Ottimizzazione Combinatoria A. A

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1 Ottimizzazione Combinatoria Docente: Mara Servilio A. A Orario delle lezioni: Mercoledì 11:30-13:30; Giovedì 11:30-13:30 Orario di ricevimento: Mercoledì 15:00-17:00 Sito web: Testi di riferimento 1. A. Sassano, Modelli e Algoritmi della Ricerca Operativa 2. L. A. Wolsey, Integer Programming 3. W. J. Cook, W. H. Cunningham, W. R. Pulleyblank, A. Schrijver, Combinatorial Optimization

2 Un problema di logistica Un azienda di spedizioni, proprietaria di alcuni treni merci, intende realizzare un servizio di spedizioni tra L Aquila e Pescara via ferrovia. L azienda 1. Chiede gli orari disponibili alla società che gestisce la rete ferroviaria (Rete Ferroviaria Italiana) e i costi relativi. 2. Configura il servizio che massimizza il guadagno. Il gestore della rete 1. Studia la fattibilità delle richieste della società. 2. Pianifica alcuni orari alternativi. 3. Definisce i prezzi di ogni alternativa.

3 Un problema di logistica L azienda deve risolvere un problema di ottimizzazione. Dati: O = insieme dei possibili orari, ognuno con il proprio costo T =insieme dei treni disponibili, ognuno con il proprio profitto Problema: Assegnare un sottoinsieme T sottoinsieme O O di orari in modo da T di treni a un massimizzare il guadagno (somma dei profitti somma dei costi) rispettare i vincoli fisici.

4 Un problema di logistica Il gestore della rete deve risolvere un problema di ottimizzazione Dati: L intervallo di tempo necessario a percorrere ogni tratta della linea L intervallo di tempo minimo e massimo di sosta in ogni stazione Gli standard di sicurezza (due treni che viaggiano sulla stessa linea devono essere separati da almeno k metri, ecc.) L orario esistente Problema: Trovare (se esiste!) un orario che contenga il nuovo treno e che rispetti gli standard di sicurezza.

5 Problema di Ottimizzazione Siano U = insieme universo, ossia un insieme di soluzioni, decisioni e alternative. F U = insieme ammissibile definito tramite una serie di relazioni dette vincoli. f: U R = funzione obiettivo. Direzione di ottimizzazione: minimo o massimo. Problema di ottimizzazione (in forma di minimo) Trovare un elemento x * F tale che f(x * ) < f(x) per ogni x F. f(x * ) = valore ottimo x * = soluzione ottima

6 Siano Problema di Ottimizzazione Combinatoria N = {1,2,,n} insieme finito. c vettore di pesi con coordinate c j definite per ogni j N Insieme universo: U = {tutti i possibili 2 N sottoinsiemi di N} Famiglia ammissibile: I = {sottoinsiemi F di U che soddisfano una certa proprietà }. Problema di ottimizzazione combinatoria (in forma di minimo) min {Σ c j : S I} S N j S

7 Alcune applicazioni Progetto di servizi logistici. Progetto di una rete di trasmissione radiotelevisiva. Gestione del servizio di trasporto urbano per handicappati. Pianificazione della produzione. Gestione delle partenze e degli arrivi in un aeroporto.

8 Problema dell assegnamento Consideriamo 3 artigiani e 3 lavori da realizzare. I costi richiesti da ogni artigiano per ogni lavoro sono riportati nella seguente tabella A L Problema: Assegnare esattamente un artigiano ad un lavoro in modo da minimizzare i costi totali.

9 Problema dell assegnamento Insiemi ammissibili 1. {(a 1,l 1 ); (a 2,l 2 ); (a 3,l 3 )} di costo {(a 1,l 2 ); (a 2,l 3 ); (a 3,l 1 )} di costo 44 A L {(a 1,l 3 ); (a 2,l 1 ); (a 3,l 2 )} di costo {(a 1,l 3 ); (a 2,l 2 ); (a 3,l 1 )} di costo {(a 1,l 2 ); (a 2,l 1 ); (a 3,l 3 )} di costo {(a 1,l 1 ); (a 2,l 3 ); (a 3,l 2 )} di costo 38 La soluzione ottima ha valore 28. I possibili assegnamenti, e quindi i possibili insiemi ammissibili, sono 3! In generale, su un insieme di n elementi esistono n! insiemi ammissibili.

