Le matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1.

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1 Le matrici Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Siano m, n N\{0}. Una matrice m n a coefficienti in K è una tabella di m n elementi di K disposti su m righe ed n colonne. Notazioni: l insieme delle matrici si denota con Mat m,n (K). Se m n la matrice si dice rettangolare, se m = n si dice quadrata. Nel caso di matrici quadrate Mat n,n (K) si indica con Mat n (K).

2 Le matrici In Mat m,n (K) se m = 1 la matrice si dice vettore riga, se n = 1 la matrice si dice vettore colonna. Data una matrice A = [a ij ] i Im,j I n Mat m,n (K) è possibile estrarre la i-esima riga (i I m ), si ottiene il vettore [a i1... a in ]; la j-esima colonna (j I n ), si ottiene il vettore [a 1j... a mj ] T. Data una matrice quadrata A = [a ij ] di Mat n (K) (di ordine n), si possono individuare due sottoinsiemi: {a ii : i = 1,..., n}, detto diagonale principale, {a i (n+1) i : i = 1,..., n}, detto diagonale secondaria.

3 Le matrici In Mat m,n (K) se m = 1 la matrice si dice vettore riga, se n = 1 la matrice si dice vettore colonna. Data una matrice A = [a ij ] i Im,j I n Mat m,n (K) è possibile estrarre la i-esima riga (i I m ), si ottiene il vettore [a i1... a in ]; la j-esima colonna (j I n ), si ottiene il vettore [a 1j... a mj ] T. Data una matrice quadrata A = [a ij ] di Mat n (K) (di ordine n), si possono individuare due sottoinsiemi: {a ii : i = 1,..., n}, detto diagonale principale, {a i (n+1) i : i = 1,..., n}, detto diagonale secondaria.

4 Le matrici In Mat m,n (K) se m = 1 la matrice si dice vettore riga, se n = 1 la matrice si dice vettore colonna. Data una matrice A = [a ij ] i Im,j I n Mat m,n (K) è possibile estrarre la i-esima riga (i I m ), si ottiene il vettore [a i1... a in ]; la j-esima colonna (j I n ), si ottiene il vettore [a 1j... a mj ] T. Data una matrice quadrata A = [a ij ] di Mat n (K) (di ordine n), si possono individuare due sottoinsiemi: {a ii : i = 1,..., n}, detto diagonale principale, {a i (n+1) i : i = 1,..., n}, detto diagonale secondaria.

5 Le matrici Definiamo alcuni sottoinsiemi di Mat n (K). Sia A = [a ij ] Mat n (K). A è detta: triangolare superiore se a ij = 0 per ogni i, j I n tali che j < i; triangolare inferiore se a ij = 0 per ogni i, j I n tali che j > i; diagonale se a ij = 0 per ogni i, j I n con i j; indichiamo con Diag n (K) il sottoinsieme di Mat n (K) delle matrici diagonali; scalare se A è diagonale e inoltre a ii = λ per ogni i I n.

6 Le matrici Due matrici A = [a ij ] e B = [b ij ] si dicono uguali se A, B Mat m,n (K) e se a ij = b ij (i, j) I m I n. Sia A = [a ij ] Mat m,n (K). Si dice trasposta di A la matrice A T i cui elementi a ij sono a ij = a ji, (i, j) I m I n. Proposizione Sia A = [a ij ] Mat m,n (K). Si ha ( A T ) T = A.

7 Le matrici Due matrici A = [a ij ] e B = [b ij ] si dicono uguali se A, B Mat m,n (K) e se a ij = b ij (i, j) I m I n. Sia A = [a ij ] Mat m,n (K). Si dice trasposta di A la matrice A T i cui elementi a ij sono a ij = a ji, (i, j) I m I n. Proposizione Sia A = [a ij ] Mat m,n (K). Si ha ( A T ) T = A.

8 Le matrici Proposizione Una matrice A Mat n (K) è triangolare superiore se e solo A T è triangolare inferiore. Una matrice A Mat m,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = A T. Si dice antisimmetrica se e solo se A = A T. Osservazioni. Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata. Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi sulla diagonale principale sono nulli. Ogni matrice diagonale è simmetrica.

9 Le matrici Proposizione Una matrice A Mat n (K) è triangolare superiore se e solo A T è triangolare inferiore. Una matrice A Mat m,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = A T. Si dice antisimmetrica se e solo se A = A T. Osservazioni. Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata. Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi sulla diagonale principale sono nulli. Ogni matrice diagonale è simmetrica.

10 Le matrici Proposizione Una matrice A Mat n (K) è triangolare superiore se e solo A T è triangolare inferiore. Una matrice A Mat m,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = A T. Si dice antisimmetrica se e solo se A = A T. Osservazioni. Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata. Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi sulla diagonale principale sono nulli. Ogni matrice diagonale è simmetrica.

