LE OPZIONI: GLI ELEMENTI DI. Gino Gandolfi SDA BOCCONI

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1 LE OPZIONI: GLI ELEMENTI DI VALUTAZIONE Gino Gandolfi SDA BOCCONI

2 I LIMITI DI PREZZO DELLE OPZIONI Sostanzialmente, una call americana od europea dà al possessore ad acquistare l attività sottostante ad un certo prezzo (strike price) Pertanto, il prezzo dello strumento derivato non può mai essere maggiore del prezzo dell attività sottostante. In altri termini, il prezzo dell attività ità sottostante rappresenta un limite superiore per la call Sostanzialmente, una put americana od europea dà al possessore il diritto di vendere un attività sottostante ad un certo prezzo (strike price) Pertanto, indipendentemente da quanto possa scendere il prezzo di mercato, il valore dell opzione non può mai essere superiore allo strike price. In altre parole, il limite superiore per le put è lo strike price, ovvero il suo valore attuale prima della scadenza

3 I LIMITI DI PREZZO DELLE OPZIONI La definizione del limite inferiore di prezzo delle opzioni non è semplice In effetti è necessario suddividere: Opzioni call ed opzioni put Derivati di tipo europeo e derivati di tipo americano Titoli sottostanti che pagano dividendi e che non pagano dividendi Tuttavia, anche la casistica più complicata è riconducibile alla situazione più semplice, ovvero il derivato di tipo europeo scritto su un titolo che non paga dividendi Il limite inferiore di una call è pari alla differenza tra il prezzo dell attività sottostante ed il valore attuale del prezzo d esercizio Il limite inferiore di una put è pari alla differenza tra il prezzo d esercizio attualizzato ed il prezzo di mercato dell attività sottostante

4 LA RELAZIONE TRA I PREZZI DI OPZIONI CALL ED OPZIONI PUT In finanza esiste una relazione, detta put-call parity secondo la quale il valore di un opzione call (put) europea con un certo prezzo di esercizio ed una certa scadenza, può essere dedotto dal valore di una put (call) europea con lo stesso prezzo di esercizio e la stessa scadenza Tale relazione si sviluppa secondo il seguente ragionamento: La detenzione di un opzione put e dell attività ità sottostante, t t ovvero di un opzione call e di un investimento in denaro ad un tasso di interesse risk-free, alla scadenza, presentano lo stesso valore Di conseguenza, tale relazione di uguaglianza deve funzionare anche nel durante dell operazione stessa La put-call parity NON vale per le opzioni americane

5 VALORE INTRINSECO E VALORE TEMPORALE VALORE DELL OPZIONE: VALORE INTRINSECO + VALORE TEMPORALE Il valore intrinseco, intuitivamente, rappresenta il valore che si otterrebbe dall esercizio immediato dell opzione Il valore temporale può essere definito, in via preliminare, come il valore che il mercato attribuisce alla possibilità che il derivato veda aumentare il proprio valore intrinseco nel periodo di tempo precedente la sua scadenza

6 LE OPZIONI VALORE INTRINSECO DI UNA CALL 9 MESI PREMIO 6 MESI 3 MESI Valore intrinseco S Prezzo di mercato

7 LE OPZIONI VALORE TEMPORALE DI UNA CALL PREMIO Valore temporale 9 MESI 6 MESI 3 MESI Scadenza S Prezzo di mercato

8 I FATTORI CHE INCIDONO SUL PREZZO DI UN OPZIONE I FATTORI FONDAMENTALI: PREZZO CORRENTE DELL ATTIVITA SOTTOSTANTE PREZZO DI ESERCIZIO (STRIKE PRICE) IL TASSO DI INTERESSE PRIVO DI RISCHIO I DIVIDENDI (se esistono) IL TEMPO A SCADENZA LA VOLATILITA DEL SOTTOSTANTE

9 I FATTORI CHE INCIDONO SUL PREZZO DI UN OPZIONE Prezzo dell Azione Prezzo d esercizo Call Europea Put Europea Call Americana Put Americana Vita Residua?? + + Volatilità Tasso d Interesse Dividendi

10 I PRINCIPALI MODELLI DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI I principali modelli utilizzati per la valutazione delle opzioni sono: Gli alberi binomiali L approccio di Black & Scholes Entrambi gli approcci si fondano sullo studio del sentiero di prezzi che potrebbe seguire l attività sottostante durante la vita del derivato Per entrambi i modelli, quindi, il valore dell opzione segue lo stesso percorso dell attività sottostante Dal punto di vista concettuale, quindi, è proprio l andamento dell attività sottostante il fenomeno che deve essere oggetto di maggiore attenzione al fine della valutazione del derivato

11 LA FORMULA DI BLACK & SCHOLES (B&S) E una delle pietre miliari della finanza Prende in considerazione tutti i fattori fondamentali che incidono sul prezzo del derivato (ad eccezione del dividendo) In effetti, questa formula permette di prezzare correttamente le opzioni put e call scritte su titoli che non pagano i dividendi, ma può essere estesa anche ad altre tipologie i di contratti tti opzionali Anche se presenta notevoli semplificazioni della realtà, questo modello è ancora oggi uno dei punti di riferimento per tutti gli operatori che lavorano con i derivati, perché in grado di considerare tutti i fattori che incidono sull andamento del prezzo di un opzione

