y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica"

Transcript

1 Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogrfic (iperbole: Funzioni Elementri 1/ y m + q y + b + y y c + + b d c Funzioni Potenz: y Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y log ( Funzioni trigonometriche y y y sin( cos( tn( 1

2 Funzioni Elementri / Conoscenz Proprietà Elementri Monotoni Invertibilità Concvità Simmetrie Periodicità Conoscenz grfici elementri Conoscenz grfici immeditmente riconducili i grfici elementri

3 Monotoni f : A X Y Def. Funzione Monoton Crescente 1, A con 1 < f ( 1 f ( Def. Funzione Monoton Crescente in senso stretto 1, A con 1 < f ( 1 < f ( Def. Funzione Monoton Decrescente 1, A con 1 < f ( 1 f ( Def. Funzione Monoton Decrescente in senso stretto 1, A con 1 < f ( 1 > f ( 1 1 Le funzioni Monotone in senso stretto su tutto il cmpo di esistenz sono biunivoche e dunque invertibili 3

4 Concvità - Convessità Def. Funzione Convess (su un intervllo L funzione f:r R è dett convess sull intervllo [ 1, ] se l cord congiungente i punti ( 1, f( 1, (, f( st l di sopr del grfico di f. Def. Funzione Concv (su un intervllo L funzione f:r R è dett concv sull intervllo [ 1, ] se l cord congiungente i punti ( 1, f( 1, (, f( st l di sotto del grfico di f. 4

5 Simmetri Pri Simmetri Pri Def. Funzione Pri Un funzione è dett pri se f(f(- per ogni di A Un funzione pri risult simmetric (simmetri ssile rispetto ll sse delle ordinte (sse y Y X A f : 5 3 ( 4 + f ( 3 ( ( ( 4 f f +

6 Simmetri Dispri Def. Funzione Dispri Un funzione è dett pri se f(-f(- per ogni di A f : A X Y Es. f ( f ( ( ( + f ( Un funzione dispri risult simmetric (simmetri centrle rispetto ll origine degli sistem di ssi crtesini 6

7 Def. Funzione Periodic f Periodicità 1/ : A X Y + è dett periodic se f ( + T f ( A, T R T è il più piccolo numero rele positivo che soddisf ll condizione precedente, ed è chimto Periodo dell funzione f. sin( + π sin( R Es. Poiché il periodo dell funzione seno è pri π 7

8 Periodicità / cos( + π cos( R il periodo dell funzione coseno è pri π il periodo dell funzione tngente è pri π π tn( + π tn( R \ + kπ, k Z 8

9 Funzione Mntiss Def. Funzione Prte Inter: []. [] è il più grnde intero minore o ugule d Def. Funzione Mntiss: Mnt(:-[]. il periodo dell funzione mntiss è pri 1 9

10 Funzione Linere 1/3 Funzione Costnte: f(k Il grfico è rppresentto d un rett orizzontle: yk Rett Verticle (Non è un funzione!: k Il grfico è rppresentto d un rett verticle Dirett proporzionlità (Funzione Linere: f(m Il grfico è rppresentto d un rett pssnte per l origine: ym. m è detto Coefficiente Angolre dell rett ed è legto ll ngolo α che l rett form con l sse delle (semisse positivo dll relzione mtn(α. y m M nche tn(α Rppresentzione geometric del coefficiente ngolre. Proprietà di dditività: Proprietà di omogeneità: f ( 1 + f ( 1 + f ( f ( k1 kf ( 1 Un funzione in generle è dett linere se soddisf contempornemente lle due precedenti proprietà cioè se è dditiv ed omogene. 10

