RICHIAMI DI BASE DI SISTEMI AUTOMATICI INDICE:

Transcript

1 RICHIAMI DI BASE DI SISTEMI AUTOMATICI 1.1. Definizioni di base. INDICE: Cap1 : Definizioni e schemi a blocchi 1.2. Classificazione dei sistemi di controllo. Sistemi ad anello aperto (o a catena aperta). Sistemi ad anello chiuso o con feedback. Sistemi on-off. Sistemi di controllo a previsione o feed forward. Sistemi a microprocessore o microcontrollore Algebra degli schemi a blocchi. Esercizi Cap. 2 La funzione di trasferimento 2.1. Definizione di funzione di trasferimento 2.2. Trasformata di Laplace Esempi di trasformate: le tensioni ai capi di bipoli passivi Esempi di funzione di trasferimento : i filtri Circuito RC Circuito RL L antitrasformata tramite sviluppo in frazioni parziali Casi particolari Caso dei poli multipli Poli complessi coniugati Guadagno di una funzione di trasferimento Teorema della risposta armonica La scala semilogaritmica Termine monomio Termine binomio e sue potenze Termine trinomio e sue potenze Regole riepilogative. CAP.3 I diagrammi di Bode Metodo pratico per il tracciamento dei diagrammi di Bode Esercizi Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 1

2 Cap1 : Definizioni e schemi a blocchi 1. Definizioni di base. La disponibilità di circuiti integrati sempre più potenti e complessi e le continue innovazioni tecnologiche consentono oggi un impiego sempre più diffuso dei sistemi di controllo non solo in ambito industriale ma anche in ambito civile e domestico. L importanza dei sistemi di controllo risiede infatti anche e soprattutto nella vastità del loro campo di applicazione : essi sono utilizzati nelle centrali di produzione dell energia elettrica, nei cicli di produzione delle industrie, nella guida dei satelliti nello spazio, fino ad arrivare ai frigoriferi ed ai forni a microonde per regolarne la temperatura. Un sistema è un insieme di oggetti interconnessi il cui comportamento è diverso e più complesso di quello del singolo oggetto.lo studio delle scienze di base (Elettrotecnica, Elettronica,Fisica,ecc.) permette di associare ai sistemi fisici un modello matematico. Gli ingressi del sistema sono le variabili che nel nostro caso vogliamo misurare ed interpretare, mentre le uscite sono le variabili di cui vogliamo studiare l andamento. Uno dei compiti del perito/progettista di un sistema è quello di decidere quali variabili scegliere come ingressi e quali come uscite, cioè di orientare il sistema decidendo quali sono le cause e quali gli effetti. Questo non sempre è ovvio : il sistema segnale acustico - membrana - segnale elettrico può essere interpretato come un microfono se assumiamo il segnale acustico come ingresso ed un segnale elettrico come uscita ; lo stesso sistema diventa un altoparlante se prendiamo il segnale elettrico come ingresso ed il segnale acustico come uscita! Da questo esempio si capisce anche che ad uno stesso sistema (fisico) possono corrispondere più modelli. Adesso ci chiediamo : supponendo che siano noti gli ingressi del sistema, è sempre possibile determinare le uscite? La risposta in genere è no, perché bisogna conoscere anche lo stato del sistema. Ad esempio, il livello della carica della batteria che un telefonino collegato ad una presa di corrente raggiunge in 60 minuti (uscita) dipende non solo dalla energia elettrica che forniamo (in ingresso), ma anche da quanto era scarico il telefono (Stato). Se la batteria era completamente scarica, è probabile che dopo un ora avremmo raggiunto circa il 50% di carica, se invece quando lo abbiamo messo sotto carica aveva ancora un 20% di carica è probabile che in 60 minuti il livello della batteria arrivi al 70%. Un sistema in cui le uscite dipendono non solo dagli ingressi ma anche dallo stato viene detto Sistema dinamico. Normalmente nello studio di questo tipo di sistema si Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 2

3 scelgono come variabili di stato i fenomeni di accumulo: la tensione sui condensatori, la corrente negli induttori ecc. Tra i tanti tipi di sistemi che esistono noi studieremo i sistemi di controllo automatico, definiti come un apparato che consente di variare o di mantenere costante la grandezza (o le grandezze) di uscita in relazione ad una evoluzione nel tempo del sistema. Per comprendere quali siano gli scopi di un sistema di controllo consideriamo un impianto di riscaldamento centralizzato di un edificio che ha la finalità di mantenere la temperatura all interno delle abitazioni ad un livello che garantisca il benessere di chi in quelle abitazioni ci vive. A tale scopo il calore emesso dai termosifoni deve compensare le perdite di calore che si hanno attraverso le pareti e le finestre. Il sistema è formato da una caldaia che fornisce acqua calda ai radiatori (ovvero i comuni termosifoni) che cedono calore all ambiente, ed un termostato che può regolare la temperatura all interno della caldaia in modo che la temperatura dell acqua all interno dell impianto non scenda al di sotto dei 50 C e non superi i 70 C. Questo sistema riscalderà l ambiente ad una certa temperatura indipendentemente dalla temperatura esterna. Ciò implica che ci sarà un dispendio di energia nelle giornate calde ( perché le persone apriranno le finestre per il troppo caldo) ed un riscaldamento inadeguato nelle giornate fredde (ad esempio se fuori fa molto freddo il calore non riesce a compensare il freddo che entra dalle finestre e dalle pareti). L efficienza dell impianto può essere migliorata misurando ogni giorno la temperatura all esterno dell edificio : nelle giornate molto fredde si potrebbe regolare il termostato della caldaia a 80 C in modo da avere ambienti sufficientemente caldi e nelle giornate più calde si potrebbe invece spegnere la caldaia risparmiando energia. Ovviamente sarebbe impensabile mettere una persona a misurare la temperatura esterna ogni giorno (anche perché essa cambia più volte nella stessa giornata), bisogna quindi pensare ad un sistema che misuri la temperatura esterna e regoli automaticamente il termostato della caldaia. Possiamo pensare di mettere delle sonde (o trasduttori) in grado di rilevare la temperatura all esterno dell edificio e mandare l informazione ad una centralina elettronica. Questa confronterà istante per istante la temperatura inviata dalla sonda con una temperatura di riferimento ed in base a questo confronto regolerà il flusso di acqua calda ai radiatori in modo che la temperatura all interno degli ambienti riscaldati Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 3