10 Problema dello zaino Supponiamo di avere a disposizione un budget b per gli investimenti del Associamo ad ogni possibile investimento j un costo c j > 0, un guadagno g j > 0. Problema: Scegliere l insieme di investimenti da effettuare in modo da massimizzare il guadagno e senza eccedere il budget a disposizione.

11 Problema dello zaino Dimensione dello zaino: b = c 2 g Insiemi ammissibili, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,4}, {2,4}, {3,4} Soluzione ottima {1,2} di valore 24 Il numero di insiemi ammissibili è pari al numero di possibili sottoinsiemi di un insieme di n oggetti, ossia 2 n. n Se b = Σ c j / 2 gli insiemi ammissibili sono almeno 2 n-1. j =1

12 Problema del commesso viaggiatore (TSP) Consideriamo n punti nel piano. Per ogni coppia di punti (i, j) definiamo un costo c ij > Problema: Determinare il tour di costo minimo.

13 Problema del commesso viaggiatore (TSP) Insiemi ammissibili: tutti i possibili tour del grafo In un grafo con n nodi esistono (n-1)!/2 tour.

14 Proprietà dei problemi di OC 1. Tutti i problemi di OC sono definiti su insiemi ammissibili finiti e numerabili. 2. Il valore della funzione obiettivo può essere calcolato in corrispondenza di ogni insieme ammissibile. Esiste un algoritmo universale per i problemi di OC che si chiama enumerazione totale. E possibile utilizzare l enumerazione totale nella pratica?

15 Proprietà dei problemi di OC n log n n 0.5 n 2 2 n n! Le operazioni eseguite da un moderno calcolatore in un anno sono pari a L algoritmo di enumerazione totale impiegherebbe circa 2 anni per risolvere un problema di commesso viaggiatore con 20 punti nel piano.

16 Obiettivi di questo corso 1. Studiare tecniche matematiche che consentano di progettare algoritmi efficienti per i problemi di OC: Algoritmi ammissibili a complessità polinomiale (Assegnamento). Algoritmi ammissibili a complessità pseudo-polinomiale (Zaino). Algoritmi ammissibili a complessità non polinomiale (TSP). Algoritmi approssimati a complessità polinomiale (Zaino). Algoritmi euristici (Zaino, TSP). 2. Modellare problemi decisionali che derivano da applicazioni del mondo industriale come problemi di ottimizzazione.

17 Parte I: Insiemi indipendenti e coperture

18 Problema 1: Il ballo (Berge) Ad un ballo sono presenti n ragazzi e n ragazze. Ciascun ragazzo riconosce k fidanzate tra le ragazze presenti. Ciascuna ragazza riconosce k fidanzati tra i ragazzi presenti. Domanda: è possibile far ballare ciascun ragazzo con una delle sue fidanzate e ciascuna ragazza con uno dei suoi fidanzati?

19 Problema 1: Il ballo (Berge) Formulazione: 4 ragazzi/ragazze con 3 fidanzate/fidanzati. U = insieme degli archi del grafo Asia Alessio Bianca Bruno I = famiglia degli insiemi di archi che toccano ogni vertice esattamente una volta. Chiara Daria Cristian Davide

20 Problema 2: Le torri Consideriamo una scacchiera n n. Due torri si danno scacco se giacciono sulla stessa riga (colonna) della scacchiera. Domanda: Qual è il massimo numero di torri che è possibile disporre sulla scacchiera senza che esse si diano scacco reciproco?

