Derivate Limiti e funzioni continue

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1 Derivate Limiti e funzioni continue Se il valore di una funzione f() si avvicina al valore l quando si avvicina ad 0 diciamo che f() ha come ite l per tendente ad 0. Noi per rappresentare questo fatto usiamo la seguente notazione matematica : f l Perché f() abbia ite l quando si avvicina ad 0, deve essere vero che i iti destro e sinistro per tendente ad 0 siano uguali. Scriviamo così in notazione matematica f l se e solo se + f l e - 0 f l. Una funzione f() si dice continua in = 0 se:

2 . f( 0 ) è definita; 2. f esiste; e. f f 0. C'è differenza tra un ite che esiste in un punto del dominio o di accumulazione per il dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte. Infatti, perché un ite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in = 0, o anche che 0 appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in 0, e questo valore deve coincidere con il ite. t 0. sin t è uguale a t Questo ite esiste se è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di. t sin t.. = 0 sin 0 Esistono vari modi di calcolare i iti.. Definiamo una lista di valori che si avvicinino ad 0 e calcoliamo il valore della funzione in ciascuno di questi punti. Se i valori della funzione si avvicinano quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il ite i.. i i 2. 0 i I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a. Usiamo valori tendenti a per difetto e per eccesso.

3 w i w i 2. 0 w i Se le funzioni sono polinomi, radici, seni, coseni, esponenziali, o una combinazione algebrica di queste funzione (somma, differenza, prodotto, o quoziente), proviamo a sostituire il numero a cui tende la variabile indipendente per ottenere il ite. Se quel valore non è o, e l'espressione del ite non si pone nella forma 0/0 o /, abbiamo fatto centro. π θ 2 sin. θ Poniamo π/2 al posto di θ. sin. π 2 = t 2 e t 2 cos t Poniamo 2 al posto di t. e 2 2 cos 2 = Se quando sostituiamo 0 alla variabile otteniamo una forma del tipo 0/0 o /, proviamo a scomporre in fattori l'espressione del ite per einare al numeratore e al denominatore il fattore che produce l'indeterminazione. t t 2 t Otteniamo 0/0, se sostituiamo a t. Prima di sostituire, possiamo fattorizzare il numeratore: t. t. t t t t t t t t

4 Ora sostituiamo a t : t t otteniamo 2 Che succede se la variabile tende a o? Nessun problema (di solito), se non troviamo forme indeterminate 0/0 o /. y y dà 0 s s 2 dà s Se otteniamo 0/0 o / quando sostituiamo, proviamo a scomporre in fattori per tentare di einare l'indeterminazione.... dà Che possiamo dire del seguente cos r r otteniamo.. cos r? r Questo è un caso in cui si ottiene una risposta equivoca. Questo ite non esiste! Ciò succede perché la funzione coseno è periodica e così assume qualunque valore compreso tra e, non importa quanto lontano dall'origine sia il valore della variabile indipendente. Il risultato precedente presenta l'intervallo dei valori di cos(r) per r arbitrariamente grande. Ecco l'esempio di una funzione che ha un ite per = 0,5, ma non è continua in = 0,5. func if.5,, Questa è la definizione della funzione che ad ogni numero reale 0.5 associa + ma ad =0.5 associa r,.99..

5 2 0 La discontinuità nel punto 0,5 è evidenziata nel grafico. Il ite esiste in = 0,5, poiché più ci avviciniamo a 0,5, più la funzione si avvicina a,5. dà dà Ma per essere continua, func(0,5) deve esistere ed essere uguale a,5: func.5 = Quindi func() non è continua per = 0,5. Il prezzo del biglietto di un cinema è per ragazzi sotto i 2 anni e anziani sopra i 59, e 6,50 per gli altri. prezzo w 2.5. w< 60. w> 2 Nota che nella definizione della funzione prezzo il puntino sta per logico ossia la funzione prezzo ad ogni età w con 2<w<60 associa +2.5 e ad ogni età w 2 o w 60 associa. Qual è prezzo w w 2 Grafico di prezzo(w): r ? Prezzo è una funzione continua?

6 prezzo r r Calcola i iti destro e sinistro quando w tende a 2. w 2 - prezzo w poiché prezzo(w) = per ogni valore di w < 2. w 2 + prezzo w 6.50 poiché per 2 < w < 60, prezzo(w) = 6,50. Poiché questi iti sono diversi, prezzo(w) non ha il ite per w tendente a 2. Ciò risponde definitivamente alla domanda sulla continuità: prezzo(w) non è continua per w = 2; sebbene prezzo(2) sia definita, il ite per w tendente a 2 non esiste.

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