4 sia il più vicina possibile a quella desiderata. Abbiamo in questo modo realizzato un sistema di controllo automatico. Dall esempio appena descritto si capisce che il sistema di controllo deve regolare la quantità di energia (nel caso sopra esposto la quantità di calore) affinchè il funzionamento dell impianto sia ottimale. Definiamo processo l insieme delle trasformazioni che avvengono in un sistema. Nel caso sopra esposto il processo è costituito dall acquisizione della temperatura da parte delle sonde, dall elaborazione dei dati da parte della centralina e dalla fornitura di energia termica da parte della caldaia. Definiamo impianto l insieme dei componenti in cui ha sede il processo. Nel caso sopra esposto l impianto è costituito dalle sonde, dalla centralina e dalla caldaia. Sempre dall esempio fatto si capisce l importanza del riferimento che è una grandezza fondamentale in ogni sistema ed è il valore in base al quale agisce il sistema di controllo confrontandolo continuamente con i valori misurati. 2. Classificazione dei sistemi di controllo. I sistemi di controllo possono essere così elencati: Sistemi ad anello aperto (o a catena aperta). Sistemi ad anello chiuso o con feedback. Sistemi on-off. Sistemi di controllo a previsione o feed forward. Sistemi a microprocessore o microcontrollore Sistemi di controllo a catena aperta. Nei sistemi di controllo a catena aperta il segnale di riferimento è generalmente predeterminato mediante un congegno di controllo tarato in sede di fabbricazione del sistema. Per capire meglio la definizione prendiamo come esempio la regolazione della temperatura all interno di un forno : supponiamo che un cuoco abbia una torta nel forno e debba controllarne il grado di cottura:per fare questo regola la temperatura ed il timer del forno (cioè le grandezze in ingresso) ed esce la torta cotta (uscita del sistema). Fisicamente, regolando le manopole della temperatura e del timer egli ha amplificato la potenza del forno per avere la necessaria quantità di calore per un certo tempo per poter cuocere la torta ; un circuito all interno del forno (attuatore) comanda a sua volta la quantità di corrente elettrica da inviare alle resistenze che Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 4

5 producono il calore necessario ad innalzare la temperatura all interno del forno ; infine, per effetto del calore prodotto dal forno la torta si cuoce (processo). Lo schema a blocchi di un generico sistema aperto è quindi il seguente: Ingresso Uscita Riprendendo la definizione di sistema aperto, il segnale di riferimento (nel nostro caso la temperatura del forno) è predeterminata tramite un congegno di controllo (le manopole del forno) tarato in sede di fabbricazione. E chiaro che un tale sistema presenta numerosi problemi : Se qualcuno apre la porta del forno, una certa quantità di calore uscirà fuori e la regolazione iniziale della temperatura e del tempo sarà insufficiente a cuocere la torta. Questo è un esempio di disturbo agente sul sistema. Se un secondo cuoco inserisce all insaputa del primo un altra torta nel forno, servirà più tempo e più calore per cuocerle entrambe e la regolazione iniziale del primo cuoco sarà stata sbagliata (le torte usciranno entrambe ancora crude). Questo è un esempio di variazione del carico. Se infine a causa del deterioramento dovuto alla vecchiaia le resistenze del forno producono meno calore di quello previsto,la torta non si cuoce e ancora una volta la regolazione iniziale delle manopole della temperatura e del timer saranno state sbagliate. Questo è un esempio di variazione dei parametri del sistema. Da questo esempio si può concludere che un sistema a catena aperta è sensibile alle variazioni del carico, alle variazioni dei parametri del sistema ed ai disturbi esterni Sistemi di controllo a catena chiusa. Per eliminare gli inconvenienti dei sistemi a catena aperta si ricorre ai sistemi di regolazione automatica, detti anche sistemi di controllo a catena chiusa. Per questi tipi di sistemi è fondamentale il concetto di retroazione (feedback in inglese), cioè il continuo confronto dello stato indotto in un sistema dai comandi in ingresso e l adeguamento dei comandi stessi in funzione del risultato di questo confronto. Amplificatore di potenza Attuatore Processo Consideriamo il sistema rappresentato in figura 1 che ha lo scopo i mantenere la temperatura all'interno del forno considerato prima ad un valore prefissato. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 5

6 Figura 1 In esso, a differenza del sistema a catena aperta troviamo : Blocco di retroazione : e' costituito da un trasduttore (e spesso anche da circuiti di condizionamento) che genera un segnale V r (t) proporzionale al valore istantaneo della grandezza controllata. Nel nostro caso il trasduttore genera una tensione di uscita proporzionale alla temperatura misurata all'interno del forno. Nodo seminatore o nodo di confronto. E' costituito nella pratica da un amplificatore differenziale ed e' presente solo nei sistemi a catena chiusa : costituisce l'elemento in cui vengono confrontati il valore attuale della grandezza controllata con il valore di riferimento (detto anche set-point). In uscita al nodo di confronto avremo un segnale attuatore (detto anche segnale differenza) proporzionale alla differenza tra il segnale di riferimento r(t) e quello di retroazione V r (t) cioe': e(t)r(t)-v r (t) Nel nostro caso il nodo mette a confronto la temperatura misurata nel forno ed inviata dal trasduttore con la temperatura di riferimento (cioè quella impostata dal cuoco). Controllore :e' un circuito elettronico che genera un segnale C(t) proporzionale al segnale attuatore.il segnale C(t) deve agire in modo da ridurre gradualmente lo scostamento tra il valore della grandezza controllata e quello prefissato. Nel nostro caso se ad esempio la temperatura all'interno del forno risulta piu' bassa di quella settata dal cuoco, il controllore invia un segnale C(t) all'amplificatore che a sua volta comanda l'attuatore che, inviando piu' corrente alle resistenze del forno, ne fa salire la temperatura. Se al contrario la temperatura all interno del forno è troppo alta, Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 6