21 Problema 2: Le torri Formulazione: Due torri si danno scacco se si trovano sulla stessa riga o colonna. A B A B C D C 3 D U = insieme degli archi del grafo I = famiglia degli insiemi di archi che toccano ogni vertice non più di una volta. 4 Grafo intersezione righe-colonne

22 Problema 3: La battaglia di Inghilterra (Berge) Nel 1941 le squadriglie inglesi erano composte di aerei biposto, ma alcuni piloti non potevano formare una coppia per problemi di lingua o di abitudini. Domanda: Dati i vincoli di incompatibilità tra coppie di piloti, qual è il massimo numero di aerei che è possibile far volare simultaneamente?

23 Problema 3: La battaglia di Inghilterra (Berge) Formulazione: Grafo di compatibilità dei piloti U = insieme degli archi del grafo Bob Evgenij Alì Charlie I = famiglia degli insiemi di archi che toccano ogni vertice al più una volta. David Fëdor

24 Abbinamento (Matching) Definizione: Dato un grafo G = (V, E), un abbinamento (matching) è un sottoinsieme A E di archi a due a due non adiacenti. Asia Alessio A 1 Bob Evgenij Bianca Chiara Bruno Cristian B C 2 3 Alì Charlie Daria Davide David D 4 Fëdor In ciascuno dei problemi precedenti la soluzione corrisponde a un abbinamento su un grafo.

25 Tipologie di abbinamento Definizione: Se A * > A per ogni abbinamento A di G, allora A * si dice massimo. Definizione: Se G è bipartito, allora anche A si dice bipartito. Definizione: Se A = V /2, allora A si dice perfetto. Asia Alessio A 1 Bob Evgenij Bianca Chiara Bruno Cristian B C 2 3 Alì Charlie Daria Davide David D 4 Fëdor

26 Tipologie di abbinamento Definizione: Se A * > A per ogni abbinamento A di G, allora A * si dice massimo. Definizione: Se G è bipartito, allora anche A si dice bipartito. Definizione: Se A = V /2, allora A si dice perfetto. Definizione: Un abbinamento A si dice massimale se ogni elemento di E A è adiacente ad almeno un elemento di A.

27 Insieme indipendente Definizione: Dato un grafo simmetrico G = (V,E), un qualunque sottoinsieme S di vertici si dice indipendente se esso è costituito da elementi a due a due non adiacenti. S è detto insieme stabile (stable set) Definizione: Un insieme stabile S * si dice massimo se S * > S, per ogni insieme stabile S di G. Definizione: Un insieme stabile S si dice massimale se ogni elemento di V S è adiacente ad almeno un elemento di S.

28 Esempi Osservazione: L insieme vuoto è un insieme indipendente. Insieme indipendente massimale Abbinamento massimale

29 Esempi Insieme indipendente massimo Abbinamento massimo

30 Copertura Definizione: Dato un grafo simmetrico G = (V, E), un qualunque sottoinsieme T di vertici (F di archi) tale che ogni arco di E (vertice di V) incide su almeno un elemento di T (di F) si dice copertura. T è detto insieme trasversale (vertex cover). F è detto edge-cover. Definizione: Una copertura X si dice minimale se X {x} non è una copertura per ogni x X. Definizione: Una copertura X * si dice minima se X * < X, per ogni insieme copertura X di G.

31 Esempi Osservazione: L insieme dei nodi V e l insieme degli archi E di un grafo sono rispettivamente trasversale e edge-cover. Trasversale minimale Edge-cover minimale

32 Esempi Trasversale minimo Edge-cover minimo

33 Disuguaglianze duali deboli Indichiamo con α(g) insieme stabile massimo di G. µ(g) abbinamento massimo di G. ρ(g) edge cover minimo di G. τ(g) trasversale minimo di G. Teorema: Per un grafo G valgono le seguenti disuguaglianze 1. α(g) < ρ(g) 2. µ(g) < τ(g)

34 Disuguaglianze duali deboli Dimostrazione: Siano X insieme indipendente di G, e Y edge-cover di G. Poiché Y copre V, ogni elemento di X incide su almeno un elemento di Y. D altra parte, nessun elemento di Y copre contemporaneamente due elementi di X altrimenti i due elementi sarebbero adiacenti e quindi non potrebbero appartenere all insieme indipendente X. Pertanto, per ogni x X esiste un distinto y Y che lo copre, e quindi X < Y. Riscrivendo la precedente relazione per gli insiemi massimi X * e Y *, si ottiene α(g) < ρ(g) Scambiando il ruolo di V ed E, si ottiene µ(g) < τ (G)

