Lezioni di Algebra Lineare I. Le nozioni di base sugli spazi vettoriali

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1 Lezioni di Algebra Lineare I. Le nozioni di base sugli spazi vettoriali Versione settembre 8 Contenuto. Combinazioni lineari di vettori. Sottospazi vettoriali 3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori 4. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale 5. Insiemi di vettori linearmente indipendenti 6. Basi di uno spazio vettoriale 7. Dimensione di uno spazio vettoriale 8. Coordinate 9. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

2 Prerequisiti Prima di iniziare a leggere queste dispense lo studente deve avere studiato la definizione di spazio vettoriale astratto e conoscerne l esempio concreto R n. In alcuni esempi ed esercizi si presuppone anche che lo studente abbia già studiato la rappresentazione geometrica di R e di R 3. In particolare lo studente deve già conoscere le operazioni di somma e prodotto per scalari di vettori geometrici applicati; le nozioni di sistema di riferimento e di coordinate nel piano e nello spazio; la corrispondenza vettori geometrici e loro operazioni vettori algebrici e loro operazioni

3 In tutti i paragrafi che seguono supponiamo fissato uno spazio vettoriale reale che denotiamo con V. Chiamiamo vettori gli elementi di V e scalari i numeri reali. 3. Combinazioni lineari di vettori Supponiamo fissati k vettori v,..., v k (k intero ). Definizione. Un vettore v si dice combinazione lineare di v,..., v k se esistono degli scalari λ,..., λ k tali che v = λ v + + λ k v k. Definizione più generale. Se S è un sottoinsieme, anche infinito, di V, diciamo che il vettore v è combinazione lineare di elementi di S se v è uguale a una somma finita di tipo λ v + + λ k v k, con v,..., v k S e λ,..., λ k R. Esempio. Il vettore v = 4 e v = Problemi. 3 è una combinazione lineare dei vettori v =, perché v = v v (fare il conto).. Stabilire se il vettore v = ( e v = 5 v = av + bv. 3 è combinazione lineare dei vettori v = ). Se lo è determinare esplicitamente dei coefficienti a e b tali che Soluzione. Il problema chiede di stabilire se l equazione (vettoriale) xv + yv = v (a) nelle coppia di incognite reali (x, y) ha soluzioni e, se ci sono soluzioni, di scriverne esplicitamente una. Sostituendo in (a) i dati numerici otteniamo: x + y 3 = 5 x + 3x y = 5y { x + y = 3x + 5y = Con facili calcoli troviamo che il sistema scritto sopra ha come unica soluzione la coppia (x, y) = ( 9 7, 4 7). Quindi v è combinazione lineare di v e v, precisamente

4 4 v = 9 7 v 4 7 v ; inoltre, a = 9 7 e b = 4 7 soddisfano la richiesta del problema (e sono gli unici numeri reali con questa proprietà).. Stabilire se i vettori v = 3 e w = 3 sono combinazioni lineari di v =, v =, v 3 = 3. Se lo sono, determinare esplicitamente i coefficienti di tali combinazioni lineari. Soluzione. Lo schema di risoluzione è analogo a quello del problema precedente. Per stabilire se v è combinazione lineare di v, v, v 3, dobbiamo studiare la risolubilità del sistema di equazioni x + y z = y + 3z = 3, x + y z = nella terna di incognite reali (x, y, z). Confrontando la prima e la terza equazione del sistema si vede subito che il sistema non ha soluzioni, quindi v non è combinazione lineare di v, v e v 3. Nel caso di w dobbiamo considerare il sistema x + y z = y + 3z = 3 x + y z =, che chiaramente è equivalente a { x + y z = y + 3z = 3. Questo è un sistema risolubile e con infinite soluzioni. Infatti, dalla seconda equazione ottengo y = 3z + 3 e, sostituendo nella prima, { x = 7z 4 y = 3z + 3. Questo vuol dire che qualunque valore reale, diciamo c, io attribuisca a z, la terna (7c 4, 3c + 3, c) è una soluzione del sistema. Quindi, poiché esistono soluzioni, w è combinazione lineare di v, v, v 3 ; inoltre, esistono infinite terne di coefficienti (a, b, c) tali che w = av + bv + cv 3 ; infine, l insieme di tutte queste terne è

5 {(7c 4, 3c + 3, c) c R}. Per ottenere una terna particolare basta attribuire un valore a c, ad esempio per c = ottengo w = 4v + 3v. 5. Sottospazi vettoriali Definizione. Un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme non vuoto di V chiuso rispetto alle operazioni di V. Quindi dire che U è un sottospazio vettoriale di V vuol dire: () che U è un sottoinsieme di V che contiene almeno un vettore; () che se il vettore u appartiene a U, anche tutti i vettori di tipo λu (con λ R) appartengono a U; (3) che se i vettori u e u appartengono a U, anche il vettore u + u appartiene a U. Osservazioni.. Poiché v = per ogni vettore v, dalle condizioni () e () della definizione segue che un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore.. Le condizioni () e (3) si riasumono in: le combinazioni lineari di vettori di U appartengono ancora ad U. 3. Un sottospazio vettoriale di V è a sua volta uno spazio vettoriale reale. Esempi.. Il sottospazio nullo (o banale). Il sottoinsieme {} è un sottospazio vettoriale di V. Infatti: () contiene, quindi non è vuoto; () tutti i vettori di tipo λ (λ R) sono uguali a e quindi stanno in {}; (3) se u e u stanno in {}, allora u = u = e quindi u + u = + = {}.. Il sottospazio improprio. [Dimostrare.] V stesso è un sottospazio vettoriale di se stesso. 3. [Dimostrare.] Se fissiamo un sistema di riferimento nello spazio e identifichiamo i punti dello spazio con gli elementi di R 3, tramite le coordinate, allora: tutte le rette passanti per l origine e tutti i piani passanti per l origine sono sottospazi vettoriali di R 3. N.B. Nel caso V = R 3, i sottospazi descritti negli esempi, e 3 precedenti sono tutti i sottospazi vettoriali di V. [Provate a dimostrare anche questo.]