11 Funzione Linere /3 Funzione Linere Affine: f(m+q Il grfico è rppresentto d un rett non verticle non pssnte per l origine: ym+q. qf(0 rppresent l ordint dell intercett ll origine. Es. Si consideri l rett y-+1 Se ne trcci un grfico Si trovino le intercette (punti di intersezione con gli ssi coordinti crtesini [R. (0,1 (1/,0 ] Dte due rette: ym 1 +q 1 e ym +q Rette Prllele (Condizione di prllelismo: m 1 m Rette Perpendicolri (Condizione di perpendicolrità: m 1 *m -1 Intersezione tr rette: y y m m q q 1 11

12 Funzione Linere 3/3 Fscio Proprio di rette di centro ( 1,y 1 y-y 1 m(- 1 Rett per due punti ( 1,y 1 e (,y Vle l formul sopr con m ( y ( y 1 1 quindi y ( y y1 y1 ( ( 1 1 Es. Determinre l rett pssnte per P(-1, e perpendicolre ll rett y3-5 [R. y-1/3+5/3 ] Es. Determinre l rett pssnte per P(-1, e prllel ll congiungente A(-1,0 e B(1,1 [R. -1/ + 5/ ] Es. Sino y 1 +5 e y -+7. Scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto di intersezione di y 1 ed y e prllel ll rett di equzione y 3 1/+. [R. y1/ + 6 ] 1

13 Equzioni e Disequzioni di I grdo Equzioni m+q0 Possono essere viste come l ricerc del punto di intersezione tr l rett ym+q e l sse delle (y0 Soluzione: -q/m Disequzioni m+q>0 (m+q<0 Insieme dei vlori per cui il grfico dell rett ym+q st l di sopr (sotto l sse delle. Ricord: moltiplicndo entrmbi i membri di un disequzione per un numero negtivo, l disequzione cmbi di verso Es. Eq. I grdo : 3+7(-5 [ R. X-17 ] Es. Diseq. di I grdo < [ R. SØ ] 13

14 Funzione Qudrto 1/3 Funzione: f( Rppresent un prbol y E un funzione pri (grfico simmetrico rispetto ll sse y E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice (punto di mssimo (<0, o minimo (>0 Pss per l origine e non h ltre intersezione con gli ssi coordinti Funzione: f( +b+c Rppresent un prbol y +b+c E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice (punto di mssimo (<0, o minimo (>0 b V, con b 4c 4 e le intersezioni con gli ssi coordinti Intersezione sse y y 0 + b + c ( 0,c 14

15 Intersezione sse Funzione Qudrto /3 y y 0 + b + c + b + c 0 1, b ± >0 Due Intersezioni Distinte (Prbol secnte l sse delle 0 Due Intersezioni Coincidenti (Prbol tngente l sse delle <0 Non ci sono intersezioni tr l Prbol e l sse delle 15

16 Funzione Qudrto 3/3 Es. Determinre l equzione dell prbol con vertice v(1, pssnte per il P(0,4 [R. y -4+4 ] Es. Disegnre l prbol: f( Es. Scrivere l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse delle y e pssnte per i punti di coordinte (0,0 (1,1 e (-,4 [R. y ] 16

17 Equzioni e Disequzioni di II grdo 1/4 + b + c 0 1, b ± + b + c > 0 ( < 0 >0 Rdici Reli Distinte >0 +b+c>0 (ll esterno delle rdici 1 ed < 1 vel > +b+c<0 (ll interno delle rdici 1 ed 1 << <0 +b+c>0 (ll interno delle rdici 1 ed 1 << +b+c<0 (ll esterno delle rdici 1 ed < 1 vel > 17

18 Equzioni e Disequzioni di II grdo /4 0 Rdici Reli Coincidenti >0 +b+c>0 per -b/ +b+c<0 per nessun (l disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun (l disequzione non h soluzioni +b+c<0 per -b/ 18

19 Equzioni e Disequzioni di II grdo 3/4 <0 Rdici Complesse Coniugte >0 +b+c>0 per ogni rele +b+c<0 per nessun (le disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun (le disequzione non h soluzioni +b+c<0 per ogni rele 19