7 il segnale C(t) comanderà l amplificatore in modo da ridurre la corrente da inviare alle resistenze per abbassare la temperatura all interno del forno. L'azione di autocorrezione di questo sistema finisce quando la grandezza controllata raggiunge il valore prefissato (nel nostro caso l azione di autocorrezione finisce quando la temperatura all interno del forno è esattamente quella voluta dal cuoco). Da quanto detto si capisce che il sistema a catena chiusa e' autoregolante e reagisce da solo ai disturbi esterni ed alle variazioni del carico. A loro volta i sistemi di controllo a feedback si dividono in : Regolatori (o sistemi di controllo a valore fisso). Sono quelli in cui il valore della grandezza di riferimento e' costante. Per esempio i sistemi di controllo della velocità dei motori in corrente continua sono detti regolatori perché debbono mantenere costante, al variare del carico, il valore della grandezza di uscita che e' in questo caso la velocità di rotazione del motore. Sistemi di controllo a valore programmato:in questo caso la grandezza controllata assume nel tempo una serie di valori che variano secondo un programma predeterminato. Un esempio di questo tipo di sistemi sono i torni a controllo numerico in quanto le macchine lavorano controllate da un programma gestito da un apposito calcolatore. Sistemi di controllo a valore asservito (o ad Asservimento).In questo caso la grandezza di riferimento cambia nel tempo e di conseguenza anche la grandezza controllata deve essere funzione del tempo per inseguire quella di riferimento. Un esempio di questo tipo sono alcuni tipi di ventole dei processori dei computer o delle schede video in cui la velocità della ventola insegue la temperatura del componente da raffreddare: più alta e' la temperatura del processore,maggiore sarà la velocità della ventola. Se la grandezza di controllo è di tipo meccanico (velocità, posizione, accelerazione) il sistema di controllo è chiamato servomeccanismo. Per esempio i sistemi di trasmissione dati via satellite sono servomeccanismi in quanto le antenne di trasmissione e quelle di ricezione inseguono continuamente gli spostamenti del satellite Sistemi di controllo On/Off Nei sistemi on/off il nodo sommatore e il blocco controllore sono sostituiti da un circuito comparatore che comanda un amplificatore di potenza On/Off. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 7

8 Riferiamoci al sistema di figura 2 in cui il processo è ancora rappresentato dal controllo della temperatura di un forno.se il segnale V r (t)<r(t),cioè se la temperatura del forno è inferiore a quella voluta, viene attivato l'amplificatore (stato di ON);se al contrario V r (t)>r(t) significa che la temperatura del forno e' maggiore di quella voluta e il segnale C(t) pone l'amplificatore in stato di OFF (cioè lo spegne). Figura 2 In un sistema di controllo on-off (vedi fig.3) la grandezza di uscita varia in un range di valori compresi tra un massimo ed un minimo a causa dell'inerzia dovuta all'azione del trasduttore e dell'attuatore. Figura 3 In altre parole, il flusso di calore dalle resistenze del forno all'interno del forno non può essere interrotto istantaneamente, serve un certo tempo affinche' la resistenza si raffreddi. Analogamente,quando l'amplificatore è in stato di ON e comanda l'accensione delle resistenze, ci vuole un certo tempo prima che le resistenze abbiano una temperatura sufficientemente alta per riuscire a riscaldare l'ambiente interno al forno. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 8

9 2.4. Sistemi di controllo a previsione (Feed Forward) Nei sistemi feed forward invece di monitorare l'uscita vengono monitorati i disturbi ed il controllo agisce in modo tale da prevenire gli effetti della loro azione. Riferendoci alla figura 4 in cui il processo e' il solito forno, il trasduttore potrebbe rilevare ad esempio quante volte lo sportello del forno viene aperto (causando la fuga verso l'esterno del calore) ed in base a questo dato comandare l'amplificatore di potenza per rifornire il forno del calore perduto. FIGURA Sistemi di controllo a microprocessore. I sistemi fin qui visti erano sistemi di controllo analogici e comunque negli esempi abbiamo considerato una sola grandezza da controllare (la temperatura del forno). Cosa succederebbe se invece di avere una sola variabile ne avessimo molte? Ad esempio in una centrale elettrica dobbiamo tenere contemporaneamente sotto controllo le pressioni dei fluidi all'interno delle turbine, le correnti,le tensioni e le velocità negli alternatori, le temperature ecc. Sarebbe impensabile tenere sotto controllo tutti questi parametri con dei sistemi analogici, abbiamo bisogno di un sistema che riesca a gestirli contemporaneamente e con un elevato grado di precisione. Abbiamo bisogno, in altre parole, di usare un elaboratore. I sistemi di controllo a microprocessore fanno uso di un elaboratore (sistema a microprocessore dedicato o a microcontrollore) per eseguire tutta una serie di operazioni che per la loro complessità non possono essere svolte dai sistemi analogici. Per la loro natura, gli elaboratori analizzano segnali in digitale e non possono interpretare direttamente temperature, velocita', spostamenti ecc., quindi nello schema a blocchi di figura 5 troveremo a valle dei trasduttori un convertitore A/D in grado di trasformare le grandezze fisiche in segnali interpretabili dal sistema. Questo, dopo aver elaborato, restituirà in uscita una serie di informazioni che però sono in Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 9

10 digitale e devono essere convertite in analogico tramite un convertitore D/A prima di essere trasferite al controllore. Figura 5 Ad esempio, se la nostra grandezza da controllare e' una temperatura all interno di un generatore il processo e' il seguente: Una sonda (per esempio una termocoppia) misura la temperatura di 30 C all'interno della macchina. Il trasduttore trasforma questa temperatura in un segnale elettrico e lo invia al convertitore A/D. Il convertitore trasforma questo segnale elettrico in una serie di Bit e li manda all'elaboratore. L'elaboratore confronta questi dati con quelli di riferimento. Se la temperatura e' maggiore di quella di riferimento bisogna intervenire e comandare il sistema di raffreddamento, per cui invia l'informazione (in bit) al convertitore D/A. Il convertitore converte il segnale da digitale ad analogico, ovvero converte i bit in un segnale elettrico. Questo segnale elettrico viene inviato al controllore che a sua volta aziona il sistema di raffreddamento attivando ad esempio i ventilatori ausiliari che si accenderanno facendo abbassare la temperatura della macchina. 3. Algebra degli schemi a blocchi. Abbiamo visto fin qui che un qualunque sistema può essere rappresentato tramite uno schema a blocchi. Vediamo ora come con alcune semplici operazioni di algebra è possibile ridurre lo schema a blocchi fino ad arrivare ad un unico blocco che, come vedremo, rappresenta la funzione di trasferimento del sistema e che possiamo definire in un primo momento come il rapporto tra l uscita e l ingresso del sistema. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 10