6 6 3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori Fissiamo un insieme non vuoto di vettori S V. Definizione. Il sottospazio vettoriale generato da S, che denoteremo con Span S, è il minimo sottospazio vettoriale di V che contiene S. Spiegazione della definizione: minimo vuol dire: ogni altro sottospazio vettoriale che contiene S contiene anche Span S. Teorema. Span S coincide con l insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S. Schema di dimostrazione. [Capire e provare a completare.] Dobbiamo dimostrare due cose:. che l insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio vettoriale che contiene S.. che è minimo nel senso spiegato sopra. Per il punto dobbiamo far vedere: (a) che sommando due combinazioni lineari di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!); (b) che moltiplicando per uno scalare una combinazione lineare di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!). Per il punto basta usare l Osservazione della sezione. Da questa segue direttamente che se un sottospazio vettoriale di V contiene S, allora contiene anche Span S. Esempi.. Span {} = {}, perché {} è già un sottospazio vettoriale.. [Dimostrare.] Fissiamo v V, v. Allora Span {v} è l insieme di tutti i multipli scalari di v. In R e in R 3, con l usuale rappresentazione geometrica, si ottiene che Span {v} è la retta passante per l origine su cui giace il vettore v. 3. [Dimostrare.] Fissiamo u, v R 3. Se u e v non sono proporzionali, allora otteniamo che la rappresentazione geometrica di Span {u, v} è il piano passante per l origine che contiene i vettori u e v. [Problemi sull esempio 3: a) Cosa succede se u e v sono proporzionali? b) Cosa può essere Span {u, v, w}, nella rappresentazione geometrica, se u, v, w sono tre vettori arbitrari in R 3? c) Se u e v sono due vettori non proporzionali di R, cosa è Span {u, v}?]

7 4. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale Definizione. Un insieme di generatori di V è un insieme di vettori S, incluso in V, tale che ogni vettore di V sia combinazione lineare di vettori di S. 7 Definizione. finito. V si dice finitamente generato se ha un insieme di generatori Osservazioni.. Dire che S è un insieme di generatori di V equivale a dire che V = Span S. [Spiegate perché.]. Se S è un insieme di generatori di V, allora ogni sottoinsieme S di V che contiene S è ancora un insieme di generatori di V. (I generatori che non compaiono esplicitamente in combinazione lineare hanno coefficiente nullo). Esempi. {(. R si ha ), } è un insieme di generatori di R, perché per ogni vettore a = a b + b. a b. L esempio precedente si generalizza a R n, n : per i =,..., n chiamiamo e i il vettore di R n con tutte le componenti nulle tranne la i- esima, che invece è. Allora {e,..., e n } è un insieme di generatori di R n. Infatti per ogni vettore a a.. Rn si ha che a n a a... = a... + a a n.. = a e + a e + + a n e n a n 3. L esempio precedente dimostra che R n è finitamente generato, per ogni n. Problemi. [Cfr. con i problemi della Sezione.] { }. Dimostrare che, è un insieme di generatori di R 4 5.

8 8 Soluzione. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore di ( R ) è una combinazione lineare a dei due vettori dati, cioè che dato un arbitrario R b, possiamo trovare a x, y R tali che x + y =. Questo equivale a dire che il sistema 4 5 b nella coppia di incognite reali (x, y) { x + y = a 4x + 5y = b è risolubile qualunque siano i termini noti a e b. Chi ricorda la regola di Cramer dirà subito che questo è vero, e in più il sistema ha soluzione unica, perché 5 4. Allo stesso risultato si arriva anche provando direttamente a risolvere il sistema: si trova che qualunque siano a e b il sistema ha soluzione, unica, x = 5a b 6, y = b a 3. [In generale vale il fatto seguente: due vettori non proporzionali in R costituiscono sempre un insieme di generatori di R. Sapete trovare una spiegazione geometrica di questo?]. Consideriamo il sottospazio vettoriale V di R 3, V = Span {v, v, v 3 }, dove v =, v = Dimostrare che {v, v } è un insieme di generatori di V., v 3 = 3. Soluzione. Dobbiamo dimostrare che tutti gli elementi di V sono combinazioni lineari di v e v. Per prima cosa, visto che v 3 appartiene a V, v 3 stesso deve essere combinazione lineare di v e v. Con un calcolo diretto, analogo ai calcoli visti nella Sezione, troviamo infatti che v 3 = 7v + 3v ( ) [fate il conto]. Ora, per definizione, V è generato da {v, v, v 3 } e quindi tutti i suoi elementi sono combinazioni lineari di v, v, v 3. Ma se sostituiamo a v 3 la sua espressione come combinazione lineare di v e v data dalla ( ), riusciamo a trasformare ogni combinazione lineare di v, v, v 3 in una combinazione lineare dei soli v e v, che è quello che vogliamo. 5. Insiemi di vettori linearmente indipendenti