20 Equzioni e Disequzioni di II grdo 4/4 Es. + 0 [R. 1] Es. ( 3 > 4 3 [R. < 1 > 3 ] Es. Risolvere, in dipendenz del prmetro rele k, le seguenti disequzioni: I k II + 1< k + per per R. per per per k 0, 4 1 1/ 8k k > 0, k k -1/ 8, 8 1/ 8 < k k < -1/8, S 1 < 0, vel 1/ 8k k / 8k k 1/ 8k k per R. per k k 0, S > 0,1 k < < 1+ k 0

21 Funzione Modulo (Vlore Assoluto Funzione Modulo (Vlore Assoluto Def. < 0 se 0 se < 0 f( se ( 0 se ( ( f f( f f Proprietà: y y + + Disuguglinz tringolre y y 1 y y

22 Funzione Modulo (Vlore Assoluto Funzione Modulo (Vlore Assoluto y y + + y y y y y ( ( y y y y y + + b y b b b b b + + b b + b y b b + b b b b b b

23 Equzioni e Disequzioni con Modulo Es. f( k se k <0 non esistono soluzioni se k0 f(0 se k>0 f(±k Es Es Es. f( <k se k <0 non esistono soluzioni se k0 non esistono soluzioni se k>0 -k<f(<k f ( > k k < f ( < k f ( < k Es. +4 <3 Es. f( >k se k <0 : ogni (che definisce f è soluzione se k0 : ogni (che definisce f( 0 è soluzione se k>0 f(>k vel f(<-k Es. +4 >3 Es. + >+1 [R. <-+ 3 v >1 ] 3

24 Disequzioni Rzionli Frtte Sono del tipo N ( D( > 0 ( < 0 Risoluzione: si studi N(>0, D(>0 seprtmente, poi si f un grfico di confronto, mettendo su un rett il segno di N e su un rett prllel il segno di D, poi si determin il segno di N/D tenendo conto dell regol dei segni Es [ R. 8 1] L stess risoluzione vle nche per N(*D(>0 (<0 4

25 Sistemi di Disequzioni Sono del tipo F( > 0 G( > 0 ( < 0 ( < 0 Si determin l insieme delle soluzioni delle prim disequzione S 1, si determin l insieme delle soluzioni delle second disequzione S l insieme delle soluzioni del sistem srà llor S S 1 I S Es. 16 < 0 [ R. 1 < < 4] > 0 5

26 Funzione Omogrfic Invers Proporzionlità: funzione f(/ Iperbole equilter riferit i propri sintoti (gli ssi crtesini sono gli sintoti dell iperbole H simmetri dispri, dunque l origine è un centro di simmetri Funzione Omogrfic: f((+b/(c+d con d-bc 0 f ( Iperbole equilter gli sintoti non coincidono con gli ssi crtesini m sono d essi prlleli. Essi hnno equzioni -d/c y/c d Il centro di simmetri (-d/c, /c Es. Disegnre il grfico di f ( c + + C, c c b d 6

27 Funzione Omogrfic f ( c + + b d d C, c c 7

28 Funzione Potenz (esponente intero pri Funzione Potenz: f( n n pri Simmetri pri, f(>0 per 0,, f(0 per 0 Non invertibile Monoton crescente per positive, descrescente per negtive confronto y^ con y^4 [si provi per 1/, ] y^4 y^ 8

29 Funzione Potenz (esponente intero dispri Funzione Potenz: f( n n dispri Simmetri dispri, f(>0 per >0, f(<0 per <0, f(0 per 0 Invertibile Monoton crescente confronto y^3 con y^5 [si provi per 1/, ] y^5 y^3 9

30 Funzione Potenz (esponente frzionrio 1/4 Funzione Potenz: f( 1/n n pri definit solo per 0 Invers del rmo positivo di y^n confronto y^(1/ con y^(1/4 [si provi 1/16, 16] y^(1/ y^(1/4 30