35 Disuguaglianze duali deboli α(g) = 3 Esempio indipendente e edge-cover ρ(g) = 3 α(g) = 3 ρ(g) = 3

36 Disuguaglianze duali deboli µ(g) = 3 Esempio trasversale e abbinamento τ (G) = 3 µ(g) = 3 τ (G) = 3 Forse valgono sempre con il segno =?

37 Disuguaglianze duali deboli Forse valgono sempre con il segno =? NO!!! α(g) = 2 ρ(g) = 3

38 Teorema di Gallai Teorema (Gallai 1959): Per ogni grafo G con n nodi si ha: α(g) + τ(g) = n (1) Se inoltre G non ha nodi isolati µ(g) + ρ(g) = n (2) Esempio (1)

39 Teorema di Gallai Teorema (Gallai 1959): Per ogni grafo G con n nodi si ha: α(g) + τ(g) = n (1) Se inoltre G non ha nodi isolati µ(g) + ρ(g) = n (2) Esempio (2)

40 Dimostrazione Dimostrazione (1): Sia S un insieme indipendente di G. Allora V S è un insieme trasversale. S In particolare, V S > τ (G). Se consideriamo l insieme indipendente massimo S *, otteniamo τ(g) < V S * = n α(g) da cui ricaviamo α(g) + τ(g) < n.

41 Dimostrazione Dimostrazione (1): Viceversa, sia T un insieme trasversale di G. Allora V T è un insieme indipendente. non coperto da T In particolare, V T < α (G). Se consideriamo l insieme trasversale minimo T *, otteniamo T da cui ricaviamo α(g) > V T * = n τ(g) α(g) + τ(g) > n. Considerando la condizione ottenuta precedentemente, possiamo concludere che α(g) + τ(g) = n.

42 Dimostrazione Dimostrazione (2): Sia G un grafo privo di nodi isolati e sia A* l abbinamento massimo di G. Indichiamo con V A* i nodi saturi rispetto ad A*. V A* Sia H un insieme minimale di archi tale che ogni nodo in V V A* è estremo di qualche arco in H. Segue che H = V V A* = n 2 A* Osserviamo che l insieme C = H A* è un edge-cover di G.

43 Dimostrazione Dimostrazione (2): Sicuramente, C > ρ (G). Quindi ρ(g) < C = A * + H = A * + n 2 A * = n A * = n µ(g) da cui ricaviamo ρ (G) + µ(g) < n.

44 Dimostrazione Dimostrazione (2): Sia C il minimo edge-cover su G ( C = ρ(g)). Sia H = (V, C) il sottografo indotto da C. Valgono le seguenti proprietà: 1) H è un grafo aciclico. Infatti, se H contenesse cicli allora C non sarebbe un edge-cover minimo.

45 Dimostrazione Dimostrazione (2): 2) Ogni cammino in H è composto di al più due archi. Infatti, se H contenesse un cammino con 3 archi sarebbe sempre possibile rimuovere un arco e ottenere ancora un edge-cover. L esistenza di un tale cammino contraddirebbe il fatto che C è minimo.

46 Dimostrazione Dimostrazione (2): Dalle proprietà precedenti concludiamo che il grafo H = (V, C) ha V = n vertici; ha C = ρ(g) archi; può essere decomposto in N componenti connesse aventi la forma di stella

47 Dimostrazione (2): Consideriamo l i-esima componente connessa di H. Essa avrà: s i nodi, e s i 1 archi. Pertanto N n = Σ s i i =1 e Dimostrazione N ρ(g) = Σ (s i 1) = n N N = n ρ(g) i =1 Sia A un abbinamento con un arco per ogni componente di H. Si ottiene µ(g) > A = n ρ(g) ρ(g) + µ(g) > n Considerando la condizione ottenuta precedentemente, possiamo concludere che ρ (G) + µ(g) = n.