9 Fissiamo un insieme di vettori {v,..., v k } (k intero positivo) nello spazio vettoriale reale V. Definizione. L insieme {v,..., v k } si dice linearmente dipendente se esistono degli scalari a,..., a n non tutti nulli tali che 9 a v + + a k v k =. ( ) Una relazione del tipo ( ), con a,..., a n scalari non tutti nulli, si chiama relazione di dipendenza lineare tra i vettori v,..., v k. L insieme {v,..., v k } si dice linearmente indipendente se non è linearmente dipendente. Nota. Spesso diremo in modo meno formale che i vettori v,..., v k sono linearmente dipendenti o indipendenti (invece di l insieme di vettori... ). Osservazione ovvia. gli a i nulli otteniamo È chiaro che se prendiamo la combinazione lineare con tutti a v + + a k v k = v + + v k = + + = ; quindi dire che i vettori v,..., v k sono linearmente indipendenti equivale a dire che questo è l unico modo di scegliere i coefficienti per ottenere. Esempi. { }. V = R. L insieme, è linearmente indipendente perché se voglio ottenere come combinazione lineare di essi, devo necessariamente prendere entrambi i coefficienti nulli: a + b = {. V = R. L insieme, a + b = b { a + b = b = b = a =. } è linearmente dipendente: se voglio ottenere 4 come combinazione lineare di essi, posso scegliere i coefficienti in infiniti modi, per esempio = Qualunque sia lo spazio V, {} è linearmente dipendente perché per ogni a R si ha a =.

10 4. V = R. L insieme { }, è linearmente dipendente: si ha, ad esempio, 4 + = V = R 3. L insieme ad esempio,, 3, 3 4 è linearmente dipendente: si ha, 6. V = R. L insieme =. { }, è linearmente indipendente, perchè se a + b = allora a e b sono necessariamente entrambi nulli., In generale, per V = R n, n : i vettori e,..., e n definiti nell Esempio della Sezione 4 sono linearmente indipendenti. Osservazioni.. Un insieme formato da un singolo vettore, {v}, è linearmente dipendente se v =, mentre è linearmente indipendente se v (perchè in questo caso av = solo se a =.). Se k > e {v,..., v k } è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori v i è combinazione lineare degli altri. [Dimostrazione: per ipotesi esistono dei reali a i, i =,..., k, tali che a v + + a k v k = e almeno uno degli a i non è. Ma se a i, dalla relazione precedente ottengo: a i v i = k a j v j e, dividendo per a i, v i = j= j i j k j i a j a i v j. ] È facile dimostrare che vale anche il viceversa [fatelo], quindi si ha che: {v,..., v k } è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vettori v i è combinazione lineare degli altri.

11 3. Come caso particolare dell osservazione precedente otteniamo che: un insieme di due vettori è linearmente dipendente se e solo se i due vettori sono proporzionali. 4. Se {v,..., v k } è linearmente dipendente, allora ogni insieme di vettori di V che contiene v,..., v k è linearmente dipendente. [Dimostrazione: una relazione di dipendendenza lineare tra i v,..., v k può essere vista come una relazione che coinvolge anche altri vettori, con coefficiente (cfr. Esempio 3)] In particolare ogni insieme di vettori che comprende anche il vettore è linearmente dipendente. Problemi.. Stabilire se è linearmente dipendente o indipendente.,, 3 Soluzione Dobbiamo stabilire se è possibile trovare tre scalari x, y, z, non tutti nulli, tali che x + y + z 3 = Questa equazione vettoriale è equivalente al sistema lineare x + y + z = x y 3z =, x + y + z = quindi dobbiamo stabilire se questo sistema ha almeno una soluzione diversa dalla terna (,, ) (è chiaro che quest ultima è una soluzione).. Sottraendo la terza equazione dalla prima otteniamo che ogni soluzione deve soddisfare z =. Sostituendo a z troviamo che deve valere anche { x + y = x y = e da qui facilmente che x = y =. Ne concludiamo che l insieme di vettori dato è linearmente indipendente.. Sia v =, v =, v 3 = 3. Stabilire se {v, v, v 3 } è linearmente dipendente o indipendente. Dire se è possibile scrivere ognuno dei tre vettori dati come combinazione lineare degli altri due.