31 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse /4 y^(1/ y^( 31

32 Funzione Potenz (esponente frzionrio 3/4 Funzione Potenz: f( 1/n n dispri simmetri dispri definit solo per ogni rele Invers di y^n confronto y^(1/3 con y^(1/5 y^1/5 y^1/3 3

33 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse 4/4 y^(1/3 y^3 33

34 Proprietà Potenze Proprietà Potenze > 0 ssumimo b b b y y + ( ( ( R 34 ( n m n m - b b b b 1 ( 0 1

35 Equzioni/Disequzioni Irrzionli 1/3 n f ( g( n dispri f ( g( Risolt d : [ ] n f ( g( n dispri Risolt d : f ( > g( n > [ ] n n f ( < g( n dispri f ( < g( Risolt d : [ ] n Not: pplicndo d entrmbi i membri di un disequzione un funzione monoton crescente, l disequzione con cmbi verso e mntiene inlterte le proprie soluzioni. Fcendo l stess cos con un funzione monotone decrescente l disequzione cmbi di verso (e mntiene sempre inlterte le proprie soluzioni. 35

36 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 n pri Risolt d : ( ( g f n > g f f 0 ( n.n. 0 ( vel 0 ( ( ( g f n n pri Risolt d : [ ] n g f g f ( ( 0 ( n.n. 0 ( 36 [ ] > < n g f g g ( ( 0 ( vel 0 ( ( ( g f n < n pri Risolt d : [ ] < n g f g f ( ( 0 ( 0 (

37 Equzioni/Disequzioni Irrzionli 3/3 8 + > 4 [ R. S R] [ R. 1 3] > [ R. (-,-4] (4/3, + ] 37

38 Funzione Esponenzile 1/4 Funzione f( può essere ben definit solo per >0 per 1 si ottiene l funzione costnte f(1 per >1 è monoton crescente confronto tr ^ e 4^ per 0<<1 è monoton decrescente confronto tr (1/^ e (1/4^ f( >0 per ogni rele, f(01 f( è sempre invertibile ed è sempre convess per >1 Per 0<<1 lim + lim 0 + lim 0 + lim + 38

39 Funzione Esponenzile /4 y(^ y(1/^ e lim 1 + n + 1 n n e

40 Funzione Esponenzile 3/4 y(4^ y(^ si provi per -1/, 1/ 40

41 Funzione Esponenzile 4/4 y(1/4^ y(1/^ si provi per -1/, 1/ 41

42 Disequzioni esponenzili Disequzioni esponenzili Poiché ep( è un funzione monoton crescente < < < < e e Poiché (1/^( è un funzione monoton decrescente

43 Funzione Logritmic 1/ Funzione Logritmic: funzione invers dell esponenzile (L funzione esponenzile è invertibile in qunto sempre monoton. y f ( log ( y lim + 0 >0 et 1 Fissimo >1 definit per >0 monoton crescente f(10 f( è concv lim log + log ( ( + ylog 4 ( ylog ( si provi per 1/ log 4 (1/-1/ log 4 (1/ log (1/-1 log (1 43

44 Funzione Logritmic / Funzione Logritmic: funzione invers dell esponenzile 0 + >0 1 Fissimo 0<<1 definit per >0 monoton decrescente f(10 f( è convess lim log lim + log ( ( + y f ( log ( ylog 1/4 ( y ylog 1/ ( si provi per 1/ log 1/4 (1/1/ log 1/4 (-1/ log 1/ (1/1 log 1/ (-1 44

45 Proprietà Logritmi log ( y log ( + log ( y, y > log log( log( y, y > y log ( k k log ( > 0, k R log ( log log ( > log b ( 0 b 1 log ( ( b,b > 0 1 b 1 b CONVENZIONI 0 0 log e ( ln( log 10 ( Log( log( loge ( ln( 45