48 Formulazioni di PLI Massimo insieme stabile Dati: G = (V,E), V = n, E = m. Variabili decisionali: x i = 1 se il vertice i appartiene allo stabile S 0 altrimenti Formulazione: max Σ x i i V x i + x j < 1 x i {0,1} (i, j) E i V

49 Rilassamento lineare Rilassamento lineare del massimo insieme stabile max Σ x i i V x i + x j < 1 x i > 0 (i, j) E i V STAB RL Osservazione: La limitazione x i < 1 può essere omessa. Indichiamo con α RL (G) il valore della soluzione ottima di STAB RL.

50 Minimo edge cover Formulazioni di PLI Dati: G = (V,E), V = n, E = m. Variabili decisionali: y ij = 1 se l arco ij appartiene all edge cover C 0 altrimenti Formulazione: min Σ y ij ij E Σ y ij > 1 ij (i) y ij {0,1} i V (i, j) E

51 Rilassamento lineare Rilassamento lineare del minimo edge cover min Σ y ij ij E Σ y ij > 1 ij (i) y ij > 0 i V (i, j) E EDGE-C RL Osservazione: La limitazione y ij < 1 può essere omessa. Indichiamo con ρ RL (G) il valore della soluzione ottima di EDGE-C RL.

52 Dualità Osservazione: I problemi STAB RL e EDGE-C RL costituiscono una coppia primale-duale. Inoltre Pertanto α(g) < α RL (G) e ρ RL (G) < ρ(g) α(g) < α RL (G) = ρ RL (G) < ρ(g)

53 Massimo matching Formulazioni di PLI Dati: G = (V,E), V = n, E = m. Variabili decisionali: y ij = 1 se l arco ij appartiene al matching M 0 altrimenti Formulazione: max Σ y ij ij E Σ y ij < 1 ij (i) y ij {0,1} i V (i, j) E

54 Rilassamento lineare Rilassamento lineare del massimo matching max Σ y ij ij E Σ y ij < 1 ij (i) y ij > 0 i V (i, j) E MATCHING RL Osservazione: La limitazione y ij < 1 può essere omessa. Indichiamo con µ RL (G) il valore della soluzione ottima di MATCHING RL.

55 Minimo trasversale Formulazioni di PLI Dati: G = (V,E), V = n, E = m. Variabili decisionali: x i = 1 se il vertice i appartiene al trasversale T 0 altrimenti Formulazione: min Σ x i i V x i + x j > 1 x i {0,1} (i, j) E i V

56 Rilassamento lineare Rilassamento lineare del minimo trasversale min Σ x i i V x i + x j > 1 x i > 0 (i, j) E i V TRASV RL Osservazione: La limitazione x i < 1 può essere omessa. Indichiamo con τ RL (G) il valore della soluzione ottima di TRASV RL.

57 Dualità Osservazione: I problemi MATCHING RL e TRASV RL costituiscono una coppia primale-duale. Inoltre Pertanto µ(g) < µ RL (G) e τ RL (G) < τ (G) µ(g) < µ RL (G) = τ RL (G) < τ (G)

58 Cammino alternante Sia M un matching di G = (V, E). Definizione: Un arco (i, j) E si dice accoppiato (libero) se (i, j) M ((i, j) M). Definizione: Un vertice i V si dice accoppiato (esposto) se su di esso incide (non incide) un arco di M. Definizione: Un cammino P sul grafo G si dice alternante rispetto a M se esso è costituito alternativamente da spigoli accopiati e liberi.

59 Cammino aumentante Definizione: Un cammino P alternante rispetto ad M che abbia entrambi gli estremi esposti si dice aumentante.