11 Blocco: I A U La funzione di trasferimento è in questo caso Nodo sommatore: L uscita è data dalla somma algebrica degli ingressi. I U+I 1 +I 2 -I 3 Punto di diramazione (o nodo derivatore):le uscite sono tutte uguali tra di loro ed uguale all ingresso. ATTENZIONE: da non confondere con le correnti in un nodo che sono tutta un altra cosa e per i quali si applica il principio di Kirchoff! I 1 I I 2 I 3 II 1 I 2 I 3 Blocchi in serie: due o più blocchi in serie sono equivalenti ad un unico blocco la cui funzione di trasferimento è data dal prodotto delle singole funzioni. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 11

12 Due o più blocchi in parallelo sono equivalenti ad un unico blocco la cui funzione di trasferimento è data dalla somma delle singole funzioni Blocchi in retroazione: due blocchi in retroazione sono equivalenti ad un unico blocco con funzione di trasferimento ricavata come mostrato nella successiva figura. Da notare che il segno del denominatore dipende dal segno della retroazione: Se questa è negativa (come nell esempio in figura) il denominatore sarà positivo e viceversa. Regola pratica: invertire il segno della retroazione. Bibliografia: molte delle figure di questo capitolo sono state tratte dal testo introduzione a sistemi, automi, schemi a blocchi di G.Destri e G.Scazza. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 12

13 ESERCIZIO 1: Dato lo schema a blocchi di figura: + I 1 U 1 I 2 I U 2U - G 1 (s) G 2 (s) Dove: e Determinare la funzione di trasferimento tra I(s) e U(s). Soluzione: + Dividendo numeratore e denominatore per I 2 e tenendo presente che I 2 U 1 si ha: Sostituendo si ha infine: ESERCIZIO 2: + Dato lo schema a blocchi : Dove: G 2 (s) I + U G 1 (s) - G 3 (s), e Determinare la funzione di trasferimento tra I(s) e U(s). Soluzione: Ricordando le regole dei blocchi in parallelo (pag.11) e in serie (pag.10) si ha immediatamente: Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 13

14 Cap. 2 La funzione di trasferimento 2.1. Definizione di funzione di trasferimento Il nostro obiettivo è quello di riuscire a ad effettuare l analisi dei sistemi per poi studiarne la risposta ai segnali in ingresso. Per raggiungere questo obiettivo è necessario ricavarci prima il modello matematico e la sua funzione di trasferimento. Si definisce funzione di trasferimento ad anello chiuso il rapporto : R(s) W(s) U(s) Dove U(s) è la trasformata di Laplace della risposta ed R(s) quella della sollecitazione in ingresso. Dato il sistema ad anello chiuso in figura : Dalle nozioni dell algebra dei blocchi del capitolo precedente si ha :! " # " # + # 1+ # " 1+ # Che è la forma più nota di fdt ad anello chiuso. Se apriamo l anello di retroazione come in figura: Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 14

15 Si ottiene Da cui si ricava la fdt ad anello aperto:! #! # Lo studio della fdt ad anello aperto è importante nell analisi e nella progettazione dei sistemi di controllo ad anello chiuso. Essendo la funzione di trasferimento (abbreviata f.d.t.) un rapporto tra due trasformate di Laplace si rende necessario un breve richiamo su quest ultima Trasformata di Laplace. Nei sistemi automatici si studiano sistemi dinamici a tempo continuo, le cui variabili cioè cambiano continuamente nel tempo e spesso sono caratterizzati da equazioni differenziali piuttosto complicate da risolvere direttamente nel dominio del tempo. La trasformata di Laplace è un formidabile strumento che consente di trasformare il problema studiandolo invece che nel dominio del tempo in un altro dominio in cui i calcoli siano più semplici, solitamente nel domino della variabile complessa. Così facendo il problema iniziale, fatto di difficili equazioni differenziali, viene trasformato in un problema risolvibile con delle semplici equazioni algebriche nelle quali la variabile non è più il tempo t ma la variabile complessa s. Trovata la soluzione nel dominio complesso poi tramite l'operazione di antitrasformazione si ritorna nel dominio del tempo ricavando la soluzione definitiva in funzione del tempo t. L antitrasformata (e la reale soluzione del problema) la si può trovare in due modi: 1. Usando direttamente le tabelle di trasformazione. E un metodo valido solo per casi molto semplici. Una di queste tabelle è riportata in tabella 1 a fine capitolo. 2. Sviluppo in fratti semplici ( o parziali). E quello che interessa il nostro studio e ad esso sarà dedicato un paragrafo a parte. Data una funzione del tempo f(t) si definisce trasformata di Laplace la funzione complessa della variabile s: ( $ % & ' ) * +, -' Ovviamente, essendo la variabile t il tempo e non esistendo tempi negativi la f(t) sarà definita per t>0 e dovrà essere nulla per t 0. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 15

16 La funzione trasformata nel nuovo dominio si indica con la lettera maiuscola, ad esempio F(s), mentre le funzioni nel dominio del tempo si indicano con la lettera minuscola,ad esempio f(t).solitamente la variabile complessa s viene espressa come:.+/0 La trasformata di Laplace e' trattata nei corsi di analisi matematica e pertanto esula dagli obiettivi di questo corso. Qui interessa solo sapere che per le funzioni più comuni le trasformate di Laplace sono già note, in particolare sono fondamentali le seguenti proprietà notevoli: La trasformata del prodotto di una costante 1 per una f(t) è data dal prodotto della costante per la trasformata di f(t). 21& '"1$ La trasformata del prodotto di una variabile t per la funzione f(t) è data dalla derivata della trasformata di f(t) rispetto ad s: -$ 2'& '" - La trasformata di una combinazione lineare è data dalla combinazione lineare delle trasformate delle funzioni. 21& '+34 '"1$ +3 La trasformata della derivata rispetto al tempo di una f(t) è data dal prodotto della variabile complessa s per la trasformata della funzione f(t). -& ' 25 6$ -' La trasformata dell integrale di una f(t) è data dal rapporto tra la trasformata della funzione f(t) e la variabile complessa s :, 27% & 8-89 $ ) Teorema del valore iniziale: se L[f(t)]F(s) allora risulta che : lim, ) >& 'lim$ ( Questo teorema è importante perché conoscendo la trasformata F(s) consente di determinare il valore assunto dalla f(t) nell intorno positivo dell origine,cioè senza che sia necessario antitrasformare. Teorema del valore finale: se L[f(t)]F(s) allora risulta che : lim & 'lim $, ( ) Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 16