46 Equzioni/Disequzioni Esponenzili e Logritmiche 5 4 log( log( Applico l funzione invers 3 log( < log( 3 log( < log(3 log1 ( 4 < log1 ( log 5 (3+ < + e 3 > 0 3 > 0 3 log 5 (4 ln(4 ln(5 Identità Esponenzili ln( e ln( y y e y R e ln( e ln( R 1 3 e + 5 > [R. S R] e ( 0 [R. ] e + 1 R

47 Funzioni Goniometriche A B θ O C D AC sin(ϑ OA OC cos(ϑ OA BD AC tn( ϑ OA OC sin( ϑ cos( ϑ Teorem di Pitgor : sin ( ϑ + cos ( ϑ 1 47

48 Trigonometri: tringoli rettngoli A α c b β γ B C π γ 90 rd π α + β 90 rd csin(α b ccos(α ccos(β btn(α b csin(β b tn(β 48

49 Trigonometri: tringoli qulsisi c β B α + β + γ 180 π rd A α b γ C Teorem dei seni: sin( α b sin( β c sin( γ RR Teorem di Crnot (del coseno: c + b bcos( γ 49

50 Funzione Seno 1/ Funzione ysin( Periodo π Limitt (ssume vlori tr -1 e 1 compresi Simmetri dispri Crescente per 0 π/ e per 3/π < π Decrescente per π/ 3/π Concv 0 π Convess π < π 50

51 Funzione Seno / Prticolri vlori sin( 0 π sin 4 0 π sin 1 π sin 6 π sin Vlori uguli sin( π sin( Vlori opposti sin( π + sin( π sin( sin( 51

52 Funzione Coseno 1/ Funzione ycos( Periodo π Limitt (ssume vlori tr -1 e 1 compresi Simmetri pri Crescente per π < π Decrescente per 0 π Concv per 0 π/ e per 3/π < π Convess π/ < 3/π 5

53 Funzione Coseno / Prticolri vlori cos( 0 π cos 4 1 π cos 0 π 3 cos 6 π 1 cos 3 Vlori uguli cos( π Vlori opposti cos( π cos( π + cos( cos( cos( 53

54 Funzione ytn( Periodo π. Si studi tr 0 eπ Illimitt Simmetri dispri Crescente per π/ Concv per π/ < π Convess per 0 <π/ Funzione Tngente 1/ 54

55 Funzione Tngente / Prticolri vlori tn( 0 0 π tn 1 4 π tn 6 π tn Vlori opposti tn( π tn( 55

56 Relzioni Fondmentli sin ( + cos ( sin( tn( cos( 1 56

57 Equzioni/Disequzioni Goniometriche sin( sin ( 8sin( cos ( cos( > 0 sin( cos( > 0 57

58 Funzione Arco-seno Viene operto un tglio in [-π/, +π/] per poter invertire l funzione per cui: rcsin( : π π [ 1,1 ], 58

59 Funzione Arco-cosenocoseno Viene operto un tglio in [0, π] per poter invertire l funzione per cui: rccos( : [ 1,1 ] [ 0,π ] 59

60 Funzione Arco-tngente Viene operto un tglio in [-π/, π/] per poter invertire l funzione per cui: rctn( : R π, π 60

61 Grfico y f( Notimo: y Grfici Riconducibili 1/9 f( se f( 0 f ( -f( se f( < 0 L prte del grfico corrispondente vlori negtivi dell funzione (sotto l sse delle viene simmetrizzt rispetto ll sse delle scisse. L prte del grfico corrispondente vlori positivi dell funzione viene lscit invrit. 61

62 Grfici Riconducibili /9 Grfico yf( Notimo: y f ( f( f( se 0 se < 0 Per le positive o nulle il grfico coincide con quello di f( per quelle negtive il grfico è il simmetrico di quello per le positive rispetto ll sse delle y (ordinte. 6

63 Grfici Riconducibili 3/9 Grfico yf(+b Il grfico present un trslzione di b lungo l sse delle y. b-3 b 63

64 Grfici Riconducibili 4/9 Grfico y f( se >0 se >1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore lungo l sse delle y se 0<<1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore lungo l sse delle y