60 Aumentare un matching Teorema: Sia M un matching di G e sia P un cammino aumentante rispetto a M. La differenza simmetrica M = (M P) (P M) = M P è un matching di cardinalità M + 1. M-P P-M P-M

61 Dimostrazione Dimostrazione: Sia M un matching di G e sia P un cammino aumentante rispetto a M. L insieme gode delle seguenti proprietà M = (M P) (P M) 1) M è un abbinamento. Infatti, se così non fosse allora esisterebbero almeno due archi adiacenti tra loro in M. Questi archi 1) Non possono appartenere entrambi ad M P altrimenti M non sarebbe un matching. 2) Non possono appartenere entrambi a P M perché P è alternante.

62 Dimostrazione Dimostrazione: Pertanto, l unica possibilità è che un arco appartenga a M P e l altro a P M. Ma, poiché i due archi devono essere adiacenti, essi devono necessariamente appartenere entrambi a P. In questo modo M conterrebbe un arco del matching appartenente anche al cammino e questo non è possibile per definizione di M.

63 Dimostrazione Dimostrazione: 2) M ha un elemento in più di M. M P P M Sia M = m 1 + m 2 con m 1 = M P e m 2 = numero di archi del matching appartenenti al cammino. Poiché P M = m 2 + 1, si ottiene M = M P + P M = m 1 + m = M + 1.

64 Teorema di Berge Teorema (Berge,1957): Un matching M di G è massimo se e solo se G non ammette cammini alternanti rispetto a M che siano anche aumentanti. Dimostrazione ( ): Segue direttamente dal teorema precedente. Dimostrazione ( ): Facciamo vedere che, se non esistono cammini aumentanti rispetto a un certo matching M, allora quel matching M è massimo. Supponiamo che G ammetta un matching M con un elemento in più di M. Vogliamo dimostrare che allora esiste un cammino aumentante per M.

65 Teorema di Berge Dimostrazione ( ): Consideriamo il sottografo G individuato dall insieme di archi F = (M M )\ (M M ) e da tutti i loro estremi. di G Poiché M e M sono matching, ogni vertice di G ha grado < 2. Quindi le componenti connesse di G o sono percorsi o sono cicli.

66 Teorema di Berge Dimostrazione ( ): Nessun ciclo può essere dispari altrimenti M e M non sarebbero due abbinamenti. Non possono essere tutti cicli pari altrimenti M = M. Deve esistere una componente connessa che è un percorso. Non tutti i percorsi possono essere pari altrimenti M = M. Quindi, senza perdità di generalità, possiamo assumere che esista un percorso dispari che inizia e termina con un arco di M. Questo percorso è aumentante per M.

67 Un possibile algoritmo M = ; // Inizializzazione trovato = TRUE; while (trovato) { } search (M, &trovato); if (trovato) aumenta (G, &M); Come è fatta search (G, M, &trovato)?

68 Teorema del cammino aumentante Teorema: Sia v un vertice esposto in un matching M. Se non esiste un cammino aumentante per M che parte da v, allora esiste un matching massimo avente v esposto. Dimostrazione: Sia M* un matching massimo in cui v è accoppiato. Consideriamo M M*.

69 Dimostrazione Dimostrazione: Poiché M e M* sono due abbinamenti e v è accoppiato in M*, si ha che M M* non può contenere un cammino v perché aumentante per M. Però, contiene un cammino v Pertanto, scambiando gli archi blu con quelli rossi è possibile ottenere da M* un altro abbinamento massimo con esposto.

70 Un possibile algoritmo (ΙΙ) M = ; trovato = FALSE;//Inizializzazione for (v V) { if (v è esposto) { } search (v, M, &trovato, &q); if (trovato) else aumenta (q, v, &M); //cancella v e tutti gli //archi incidenti in v cancella (v, &G);

71 Ricerca di cammini aumentanti Scopo della funzione search: trovare un cammino aumentante rispetto a M, oppure dire che non esiste. Parametri v nodo esposto; M matching; trovato, variabile booleana; q, vertice estremo del cammino aumentante. Introduciamo un etichetta per i vertici di V label(w) = PARI = DISPARI = NULL