12 Soluzione La prima risposta è immediata se usiamo le Osservazioni 3 e 4: i primi due vettori sono proporzionali, quindi linearmente dipendenti, ne segue che tutto l insieme è linearmente dipendente. Anche la seconda risposta è immediata: è chiaro che il primo vettore è combinazione lineare degli altri due, precisamente si ha v = v = v +v 3. Analogamente, v = v + v 3. Ma è anche chiaro che v 3 non è combinazione di v e v, perché, essendo questi ultimi proporzionali, anche ogni loro combinazione lineare sarà ad essi proporzionale, mentre v 3 non lo è. (Cfr. Osservazione.) 3. Sia v =, v =, v 3 = 9. Stabilire se {v, v, v 3 } è linearmente dipendente o indipendente. Se è linearmente dipendente, scrivere almeno una relazione di dipendenza lineare tra di essi. Dire se è possibile scrivere ognuno dei tre vettori dati come combinazione lineare degli altri due. Soluzione Procediamo con nel primo problema, cioè studiamo se il sistema x + y z = x y + 9z = x y + z = ha almeno una soluzione diversa dalla terna (,, ). Chiaramente la prima e la terza equazione sono equivalenti, quindi il sistema scritto sopra equivale a { x + y z = x y + 9z =, a sua volta equivalente a { x + y z = y + 7z =, ottenuto sommando alla seconda equazione la prima, e quindi a { x + y = z y = 7z Ora è chiaro che, se attribuiamo a z qualunque valore reale, diciamo a, allora dalla seconda equazione otteniamo y = 7a e, sostituendo nella prima equazione, x = 5a. Quindi il sistema ha infinite soluzioni, precisamente, per ogni scelta di a in R, la terna ( 5a, 7a, a) è una soluzione. Inoltre, se a, la terna soluzione ottenuta è non nulla. Ne segue che {v, v, v 3 } è linearmente dipendente.

13 Fissando a troviamo i coefficienti di una relazione di dipendenza lineare, per esempio, per a =, troviamo 5v + 7v + v 3 =. Usando la relazione precedente (cfr. Osservazione ) possiamo scrivere ciascuno dei tre vettori dati come combinazione lineare degli altri due, precisamente otteniamo: v = 7 5 v + 5 v 3; v = 5 7 v 7 v 3; v 3 = 5v 7v Basi di uno spazio vettoriale Definizione. Una base di V è un insieme di generatori di V linearmente indipendente. Osservazione. Lo spazio vettoriale nullo non contiene vettori linearmente indipendenti e quindi ha come base l insieme vuoto. Fatto fondamentale. Un sottoinsieme non vuoto B di V è una base se e solo se ogni vettore in V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di B. Dimostrazione. Il fatto che ogni elemento di V si scriva come combinazione lineare di elementi di B equivale al fatto che B è un insieme di generatori di V. Per concludere basta dimostrare che ogni elemento di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di B se e solo se l insieme di generatori B è linearmente indipendente. Per semplicità supponiamo B finito: B = {v,..., v n }. La dimostrazione si estende facilmente al caso infinito. Lavoriamo sulle negazioni degli asserti, cioè dimostriamo che la dipendenza lineare equivale alla possibilità di diverse scritture per lo stesso elemento. In primo luogo osserviamo che se B è linearmente dipendente, allora o è uguale a {}, oppure uno dei suoi elementi, diciamo v i, si scrive come combinazione lineare dei rimanenti. Nel primo caso avrò = a per ogni a R: infinite scritture. Nel secondo avrò comunque almeno due scritture per v i, e cioè v i = v i e v i uguale a una combinazione lineare dei rimanenti elementi di B. Viceversa, se ho due scritture diverse per lo stesso elemento v V, diciamo v = a v + + a n v n = b v + + b n v n, con a i b i per almeno un indice i ( i n), allora (a b )v + + (a n b n )v n = con almeno uno dei coefficienti a i b i : quindi B è linearmente dipendente.

14 4 Esempio fondamentale. Per i =,..., n chiamiamo e i il vettore di R n con tutte le componenti nulle tranne la i-esima, che invece è. Allora l insieme di vettori {e,..., e n } è una base di R n, detta la base canonica. Infatti è chiaro che ogni vettore di R n si scrive in modo unico come combinazione lineare di e,..., e n. (Riguardate anche gli Esempi e della Sezione 4.) Problemi.. Riguardate il Problema della Sezione. L insieme {v, v, v 3 } è linearmente dipendente o indipendente? È una base di Span {v, v, v 3 }? Soluzione. L insieme {v, v, v 3 } è chiaramente un insieme di generatori di Span {v, v, v 3 }, ma non è una base perché non è linearmente indipendente. Infatti abbiamo visto che il vettore w si scrive in infiniti modi come combinazione lineare di v, v, v 3.. Riguardate il Problema della Sezione 4. L insieme {v, v } è una base di U? Soluzione. L insieme {v, v } è una base di U. Infatti abbiamo dimostrato che esso è un insieme di generatori di U e in più, poiché v e v non sono proporzionali, è linearmente indipendente. Teorema.. Ogni spazio vettoriale ha una base.. Se S è un insieme di generatori dello spazio vettoriale non nullo V, allora S contiene una base di V. 3. Se I è un insieme linearmente indipendente di vettori di V, allora esiste una base di V che contiene I. L enunciato è vero anche per spazi vettoriali non finitamente generati. Qui trattiamo solo il caso finitamente generato e, invece di abbozzare una dimostrazione formale, spieghiamo come si possa ottenere esplicitamente una base a partire da un qualunque insieme finito di generatori (parte del teorema) e come, dato un insieme linearmente indipendente, si possa costruire una base che lo contiene (parte 3 del teorema). Estrazione di una base da un insieme finito di generatori. Sia V uno spazio vettoriale, non nullo e finitamente generato, e sia {v,..., v n } un suo insieme di generatori. Se {v,..., v n } è linearmente indipendente abbiamo