65 Grfici Riconducibili 5/9 Grfico y f( se <0 se -1 il grfico è ottenuto d quello di f( ttrverso un simmetri ssile rispetto ll sse delle (scisse se <-1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri (ssile rispetto ll sse delle scisse se -1<<0 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri (Assile rispetto ll sse delle scisse

66 Grfici Riconducibili 5b/

67 Grfico y f(+c Grfici Riconducibili 6/9 Il grfico present un trslzione di c lungo l sse delle c+ c- 67

68 Grfici Riconducibili 7/9 Grfico yf(d se d>0 se d>1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore 1/d lungo l sse delle se 0<d<1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore 1/d lungo l sse delle d d0.5 68

69 Grfici Riconducibili 8/9 Grfico yf(d se d<0 se d-1 il grfico present un simmetri ssile (sse delle y rispetto l grfico originle se d<-1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore 1/ d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y se 0<d<1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore 1/ d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y d-1 d- d

70 Grfici Riconducibili 8b/9 d-1 d-0.5 d- 70

71 Grfici Riconducibili 9/9 Grfico yf(d. Cso funzioni goniometriche (o periodiche. Supponimo d>0. Il vlore d v modificre il periodo dell funzione f. Precismente se il periodo dell funzione f è T, il grfico dell funzione yf(d present un periodo T T/d. Se d<0 ll vrizione di periodo indict sopr v ggiunt l simmetri rispetto ll sse y. Es. ysin( h periodo Tπ. L funzione ysin( h periodo T π L funzione ysin(/ h periodo T 4π ysin( ysin(/ ysin( 71

72 Grfici Riconducibili 9b/9 ysin(/ ysin( ysin( 7

73 Grfici Riconducibili Composti 1/ Grfico y f(-1 yf((-1/ rimpicciolimento di un fttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di +1/ lungo l sse delle. yf( yf(-1 73

74 Grfici Riconducibili Composti / Grfico y - f(++1 y- f((+1 +1 rimpicciolimento di un fttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di -1 lungo l sse delle seguito d un simmetri rispetto l sse delle seguito d un diltzione di fttore lungo l sse delle y seguito d un trslzione di +1 lungo l sse delle y yf( yf(+ y-*f(++1 74

75 Confronto Grfico 1/ Equzione: f(g( Disequzione: f(>g( [f(<g(] Si teng conto del grfico di yf( e del grfico di g( e poi se ne operi un confronto quntittivo e, ove non è possibile, qulittivo. Es. sin(-cos(>0 sin( > cos( y1 sin( y cos( y 1 > y π sin( cos( 4 5 π 4 π 5 S R : < < π

76 Confronto Grfico / Es. ln(->0 ln( S y1 ln( > y y1 > y Es. ln(+>0 ln( > y y y 1 1 ln( ln(- mmette un unic soluzione 0 : 0< 0 <1 0 ~ { R } S > : 0 > y 76

Funzioni Elementari 1/2

Funzioni Elementari 1/2 Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogric iperbole: Funzioni Elementri / y m q y y y c b c b d Funzioni Potenz: Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y y log Funzioni trigonometriche

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.

Dettagli

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) ( CFU Lezioni CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio Agro-Forestle

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

5 Geometria analitica

5 Geometria analitica 58 Formulrio di mtemtic 5 eometri nlitic 5.1 Punti e rett distnz di due punti d ( ) + ( y y ) 1 1 distnz tr due punti con ugule sciss d y y1 distnz tr due punti con ugule ordint d 1 punto medio di un segmento

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

Classi IV C IV E ALUNNO CLASSE LEGGI UNO DEI SEGUENTI TESTI. Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri

Classi IV C IV E ALUNNO CLASSE LEGGI UNO DEI SEGUENTI TESTI. Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri Per informzioni, consigli, problemi robbypit@tin.it Istituto Professionle di Stto per l Industri e l Artiginto Gincrlo Vlluri Clssi IV C IV E.s. 0/0 ALUNNO CLASSE ESEGUI TUTTI GLI ESERCIZI SU UN FOGLIO

