
DettagliLA GEOMETRIA EUCLIDEA. Seminario Cidi, Roma 13/05/ prof.ssa Dario Liliana 1
LA GEOMETRIA EUCLIDEA Seminario Cidi, Roma 13/05/2013 - prof.ssa Dario Liliana 1 Le difficoltà degli studenti nell apprendere la geometria nel 1 anno della scuola secondaria Gli argomenti della geometria
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliAnno 1. Quadrilateri
Anno 1 Quadrilateri 1 Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere i problemi legati all utilizzo dei quadrilateri. Forniremo la definizione di quadrilatero e ne analizzeremo le proprietà e le
DettagliLe Isometrie e il piano cartesiano
Le Isometrie e il piano cartesiano Generalità piano Gli enti geometrici del piano come punti, rette, angoli, poligoni,... possono essere spostati sul TRSLTI v RILTTI RISPTTO UN RTT r Francesca Incensi
DettagliVettori paralleli e complanari
Vettori paralleli e complanari Lezione n 9 1 (Composizione di vettori paralleli e complanari) Continuando lo studio delle grandezze vettoriali in questa lezione ci interesseremo ancora di vettori. In particolare
DettagliLICEO SCIENTIFICO - OPZIONE DELLE SCIENZE APPLICATE MATEMATICA
LICEO SCIENTIFICO - OPZIONE DELLE SCIENZE APPLICATE MATEMATICA OBIETTIVI SPECIFICI DEL BIENNIO 1) utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo basilari studiate; 2) riconoscere nei
DettagliLe sezioni piane del cubo
Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del
DettagliLA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.
1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra
DettagliCostruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 )
Costruzioni geometriche. ( Teoria pag. 81-96, esercizi 141 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda ; due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliCLASSE II A LICEO LINGUISTICO A.S. 2015/2016. Prof.ssa ANNA CARLONI
CLASSE II A LICEO LINGUISTICO A.S. 2015/2016 Prof.ssa ANNA CARLONI OBIETTIVI la scomposizione dei polinomi le frazioni algebriche X X X scomposizione in fattori dei Scomporre a fattor comune polinomi Calcolare
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliProposizione I.1 Fissato un segmento, è possibile costruire un triangolo equilatero di cui quel segmento è un lato.
Le proposizioni del Primo Libro degli Elementi di Euclide Per facilitare la lettura delle proposizioni, apporteremo alcune variazioni al testo, cercando però di salvarne lo spirito. Queste note vanno intese
Dettagliin forma matriciale: X = A X + B, cioè Se il det A = ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e quindi biunivoca; in tal caso la
TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d q in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d q Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se
DettagliIL TEOREMA DI PITAGORA E IL QUADRATO DI BINOMIO
IL TEOREMA DI PITAGORA E IL QUADRATO DI BINOMIO Parole cardine Triangolo: poligono formato da tre angoli e da tre lati. Triangolo rettangolo: è un triangolo in cui l angolo formato da due lati, detti cateti,
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
DettagliI PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.
I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando
Dettagli1 MISURA DEI SEGMENTI
1 MISUR DEI SEGMENTI 1 MISUR DEI SEGMENTI 1.1 La classe dei segmenti Nell insieme S formato da tutti i segmenti contenuti in un piano introduciamo le seguenti operazioni: Confronto di segmenti: dati due
Dettagli1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione
1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse
DettagliI I. è un affinità, avente la matrice della trasformazione uguale a: A 1 x A2. Proprietà invarianti
TRAFORMAZON Una trasformazione (geometrica) è una funzione iunivoca fra i punti del piano. Un punto si dice unito rispetto ad una data trasformazione se il suo corrispondente è se stesso. Una retta si
DettagliLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LA SIMMETRIA ASSIALE Definizione: il simmetrico P di un punto P, rispetto alla simmetria assiale di asse r gode delle seguenti proprietà: P e P sono equidistanti da r e il
DettagliPer finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della quale viene data una proposta. E importante notare che alla fine di ogni
1 Premessa Questa Unità Didattica rientra nel modulo della Geometria del Piano, è articolata in quattro lezioni; tratta di similitudine tra triangoli, ed in generale di poligoni simili. E pensata per una
DettagliC che hanno rispettivamente raggi di misura b e c e i cui centri sono rispettivamente sugli
4.3 Risposte commentate 4.1.1 Per rispondere alla domanda posta occorre ricordare la nota proprietà dei triangoli: in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due. Di conseguenza le
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliTRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO
TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se il
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliEquivalenza delle figure piane
Capitolo Equivalenza Poligoni equivalenti - erifica per la classe seconda Teoremi di Pitagora ed Euclide COGNOME............................... NOME............................. Classe....................................