17 Come prima,conoscendo la trasformata F(s),questo teorema consente di determinare il valore assunto dalla f(t) a regime (cioè per t ) cioè senza che sia necessario antitrasformare Esempi di trasformate: le tensioni ai capi di bipoli passivi. L espressione della tensione ai capi di un resistore nel dominio del tempo 'A ' Per la proprietà I,nel dominio della variabile s si ha :! Dove V r (s) e I(s) sono le trasformate di Laplace della tensione e della corrente. L espressione della tensione ai capi di un condensatore nel dominio del tempo B ' 1 %A '-' C Per le proprietà I e V,nel dominio della variabile s si ha : B 1 C L espressione della tensione ai capi di un induttore nel dominio del tempo D '2 - -' A ' Per le proprietà I e IV,nel dominio della variabile s si ha :! Esempi di funzione di trasferimento : i filtri Circuito RC. Si vuole determinare la funzione di trasferimento del seguente circuito, detto filtro passa basso se l uscita viene prelevata sul condensatore come in figura, o filtro passa alto se l uscita venisse prelevata sul resistore: Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 17

18 Se volessimo risolvere nel dominio del tempo questo semplice circuito ci troveremmo di fronte ad una E '@ F '+@ G 'A '+ 1 %A '-' C Che è tutt altro che semplice. Usando invece le trasformate viste nel par. 2.3 è possibile calcolare innanzitutto la funzione di trasferimento come : H E 1 C + 1 C 1 C C+1 C 1 C+1 Ritrovandoci,del dominio della variabile s, una semplice equazione algebrica al posto di una equazione con un integrale. Trovata la soluzione nel dominio della s però adesso bisogna anti trasformare e tornare nel dominio del tempo. Essendo un caso molto semplice è possibile utilizzare direttamente la tabella 1:il nostro obiettivo diventa quindi quello di ricavare la fdt nella forma 1 posto C8 si ha: H E Dividendo numeratore e denominatore per 8 si ha: H E I J Poniamo adesso K L in modo da liberarci del termine al numeratore. si ha: H E I K + 1 JKI J 8 Infine, posto anche M L si ha: H E K 1 +M A questo punto, dalla riga 6 e dalla riga 1 della tabella si ha che l antitrasformata è : Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 18

19 Circuito RL. g t Vo( t) 1 τ ( t) e Vi( t) 1 e RC Vogliamo anche qui ricavare la funzione di trasferimento del circuito: τ t RC Ripetendo lo stesso ragionamento, se volessimo ragionare nel dominio del tempo arriveremmo ad una equazione differenziale: -A E '@ F '+@ D 'A '+2 -' Applicando le proprietà III e IV del par.2.3 si ha: Vu( s) RI ( s) R 1 G( s) Vi( s) sli( s) + RI( s) sl + R L s + 1 R bisogna a questo punto antitrasformare. Usando di nuovo le tabelle, ponendo D 8 si F ha: Usando le stesse righe della tabella come nel caso precedente si arriva alla soluzione nel dominio del tempo: g( t) Vu( t) Vi( t) 1 τ t τ e R L e R t L 2.5. L antitrasformata tramite sviluppo in frazioni parziali. Gli esempi visti sopra erano casi particolari risolvibili con la semplice consultazione della tabella di Laplace. Nel caso in cui al denominatore e al numeratore della funzione di trasferimento compaia un polinomio bisogna ricorrere ad un altro metodo: lo sviluppo in frazioni parziali (o sviluppo in fratti semplici). Alla base del metodo vi è la possibilità di scomporre un polinomio del quale si conoscono le radici (cioè i valori della variabile che annullano il polinomio stesso) in Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 19

20 modo da riportarci ancora in uno dei casi già noti e presenti nella solita tabella. Qualche esempio chiarirà meglio il concetto. ESEMPIO 1: Supponiamo che la nostra funzione di trasferimento sia : Sappiamo che le radici del polinomio al denominatore sono p 1 1 e p 2 3, quindi possiamo scrivere : A questo punto,detti A e B due coefficienti qualsiasi poniamo la frazione di sopra come una somma di due frazioni in questo modo: N +3 Quest ultimo passaggio fornisce già due termini in una forma simile alla forma O di cui conosciamo l antitrasformata dalla tabella, il problema è ora calcolare quanto valgono A e B. Calcoliamo il minimo comune multiplo: +1 + N +3+N Affinché si abbia l uguaglianza con l equazione di partenza, cioè affinché si abbia 1 +3+N essendo il denominatore uguale (è infatti solo stato messo nella forma scomposta), deve essere uguale anche il numeratore, cioè deve essere: ovvero,mettendo in evidenza s: Questa equazione è vera solo se : +3+N +11 +N+ 3+N1 P +N0 3+N1 R Ovvero se: P N 3+N1 R sostituendo la prima nella seconda si ricava : ,5 1 E dalla prima ovviamente N 0,5 Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 20

21 Per cui sostituendo nella 1 la soluzione al nostro problema diventa: Che possiamo scrivere come: ,5 +1 0,5 +3 0, , Se poniamo a 1 1 e a 2 3 l equazione diventa: 1 1 0,5 0,5 +M +M Che è nella forma voluta (cioè nella forma che troviamo al rigo 6 della tabella),e quindi,consultando il rigo 6 della tabella si ha: 4 '0,5* +O U, 0,5* +O, Risostituendo i valori di a 1 e a 2 si ha la soluzione definitiva nel dominio del tempo a(t): ESEMPIO 2: 4 '0,5* +, 0,5* +, Supponiamo adesso di avere la seguente F.d.T.: A differenza dell esempio 1 in questo caso abbiamo un binomio al numeratore,ma il procedimento per la risoluzione è molto simile. Detti come prima A e B due coefficienti è possibile scrivere la (2) nella forma : N +5 Operando il minimo comune multiplo si ha : +5+N A differenza di prima (in cui il numeratore era 1) questa volta il numeratore deve risultare uguale a s+1, quindi : N +3+5+N+3N +N+ 5+3N Questa può essere vera solo se s(a+b)s (e quindi (A+B)1) e (5A+3B)1,ovvero: Risolvendo il sistema come prima si ricava Sostituendo nella (3): P +N1 5+3N1 R P 1 N2 R 3 Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 21

