LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

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1 LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a b c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π d f h + + l + + cos n sin cos p π π + cos s t + + arccos π r + M + u [ + ] v [ 4 + ] ± ± [ + ] + + y cos. + [] e M denotano rispettivamente la parte intera e la mantissa di.. Dire se esistono ed eventualmente calcolare i seguenti iti: a + cos + c sin + b cos + d + M.. Determinare λ R in modo che + λ + =.

2 4. Calcolare i seguenti iti: a π log + b + c + sin sin e e g π tg d ± sin f h i ± sin l + m ± n ± log + log 7 o + + p q + + s + sin sin π u e tg cos e sinπ cos w sin r + e log log + cos e t sin v + e e + y loge + z 4 + e. 5. Verificare che f = e g = sono infinitesimi dello stesso ordine per 0 e determinare k R tale che g k f Confrontare tra loro gli infinitesimi,, per. 7. Calcolare l ordine di infinitesimo α e la parte principale k α rispetto a per 0

3 delle seguenti funzioni: a e 4 b e + e c cos + d logcos e + + f e e e cos g log + log h sin + i cos l + m sin n + sin + e o sin π + p + sin + q + r log Determinare l ordine di infinitesimo α e la parte principale k + delle seguenti funzioni: α rispetto a per a + b arctg c + + d e e + + e f log Determinare l ordine di infinitesimo α e la parte principale k 0 α rispetto a 0 per che tende al valore indicato 0 delle seguenti funzioni: a log log b e e c sin π/ d + cos π. 0. Determinare l ordine di infinito α e la parte principale k α rispetto a per + delle seguenti funzioni: a / b Determinare il dominio e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: a f = + + b f = e +.

4 . Determinare, per +, l asintoto di Ha senso cercare l asintoto per? f = loge +.. Confrontare fra loro i seguenti infiniti per + mettendoli in ordine crescente di infinito:,, log 00, log0, 5,, log,.

5 . a b c d e + 4 ± Svolgimento = = = = 9. = 4 + o + o = = 0 =. = ± = ±. f Decomponendo in fattori numeratore e denominatore con la regola di Ruffini otteniamo = + + = 7 5. g Moltiplicando e dividendo per la somma delle radici si ottiene + / + / = + + =. Si può anche procedere utilizzando lo sviluppo + = + + o per 0. h Procedendo come nell esercizio precedente otteniamo + = i Raccogliendo il termine si ha = = + = = grazie allo sviluppo + t = + t + ot per t =, +.

6 l Procedendo come nell esercizio precedente si ha + = + + = + = = 0. sin t m Utilizzando il ite fondamentale t 0 t del cambiamento di variabile nei iti, otteniamo =, il suo reciproco, e il teorema sin 4 sin = sin 4 4 sin = =. Alternativamente possiamo usare lo sviluppo sin t = t + ot per t 0. cos t n Ricordando il ite fondamentale t 0 t = otteniamo cos sin = cos 4 sin 9 = 4 9 = 9. Possiamo anche usare lo sviluppo cos t = t + ot per t 0. o Facendo il cambio di variabili π = t otteniamo π sin π = sinπ + t t 0 t p Ponendo π = t otteniamo = t 0 sin t t =. π cos π = t 0 cos π + t t = t 0 sin t t =. q Ponendo = t abbiamo = t 4 7 e quando tende a, t tende a : = t t 4 6 t = t t + t + 4 =. r Poniamo = cos t da cui t = arccos. Quando tende a zero, t tende a π, e ci riconduciamo così al reciproco del ite p: arccos π = t π t π cos t =. s + cos cos = = +. +