72 Ricerca di cammini aumentanti search (v, M, *q, *trovato) { } for (i V) label (i) = NULL; LIST = {v}; label {v} = PARI; while (LIST!= ) { pop (&i, LIST); } if (label (i) == PARI) else esplora_pari (i, M, q, trovato, &LIST); esplora_dispari (i, M, &LIST); if (trovato) return;

73 Ricerca di cammini aumentanti (ΙΙ) esplora_pari (i, M, *q, *trovato, *LIST) { } for (j δ(i)) { } if (j M) { *q = j; } *trovato = TRUE; pred (q) = i; return; if (j M && label (j) == NULL) { pred (j) = i; } label (j) = DISPARI; push (j, LIST);

74 Ricerca di cammini aumentanti (ΙΙΙ) esplora_dispari (i, M, *LIST) { j = vertice accoppiato ad i in M; if (label (j) == NULL){ pred (j) = i; label (j) = PARI; push (j, LIST); } }

75 Esempio Sia M il matching rosso v, PARI DISPARI DISPARI DISPARI PARI PARI PARI q, ESPOSTO

76 Esempio Sia M il matching rosso v, PARI DISPARI DISPARI DISPARI PARI PARI PARI

77 Esempio v q

78 Un problema D oppure P? D v, P D P D P

79 Correttezza Teorema: Se i vertici di G sono etichettati in modo unico dalla procedura search rispetto ad un matching M, allora search termina con un cammino aumentante, se esso esiste. Domanda: Esistono grafi che ammettono sempre la proprietà di unicità delle etichette?

80 G (X, Y, E) grafo bipartito Grafi bipartiti

81 Teorema di König Teorema (König 1931): Se G = (X, Y, E) è un grafo bipartito allora µ (G) = τ(g). Dimostrazione: Sia M* un matching massimo, e siano X 1 : insieme dei nodi x di X accoppiati rispetto ad M*. X 2 : insieme dei nodi x di X esposti rispetto ad M*.

82 Dimostrazione X 1 Nodi raggiungibili X 2 Definizione: Un nodo y Y 1 è raggiungibile se esiste P alternante rispetto ad M* da x in X 2 tale che l ultimo arco non appartiene ad M*. Y 1 : insiemi dei nodi y di Y raggiungibili da x in X 2.

83 Dimostrazione X 1 Y 2 Y 1 X 2 Y 2 Osservazione: Per definizione i nodi in Y 1 sono accoppiati, altrimenti M* non sarebbe massimo. Infine: Y 2 : Y Y 1

84 Dimostrazione X 1 Y 2 Y 1 X 2 Y 2 Consideriamo il seguente insieme di nodi Z = {z 1, z 2,, z µ(g) } con z i = y i se y i è raggiungibile z i = x i altrimenti e dimostriamo che è un trasversale.

85 Dimostrazione Dimostriamo che non esistono archi da nodi in X 2 verso nodi in Y non coperti da Z. Infatti, 1) Non può esistere un arco non coperto da Z tra un nodo in X 2 e un nodo in Y 2, altrimenti il matching non sarebbe massimo. 2) Non può esistere un arco non coperto da Z tra un nodo in X 2 e un nodo in Y 1 perché i nodi in Y 1 sono raggiungibili e quindi l arco necessariamente deve essere coperto. Y 2 X 1 Y 1 X 2 Y 2

86 Dimostrazione Dimostriamo che non esistono archi da nodi in X 1 verso nodi in Y non coperti da Z. Consideriamo l arco 1, da X 1 a Y 2. Se non fosse coperto allora il nodo y 1, estremo dell arco del matching, sarebbe raggiungibile. Ma allora esisterebbe un cammino aumentante e il matching non sarebbe massimo. y 1 Y 2 X 1 Y 1 X 2 1 Y 2

87 Dimostrazione Consideriamo un arco da X 1 a Y 1, ad esempio l arco 2. Se non fosse coperto allora il nodo y 2 non sarebbe raggiungibile, ovvero non apparterrebbe ad Y 1 (contraddizione). x 1 Y 2 2 y 2 X 1 Y 1 X 2 Y 2 Pertanto Z è un trasversale di cardinalità pari a µ(g).