DettagliCONOSCENZE e COMPETENZE per MATEMATICA
e COMPETENZE per MATEMATICA LA MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI definizione di classe di grandezze geometriche; conoscere le classi geometriche: lunghezze, ampiezze, aree;
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
Dettagliè un parallelogrammo Dimostrazione Per dimostrare che AA 1 BB 1 è un parallelogrammo occorre dimostrare che ha i lati opposti paralleli, cioè che:
PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Problema 2.296.5 Siano date due rette parallele a e b, tagliate da una trasversale r rispettivamente nei punti A e B. Si prendano su a e b, da una stessa parte rispetto ad r,
DettagliLa geometria della riga e compasso: Primo incontro
La geometria della riga e compasso: Primo incontro Progetto Lauree Scientifiche A.S. 2010/2011 Università degli Studi di Firenze 23/11/2010 Quando si devono rappresentare disegni geometrici, è importante
DettagliCopyright Esselibri S.p.A.
Un isometria è perciò una trasformazione geometrica che conserva la distanza tra due punti. onsideriamo alcune particolari trasformazioni isometriche. 2.1.1. Traslazioni hiamiamo vettore un segmento sul
DettagliRicordiamo. 1. Disegna una retta orientata, prendi un unità di misura e posiziona i seguenti punti: 1
Geometria Analitica Piano Cartesiano Sistema di coordinate su una retta Presa una retta r orientata, su cui sono stati fissati un origine O e un unità di misura, definiamo sistema di coordinate su una
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliORDINAMENTO 2011 QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza
DettagliCorso di Matematica - Geometria. Geometria - 0. Ing. L. Balogh
Geometria - 0 Triangoli qualunque somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell area Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio Simbolo A, B, C a, b, c,, h S, r Perimetro = + + Somma angoli
DettagliRappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:
ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliANNO SCOLASTICO CLASSE II E DISCIPLINA: MATEMATICA DOCENTE: Romio Silvana A. PROGRAMMA SVOLTO A.S
ANNO SCOLASTICO 2014-2015 CLASSE II E DISCIPLINA: MATEMATICA DOCENTE: Romio Silvana A. PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2014-2015 ALGEBRA Ripasso sulle equazioni di I grado (tutti i tipi). Disequazioni intere (numeriche
DettagliRICORDIAMO CHE LA PROSPETTIVITÀ È: ESSA PUÒ ESSERE CARATTERIZZATA DA:
RICORDIAMO CHE LA PROSPETTIVITÀ È: La corrispondenza biunivoca tra due enti (punti o rette) posti su due piani in rapporto diretto tra loro. I punti sono allineati al centro della prospettività. Le rette
DettagliSono dati i punti 0; 1, 1; 0, 4; 2. Determina e rappresenta l equazione del luogo dei punti P del piano tali che: 2.
PIANO CARTESIANO E RETTA ESERCIZI Esercizio 26.95 Sono dati i punti 0; 1, 1; 0, ; 2. Determina e rappresenta l equazione del luogo dei punti P del piano tali che: 2. Soluzione Indichiamo con : le coordinate
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliCONVITTO NAZIONALE CARLO ALBERTO Scuole annesse: Primaria Secondaria I grado Liceo Scientifico
CONVITTO NAZIONALE CARLO ALBERTO Scuole annesse: Primaria Secondaria I grado Liceo Scientifico Baluardo Partigiani n 6 28100 - Novara Tel. 0321/620047 - Fax. 0321/620622 Email: novc010008@istruzione.it
DettagliC6. Quadrilateri - Esercizi
C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono
Dettagli