7 Abbiamo usato il fatto che cos è itata e è infinitesima per +, e dunque cos + t La funzione mantissa è itata, essendo 0 M < R. Da questo segue + M / + M + + = =. + / + u Disegnando il grafico di t = +, oppure studiandone il segno, vediamo che quando tende a ± la variabile t tende rispettivamente a 0 ±. Cambiando variabile e ricordando il grafico della parte intera otteniamo { 0 se t ] = [t] = ±[ t 0 ± se t 0. v Studiando il segno di t = 4 + = vediamo che quando tende a ± la t tende rispettivamente a 0, e dunque { se t 0 + ] = ±[4 t 0 [t] = 0 se t 0 +. = 0. Ricordando che t < [t] t t R, abbiamo + < [ + ] per ogni R. Passando al ite e utilizzando il teorema del doppio confronto si ottiene y Essendo 5 + cos itata e + [ + ] + + =. infinitesima per +, si ha cos + = 0.. a Si ha + cos = + cos = = b Il ite non esiste. Infatti posto f = cos e prese le due successioni n = nπ e n = π + nπ si ha n n = n n = +, ma n f n = +, mentre n f n = 0.

8 c Essendo sin itata e infinitesima per 0 +, si ha sin + = 0. d Il ite non esiste. Posto f = M e n = n, n = n +, si ha f n = 0 e f n = per ogni n N, e dunque n f n = 0, mentre n f n =.. Calcoliamo il ite in funzione del parametro λ. Poichè tende a possiamo supporre < 0 e quindi =. Moltiplicando e dividendo per + λ otteniamo + λ + = λ + λ = λ + λ + + λ. Otteniamo così λ = a π [ = π ] = e π = e π. b Ricordando che log + t = t + ot per t 0, otteniamo log + + o + + o =. c Si ha sin t = t + ot per t 0, quindi + sin sin = 6 + o 5 + o = 6 5. d Essendo tg t = t + ot per t 0, si ha tg = + o = o per 0; inoltre sin = + o = + o per 0, quindi tg ± sin = + o ± 5 + o = ± 5 = ±. e Posto = t e ricordando il ite fondamentale t 0 e t t =, abbiamo e = t 0 e t t f Utilizziamo lo sviluppo e t = + t + ot per t 0: e + = + + o + o =. + o = = 0. + o

9 g Ricordando che a = + log a + o per 0, si ha π = / + log π / log + o = log π log = log π. h Si ha + t = + t + ot per t 0, da cui o = log 5 + o = log 5. i Posto = t è facile vedere che t 0 ± quando 0 ±, dunque sin sin t ± = t 0 ± t = t 0 ± sin t t t = ±. l Notiamo che 4 + = / + = / + o / per 0, dunque 6 / = + o / / + o / =. m Si ha + + = / + + / =, + = + = +. n Ricordiamo che per + la funzione a con a > è un infinito di ordine superiore a α, qualunque sia α > 0. Si ha allora + + = + = + = 0. Analogamente per si ha t + = = t + t = 0. o Per + la funzione log α è un infinito di ordine inferiore a β α, β > 0, quindi log + log 7 / log + + = + / + log 4 log + = + = 0.

10 p Ricordando che α log β = 0 α, β > 0, si ha log log + = + q Ricordiamo che f g e g log f, quindi log 5 + log = =. /4 + = e log + e log = e 0 + e + = + = r Si ha cos = + o per +, e log + t = t + ot per t 0, dunque s t cos = e log cos = e log +o = e +o + e /. + sin e sin e log + sin = e log+ sin + + o = + o + o = e +o +o = e /. = 7 + o + o = 7. u Essendo = + log + o per 0 e sin t = t + ot per t 0, si ha sin π = sin π + π log + o = sin π log + o = π log + o, e quindi v sin π = π log. + e e + = + = e /e. + e Essendo tg = + o = + o per 0, abbiamo e tg cos e = e +o + o + + o = + o + o. y Notiamo che loge + = log + e, da cui loge + log + e = = e + o = e.