12 LA FORMULA DI B&S LE ASSUNZIONI ALLA BASE DEL MODELLO B&S: ANDAMENTO DEL PREZZO DELL AZIONE SOTTOSTANTE (random walk) VENDITA ALLO SCOPERTO (è sempre possibile) COSTI DI TRANSAZIONE (assenti) DIVIDENDO (assente) NON ESISTONO OPPORTUNITA DI ARBITRAGGIO SUL MERCATO IN OGNI ISTANTE E POSSIBILE REALIZZARE UN OPERAZIONE TASSO PRIVO DI RISCHIO O RISK-FREE (è noto a tutti ed dè costante) t

13 LA FORMULA DI B&S c = S * N(d 1 ) X * e -(rt) * N(d 2 ) p= X * e -(rt) * N(-d 2 ) S * N(-d 1 ) Dove: d 1 = [ln(s/x)+(r+σ 2 /2)T]/(σ T) d 2 = d 1 - σ T N(x) = funzione di distribuzione cumulata di una variabile normale (nota anche come distribuzione gaussiana) c = valore di un opzione call p = valore di un opzione put S = prezzo dell attività ità sottostante t t X = prezzo d esercizio T = vita residua dell opzione r = tasso di interesse risk-free σ = volatilità dell attività sottostante

14 LE PROPRIETA DELLA FORMULA DI B&S Ipotizzando una relazione tra l andamento del derivato e dell attività sottostante, si può affermare che la fonte d incertezza per i due strumenti è la stessa, ovvero i movimenti di prezzo del sottostante La funzione di B&S può essere applicata sia ad opzioni call, sia ad opzioni put La put-call parity è comunque dimostrabile anche in questo contesto di valutazione Il modello di B&S può essere applicato a tutte le tipologie di strumenti derivati normalmente contrattati sui mercati

15 VOLATILITA IMPLICITA Solamente gli operatori market maker possono decidere autonomamente il prezzo da proporre al mercato Tutti gli altri operatori sono nella condizione completamente opposta, ovvero quella di price taker Non si tratta di una posizione passiva E possibile verificare il modo in cui market maker produce il prezzo Nella formula di Black & Scholes esistono variabili note (ad esempio, caratterizzanti lo strumento derivato) o facilmente conoscibili (perché accessibili da parte di molti operatori): Prezzo dell attività sottostante Prezzo d esercizio Vita residua Tasso di rendimento dell attività priva di rischio Pertanto, per un operatore price taker il solo valore non noto è quello relativo alla VOLATILITA dell attività sottostante Il prezzo dell opzione non rappresenta una variabile sconosciuta, perché il market maker, per definizione, propone il proprio prezzo

16 VOLATILITA IMPLICITA La volatilità utilizzata dal market maker per prezzare lo strumento derivato è detta VOLATILITA IMPLICITA L operatore price taker può determinare tale valore applicano la funzione inversa di B&S, ovvero ponendo come risultato il σ anziché il prezzo dello strumento derivato In questo senso, quindi, è potenzialmente possibile effettuare operazioni i di trading di volatilità La scommessa riguarda l effettiva realizzazione del livello di volatilità implicito nel prezzo del titolo Secondo l approccio di B&S, la volatilità è uguale per tutti i derivati scritti sullo stesso titolo, ma in realtà non è propriamente vero

17 LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S La volatilità implicita al modello B&S non è visibile e, comunque, è supposta uguale per tutti i derivati aventi le medesime caratteristiche itih In realtà, osservando l andamento delle quotazioni, la volatilità implicita (ovvero quella effettivamente utilizzata dal mercato per definire il prezzo del derivato) è diversa a seconda del contratto analizzato Dal punto di vista operativo, ciò ha importanti implicazioni: Opzioni in the money, out of the money e at the money possono avere prezzi non coerenti tra loro secondo l impostazione di B&S Variazioni di prezzo al rialzo e al ribasso possono tradursi in valutazioni i differenti Derivati con durate diverse e del tutto uguali per altri fronti possono avere delle volatilità implicite diverse

18 ESEMPIO STRIKE VOLATILITA' IMPLICITA feb-07 mar-07 set ,204% 13,285% 20,277% ,487% 13,379% 16,888% La tabella riporta il valore della volatilità implicita calcolata attraverso la formula di B&S di alcune opzioni call sull indice S&P/MIB negoziate all IDEM ,346% 14,068% 16,398% La volatilità implicita nei prezzi ,652% 15,029% 18,023% delle opzioni è diversa sia per ,342% 16,302% 19,357% prezzo di esercizio che per scadenza ,541% 17,916% 20,781% LIVELLO SOTTOSTANTE RISK-FREE 3,15% Ciò potrebbe essere dovuto al fatto che la funzione di B&S non tiene conto dei dividendi, mentre i market maker propongono i prezzi anche in funzione di questo aspetto

19 LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S Volatilità implicita Solitamente, le opzioni at the money producono valori di volatilità implicita inferiori rispetto a quelli che si ottengono utilizzando opzioni in the money o out of the money VOLATILITY SMILE S Prezzo del sottostante

20 LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S Volatilità implicita Solitamente, la volatilità stimata per le opzioni out of the money è maggiore rispetto a quella usata per le at the money e per le in the money VOLATILITY SKEW S Prezzo del sottostante

21 ESEMPIO Volatilità implicita in opzioni S&P/MIB - gennaio ,000% 20,000% Vola atilità implicita 15,000% 10,000% 5,000% 0,000% Prezzi di esercizio feb-07 mar-07 set-07

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