Dettagli

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ALGEBRA LINEARE Operzioni tr mtrici Sino A = { ij } e B = {b ij } venti l stess imensione. L loro somm è l mtrice C i cui elementi sono {c ij

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLAI.M. DA CONEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI PORTELLO DEVI RIOLVERE PRIMA DI TUTTO I PROBLEMI E GLI EERCIZI QUI ELENCATI. TERMINATI QUETI, RIOLVI ALCUNI

Dettagli

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Verifica 10 ESPONENZIALI E LOGARITMI

Verifica 10 ESPONENZIALI E LOGARITMI Verific 0 SPONNZIALI LOGARITMI TST I FIN APITOLO Qule delle seguenti figure non rppresent un funzione? A È dt l funzione f : R R, descritt dll legge 4. Qunto vle l immgine di 0? A 0... 4. 4. L funzione

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1 Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere,

Dettagli

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I.

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Pietro Bldi Anlisi mtemtic I Progrmm d esme, nno ccdemico 2012-2013 Corso di Lure Triennle in Ingegneri Biomedic, cognomi A-I. Il libro di testo dottto durnte il corso è Anlisi Mtemtic Uno, P. Mrcellini,

Dettagli

SISTEMA MISTO. Confronto tra le radici di un'equazione parametrica di secondo grado e un numero reale α. Se > 0 si possono verificare i seguenti casi:

SISTEMA MISTO. Confronto tra le radici di un'equazione parametrica di secondo grado e un numero reale α. Se > 0 si possono verificare i seguenti casi: SISTEMA MISTO Chimimo sistem misto un sistem ormto d un'equzione generlmente prmetric e d un o più disequzioni. Le soluzioni del sistem sono dte dlle rdici dell'equzione che veriicno le disequzioni. Tli

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO INTRODUZIONE Per trsformzione geometric pin si intende un corrispondenz iunivoc fr i punti di un pino, ossi un funzione iiettiv che ssoci d ogni punto P del pino un

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali fratte Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_2 a (ultima modifica 08/03/2010)

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_2 a (ultima modifica 08/03/2010) Ingegneri dei Sistemi Elettrici_2 (ultim modific 08/03/2010) Prim di definire le grndee di bse e le costnti universli del modello elettromgnetico per poter sviluppre i vri temi dell elettromgnetismo, si

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici

D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici D5.1 Definizione di ellisse come luogo di punti Definizione: un ellisse è formt dll insieme dei punti l cui somm delle distnze d due punti detti fuochi è costnte.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 21 Febbraio Verifica di matematica. (punti 1.5) x è sempre decrescente in R? (punti 1)

Nome.Cognome classe 5D 21 Febbraio Verifica di matematica. (punti 1.5) x è sempre decrescente in R? (punti 1) Nome.Conome clsse 5D Febbrio Veriic di mtemtic Dt l unzione: ke k k per < per punti.5 Dimostr che k R è continu e derivbile R b Trov il vlore di k tle che l tnente l rico dell unzione nel suo punto di

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

9 Simulazione di prova d Esame di Stato

9 Simulazione di prova d Esame di Stato 9 Simulzione di prov d Esme di Stto Problem 1 Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si rticol il questionrio Si f l funzione rele di equzione y =( )e.. Studire e trccire il grfico di f.

Dettagli

Nome..Cognome.classe 4C 7 Maggio Verifica di Matematica

Nome..Cognome.classe 4C 7 Maggio Verifica di Matematica Noe..Cognoe.clsse 4C 7 Mggio Verific di Mtetic PROBLEMA ( punti In un tringolo ABC il lto BC isur e l ngolo opposto è di. Deterinre in funzione dell piezz di ABC ˆ CH l ndento di f ( essendo CH e bisettrici

Dettagli

La parabola con asse parallelo all ady

La parabola con asse parallelo all ady L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015 A. S. 4/ Nome docente Borgn Giorgio Mteri insegnt Mtemtic Clsse Previsione numero ore di insegnmento IV G mnutenzione e ssistenz tecnic ore complessive di insegnmento settimne X 4 ore = ore Nome Ins. Tecn.