11 w Usiamo gli sviluppi cos = + o per 0 e sin t = t + ot per t 0, e l identità sinπ t = sin t: si ha sinπ cos sin z Essendo 5. Si ha = sin π π + o + o = sin π + o + o = π + o + o 4 + = + 4 = o = o, 4 + e log 4+ = e e log+ 4 +o = e +o = e 4 +o +o g f = / = / = e /4. 5 7, π. quindi g 5 7 f Si ha = + = 0, = / = / / = 0. Quindi è un infinitesimo di ordine superiore a, e è un infinites- imo di ordine superiore a per per. Possiamo anche calcolare l ordine di infinitesimo α e la parte principale k α per rispetto a l infinitesimo campione di ordine. Infatti si ha = = 4, + 8, e quindi ha ordine e parte principale 4, e ha ordine e parte principale a Ricordando che e t t t 0 abbiamo e 4 4 0,

12 quindi α = 4, k =. b Si ha c e + e = e + +o e = e = e + o e +o e 0. cos = + o + + o / 0. d Essendo log + t = t + ot t t 0, si ha logcos = log + o = + o 0. e Notiamo che + 0, ma questo non ci permette di concludere che + + è equivalente a per 0. Infatti ricordando che + α = α + o α 0, si ha + + = + / + = + o + = 4/ + o 4/ 4/ 0. f Per 0 si ha e e e cos = e ++o e +o = e e +o e +o = e + o + + o = e + o e. g log + log = log + = log + h Essendo sin e + 0, si ha i Essendo cos t t t 0, si ha sin cos = cos / 4 / = 0. l Per 0 si ha + = + + o + o = + o.

13 m Per 0 si ha sin = + o e quindi sin = / + o / /5 + o /5 / /5 = /5. n La funzione sin 0 è un infinitesimo di ordine, mentre e 0 ha ordine, quindi + sin + e = + o 0. o Utilizzando l identità sinπ + t = sin t abbiamo per 0 sin π + sin π + π π + o = sin + o π. p Ricordiamo che +t = t + ot t 0, quindi si ha + sin = + + o + + o = + o 0. Possiamo anche procedere facendo prima il denominatore comune: + sin = sin + = + o + o 0. q r Notiamo che = = + o o = 0. + o 9 + = + 9 = o = o 0, e quindi per 0 log 9 + = log o = 6 + o a Si ha + = + 8/ = + o +,

14 essendo un infinitesimo di ordine superiore a 8/ b Essendo arctg t t t 0, si ha per +. arctg +. c Notiamo che + +, ma ciò non ci consente di dire che la funzione + + è equivalente a per +. Infatti per + si ha + = + + = e quindi essendo = o per +, si ha = + o., d Essendo + t t t 0, sarà = e Essendo e t t t 0, si ha e + e = e + e = e e e f Si ha log + t t t 0, quindi log + = log a Posto = t, quando tende a, t tende a 0, e quindi log log = log + t b Posto = t si ha = log + t t =. e e = e e = e e t e t = e. c Posto π/ = t si ha π sin = sin + t = cos t t = π π/.

15 d Poniamo π = t. Ricordando che cos z z z 0, si ha per π + cos = + cos π + t = + cos π + π t + t = cos π t + t πt = π π. 0. a Per + si ha b Notiamo che per + si ha / = 5 + o / + o / 5 / = 5/. 4 + = + e quindi essendo = o +, sarà = + o = + o, = + o + = + o +.. a Si ha f = dunque domf = R \ { }. Essendo { + + se + se <, f = ± ± + = 4 0 ± = ±, la retta = è asintoto verticale per f. Essendo + f = /, la retta y = è asintoto orizzontale destro per f. Infine si verifica facilmente che f =, f =, e quindi la retta y = è asintoto obliquo sinistro per f. b Si ha domf = R \ {0}. I iti laterali per 0 ± sono f = e = e + e e t = e t + t = +, f = e e = e 0 e = 0,

16 quindi la retta = 0 è asintoto verticale da destra per f. Si ha poi f = ± ± e+ = +, f + = + e+ = e, f e = e e e t = e + + t 0 + t e la retta y = e + e è asintoto obliquo destro per f. In modo analogo si verifica che la retta y = e e è asintoto obliquo sinistro per f.. Notando che loge + = log[e + e ] = + log + e, si verifica facilmente che la retta y = è asintoto obliquo destro per f. Non ha senso cercare l asintoto per in quanto la funzione è definita su 0, +, per un certo 0 < 0.. In ordine crescente di infinito per + si ha = e, log 0, log 00,,, log,,, 5. Per verificare che 5 è infinito di ordine superiore a osserviamo che 5 + = + e 5 log log log = = e + = +. e log + e5

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