Tecniche di Progettazione Digitale. Reti combinatorie: Le mappe di Karnaugh

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1 Tecniche di Progettazione Digitale Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh Valentino Lierali Mappe di Karnaugh (1) Una unzione ooleana di n it ha come dominio l insieme costituito da tutte le possiili n-ple di it, la cui rappresentazione geometrica è un n-cuo Una rappresentazione del n-cuo sul piano è costituita dalla mappa di Karnaugh, in cui ad ogni vertice del cuo corrisponde una casella In ogni casella si indica il valore della unzione per gli ingressi corrispondenti A vertici adiacenti corrispondono caselle adiacenti Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 2 1

2 Mappe di Karnaugh (2) NAND a 2 ingressi B A NAND a 3 ingressi BC A NAND a 4 ingressi CD AB Oltre i 4 ingressi si utilizza un insieme di mappe a 4 ingressi Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 3 Mappe di Karnaugh (3) NOR a 2 ingressi B A NOR a 3 ingressi BC A NOR a 4 ingressi CD AB MINTERMINI: unzioni che assumono valore 1 per una sola cominazione degli ingressi Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 4 2

3 Mappe di Karnaugh (4) NAND a 2 ingressi B A NAND a 3 ingressi BC A NAND a 4 ingressi CD AB MAXTERMINI: unzioni che assumono valore 0 per una sola cominazione degli ingressi Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 5 Forme canoniche (1) Una unzione logica qualsiasi può essere espressa come SOMMA DI MINTERMINI Esempio (EXOR): Rete logica del tipo somma di prodotti x = x y x y y Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 6 3

4 Forme canoniche (2) Una unzione logica qualsiasi può essere espressa come PRODOTTO DI MAXTERMINI Esempio (EXOR): ( x y) ( x y) = Rete logica del tipo prodotto di somme x y Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 7 Minimizzazione logica Oiettivo: RIDURRE LA COMPLESSITÀ DELLA RETE Quale complessità? Una o più tra queste: Numero di porte logiche Numero o lunghezza delle interconnessioni Numero di incroci ra le interconnessioni Area di silicio Potenza dissipata Tempo di propagazione dei segnali Tempo di collaudo Costo del prodotto inale Proailità di guasto Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 8 4

5 Minimizzazione a due livelli (1) Oiettivo: riduzione del numero di porte logiche Partendo dalla mappa di Karnaugh, si considerano le coppie di 1 adiacenti raccogliendo il attore comune si riduce il numero di porte logiche necessario per la realizzazione (prima orma canonica) c a = a a Forma minima: = a a Forma canonica: a a Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 9 Minimizzazione a due livelli (2) Oiettivo: riduzione del numero di porte logiche Partendo dalla mappa di Karnaugh, si considerano le coppie di 0 adiacenti raccogliendo il attore comune si riduce il numero di porte logiche necessario per la realizzazione (seconda orma canonica) c a Forma minima: ( a c ) ( a c) = Forma canonica: ( a c ) ( a c ) ( a c) ( a c) = Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 10 5

6 Minimizzazione a due livelli (3) Si può continuare la riduzione ino a che è possiile raccogliere termini comuni cd a = a a Forma minima: = Forma canonica: a a Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 11 Minimizzazione a due livelli (4) La orma minima è quella in cui compare il numero minimo di termini necessari per realizzare la unzione cd a = Forma minima: a a La realizzazione non minima costituisce una ridondanza e può dare prolemi di collaudailità! Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 12 6

7 Minimizzazione a due livelli (5) Possono esistere più orme minime per la stessa unzione Può essere più vantaggiosa la rappresentazione con somme di prodotti oppure quella con prodotto di somme (dipende dalla unzione) Esistono strumenti sotware eicienti nell eettuare automaticamente la minimizzazione a due livelli Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 13 Funzioni non completamente speciicate Una unzione logica è solo parzialmente speciicata, nel caso in cui l uscita possa essere indierentemente 1 o 0 per certe conigurazioni degli ingressi La condizione di uscita indierente si indica con Si può sruttare la condizione di uscita indierente per la minimizzazione a due livelli cd a Forma minima: = Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 14 7

8 Aspetti pratici della progettazione digitale Non idealità Ritardi di propagazione del segnale L uscita di una porta logica assume il valore corretto solo in un tempo successivo alla variazione degli ingressi Tempi di commutazione initi Le transizioni 0 1 e 1 0 non sono istantanee; l uscita assume tutti i valori intermedi Potenza dissipata Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 15 Malunzionamenti: alee statiche cd a = a a a c Transizione: d La porta (2) commuta a 0 prima che la porta (3) passi a 1, a causa del ritardo introdotto dall inverter sull ingresso d l uscita ha un transitorio indesiderato a 0 ( alea statica di tipo 0 ) Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 16 8

9 Esempio: sommatore a 1 it CO A B C S A, B, C: ingressi; S, CO: uscite Somma S: Riporto CO: (divisione tra interi senza resto) S = ( A B C) mod 2 CO = ( A B C) / 2 Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 17 Rappresentazione comportamentale Taella della verità A B C S CO Funzione ooleana S = A B C A B C A B C A B C CO = A B A C B C Mappe di Karnaugh: Somma S C A B Carry CO C A B Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 18 9

10 Rappresentazione strutturale Schema CMOS Le uscite (S e CO) sono negate occorrono 2 inverter per ottenere le uscite giuste V DD a a a c a a c co s c co c c s a a a c a Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 19 Realizzazione di un sommatore a n it A B CO (n-it) C S = CARRY-PROPAGATE ADDER A, B: ingressi a n it C: ingresso a 1 it (riporto) S: uscita a n it CO: uscita a 1 it (riporto) La velocità del circuito è limitata dal ritardo di propagazione del riporto lungo i sommatori a 1 it L aumento del numero di it della parola richiede più tempo per l operazione Reti cominatorie: Le mappe di Karnaugh - Valentino Lierali 20 10