15 già una base. Facciamo vedere che, se invece {v,..., v n } è linearmente dipendente, allora è possibile ottenere da esso una base di V scartando opportunamente degli elementi. Procediamo in questo modo: Per ognuno dei vettori v i, i =,..., n, se v i =, oppure se v i è combinazione lineare dei vettori che lo precedono, eliminiamo v i dall insieme; altrimenti lo teniamo. Chiamiamo B l insieme che otteniamo dopo avere completato il procedimento. Allora B è una base. Spieghiamo perché. Dobbiamo far vedere (a) che B è un insieme di generatori di V e (b) che B è linearmente indipendente. (a) Partiamo da una combinazione lineare a v + + a n v n e facciamo vedere esplicitamente che possiamo scriverla come combinazione dei soli elementi di B. Possiamo farlo ricorsivamente in questo modo: Controlliamo se v n sta in B: se sta in B non facciamo niente; se v n non sta in B vuol dire che o che o v n =, e in questo caso posso semplicemente eliminare l addendo a n v n, o v n è uguale a una certa combinazione lineare dei vettori che lo precedono. In questo caso sostituisco a v n questa combinazione lineare e trasformo a v + + a n v n in una combinazione lineare dei soli vettori v,..., v n. Ripetiamo la procedura appena descritta con v n al posto di v n ; e poi di seguito fino a v : alla fine avremo trasformato a v + +a n v n in una combinazione lineare dei soli elementi di B. (b) Qui diamo una dimostrazione formale. Sia B = {v i,..., v ik } ( i < < i k n). Supponiamo per assurdo che esistano b,..., b k R non tutti nulli tali che b v i + + b k v ik =. Sia h ( h k) il massimo indice tale che b h. Allora (cfr. Osservazione della Sezione 5) v ih è combinazione lineare dei v ij con j < h e questo è impossibile. 5 Osservazioni.. L insieme B ottenuto con la costruzione descritta sopra dipende non solo dall insieme di generatori {v,..., v n }, ma anche dal loro ordine.. Nelle lezioni seguenti mostreremo una tecnica di calcolo molto efficiente per determinare, dato un insieme ordinato finito di vettori in R n, quali dei vettori dati sono combinazioni lineari dei precedenti.

16 6 Completamento di un insieme linearmente indipendente ad una base. Qui supponiamo di avere un insieme I di vettori di V, linearmente indipendente e finito. Supponiamo anche di avere un insieme finito S di generatori di V. Per ottenere una base di V che contiene I procediamo così: consideriamo l insieme unione I S. Questo è ancora un insieme di generatori di V (cfr. Osservazione della Sezione 4). Ordiniamo I S in modo che i vettori di I precedano tutti gli altri. Quindi applichiamo il procedimento di estrazione di una base da I S descritto nel paragrafo precedente. Poiché I è linearmente indipendente e per il modo in cui abbiamo ordinato l insieme unione, nessun vettore di I è combinazione lineare dei vettori che lo precedono. Quindi la base che otterremo al termine del procedimento conterrà tutti i vettori di I. Problemi. { } 3. Considerate il sottospazio vettoriale U = Span, di R 4. Determinate una base di U. { } Soluzione. L insieme, è un insieme di generatori di U, ma non è 4 linearmente ( indipendente ) perché i due vettori dati sono proporzionali, precisamente =. Basta scartare uno dei due vettori per ottenere una base. Ad 4 esempio, {v } è una base di U. 4. Sia v =, v =, v 3 = 3 (i dati sono gli stessi del Problema della Sezione 5). Considerate il sottospazio vettoriale U = Span {v, v, v 3 } di R 3. Determinate una base di U. Soluzione. Abbiamo già visto che v è combinazione lineare di v, mentre v 3 non è combinazione lineare di v e v. Quindi {v, v 3 } è una base di U. 5. Sia v =, v =, v 3 = 9 (i dati sono gli stessi del Problema 3 della Sezione 5) e U = Span {v, v, v 3 } Determinate una base di U. Soluzione. Abbiamo visto che v 3 è combinazione lineare di v e v, mentre v non è combinazione lineare di v, non essendo ad esso proporzionale. Quindi {v, v } è una base di U.

17 Per fornire esempi ed esercizi non banali sulla procedura di completamento di un insieme linearmente indipendente ad una base avremmo bisogno di tecniche di calcolo più efficienti di quelle attualmente a nostra conoscenza. Descriveremo queste tecniche nelle prossime lezioni Dimensione di uno spazio vettoriale Definizione. La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato è il numero di elementi di una sua base. La dimensione dello spazio vettoriale V si denota con dim V. La definizione si può estendere a spazi vettoriali non finitamente generati. Noi diremo semplicemente che uno spazio vettoriale non finitamente generato ha dimensione infinita. Osservazione. Lo spazio vettoriale nullo ha dimensione. Affinché la definizione precedente abbia senso serve che tutte le basi di uno spazio vettoriale V fissato abbiano lo stesso numero di elementi. Teorema. Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi. Il Teorema segue dai due enunciati seguenti, che sono importanti in sè. Proposizione. Supponiamo che lo spazio vettoriale V abbia una base costituita da n vettori, con n >. Allora ogni insieme di generatori di V ha almeno n elementi. Proposizione. Supponiamo che lo spazio vettoriale V abbia una base costituita da n vettori, con n >. Allora ogni insieme linearmente indipendente di vettori di V ha al massimo n elementi. Spieghiamo come si deduce il Teorema dai due enunciati precedenti. Se V = {} il risultato è immediato, quindi possiamo supporre che V sia non nullo. Supponiamo che V abbia una base B costituita da n vettori e supponiamo che B sia un altra base di V : allora B, essendo un insieme di generatori, ha almeno