22 Posto infine a 1 3 e a 2 5 si ha: M +M Siamo quindi arrivati ancora una volta nella forma della riga 6 della tabella dalla quale ricaviamo la soluzione al nostro problema: Risostituendo i valori di a 1 e a 2 infine 4 ' * +O U, +2* +O, 4 ' * +, +2* +, Questi due semplici esempi fanno capire bene che una F.d.T V W dove N(s) è il numeratore e D(s) il denominatore,può sempre essere decomposta in fratti semplici in modo da potersi ricondurre ad espressioni già note e presenti sulla tabella.in altre parole è possibile scrivere: V W X + N X + C X + W X. in modo da poter trovare la soluzione comodamente sulla tabella 1. I valori della variabile s che annullano il denominatore D(s) si chiamano POLI della funzione di trasferimento. Nell esempio 1 i poli della funzione erano -1 e -3 ; nell esempio 2 i poli erano -3 e -5. I valori della variabile s che annullano il numeratore N(s) si chiamano ZERI della funzione di trasferimento. Nell esempio 1 la funzione di trasferimento non aveva zeri in quanto nessun valore poteva annullare il numeratore, nell esempio 2 la funzione ha uno zero in -1. Se uno zero o un polo ha valore nullo (es. p0 oppure z0) esso si dice nell origine. Poli e zeri sono concetti fondamentali per lo studio dei controlli automatici, perché come si vedrà più avanti è in base a questi che si determina la stabilità dei sistemi. Infine, l operazione di antitrasformazione si indica con L -1, cioè : M '2 + " Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 22

23 R Domenico Giordano 2.6. Casi particolari. Oltre ai casi già visti vi possono essere due casi particolari: Caso dei poli multipli. Nel caso in cui il denominatore della fdt si annulli per valori della s reali e coincidenti bisogna individuare tante frazioni parziali quanta è la molteplicità del polo e queste frazioni saranno elevate a potenza in ordine decrescente. Così, se al denominatore abbiamo (s-p) 3 dobbiamo individuare le frazioni A/(s-p) 3, B/(s-p) 2 e C/(s-p). Esempio: Sviluppando in frazioni parziali si ha: +1 + N +2 + C +2 4 Il resto del procedimento è uguale ai casi precedenti. Il m.c.m. è (s+1)(s+2) 2,quindi: +2 +N +1+C N +1+C N+N+C +3C+2C C +2+N+3C+4+N+2C C+ 2+N+3C+ 4+N+2C2 +6 Così come fatto negli esempi precedenti imponiamo l uguaglianza dei coefficienti s : +C 2 \ 2+N+3C 6 4+N+2C 0 Risolvendo il sistema si trova A-4 ; B4 ; C A questo punto possiamo andare a leggere l antitrasformata sulla tabella. A differenza di prima il secondo termine al secondo membro della (4) presenta un binomio al quadrato al denominatore, per cui dovremo sfruttare anche il rigo 9 della tabella. In definitiva si trova: M '2 + " 4* +, +4'* +, +6*, Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 23

24 Poli complessi coniugati. Se i poli della fdt sono complessi coniugati il procedimento ha qualche passaggio in più: il denominatore deve essere portato nella forma D(s)(s+a) 2 +ω 2 dove ω è il coefficiente dell immaginario della variabile s ; il numeratore deve essere portato nella forma di un binomio in s, cioè N(s)As+B ; dopo di che si procede con il solito metodo della ricerca dei coefficienti A e B per poter sfruttare infine le relazioni ai righi 11 e 18 della tabella. Esempio: Le radici sono -2+j e -2-j e sono complesse coniugate. Per quanto detto sopra il denominatore deve essere posto in modo che: Cioè: Uguagliando i coefficienti in s, si ha che : M M+M +0 42M M2 M Nota:ω è una pulsazione, per cui non vengono considerati i valori negativi (-1 nel caso di sopra). Il denominatore sarà quindi D(s) (s+2) Per il denominatore si ha banalmente: Ovvero s0 e B1. +N1 Possiamo quindi scomporre in fratti parziali: E ricavare la soluzione sulla tabella al rigo 11: '2 + "* +, *^ ' Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 24

25 TABELLA 1 f ( t ) per t > 0 F(s) 1 K f ( t ) K F(s) 2 u ( t ) 1 gradino unitario 1 / s 3 δ ( t ) impulso unitario di DIRAC 1 4 t rampa unitaria 1 / ( s 2 ) 5 t n t n - 1. ( n - 1 )! n intero > 0 s n + 1 n! 1 / ( s n ) 6 e - a t 1 / ( s + a ) 7 ( 1 / a ) ( 1 - e - a t ) 1 / [ s ( s + a )] 8 e -a t - e - b t. b a 1. (s + a) (s +b) 9 t e - a t 1 / [(s + a) 2 ] 10 t n e - a t (n-1)! 1. (t n - 1 ) e - a t con n intero e > 0 n!. (s + a) n+1 1 / [ ( s + a ) n ] 11 e - a t sin ( ω t ) ω. (s + a) 2 + ω 2 12 K sin(ωt + ϕ) ω con ϕ arctg ( ω / b) K `+0 s + b. s 2 + ω 2 13 ( K t + 1) e - a t con K b a s + b. (s + a) 2 14 sin ( ω t ) ω. s 2 + ω 2 15 cos ( ω t ) s. s 2 + ω 2 16 t sin ( ω t ) 2 ω 2. (s 2 + ω 2 ) 2 17 t cos ( ω t ) s 2 - ω 2. (s 2 + ω 2 ) 2 18 K e - a t sin (ωt + ϕ) ω con ϕ arctg [ ω / ( b - a )] ab c d e +f e " s + b. (s + a) 2 + ω 2 Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 25