11 Lo spazio vettoriale delle matrici Siano A = [a ij ], B = [b ij ] matrici di Mat m,n (K). Definiamo: matrice somma di A con B la matrice (A + B) Mat m,n (K) il cui elemento di posto i, j è a ij + b ij (i, j) I m I n ; matrice prodotto dello scalare α K per la matrice A, la matrice (α A) Mat m,n (K) il cui elemento di posto i, j è αa ij (i, j) I m I n.

12 Esercizio 1. Siano α = 2 R e A = [ Calcolare A + B e α B. ], B = [ ] Mat ,3 (R).

13 Lo spazio vettoriale delle matrici Proposizione La terna (Mat m,n (K), +, ) è uno spazio vettoriale sul campo K. Dimostrare che (Mat m,n (K), +) è un gruppo abeliano (non vuoto, operazione associativa, con elemento neutro la matrice nulla e con inverso additivo la matrice opposta; operazione commutativa) e che la somma e il prodotto esterno soddisfano i quattro assiomi: A, B Mat m,n (K), α, β K : (a) (α + β) A = α A + β A; (b) α (A + B) = α A + α B; (c) (αβ) A = α(β A); (d) 1 K A = A. Compito. Date le matrici A = , B = , C = Mat 3,2 (R), verificare che (A + B) + C = A + (B + C) e che A + B = B + A.

14 Lo spazio vettoriale delle matrici Proposizione La terna (Mat m,n (K), +, ) è uno spazio vettoriale sul campo K. Dimostrare che (Mat m,n (K), +) è un gruppo abeliano (non vuoto, operazione associativa, con elemento neutro la matrice nulla e con inverso additivo la matrice opposta; operazione commutativa) e che la somma e il prodotto esterno soddisfano i quattro assiomi: A, B Mat m,n (K), α, β K : (a) (α + β) A = α A + β A; (b) α (A + B) = α A + α B; (c) (αβ) A = α(β A); (d) 1 K A = A. Compito. Date le matrici A = , B = , C = Mat 3,2 (R), verificare che (A + B) + C = A + (B + C) e che A + B = B + A.

15 Lo spazio vettoriale delle matrici Proposizione Per ogni A, B Mat m,n (K), per ogni α K si ha: (A + B) T = A T + B T ; (α A) T = α A T.

16 Esercizio 2. Siano A = Calcolare: a) A + B; [ ] 1 1 2, B = D = b) 3A 2B; c) B + D; Compito. d) 3A + C; e) E + F ; f) 2E F. [ ] 2 1 2, C = [ 3 3 ] , E = [1 0 4], F = [0 3 1]

17 L anello delle matrici Dati un vettore riga A Mat 1,p (K) e un vettore colonna B Mat p,1 (K) con A = [a a 1p ], B = [b b p1 ] T, chiamiamo prodotto della riga A per la colonna B lo scalare k definito da k = [a a 1p ] [b b p1 ] T = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b a 1p b p1 = = p a 1i b i1. i=1 Esempio. Siano A = [ ], B = [ ] T. Calcolare A B.

18 L anello delle matrici Dati un vettore riga A Mat 1,p (K) e un vettore colonna B Mat p,1 (K) con A = [a a 1p ], B = [b b p1 ] T, chiamiamo prodotto della riga A per la colonna B lo scalare k definito da k = [a a 1p ] [b b p1 ] T = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b a 1p b p1 = = p a 1i b i1. i=1 Esempio. Siano A = [ ], B = [ ] T. Calcolare A B.

19 L anello delle matrici Date le matrici A = [a ih ] Mat m,p (K) e B = [b hj ] Mat p,n (K) chiamiamo prodotto (righe per colonne) di A con B la matrice AB Mat m,n (K) avente come elemento di posto (i, j) il prodotto della i-esima riga di A con la j-esima colonna di B: (AB) ij = [a i1... a ip ] [b 1j... b pj ] T. Esempio. Siano [ ] A =, B = , calcolare AB.

20 L anello delle matrici Date le matrici A = [a ih ] Mat m,p (K) e B = [b hj ] Mat p,n (K) chiamiamo prodotto (righe per colonne) di A con B la matrice AB Mat m,n (K) avente come elemento di posto (i, j) il prodotto della i-esima riga di A con la j-esima colonna di B: (AB) ij = [a i1... a ip ] [b 1j... b pj ] T. Esempio. Siano [ ] A =, B = , calcolare AB.

21 Esercizio 3. Compito. Siano Calcolare: a) AB; b) BA; c) AC; d) CA; e) BD; f) AD; g) CD. A = , B = , [ ] C =, D =