18 8 n elementi (Proposizione ) e, essendo un insieme linearmente indipendente, ha al più n elementi (Proposizione ): quindi ha eattamente n elementi. Dimostrazione delle Proposizioni e. Per qualunque insieme finito A denotiamo con A il numero degli elementi di A. Dimostriamo l enunciato seguente, dal quale seguono entrambe le Proposizioni e (spiegare perché): Enunciato 3. Supponiamo V finitamente generato. Sia I un insieme linearmente indipendente di elementi di V e sia G un insieme finito di generatori di V. Allora I G. Se I è vuoto l enunciato è vero, quindi supponiamo che I sia non vuoto. Sia I = {v,..., v h } (h ) e G = {u,..., u k }. Devo dimostrare che G ha almeno h elementi distinti. Per fare questo associo a v,..., v h h elementi distinti u i,..., u ih di G, con un procedimento ricorsivo. Passo. Scrivo v come combinazione lineare di u,..., u k, sia v = a v + + a k u k. Poiché v, almeno uno dei coefficienti è non nullo, supponiamo a i. Allora u i è combinazione lineare di v e degli u j con j i. Ne segue che l insieme G = {v } (G \ {u i }) è ancora in insieme di generatori di V. Passo t +, ( t < h). Al passo precedente ho ottenuto l insieme di generatori G t = {v,..., v t } (G \ {u i,..., u it }). Scrivo v t+ come combinazione lineare di elementi di G t. Poiché i v j sono linearmente indipendenti, in una tale combinazione lineare non possono comparire soltanto i vettori v,..., v t, quindi in G t deve essere rimasto almeno uno degli u i, chiamiamolo u it+, e questo deve comparire con cefficiente non nullo. Ora in G t, sostituisco v t+ a u it+ e ottengo l insieme di generatori G t+ = {v,..., v t+ } (G \ {u i,..., u it+ }). Al termine della procedura avrò trovato h vettori distinti u i,..., u ih in G. Questo conclude la dimostrazione. Corollari.. Se V ha dimensione n e G è un insieme di generatori di V con n elementi, allora G è una base di V. Infatti posso estrarre una base da G eliminando opportunamente degli elementi, se ci sono relazioni di dipendenza lineare. Ma non posso avere una base con meno di n elementi, quindi G deve essere già linearmente indipendente.

19 . Se V ha dimensione n e I è un sottoinsieme linearmente indipendente di V con n elementi, allora I è una base di V. Infatti posso completare I ad una base di V aggiungendo opportunamente degli elementi. Ma non posso avere una base con più di n elementi, quindi I deve essere già una base. Esempio fondamentale. R n ha dimensione n (cfr. Esempio fondamentale della Sezione 6). Problemi. { }. Dimostrare che, è una base di R 3 5. Soluzione. Poiché i due vettori dati non sono proporzionali, sono linearmente indipendenti. Poiché dim R =, per il Corollario essi costituiscono una base di R.. Dimostrare che,, 3 è una base di R3. Soluzione. Poiché dim R 3 = 3 e l insieme dato ha tre elementi, è sufficiente dimostrare una sola delle due proprietà che definiscono una base, cioè dimostrare o che i vettori dati sono linearmente indipendenti, o che sono un insieme di generatori di R 3. Per i Corollari e l una proprietà implica anche l altra. Dimostriamo che i vettori sono indipendenti. Per questo rimandiamo alla Soluzione del Problema della Sezione 5, dove il calcolo è stato svolto in dettaglio Coordinate Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, con n e sia B = {v,..., v n } una base di V. Allora ogni vettore v V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi di B, cioè esiste ed è unica una n-upla di scalari a,..., a n tale che v = a v + + a n v n. Definizione. Gli scalari a,..., a n si chiamano le coordinate di v rispetto alla base a B. Il vettore.. (che è un elemento di R n ) si chiama il vettore delle coordinate a n di v rispetto alla base B.

20 Osservazione. La nozione di vettore delle coordinate presuppone che abbiamo scelto un ordine sui vettori della base. Quando scriviamo esplicitamente una base sottintendiamo che l ordine dei suoi vettori è esattamente l ordine in cui li abbiamo scritti. Esempi.. Sia v R n. Se v = a.. a n, allora a,..., a n sono le coordinate di v rispetto alla base canonica. Quindi il vettore delle coordinate di v rispetto alla base canonica è v stesso.. Sia V = R, v =, v =, B = {v 3, v }. B è una base di V, essendo un insieme( linearmente ) indipendente di due { vettori in R. Consideriamo 9 x + y = 9 poi il vettore v =. Risolvendo il sistema, troviamo che 4 x + 3y = 4 5 v = 5v + v, quindi il vettore delle coordinate di v rispetto alla base B è. Osserviamo anche che i vettori delle coordinate degli stessi v e v rispetto a B sono e, rispettivamente. 3. Sia V l insieme dei polinomi a coefficienti reali di grado. È facile verificare che V, con le usuali operazioni di somma di polinomi e moltiplicazione di un polinomio per uno scalare, è uno spazio vettoriale. Poichè ogni polinomio in V si scrive in modo unico nella forma a + a x + a x, {, x, x } è una base di V. Il vettore delle coordinate del polinomio a + a x + a x rispetto a questa base è a a. a Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n > e B è una base di V, allora i vettori delle coordinate degli elementi di V sono vettori in R n. È immediato verificare che per ogni coppia di vettori v, w V, e per ogni scalare λ in R, il vettore delle coordinate di v + w è la somma dei vettori delle coordinate di v e w, e il vettore delle coordinate di λv è uguale a λ per il vettore delle coordinate di v. [Provate a specializzare le affermazioni fatte al V dell esempio 3]. Questo dice che, qualunque sia V, una volta fissata una sua base possiamo identificarlo, come

21 spazio vettoriale, con R n. Questo concetto di identificazione sarà precisato nelle prossime lezioni. 9. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali In questa sezione supponiamo fissati uno spazio vettoriale reale V di dimensione finita e due sottospazi vettoriali U e W di V. Proposizione. L intersezione insiemistica U W è un sottospazio vettoriale di V. Dimostrazione. U W è non vuoto perché contiene almeno. Supponiamo z, z U W e λ R. Allora z, z U e quindi z + z, λz U, perché U è un sottospazio vettoriale. Ragionando in modo analogo trovo che z + z, λz W. Quindi z + z, λz U W. Definizione. U W si chiama sottospazio intersezione di U e W. Contrariamente all intersezione, l unione di due sottospazi vettoriali, in generale, non è un sottospazio, a meno che U e W siano inclusi l uno nell altro. Controesempio. Consideriamo i sottospazi di R {} { λ U = Span = λ {} { λ W = Span = } λ R, } λ R. Nelle rappresentazione geometrica, se usiamo le usuali coordinate cartesiane ortogonali, U è la bisettrice del primo e terzo quadrante e W è l asse delle ascisse. È chiaro che sommando con la regola del parallelogramma due vettori non nulli che giacciono uno su U e uno su W troviamo un vettore che non sta né su né su W, e quindi non sta in U W. Perciò U W non è chiuso rispetto alla somma. Se non vogliamo usare alcun argomento geometrico, basta che osserviamo che U è l insieme dei vettori con le due componenti uguali tra loro, mentre W è l insieme dei vettori con la seconda componente nulla. È chiaro che, se sommo due vettori fatti così, in generale trovo un vettore che ha le due ( componenti ) diverse tra loro e la seconda componente diversa da, ad esempio + =.

22 Definizione. Il sottospazio somma di U e W, che si denota con U +W, è il minimo sottospazio vettoriale di V che include U W. Il nome somma e la notazione U+W corrispondono a quello che è effettivamente il sottospazio che abbiamo definito. La proposizione seguente dice infatti che U + W è l insieme di tutti gli elementi di V che si possono scrivere come somma di un elemento in U e uno in W. Proposizione. U + W = {u + w u U, w W }. Dimostrazione. È chiaro che U + W contiene U e W (elementi di tipo u + con u U e di tipo + w, con w W ). Se z, z sono due elementi in U + W, allora esistono u, u U e w, w W tali che z = u + w e z = u + w. Segue che z+z = (u+w)+(u +w ) = (u+u )+(w+w ). Poiché U e W sono chiusi per somma, u+u U e w+w W, e quindi z +z sta in U +W. Analogamente, se conservo le notazioni precedenti e suppongo λ R, allora trovo che λz = λ(u + w) = λu + λw. Ma λu U e λw W perché U e W sono chiusi per prodotto per scalari, quindi λz U + W. Così abbiamo dimostrato che U + W è un sottospazio vettoriale di V. Per vedere che è il minimo che include U e W basta osservare che ogni sottospazio di V con la stessa proprietà, essendo chiuso per somma include anche U + W. Corollario. Se G U è un insieme di generatori di U e G W è un insieme di generatori di W, allora G U G W è un insieme di generatori di U + W. Dimostrazione. Per la Proposizione, ogni elemento z in U + W è somma di un elemento u in U e un elemento w in W. Ora u è combinazione lineare di elementi in G U e w è combinazione lineare di elementi in G W, quindi la loro somma z è combinazione lineare di elementi in G U G W. Nota Bene. In generale è falso che se B U e B W sono basi di U e W rispettivamente allora B U B W è una base di U + W. Il teorema seguente implica in particolare che questo è vero se e solo se U W è il sottospazio nullo di V. Teorema. (Formula di Grassman) dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W ).

23 [Se lo studente trova troppo faticosa la lettura di questa dimostrazione, può saltarla, almeno in prima lettura, e passare alla Definizione successiva.] Dimostrazione. Il teorema è ovvio se almeno uno tra U e W è nullo, quindi supponiamo che siano entrambi non nulli. Lo schema della dimostrazione è questo: Caso : U W {}. - Fissiamo un base B U W di U W. - Completiamo B U W ad una base di U, che chiamiamo B U ; completiamo B U W ad una base di W, che chiamiamo B W. - Dimostriamo che B U B W è una base di U + W. - Dimostriamo che B U B W = B U W. - A questo punto concludiamo contando gli elementi delle basi considerate. Caso : U W = {}. - In questo caso si vede invece che se B U e B W sono due basi qualunque di U, W, rispettivamente, allora B U B W è una base di U + W. Ora diamo i dettagli. Caso. Notazioni come nella schema precedente. B U B W è un insieme di generatori di U + W per il corollario precedente. Resta da vedere che B U B W è un insieme linearmente indipendente. Distinguiamo gli elementi di B U B W in tre sottoinsiemi, precisamente chiamiamo: u,..., u h gli elementi che stanno in B U ma non in B U W ; w,..., w k gli elementi che stanno in B W ma non in B U W ; z,..., z l gli elementi di B U W. Supponiamo di avere una combinazione lineare nulla di elementi di B U B W, 3 a u + a h u h + b z + b l z l + c w + + c k w k =, e dimostriamo che tutti i coefficienti a, b e c sono nulli. Dall uguaglianza scritta sopra otteniamo a u + a h u h = b z b l z l c w c k w k. ( ) Il termine sinistro della ( ) sta in U, mentre quello destro sta in W, perché sia gli z sia i w stanno in W. Essendo uguali, termine destro e termine sinistro stanno