26 2.7. Guadagno di una funzione di trasferimento. Si definisce Guadagno generalizzato di una funzione di trasferimento la quantità: Con g 0. Esempio 1: data la fdt : glim ) h Il guadagno della G(s) lo si ottiene innanzitutto ponendo l equazione nella forma: 8 21 I J e calcolando il lim ) che, per la forma in cui è stata posta l equazione equivale a porre uguale zero tutti i termini in s. Il guadagno è quindi : Esempio 2: data la fdt : g Il guadagno della G(s) lo si ottiene innanzitutto ponendo l equazione nella forma: e calcolando il lim ) il guadagno è quindi : 4 5 j1+1 8 k j kj k g 4 5 Si definisce invece guadagno statico di un sistema la quantità: g ) 0 Notiamo innanzitutto che il guadagno statico è riferito ad un sistema, mentre il guadagno generalizzato si riferiva alla funzione di trasferimento. Poi, il guadagno statico non ha alcuna relazione con il guadagno generalizzato. I due tipi di guadagno coincidono quando nella (5) è g0, ma non negli altri casi! Ad esempio guadagno generalizzato e guadagno statico coincidono nell esempio 1 mentre nell esempio 2 risulta g ) 0 e g. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 26

27 CAP.3 I diagrammi di Bode Teorema della risposta armonica. Ogni sistema ha una sua funzione di trasferimento che ne rappresenta la struttura interna. Se ad esempio sa 2 +bj avremo un sistema ; se sln(a)+b 2 j ne avremo un altro e così via. A noi interessano i sistemi del tipo sjω, e quindi /0 e la funzione di trasferimento che si ottiene è detta risposta in frequenza del sistema o anche risposta armonica del sistema. Questa è particolarmente importante perchè il seguente teorema della risposta armonica ci consente di studiare una larghissima classe di sistemi. Teorema della risposta armonica: Se un sistema lineare, stazionario ed asintoticamente stabile viene sottoposto ad un ingresso sinusoidale di pulsazione ω, esso presenterà a regime una risposta sinusoidale avente la stessa pulsazione del segnale di ingresso e dipendente dalla funzione di trasferimento G(jω) La scala semilogaritmica. Essendo jω una quantità complessa essa avrà un modulo e una fase. I diagrammi di Hendrick W. Bode consentono il tracciamento rapido di diagrammi approssimati del modulo e della fase della G(jω): Il diagramma del modulo ha sull asse delle ordinate il modulo della G(jω) espresso in decibel e sulle ascisse il logaritmo in base 10 della pulsazione ω. Il diagramma della fase riporta il valore della fase della G(jω) espressa in gradi o radianti sulle ordinate e ancora del log 10 della pulsazione sulle ascisse. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 27

28 Si usa una scala semilogaritmica essenzialmente perché consente di rappresentare un vasto campo di valori della pulsazione in poco spazio. Se usassimo una scala decimale normale, per rappresentare lo stesso range di pulsazioni avremmo bisogno di un diagramma molto lungo e quindi illeggibile. Oltre a questo i logaritmi, come si vedrà, consentono di trasformare i prodotti in semplici somme e le frazioni in differenze. Avendo sull asse delle ordinate del primo diagramma il modulo espresso in db, dobbiamo innanzitutto esprimere in decibel il modulo della risposta in frequenza G(jω), e questo lo si fa tramite la seguente relazione: G(jω) db 20log 10 [G(jω)] Mentre la formula inversa per passare dal valore in decibel ai valori normali è: /010 mn ) Alcuni valori notevoli utili da ricordare sono: 1 op 0-N (infatti 20log 10 10) 10 op 20-N (infatti 20log *120) 2 op 6-N (infatti 20log *0,3 6) 2 op 3-N (infatti 20log *0,15 3) Valori positivi in decibel corrispondono a numeri maggiori di uno, mentre valori negativi a numeri compresi tra zero e uno. Tale rappresentazione gode delle proprietà dei logaritmi, quindi ad esempio: 20 op 2 10 op 2 op +10 op 26 -N 5 op 10 2 op 2 op 10 op 14 -N 0,5 op 1 2 op 1 op 2 op 6 -N La comodità di usare la scala in decibel sta anche nel fatto che, come appena visto,la fdt può essere ottenuta come somma dei moduli espressi in db. Per rappresentare la Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 28

29 fase si utilizza sull ordinata una scala lineare tarata in gradi o radianti e anche per essa la fase è la somma delle fasi che compongono la fdt. Per il tracciamento dei diagrammi di Bode si costruirà quindi un diagramma semilogaritmico in quanto avremo sulle ascisse una scala logaritmica mentre sulle ordinate una scala lineare. Definiamo decade l intervallo su scala logaritmica che rappresenta il rapporto di 10 tra i valori della grandezza rappresentata: Un esempio di scala logaritmica è illustrato nella figura sottostante: in esso è possibile notare che, ad esempio, nella decade tra 1 e 10, il centro dell intervallo è 3 perché log 10 30,5, a tre quarti dell intervallo c è 5 perché log 10 50,7 e così via. I termini che interessano il nostro studio sono essenzialmente 3: termine monomio, termine binomio (e sue potenze) ; termine trinomio (e sue potenze) Termine monomio. E un termine del tipo: /0 r s r mn s E il termine che comprende il guadagno K ed eventuali poli o zeri nell origine. Un polo o uno zero si dice nell origine se ha valore 0. Innanzitutto il suo modulo è: /0 t r mn st Che espresso in decibel diventa: 20uv4 w x /0 hw20log x 20uv40h 20log x 420uv40 1 Che rappresenta l equazione di una retta di pendenza -20g decibel per decade: Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 29

30 Se g0 avremo una retta parallela all asse delle ascisse. Se g>0 allora avremo un polo nell origine e la retta avrà pendenza negativa. Se g<0 allora avremo uno zero nell origine e la retta avrà pendenza positiva. Infatti se g<0 /0 t e quindi la funzione ha uno zero. r mn {st x /0h Se g 0 questa retta intersecherà l asse delle pulsazioni (cioè l asse delle ascisse,che corrisponde a zero db) nel punto dato da: Cioè 20log x 20uv40 h 0 20log x 20log 0 h x0 h Ovvero la retta interseca l asse delle ω nel punto: s 0 x 2 Possiamo adesso passare al diagramma della fase, data da: x /0 h x /0h x 4 /0 Ricordando che la fase di un numero complesso sa+jb è data da: M}~'M^4` M essendo k un numero reale la sua fase sarà : xm}~'m^4 0 x 0 mentre la fase del termine g(jω) sarà: xm}~'4j 0 0 km}~'m^4 2 quindi la fase del termine monomio sarà: x /0 h Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 30