Dettagli

Superfici di Riferimento (1/4)

Superfici di Riferimento (1/4) Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Verifica 03 LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Verifica 03 LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Verific 0 LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESERCIZI LE DISEQUAZIONI Risolvi le seguenti disequzioni lineri numeriche. A 0 8 B 7 8 A B 8 7 8 8 9 Rppresent i seguenti intervlli (o unione di intervlli) medinte

Dettagli

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano Geometri nlitic punti, rette, circonferenz, ellisse, iperbole, prbol ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 Il pino crtesino Si dice pino crtesino un sistem formto d due rette perpendicolri che si intersecno

Dettagli

a > 1 y = 1 x = 1 La funzione esponenziale La funzione y = a x è chiamata funzione esponenziale di x dove a è la base della funzione.

a > 1 y = 1 x = 1 La funzione esponenziale La funzione y = a x è chiamata funzione esponenziale di x dove a è la base della funzione. L funzione esponenzile L funzione = è chimt funzione esponenzile di dove è l bse dell funzione. > 0; Condizioni di vlidità: < < ; > 0 Se > l funzione è monoton crescente > = = = o L funzione esponenzile

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

Contenuti di matematica classe prima liceo scientifico di ordinamento e delle scienze applicate.

Contenuti di matematica classe prima liceo scientifico di ordinamento e delle scienze applicate. Contenuti di mtemtic clsse prim liceo scientifico di ordinmento e delle scienze pplicte. SAPERE Sper definire, rppresentre e operre con gli insiemi. Conoscere gli insiemi numerici N, Z, Q e sperci operre

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

X X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni

X X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni Funzioni Consider le seguenti telle e stilisci se e sono direttmente proporzionli, inversmente proporzionli o se vi è un proporzionlità qudrtic. Scrivi l espressione nlitic delle funzioni e rppresentle

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x) Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si

Dettagli

ESPONENZIALI LOGARITMI

ESPONENZIALI LOGARITMI ESPONENZIALI LOGARITMI Prerequisiti: Conoscere e sper operre con potenze con esponente nturle e rzionle. Conoscere e sper pplicre le proprietà delle potenze. Sper risolvere equzioni e disequzioni. Sper

Dettagli

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = =

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = = Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol PROBLEMA Del tringolo ABC si nno le seguenti informzioni: ABcm; ACcm; CAB 60. Si trcci l isettrice di CAB e se ne indici con D lintersezione con il lto BC.

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

Vettori Geometrici. Corso di Metodi Numerici per il Design. 30 Settembre 2002 Vettori Geometrici. Corso di Laurea in Disegno Industriale

Vettori Geometrici. Corso di Metodi Numerici per il Design. 30 Settembre 2002 Vettori Geometrici. Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design 0 Settemre 00 Vettori Geometrici 1 Vettori Geometrici Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 1 1 Segmento orientto P P 1 Direione:

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

LA SIMILITUDINE ( ), ( ) = (, )

LA SIMILITUDINE ( ), ( ) = (, ) Sched di mtemtic Prof. Angelo Angeletti Liceo Scientifico G.Glilei Mcert LA SIMILITUDINE L similitudine è un prticolre trsformzione geometric, nel pino o nello spzio, che conserv i rpporti tr le distnze.

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

Strumenti Matematici per la Fisica

Strumenti Matematici per la Fisica Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it PROBLEMA Sono dti: un circonferenz di centro O e dimetro AB e tngente t prllel l dimetro. Si prolungno i rggi OA ed OB di due segmenti

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI Angel Dontiello FUNZIONI ESPONENZIALI Crescit di un popolzione

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli