08 - Matrici, Determinante e Rango
|
|
- Alessandro Grandi
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
2
3 1. Definizione di matrice 1. Definizione di matrice Siano m, n N. La tabella A composta da m n numeri reali, disposti su m righe ed n colonne, è detta matrice m n in R, e si rappresenta come segue: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Utilizzeremo le lettere maiuscole dell alfabeto latino per indicare una matrice: A, B, C,... I numeri reali a ij, con i = 1,..., m e j = 1,..., n, sono detti elementi della matrice A, i e j sono detti indice di riga e indice di colonna, in quanto i identifica la riga della matrice dove trovare l elemento a ij e j ne identifica la colonna. Ad esempio con a 13 si indica l elemento posto all incrocio tra la prima riga e la terza colonna di una matrice. Una matrice può essere indicata come segue: [A] ij, i = {1,..., m}, j = {1,..., n}, A m,n, Indicheremo con A i la i-esima riga di A, A i = [a i1 a i2 a in ] e con A j la j-esima colonna di A: A j = a 1j a 2j. a mj. oppure A m n Esempio 1.1 Sia A una matrice 2 3: [ ] 1 1/2 2 A =. 3 1/3 4 In questo esempio l elemento a 11 della matrice è a 11 = 1 e l elemento a 23 è a 23 = 4. Gli elementi della terza colonna sono: [ ] 2 A 3 =. 4 e quelli della prima riga sono: A 1 = [1 1/2 2]. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 3
4 1. Definizione di matrice Definizione Una matrice A m n con m = n si dice quadrata di ordine n e si indica con A n. Sia A n una matrice quadrata di ordine n. Definizione Gli elementi a 11, a 22,..., a nn sono detti elementi diagonali e costituiscono la diagonale principale di A n. Definizione Gli elementi a 1n, a 2(n 1), a 3(n 2),..., a n1 costituiscono invece la diagonale secondaria di A n. Definizione La somma degli elementi diagonali di una matrice si dice traccia: T r[a n ] = a 11 + a a nn. Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale nulli, a ij = 0, i j, si dice matrice diagonale. Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali, a ij = k R, i = j, si dice matrice scalare. Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a 1, a ij = 1, i = j, si dice matrice unitá o identitá. Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi sotto (sopra) la diagonale principale nulli, a ij = 0 i > j(a ij = 0 i j), si dice matrice triangolare superiore (matrice triangolare inferiore). Esempio 1.2 Si considerino le seguenti matrici: A = ; B = 0 1/3 0 ; C = 0 0 ; I = ; D = ; E = Sono tutte matrici quadrate di ordine 3. B è una matrice diagonale, C è una matrice scalare, I è la matrice identitá o unitá, D é una matrice triangolare superiore e E una matrice triangolare inferiore. Definizione Siano A m n e B p q due matrici. Diremo che le due matrici sono uguali e scriveremo A = B 4 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
5 2. Operazioni fra Matrici se: m = p e n = q, cioé le due matrici sono dello stesso ordine, e a ij = b ij, i, j, cioé sono uguali gli elementi che occupano le medesime posizioni nelle rispettive matrici. Definizione Una matrice i cui elementi sono tutti nulli si dice matrice nulla. Definizione Sia A m n una matrice. Chiameremo matrice trasposta di A e la indicheremo con A T, la matrice che si ottiene scambiando le righe e le colonne di A, quindi: A T m n = A n m. Definizione Una matrice A si dice simmetrica se A = A T. Definizione Una matrice A di ordine 1 n è anche detta vettore riga di ordine n, mentre una matrice A di ordine n 1 è anche detta vettore colonna di ordine n. Quando parleremo di vettore senza indicare se riga o colonna, assumeremo che si tratti di un vettore colonna. Esempio π 1 π [ ] [ ] A = 0 1 ; B = ; C = ; D = ; π π E = ; F = 1 ; G = [ 1 6 e] ; H = e Come si può verificare, A = B; C = A T ; D è una matrice quadrata nulla di ordine 2; E è una matrice simmetrica (E = E T ); F è un vettore colonna; G è un vettore riga; H è una matrice diagonale (e quindi simmetrica) di ordine Operazioni fra Matrici Definizione Siano A e B due matrici di ordine m n. Si definisce matrice somma di A e B e si indica con A + B la matrice C ottenuta sommando gli elementi di A e B che occupano la stessa posizione nelle rispettive matrici: C m n = A m n + B m n, con c ij = a ij + b ij, i, j. E evidente che due matrici si possono sommare se sono dello stesso ordine. Date due matrici, A e B, dello stesso ordine, la somma tra matrici gode delle seguenti proprietà: (1) A + B = B + A. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
6 2. Operazioni fra Matrici (2) (A + B) + C = A + (B + C). (3) A + O = O + A = A, dove O è la matrice nulla dello stesso ordine di A. Definizione Sia A una matrice di ordine m n. Si definisce prodotto scalare-matrice il prodotto di uno scalare k R per la matrice A. La nuova matrice si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per k. Definizione Sia A una matrice di ordine m n. Si definisce matrice opposta di A e si indica con A, la matrice che si ottiene invertendo il segno di tutti gli elementi di A. A si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per 1. Vale allora anche la seguente proprietá della somma: A + ( A) = ( A) + A = O. Dalle proprietà precedenti si può definire la differenza di A e B come la somma di A e della matrice opposta di B: Esempi 2.1 Calcolare le seguenti matrici: A B = A + [ B] A + B ; 2C ; A + B 2C dove [ ] [ ] [ ] a 1 2 A = ; B = ; C = b 4 Si ha: [ ] [ ] [ ] A + B = + =, [ ] 2a 2 4 2C =, 6 2b 8 [ ] [ ] a 2 4 A + B 2 C = = b 8 [ ] 2(3 a) 10 1 = b 18 Definizione Sia A una matrice di ordine m p e B una matrice di ordine p n. Il prodotto A B è la matrice C di ordine m n i cui elementi c ij sono definiti come: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj = p a ik b kj. k=1 In altri termini, il generico elemento c ij della matrice 6 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
7 2. Operazioni fra Matrici c 11 c 12 c 1j c 1n c 21 c 22 c 2j c 2n.. C = c i1 c i2 c ij c in. c m1 c m2 c mj c mn prodotto tra la matrice A e la matrice B si ottiene facendo la somma dei prodotti di ogni elemento della riga i-esima della matrice A a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p.. A = a i1 a i2 a ij a ip. a m1 a m2 a mj a mp per il corrispondente elemento della colonna j-esima della matrice B b 11 b 12 b 1j b 1n b 21 b 22 b 2j b 2n. B = b i1 b i2 b ij b in.. b p1 b p2 b pj b pn D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 7
8 2. Operazioni fra Matrici Esempio 2.2 Determinare il prodotto delle matrici [ ] A 2 3 = e B = La prima cosa da fare è verificare che sia possibile effettuare il prodotto, quindi verificare che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe della matrice B. In questo caso la dimensione di A è [2 3], mentre quella di B è [3 3], quindi numero di colonne di A = numero di righe di B = 3. La dimensione della matrice prodotto sará [2 3]. Accertato che è possibile effettuare il prodotto, gli elementi di C 2 3 si ottengono attraverso il prodotto riga per colonna. L elemento c 11 si ottiene come la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice A per i corrispondenti elementi della prima colonna della matrice B: c 11 = ( 1) + ( 1) 1 = 0 Allo stesso modo, ad esempio, l elemento c 13 sarà calcolato come la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice A per i corrsipondenti elementi della terza colonna della matrice B: c 13 = ( 1) 0 = 1 Continuando in questo modo per ogni riga i = 1, 2 di A e ogni colonna j = 1, 2, 3 di B si ottiene la matrice del prodotto A B: [ ] 0 1 C 2 3 = Il prodotto tra due matrici non è commutativo. Ciò è evidente nel caso di matrici non quadrate. Infatti, se A = A m p e B = B p n allora il il prodotto B A è impossibile per ragioni dimensionali se n m, mentre il prodotto A B è dimensionalmente possibile e si ottiene una matrice C di dimensione m n. In generale, anche per le matrici quadrate, per cui è sempre possibile calcolare sia il prodotto A B che il prodotto B A, si può avere che A B B A. Quindi, in generale e a differenza degli insiemi numerici, la moltiplicazione definita nell insieme delle matrici NON è communitativa. Fanno eccezione alla non commutabilitá del prodotto tra matrici, il prodotto di una matrice quadrata A per la matrice identitá dello stesso ordine, A n I n = I n A n = A n ; 8 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
9 2. Operazioni fra Matrici di una matrice quadrata A per la matrice nulla dello stesso ordine A n 0 n = 0 n A n = 0 n ; di una matrice quadrata A per la sua matrice inversa (che definiremo piú avanti), A n A 1 n = A 1 n A n = I n. La prima espressione, inoltre, dimostra che I n è l elemento neutro per la moltiplicazione fra matrici. Vi sono altre differenze con gli insiemi numerici. Per esempio è noto che, per la legge di annullamento del prodotto, dati α e β R, può essere α β = 0 solo se α = 0, oppure β = 0, oppure α = β = 0. Anche questa proprietà non è vera, in generale, per le matrici. Per esempio, siano [ ] [ ] A 2 = e B =. 1 2 Entrambe le matrici sono diverse dalla matrice nulla O 2. Tuttavia si ha: [ ] [ ] [ ] A 2 B 2 = = = O Questo esempio mostra quanto sia problematico definire il rapporto tra matrici, visto che il prodotto tra matrici a) non è commutativo e b) può essere uguale alla matrice nulla, nonostante entrambe le matrici a prodotto siano diverse dalla matrice nulla. Si possono tuttavia dimostrare le seguenti proprietà: (1) (A B) C = A (B C). (2) A (B + C) = A B + A C. (3) (A + B) C = A C + B C (4) A O = O A = O, dove O è la matrice nulla dello stesso ordine di A. () A (k B) = k A B, dove A e B sono matrici e k è un generico scalare. Definite le operazioni di somma e prodotto tra matrici, possiamo occuparci di alcune interessanti proprietá della matrice trasposta rispetto a tali operazioni. Date due matrici, A e B, di ordine n e uno scalare α R, risulta che (1) (A + B) T = A T + B T (2) (α A) T = α A T (3) (A B) T = B T A T (4) (A T ) 1 = (A 1 ) T D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 9
10 3. Matrice Inversa 3. Matrice Inversa 3.1. Definizione di Invertibilità e Inversa. Sia A un matrice di ordine n. Si dice che A è invertibile se esiste una matrice A 1, di ordine n, tale che A n A 1 n = A 1 n A n = I n. Esiste un teorema che pone la condizione perché esista l inversa di una matrice. Tale teorema fa uso del concetto di determinante della matrice e quindi dobbiamo rinviarne lo studio ad un momento successivo. Possiamo invece introdurre il seguente teorema. Teorema 3.1 (Unicità dell inversa di una matrice). Sia A una matrice di ordine n. Se A è invertibile allora la sua matrice inversa, A 1, è unica. Dimostrazione. Si ipotizzi per assurdo l esistenza di due matrici inverse, B e C, della matrice A. Dalla definizione di matrice inversa segue che A B = B A = I n ; A C = C A = I n. Consideriamo la prima uguagliaza e moltiplichiamo ambo i membri di questa equazione per C a sinistra 1. Si ottiene C (A B) = C I n ; Per la proprietà associativa della moltiplicazione tra matrici (punto 1 delle proprietà sopra elencate) possiamo scrivere (C A) B = C I n Poiché, per ipotesi, C é matrice inversa di A, C A = I n, e quindi possiamo riscrivere l ultima equazione da cui segue I n B = C I n B = C. Concludiamo quindi che se la matrice A ammette inversa, questa é unica. Teorema 3.2. Siano A e B due matrici di ordine n invertibili. Allora (1) (A 1 ) 1 = A (2) (A B) 1 = B 1 A 1. 1 Si noti che per le matrici è importante indicare se si moltiplica a destra (postmoltiplicazione) o a sinistra (pre-moltiplicazione), mentre negli insiemi numerici ciò era irrilevante. 10 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
11 4. Determinante di una matrice 4. Determinante di una matrice Un concetto associato a tutte (e solamente) le matrici quadrate é quello di determinante. Prima peró di addentrarci in tale argomento, vediamo alcuni concetti propedeutici. Definizione Sia n un numero intero positivo. Si definisce permutazione degli interi 1, 2,..., n, la sequenza di interi i 1, i 2,..., i n ottenuta scambiando di posto uno o più elementi della sequenza 1, 2,..., n. Esempio 4.1 Dato l insieme 1, 2, 3 le possibili permutazioni sono: 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 2, 1. Definizione Una permutazione si dice pari se il numero di inversioni rispetto alla sequenza di partenza è pari. Altrimenti la permutazione si dice dispari. Per determinare se una permutazione è pari o dispari è sufficiente costruire un diagramma in cui sia tracciato un segmento tra ogni elemento della sequenza di partenza e lo stesso elemento nella sequenza di arrivo e verificare se il numero di intersezioni (incroci) tra i segmenti è pari o dispari. Esercizio 4.1 Nei casi seguenti la prima riga rappresenta la sequenza (o insieme) di partenza e la seconda una permutazione. Calcolare il numero di incroci ed indicare se la permutazione è pari o dispari: ; ; Definizione Si definisce segno di una permutazione e si indica con sign(i 1, i 2,..., i n ) il valore +1 se la permutazione è pari e 1 se la permutazione è dispari. Teorema 4.1. Sia n > 1, allora le permutazioni di n elementi, il cui numero totale é pari a n! 2, saranno metà pari e metà dispari. Definizione Sia A una matrice di ordine n. Il determinante di A è uno scalare definito come segue: A = det (A) = sign(i 1, i 2,..., i n ) a 1i1 a 2i2 a nin i 1,i 2,...,i n 2 n! si legge n fattoriale ed é pari al prodotto degli n numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In altre parole, n! = n (n 1) (n 2) (n 3) D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 11
12 4. Determinante di una matrice In altri termini, il determinante di una matrice di ordine n si ottiene sommando i prodotti degli elementi della matrice stessa, dove la somma è estesa a tutte le possibili n! permutazioni degli n elementi. Si noti che nella precedente espressione del determinante l indice della colonna è dato dalle permutazioni. Dalla definizione di determinante si evince quanto possa essere complicato calcolare il determinante di una matrice quando la dimensione, n, è moderatamente alta. Per esempio con n = 10 è necessario sommare 10! = prodotti di 10 elementi! Definizione Una matrice quadrata di ordine n con determinante nullo, A n = 0, si dice singolare. Se A é una matrice di ordine non superiore a 3, allora é possibile far uso di alcune semplici regole per il calcolo del determinante della matrice. Sia A 1 = a 11, cioé una matrice composta da un solo elemento. Allora A 1 = a 11, cioé il determinante é pari al valore dell unico elemento della matrice. Sia [ ] a11 a A 2 = 12 a 21 a 22 una generica matrice di ordine 2. Poiché n = 2, n! = 2 sono il numero di permutazioni di 2 elementi, specificamente 1, 2 e 2, 1. La prima permutazione è pari (0 incroci), quindi sign(1, 2) = 1 e la seconda è dispari (1 incrocio), quindi sign(2, 1) = 1. Utilizzando la definizione di determinante si ha che: A 2 = sign(1, 2)a 11 a 22 + sign(2, 1)a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21. Quindi il determinante di una matrice di ordine 2 è la differenza dei prodotti incrociati degli elementi di A: A 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Per le matrici di ordine 3 esiste una regola che semplifica il calcolo del determinante, detta Regola di Sarrus. Secondo tale regola, si riportano gli elementi delle colonne della matrice e, alla destra degli elementi della terza colonna, si accostano ordinatamente, la prima e la seconda colonna ottenendo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
13 4. Determinante di una matrice Si calcolano quindi i prodotti degli elementi della diagonale principale e delle due diagonali complete ad essa parallele e se ne fa la somma a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33. a 31. a 32. e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali complete ad essa parallele (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) a 11 a 12 a 13. a 11. a 12. a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Il determinante della generica matrice A di ordine 3 è dunque pari a A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Esempio 4.2 Sia B una matrice di ordine 3: Il determinante calcolato con la regola di Sarrus sarà B = b 11 b 22 b 33 +b 12 b 23 b 31 +b 13 b 21 b 32 b 11 b 23 b 32 b 12 b 21 b 33 b 13 b 22 b 31. Sostituendo gli elementi di B si ottiene = 3. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 13
14 4. Determinante di una matrice Esercizio 4.2 Calcolare il determinante delle seguenti matrici: A 2 = [ ] [ 1/2 1 ; B 2 = 1 2 ] ; C Per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine superiore a 3, si puó applicare il primo teorema di Laplace. Per poter enunciare tale teorema abbiamo peró bisogno di introdurre alcune deifinizioni. Definizione Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce minore di ordine k il determinante di una qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene rimuovendo n k righe e n k colonne da A. Definizione Data una matrice rettangolare A m n e dati h, k Z +, si definisce sottomatrice di A di ordine h k la matrice composta dagli h k elementi della matrice A m n, ottenuti dall intersezione di h righe e k colonne scelte a piacere dalla matrice A m n. Definizione Si definisce minore complementare (i,j), e si indica (tipicamente) con M ij, il determinante di ordine n 1 della sottomatrice di A che si ottiene rimuovendo l i-esima riga e la j-esima colonna di A. Definizione Si definisce minore principale di ordine k il determinante di qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene eliminando n k righe e le corrispondenti n k colonne da A. Definizione Si definisce minore principale dominante di ordine k il determinante della sottomatrice di A che si ottiene eliminando le ultime n k righe e le ultime n k colonne da A. Si noti che mentre i determinanti si possono calcolare solo per matrici quadrate i minori possono essere calcolati anche per matrici rettangolari m n con m n. Definizione Sia M ij un minore complementare di una matrice quadrata di ordine n. Si definisce complemento algebrico o cofattore relativo alla posizione (i,j), e si indica con α ij, il minore complementare M ij avente segno ( 1) i+j : α ij = ( 1) i+j M ij. Definizione Data la matrice A n di ordine n, si definisce aggiunta di A n la matrice α 11 α α n1 A a = agga = α 12 α α n2.... α 1n α 2n... α nn 14 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
15 4. Determinante di una matrice avente per elementi i complementi algebrici dei corrispondenti elementi della trasposta di A n. A partire dunque dalla matrice quadrata A n, se ne determina prima di tutto la trasposta A T n. La matrice aggiunta di A a n si ottiene sostituendo ad ogni elemento di A T n il corrispondente complemento algebrico. Esempio 4.3 Data la matrice rettangolare A 3 4 = costruire tutte le sottomatrici di ordine 2 3 della matrice data. [ ] [ ] [ ; ; ] ; [ ] ; [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; ; [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; Il numero totale di sottomatrici di ordine 2 3 estraibili dalla matrice A 3 4 é quindi 12. Data una matrice A m n composta da m righe e n colonne, il numero totale di sottomatrici di ordine h k, con h m e k n, estraibili dalla matrice A m n si ottiene dalla formula m! h! (m h)! n! k! (n k)! Teorema 4.2 (I teorema di Laplace). Sia A n una matrice di ordine n, allora, scelta una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) della matrice, il determinante si calcola facendo la somma dei prodotti degli elementi della riga (colonna) scelta per i rispettivi complementi algebrici. A n = n k=1 a ik A ik (sviluppo per riga) A n = n k=1 a kj A kj (sviluppo per colonna) D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 1
16 4. Determinante di una matrice Lo sviluppo di Laplace consente quindi di calcolare un determinante di ordine n tramite il calcolo di determinanti di ordine n 1, tale è infatti l ordine dei cofattori. In generale questo approccio non è più efficiente del metodo implicito nella definizione di determinante. Tuttavia, in taluni casi, la struttura della matrice può facilitare lo sviluppo del determinante rispetto ad una certa riga o colonna. Esempio 4.4 Sia A una matrice 3 3 definita come segue: A = I minori di ordine 2 corrispondono ai minori complementari in quanto dobbiamo eliminare n k = 3 2 = 1 riga ed n k = 3 2 = 1 colonna. Essi sono: M 11 = ; M 12 = ; M 13 = ; M 21 = ; M 22 = ; M 23 = ; M 31 = ; M 32 = ; M 33 = ; Chiaramente il minore di ordine 3 coincide con il determinante di A. Si lascia allo studente di calcolare i minori di ordine 1. I minori principali di ordine 2 sono i determinanti di sottomatrici che si ottengono eliminando una riga e la corrispondente colonna. Quindi, se si inizia eliminando la prima riga allora si deve eliminare la prima colonna e così via. Quindi i minori principali di ordine 2 saranno M 11, M 22 e M 33. Il minore principale di ordine 3 sarà il determinante di A stessa. Lo studente determini i minori di ordine 1. E possibile dimostrare che il numero totale di minori principali di una matrice di ordine n è 2 n 1, in questo caso pari a 7. Il numero totale di minori principali dominanti di una matrice di ordine n è pari a n, quindi a 3 nel nostro esempio. I minori principali dominanti di ordine 3, 2 e 1 sono rispettivamente: A, 1 2 4, D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
17 . Proprietá dei determinanti Corollario 4.3. Sia A una matrice diagonale di ordine n. Allora n A n = a kk. Il corollario appena visto ha un valore più generale, in quanto esso si applica anche alle matrici triangolari. k=1 Esempio 4. Calcolare il determinante della matrice A = Tenendo a mente lo sviluppo di Laplace, conviene calcolare questo determinante sviluppandolo rispetto alla prima riga oppure rispetto alla prima colonna. Sviluppiamolo rispetto alla riga i = 1. Si ha: A = 0 ( 1) = (0 3) = ( 1) ( 1) E lasciato allo studente mostrare che allo stesso risultato si può pervenire sviluppando, ad esempio, rispetto alla colonna j = 1, oppure col metodo di Sarrus. Esercizio 4.3 Verificare che il determinante di una matrice triangolare n n è uguale a: n A = a kk. k=1. Proprietá dei determinanti Sia A n una matrice quadrata di ordine n. 1. Se ogni elemento di una linea (riga o colonna) della matrice A n è zero, il determinante è nullo. Infatti basta applicare Laplace rispetto alla linea avente tutti gli elementi uguali a zero. 2. Se nella matrice A n si scambiano due righe, o colonne, tra loro il determinante cambia di segno. 3. Se nella matrice A n gli elementi di una riga, o colonna, vengono moltiplicati per una costante k R, il determinante risulta moltiplicato per k. 4. Se nella matrice A n tutti gli elementi vengono moltiplicati per una costante k R, il determinante risulta moltiplicato per k n. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 17
18 . Proprietá dei determinanti. Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono uguali, il determinante è nullo. D altra parte per la proprietà 2. dei determinanti lo scambio due righe, o colonne, modifica il segno del determinante e dunque deve aversi: A = A e ciò accade solo se A = Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono proporzionali, allora il determinante della matrice è uguale a zero. 7. Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono combinazione lineare di altre righe, o colonne, della matrice, il determinante della matrice è uguale a zero. 8. La matrice quadrata A n e la sua trasposta A T n hanno lo stesso determinante: A = A T. Teorema.1 (Teorema di Binet). Siano A n e B n due matrici quadrate di ordine n. Il determinante della matrice prodotto, A n B n, è uguale al prodotto dei determinanti det(a n B n ) = det(a n ) det(b n ) Questo risultato può essere generaizzato al prodotto di k matrici det (A 1 A 2 A k ) = det (A 1 ) det (A 2 ) det (A k ). Teorema.2 (II teorema di Laplace). Sia A n una matrice quadrata di ordine n, é nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga, o colonna, per i complementi algebrici di un altra riga, o colonna, della matrice. Formalmente n a ik A jk = 0, i j (elementi della riga i-esima per i complementi k=1 algebrici della riga j-esima); n a kj A kj = 0 i j (elementi della riga i-esima per i complementi k=1 algebrici della riga j-esima). Teorema.3 (Teorema di esistenza della matrice inversa). Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata A n ammetta inversa è che risulti det(a n ) D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
19 . Proprietá dei determinanti Dimostrazione. Condizione necessaria (esiste la matrice inversa di A n ) Dalla definizione di matrice inversa di una matrice data sappiamo che A n A 1 n = A 1 n Se prendiamo l espressione A n A 1 n a primo e secondo membro otteniamo, per il teorema di Binet, e cioé A n = I n det(a n A 1 n ) = det(i n ) det(a n ) det(a 1 n ) = det(i n ) det(a n ) det(a 1 n ) = 1 equazione possibile solo se det(a n ) 0. = I n e calcoliamo il determinante Condizione sufficiente (det(a n ) 0) Dal secondo teorema di Laplace deriva che A n A a n = A a n A n = det(a n ) I n Se prendiamo l espressione A n A a n = det(a n ) I n e dividiamo primo e secondo membro per det(a n ) (operazione possibile perché per ipotesi det(a n ) 0), otteniamo A n Aa n det(a n ) = I n in cui A a n/det(a n ) dá proprio l espressione analitica della matrice inversa di A n, cioé A 1 n = Aa n det(a n ). Per determinare la matrice inversa di A n, si deve allora 1) verificare che la matrice A n sia non singolare (det(a n ) 0), 2) trovare la matrice aggiunta di A n, A a n 3) dividere ogni elemento della matrice aggiunta A a n per A. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 19
20 6. Rango di una matrice 6. Rango di una matrice Definizione (Rango di una matrice)una matrice A m n ha rango r, se r è l ordine massimo delle sue sottomatrici quadrate non singolari. Esempio 6.1 Si calcoli, se esiste, la matrice inversa della matrice A 3 = Il determinante della matrice data é A = ( ) = 0 4 = Essendo det(a) 0 la matrice A ammette inversa. La trasposta di A n é A T = La matrice aggiunta sará quindi agga = = = La matrice inversa sará quindi A 1 = La verifica della correttezza dei calcoli si puó fare procedendo al prodotto della matrice inversa appena trovata con la matrice A n di partenza. Il risultato dovrá essere una matrice identitá dello stesso ordine di A n. 20 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
21 7. Orlati di una sottomatrice quadrata Equivalentemente possiamo dire che una matrice A m n ha rango r se tutte le sottomatrici quadrate di ordine (r + 1) estratte da A (se ne dovessero esistere) sono singolari, mentre almeno una sottomatrice quadrata di ordine r è non singolare. Da quanto detto risulta evidente che rank(a m n ) min{m, n} Se tutti gli elementi della matrice sono nulli allora rank(a m n ) = Orlati di una sottomatrice quadrata Sia A m n una matrice e sia r Z + con r {m, n}. Sia M r una sottomatrice quadrata di ordine r estratta da A. Si chiamano orlati di M r in A le sottomatrici di ordine (r + 1) estratte da A che si ottengono orlando M r con una delle rimanenti (m r) righe ed una delle rimanenti (n r) colonne di A. Quindi una sottomatrice M r di A m n ha un numero di orlati uguale a (m r)(n r). Esempio 7.1 Sia A 3 4 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 1 a 21 a 22 a 23 a 24 a 2 a 31 a 32 a 33 a 34 a 3 una matrice e [ ] a11 a M 2 = 12 a 21 a 22 una sua sottomatrice. Si costruiscano tutti gli orlati di M in A. Il numero di orlati di M è (m r)(n r) = (3 2)( 2) = 1 3 = 3 Indichiamo con O3 1 la sottomatrice del 3 ordine, che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la 3 colonna, con O3 2 la sottomatrice del 3 ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la 4 colonna e con con O3 3 la sottomatrice del 4 ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la colonna. Gli orlati richiesti sono O3 1 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ; O3 2 = a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 ; O3 3 = a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 31 a 32 a 3 La costruzione degli orlati é alla base del teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) che permette di calcolare il rango di una matrice A m n in maniera meno onerosa rispetto al calcolo del determinante di tutte le sottomatrici quadrate estraibili dalla stessa. Secondo tale teorema, data una matrice A m n, e considerata una sua sottomatrice quadrata M r di ordine r con determinante diverso da zero, se tutti gli orlati di M in A, di ordine r+1, hanno determinante nullo, allora rank(a m n ) = r. Grazie al teorema di Kronecker quindi non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 21.
22 7. Orlati di una sottomatrice quadrata quelli otteibili a partire da una sottomatrice di A m n di ordine r non singolare. Esempio 7.2 Si consideri la matrice A 4 4 = Determinare il rango della matrice A 4 4. Applichiamo il teorema di Kronecker. Cerchiamo una sottomatrice quadrata di ordine r non singolare. Scegliamo r = 2 ed estraiamo la sottomatrice composta dalle prime 2 righe e dalle prime 2 colonne S 2 = = 1 4 =. Ovviamente se tale sottomatrice dovesse essere singolare se ne individuerá un altra (se possibile) con determinante diverso da zero. Nel caso in esame, la matrice S 2 è non singolare, e quindi rank(a 4 4 ) 2. È possibile orlare S 2 in A in (4 2)(4 2) = 4 modi. Gli orlati di S 2 sono O3 1 = ; O3 2 = O3 3 = ; O3 4 = I rispettivi determinanti sono O 1 3 = = 0 O 2 3 = = 0 O 3 3 = = 0 O 4 3 = = Quindi tutti gli orlati del terzo ordine hanno determinante nullo, mentre la sottomatrice di A 4 4 del secondo ordine da cui siamo partiti é non singolare. Per il teorema di Kronecker il rando dalla matrice A 4 4 é due. Se per il calcolo del rango della matrice avessimo applicato il metodo delle sottomatrici, avremmo dovuto calcolare il determinante delle 16 sottomatrici del 3 ordine estraibili da A 4 4. ;. 22 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
23 7. Orlati di una sottomatrice quadrata Esempio 7.3 Si consideri la matrice B 4 = determinarne il rango col teorema di Kronecker. Sia B 2 la sottomatrice quadrata di ordine 2 ottenuta considerando le prime 2 righe e le prime due colonne di B B 2 = = 2 2 = 0. Questa sottomatrice é singolare quindi non possiamo sceglierla per applicare il teorema di Kronecker. Sia allora B 2 la sottomatrice di B ottenuta dall intersezione degli elementi della 1 e 2 riga con quelli della 2 e 3 colonna B 2 = = = 1. Questa sottomatrice è non singolare, e quindi rank(b 4 ) 2. È possibile orlare B 2 in B 4 in ( 2)(4 2) = 6 modi. Costruiamo tutti gli orlati del terzo ordine. O 1 3 = O 4 3 = ; O 2 3 = ; O 3 = ; O 3 3 = ; O 6 3 = O3 1 = 0 perchè la terza riga è la somma delle prime due (vedi proprietà dei determinanti). O3 2 = [ ] = = 7 0. Ed allora rank(b 4 ) 3. Potrebbe essere al più pari a 4. A partire da O3 2 si riapplica il teorema di Kronecker. È possibile orlare O3 2 in due modi (4 riga 1 colonna e riga 1 colonna). I due orlati sono O 1 4 = ; O2 4 = Il determinante O 1 4 = 7 0 (i calcoli relativi all applicazione del I teorema di Laplace si lasciano come esercizio allo studente). Tale risultato é sufficiente per poter dire che rank(b 4 ) = 4. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 23 ;.