24 4 in U W. Ma se a u + a h u h sta in U W, allora è combinazione lineare di z,..., z l, diciamo a u + + a h u h = d z + + d l z l. Ora, se almeno uno degli a è diverso da, allora l uguaglianza appena scritta dà una relazione di dipendenza lineare su B U, che è l unione degli u e degli z: impossibile perché B U è una base. Quindi gli a sono tutti nulli. Allora la ( ) diventa = b z b l z l c w c k w k. Ma l unione degli z e dei w è la base B W, quindi per indipendenza lineare, anche i coefficienti b e c sono nulli. Quindi B U B W è una base U + W. Proviamo ora che B U B W = B U W. ( ) Questo è vero perché se un elemento x appartiene a B U B W, allora x sta in U W, e quindi è combinazione lineare di elementi di B U W. Ma x è un elemento della base B U, che include per costruzione B U W, e un elemento di una base non può essere combinazione di elementi della stessa base diversi da se stesso: quindi x sta già in B U W. Dalla relazione ( ), con considerazioni insiemistiche elementari otteniamo: B U B W = B U + B W B U W. Poiché la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una sua base, la relazione che abbiamo scritto dà esattamente la formula che dovevamo dimostrare. La dimostrazione che abbiamo fatto si adatta facilmente al caso U W = {}: sotituiamo B U W con l insieme vuoto e B U e B W con due basi qualunque di U e W. Si arriva, semplificando in modo naturale gli argomenti usati, a dimostrare che B U B W è una base di U + W, e da qui alla formula di Grassman, che in questo caso diventa dim (U + W ) = dim U + dim W. Definizione. Se U W = {} allora diciamo che il sottospazio somma di U e W è somma diretta di U e W. In questo caso scriviamo anche U W invece di U + W.

25 Il Corollario seguente è conseguenza immediata del Teorema e del Corollario della Proposizione. Corollario. La somma U + W è diretta se e solo se dim (U + W ) = dim U + dim V. In particolare, se B U e B W sono basi di U e W rispettivamente e se U W = {}, allora B U B W e una base di U W. Proposizione. La somma U + W è diretta se e solo ogni elemento di U + W si scrive in modo unico come somma di un elemento in U e uno in W. Dimostrazione. Sia U W = {} e z U + W. Se z = u + w = u + w, con u, u U e w, w W, allora u u = w w. Poiché u u U e w w W, e poiché i due elementi coincidono, u u U W. Ma U W contiene solo, quindi u = u e w = w. Viceversa, sia U W {} e z U W, z. Allora abbiamo due diverse decomposizioni per z: z = + z ( U, z W ), e z = z + ( z U, W ). Definizione. Sia Z = U W. La Proposizione permette di definire le proiezioni canoniche di Z su U e W. Precisamente abbiamo le due proiezioni π U : Z U e π W : Z W, definite nel modo seguente: se z Z, siano u U e w W gli unici elementi tali che z = u + w. Allora π U (z) = u e π W (z) = w. Esempi.. Consideriamo i due sottospazi vettoriali in R U = { } λ λ R, W = { } λ R λ (quindi U = Span {e } e W = Span {e }, dove {e, e } è la base canonica di R ). Allora R = U W. Infatti è chiaro che R = U + V e che ogni vettore in R si scrive in modo unico come somma( di ) un elemento in U e( uno) in W (. Le ) proiezioni λ λ λ canoniche sono definite così: π U :, π µ W :. µ µ. Consideriamo i due sottospazi vettoriali di R 3 U = λ λ, µ R, W = λ λ R µ 5

26 6 (quindi U = Span {e, e 3 } e W = Span {e }, dove {e, e, e 3 } è la base canonica di R 3 ). Allora R 3 = U W. Infatti è chiaro che R 3 = U + V e che ogni vettore in R 3 si scrive in modo unico come somma di un elemento in Ue uno in W. Le proiezioni canoniche sono: π U : λ µ ν λ ν, π W : λ µ ν 3. Consideriamo i due sottospazi vettoriali di R 3 µ. U = λ µ λ, µ R, W = λ λ, µ R µ (quindi U = Span {e, e } e W = Span {e, e 3 }, dove {e, e, e 3 } è la base canonica di R 3 ). Allora R 3 = U + W, ma la somma non è diretta. Infatti è chiaro che ogni vettore in R 3 si scrive come somma di un elemento in U e uno in W (e ovviamente ogni elemento di questo tipo sta in R 3 ), ma in questo caso U W {}: U W contiene tutti i vettori con la prima e la terza coordinata nulla, anzi si ha esattamente U W = λ λ R.