31 Essendo g un numero intero quindi la fase per il termine monomio sarà costante e ad essa corrisponde nel diagramma una retta parallela all asse delle ω. Regola pratica per il tracciamento del diagramma: il diagramma del modulo di un termine monomio è una retta; Innanzitutto si calcola la pendenza che è -20g db/decade. La pendenza sarà positiva se g<0 (zero nell origine) o negativa se g>0 (polo nell origine). s Poi si calcola la pulsazione 0 x per la quale passerà questa retta. Anche il diagramma della fase del termine monomio è una retta, ma in questo caso è costante (cioè parallela all asse delle ω) e parte da 4. Esempio 1: Si tratta di un termine monomio che ha un polo nell origine ; da quanto appena studiato sappiamo che il diagramma sarà una retta la cui pendenza è data da -20g, ovvero -20*2-40 db/decade,quindi negativa. Conosciamo quindi la pendenza, per poter tracciare il diagramma abbiamo bisogno di trovare un punto per il quale passerà questa retta. Applicando la (2) si trova che la retta passerà per il punto: Il diagramma del modulo sarà quindi: Il diagramma della fase è ancora più semplice: trattandosi di un termine monomio sappiamo già che sarà una retta parallela all asse delle ω; applicando la (3) al nostro caso si ha poi: 9 /0 2 2 Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 31

32 E il diagramma della fase sarà (linea blu): Esempio 2: /05 Con lo stesso procedimento per diagrammare il modulo notiamo innanzitutto che siamo in presenza di un termine monomio (e quindi il diagramma sarà una retta) ma stavolta con g<0 (infatti 5s lo possiamo vedere come 5/s -1 ) e perciò la fdt ha uno zero nell origine e la sua pendenza sarà -20g-20*(-1)+20 db/decade quindi positiva. Il punto in cui questa retta intercetta l asse delle pulsazioni è dato da : s 0 x {U ,2 Per il diagramma della fase, essendo g-1 dalla (3) si ha: In conclusione i due diagrammi saranno: x /0 h Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 32

33 3.12. Termine binomio e sue potenze. Cominciamo con il termine del tipo : / /08 cioè quando la variabile complessa sta al denominatore e la fdt ha uno zero reale. Ricordando che il modulo di un numero complesso a+jb è dato da M +`, il modulo espresso in db della fdt è: 20log b log Equazione piuttosto difficile da rappresentare graficamente senza l aiuto di un computer, per cui si ricorre ad una rappresentazione approssimata (o asintotica) procedendo in questo modo: Quando 08 1 cioè 0 L il modulo vale 0 db poiché in tal caso log log La prima parte del diagramma è quindi una semiretta che parte dalla ordinata zero ed è parallela all asse delle pulsazioni. Quando 08 1 cioè 0 L il modulo vale: 20log b log b0 8 20log 08 che altro non è che un termine monomio del tipo visto nel par.3.3 e quindi l ultima parte del diagramma è una semiretta di pendenza 20dB/decade passante per il punto di ascissa 1/8 ; Il diagramma asintotico si ottiene congiungendo le due semirette trovate che si intersecheranno nel punto di ascissa 1/ 8 che prende il nome di pulsazione di rottura del diagramma. Il diagramma esatto e quello approssimato del modulo sono rappresentati in fig Sempre dal diagramma si può notare anche che rispetto al diagramma reale, con la rappresentazione approssimata l errore è nullo fino a una decade prima e una decade dopo al punto di rottura, mentre nel punto di rottura l errore è massimo e pari a uv4 2 3-N, ottenuto ponendo 081 nella (4). Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 33

34 La fase per il termine binomio di questo tipo è data da : 1+/08arctang 08 e anche in questo caso dobbiamo fare un approssimazione: fino a una decade prima del punto di rottura (cioè quando 08 1) la fase è costante e pari a zero perché si avrebbe 1+/ oltre una decade dopo la pulsazione di rottura (cioè quando 08 1) si ha che 1+/ La fase è quindi quella di un termine monomio (ovvero 4 /2 ma in questo caso g-1, quindi solo /2) e perciò ancora costante ma: se 8>0 (zero a parte reale positiva) la fase è pari a + /2. se 8<0 (zero a parte reale negativa) la fase è pari a - /2. le due semirette saranno collegate da un segmento di pendenza + /4 se 8>0 da un segmento di pendenza /4 se 8<0. Il diagramma esatto e quello approssimato della fase sono rappresentati in figura 3.1, dove si può notare che con la rappresentazione approssimata non c è errore nel punto di rottura e la fase vale ± /4 a seconda del segno di 8. fig3.1. Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 34

35 Regola pratica per il tracciamento del diagramma: Per il modulo calcoliamo innanzitutto il punto di rottura pari a 0 L. Prima della pulsazione di rottura sappiamo che il diagramma è costante e pari a zero db; dopo la pulsazione di rottura sarà una retta come per il termine monomio di pendenza -20g db/decade. Per la fase, una volta riportata la pulsazione di rottura, sappiamo che una decade prima il diagramma è costante e pari a zero radianti ; una decade dopo sarà di nuovo costante e pari a + se 8>0 oppure se 8<0. Unendo le due semirette si ottiene il diagramma della fase. Esempio: Tracciare il diagramma di Bode della fdt: /01+21+/20 si vede subito che 82, quindi la pulsazione di rottura è 0 0,5 ed è in L questo punto che si intersecheranno le due semirette. La prima di queste è costante, parte da zero e arriva fino al punto di rottura; la seconda invece avrà come pendenza -20g-20(-1)+20 db/decade (quindi positiva) e parte dal punto di rottura. Per la fase poi sappiamo che fino a una decade prima del punto di rottura (cioè in 0,05) la fase è costante e pari a zero gradi ; a partire da una decade dopo (cioè in 5) il diagramma sarà ancora costante e pari a + perchè 8+2>0 ; congiungendo le due semirette si ottiene il diagramma: Corso di Sistemi Automatici ITIS E. Mattei - San Donato Milanese. Pagina 35