24 8. Operazioni elementari sulle matrici 8. Operazioni elementari sulle matrici Teorema 8.1 (Operazioni elementari). Sia A n una matrice quadrata di ordine n e sia B n una matrice dello stesso ordine ottenuta da A n tramite una delle seguenti operazioni per riga. (1) Scambiare la i-esima riga con la j-esima riga. (2) Moltiplicare la i-esima riga per α 0. (3) Sommare all i-esima riga α volte la j-esima riga. Allora il determinante di B n, B n è dato da: (1) B n = A n. (2) B n = α A n. (3) B n = A n. I risultati di tale teorema valgono anche se tali operazioni sono applicate alle colonne di A n e sono conseguenza delle proprietá dei determinanti. L utilitá di tali operazioni sta nella possibilitá di utilizzarle per trasformare la matrice iniziale in una matrice triangolare, il cui determinante è di facile calcolo. Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice qualsiasi in una triangolare è detto risoluzione di Gauss. Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice (con determinante diverso da zero) in una identitá è detto Risoluzione di Gauss-Jordan. I due processi sono mostrati rispettivamente negli esercizi 8.1 e D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
25 8. Operazioni elementari sulle matrici Esempio 8.1 Calcolare il determinante della seguente matrice A n = Non è possibile stabilire a priori quale operazione elementare ci condurà più facilmente ad una matrice triangolare. E necessario un po di intuito e di esperienza. Per esempio si scambi la riga 2 con la riga 3, pertanto = Il nostro prossimo obiettivo è di trasformare gli elementi a 31 e a 32 in zeri. Conviene sempre iniziare a trasformare gli elementi da sinistra. Consideriamo quindi l elemento a 31 = 3. Possiamo trasformare questo elemento in 0 sommando alla terza riga della matrice α volte la prima riga con α tale che αa 11 + a 31 = 0. Quindi α = 3/2. Questa trasformazione non altera il valore del determinante. Quindi: A = Non resta quindi che annullare l elemento a 32 = /2. Per far questo conviene modificare la riga 3 usando solo la riga 2, in modo da non alterare il valore di a 31 = 0. Si potrebbe procedere come in precedenza e sommare alla riga 3 β volte la riga 2 con β tale che βa 22 + a 32 = 0. Il valore di β cercato é β = 2/. Per mantenere l uguaglianza il determinante di A andrà moltiplicato per 1/β = /2. Otteniamo A = Sommando, a questo punto, alla riga 3 la riga 2 non si altera il valore del determinante e si ottiene il risultato desiderato, ovvero una matrice triangolare di cui sappiamo calcolare facilmente il determinante A = = 2.. ( ) = 12. Si osservi che, tramite ulteriori operazioni per riga, è possibile trasformare la matrice triangolare appena trovata in una matrice identità se, come nel nostro caso, il determinante risulta diverso da 0. I passaggi sono mostrati nell esercizio successivo. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 2
26 8. Operazioni elementari sulle matrici Esempio 8.2 Sia data la matrice triangolare A 3 dell esercizio precedente A = Indichiamo con R i la riga i-esima della matrice. Abbiamo A = 2 = 2 = R 1 R 2 = 2 R 2 12 R 3 = 2 = R R 3 = R = R 3 12 = 12 I 3 = 12, visto che il determinante della matrice identità è pari a D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
08 - Matrici, Determinante e Rango
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D.
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
DettagliIl determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di
DettagliLEZIONE i i 3
LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE II
DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI................. MATRICI
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito
Dettagli( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1
. Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo
DettagliMATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI
MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è
DettagliIntroduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari
Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliAnno 4 Matrice inversa
Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere
Dettagli2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =
Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
DettagliSistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
Dettagli1 Determinante di una matrice 1. 2 Calcolo della matrice inversa 7. 3 Calcolo del rango 8. 4 Soluzioni degli esercizi 12. n! = n.
1 DETERMINANTE DI UNA MATRICE 1 Determinante e rango Indice 1 Determinante di una matrice 1 2 Calcolo della matrice inversa 7 3 Calcolo del rango 8 4 Soluzioni degli esercizi 12 1 Determinante di una matrice
DettagliDeterminanti. Definizione ed esempi. Definizione ed esempi. Proprietà dei determinanti Rango di matrici
Introduzione S S S Rango di matrici Si dice sottomatrice d'una matrice data la matrice ottenuta selezionando un certo numero di righe e di colonne della matrice iniziale. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV
DettagliEsercitazioni di Algebra e Geometria
Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2011 2012 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.00
DettagliLe matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1.
Le matrici Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Siano m, n N\{0}. Una matrice m n a coefficienti in K è una tabella di m n elementi di K disposti
DettagliEsercitazione 6 - Soluzione
Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione
DettagliMATRICI Vol.1. Pag. 1/24
MATRICI Vol.1 Sommario ALGEBRA DELLE MATRICI... 3 Matrici nulla, diagonale e unità... 3 Matrice simmetrica e matrice trasposta... 3 Combinazioni lineari e differenza tra matrici. Matrice emisimmetrica...
DettagliEquivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se
Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme
DettagliIl teorema di Rouché-Capelli
Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un
DettagliEsercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =
Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice
DettagliLezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico
Trasformazioni elementari sulle matrici Data una matrice A K m,n definiamo su A le seguenti tre trasformazioni elementari: T : scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A; T : sommare ad una riga
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliMetodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B
Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/
DettagliSui determinanti e l indipendenza lineare di vettori
Sui determinanti e l indipendenza lineare di vettori 1 Si dice che m vettori v 1, v 2,,v m di R n sono linearmente indipendenti, se una loro combinazione lineare può dare il vettore nullo solo se i coefficienti
Dettagli04 - Numeri Complessi
Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliElementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari
Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliLEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g
LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere
Dettagli1 se k = r i. 0 altrimenti. = E ij (c)
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Matrici elementari e loro inverse Si fissi m un numero naturale. Per ogni i, j m con i j siano E ij (c) (ove c è uno scalare )
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliSISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS
SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti
DettagliRichiami di algebra delle matrici a valori reali
Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o
DettagliOperazioni tra matrici e n-uple
CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,
DettagliGiuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra
Giuseppe Accascina Note del corso di Geometria e Algebra Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 26-27 ii Istruzioni per l uso Faremo spesso riferimento a ciò che è stato
DettagliMatrici quadrate particolari
Matrici quadrate particolari Sia A Mn(K) una matrice quadrata. Gli elementi (a 1,1, a 2,2,, a n,n ) costituiscono la diagonale principale di A. Gli elementi (a 1,n, a 2,n-1,, a n-1,2, a n,1 ) costituiscono
DettagliInversa di una matrice
Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:
DettagliLeLing12: Ancora sui determinanti.
LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling
DettagliEsercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari
Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Notazioni: deta, A T =trasposta di A, A 1 =inversa di A. 1. Si considerino le matrici A, B, C, D denite da 1 0 5 1 A = 0, B = 0 0, C = 0 1 0 6 1
DettagliSi consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite
3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
DettagliMatematica II,
Matematica II,.05.04 Diamo qui la nozione di determinante di una matrice quadrata, le sue prime proprieta, e ne deriviamo una caratterizzazione delle matrici non singolari e una formula per l inversa di
DettagliDefinizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im
APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo
Dettagliottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto
MATRICI Si chiama matrice di m righe ed n colonne una tabella costituita da m n numeri (detti elementi), disposti in m righe orizzontali ed in n colonne verticali, racchiusi tra due parentesi tonde. (1)
DettagliLEZIONE 1 C =
LEZIONE 1 11 Matrici a coefficienti in R Definizione 111 Siano m, n Z positivi Una matrice m n a coefficienti in R è un insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi
DettagliLEZIONE 5. AX = 0 m,1.
LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,
DettagliQUADERNI DI DIDATTICA
Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Marta Cardin Paola Ferretti Stefania Funari Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza: I SISTEMI LINEARI
DettagliRIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1
MATRICI E SISTEMI RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan). 3 4 Esercizio Ridurre per
DettagliAppunti di Geometria e Algebra L-A Seconda Facoltà di Ingegneria - Cesena. Marco Alessandrini
Appunti di Geometria e Algebra L-A Seconda Facoltà di Ingegneria - Cesena Marco Alessandrini Ottobre 2006 Indice 1 Informazioni del corso 3 1.1 Programma............................ 3 1.2 Docenti..............................
Dettagli1 Introduzione alle matrici quadrate 2 2 a coefficienti in R.
1 Introduzione alle matrici quadrate 2 2 a coefficienti in R Per introdurre il concetto di matrice, a 2 righe e 2 colonne, iniziamo col considerare griglie o tabelle di numeri Gli elementi della griglia,
DettagliDef. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni:
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A una matrice m n. Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliTerminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI)
Terminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Esempi Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI) Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A M n (K) è possibile definire ricorsivamente
DettagliOperazioni elementari e riduzione
Matrici e sistemi Operazioni elementari Riduzioni di matrici L algoritmo di riduzione 2 2006 Politecnico di Torino 1 Operazioni elementari per righe Sia A M m,n. Introduciamo tre tipi di operazioni che
DettagliEsercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale
Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque
Dettagli2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.
Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliESERCIZI SULLE MATRICI
ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a
Dettagli1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici
Matrici R. Notari 1 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.
Dettagli1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
DettagliPunti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliDipendenza e indipendenza lineare
Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus
DettagliEquazioni di primo grado
Equazioni di primo grado 15 15.1 Identità ed equazioni Analizziamo le seguenti proposizioni: a ) cinque è uguale alla differenza tra sette e due ; b ) la somma di quattro e due è uguale a otto ; c ) il
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliTEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI
TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI 2 Direttore Beatrice VENTURI Università degli Studi di Cagliari Comitato scientifico Umberto NERI University of
DettagliRICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI LUCIA GASTALDI 1. Matrici. Operazioni fondamentali. Una matrice A è un insieme di m n numeri reali (o complessi) ordinati, rappresentato nella tabella
DettagliLeLing9: Prodotto tra matrici.
Geometria Lingotto LeLing9: Prodotto tra matrici Ārgomenti svolti: Prodotto tra matrici Dimostrazione del teorema del rango L algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e commutativo Rotazioni
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA RADICALI Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE RADICI Abbiamo visto che l insieme dei numeri reali è costituito da tutti
Dettagli0.1. MATRICI SIMILI 1
0.1. MATRICI SIMILI 1 0.1 Matrici simili Definizione 0.1.1. Due matrici A, B di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P con la proprietà che P 1 AP = B. Con questa terminologia dunque
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Pivoting e stabilità Se la matrice A non appartiene a nessuna delle categorie precedenti può accadere che al k esimo passo risulti a (k) k,k = 0, e quindi il
DettagliAutovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)
Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliVettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara
DettagliMATRICI. 1. Esercizi
MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliInversa. Inversa. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una
DettagliLezione 8: Determinante e Inversa
Lezione 8: Determinante e Inversa In questa lezione vogliamo descrivere due concetti fondamentali, il determinante, che è un numero associato ad ogni matrice quadrata, e l inversa di una matrice. L importanza
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliLEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
DettagliMATRICI. a k b k. k=1
MATRICI Siano m, n N e sia R un anello con 1 Si definisce matrice di tipo m n a coefficienti in R una tabella costituita da m righe e n colonne di elementi di R (che si dicono appunto coefficienti o anche
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliElementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari
Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra Lineare 1 / 50 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari
Dettagli1 Risoluzione di sistemi lineari
Risoluzione di sistemi lineari La presente nota è in parte ripresa dal testo D Bini M Capovani O Menchi Metodi numerici per l algebra lineare Zanichelli Editore Siano A una matrice non singolare di ordine
Dettaglie così via per tutte le colonne. Una prima proprietà importante ci dice quello che accade quando si fanno delle permutazioni di colonne di A.
Capitolo 3 DETERMINANTE Il problema di stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente (ad esempio se lo sono le colonne di una matrice quadrata, e quindi se la matrice è invertibile) non
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
Dettagli