IL CAMPO ELETTRICO... 2 Il campo elettrico e la legge di Coulomb... 2 Vettore spostamento elettrico... 4

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1 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I lettostatica IL CAMPO LTTRICO... Il campo elettico e la legge di Coulomb... Vettoe spostamento elettico... 4 Richiami sull induzione elettica... 5 Vettoe densità di spostamento elettico... 5 Il vettoe polaizzazione... 6 Linee di flusso elettico... 6 Flusso di un campo vettoiale... 7 Il teoema di Gauss pe la densità di spostamento elettico... 7 Natua consevativa del campo elettico... 9 Teoema della cicuitazione del campo elettico... L enegia potenziale elettica... La funzione potenziale... Deivazione del campo elettico dal potenziale elettico... quazione di Poisson ed equazione di Laplace... 3 La funzione di Geen... 3 Calcolo della funzione di Geen (in coodinate sfeiche) pe una caica puntifome... 4 Calcolo della funzione di Geen (in coodinate cilindiche) pe una caica puntifome... 7 Le supefici equipotenziali... 9 CONDUTTORI MTALLICI IN QUILIBRIO IN UN CAMPO LTTRICO... 9 Campo inteno nullo... 9 Campo elettico in supeficie al conduttoe... Distibuzione supeficiale di caica... CAPACITÀ... 3 Capacità elettostatica di un conduttoe isolato... 3 Caiche e potenziali su un sistema di conduttoi... 3 Condensatoi... 5 negia elettostatica... 6 Densità di enegia... 7

2 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I IIll campo ellettiico Il campo elettico e la legge di Coulomb Molti concetti di elettostatica si basano sulla legge di Coulomb, che andiamo peciò ad enunciae. Studiando come due copi divesi B e C, entambi elettizzati, inteagiscono con uno stesso copo A, anch esso elettizzato, si osseva che le foze sentite da B e C quando vengono avvicinati (in momenti divesi) ad A, dipendono sia dal fattoe / (dove è la distanza da A) sia anche dallo stato di elettizzazione dei copi stessi; al contaio, il appoto ta le foze sentite dai due copi isulta indipendente da /, mente isulta dipendee esclusivamente dallo stato di elettizzazione. La costanza di tale appoto si può tadue, in temini fomali, scivendo che ciascuna delle foze F B e F C sentite ispettivamente da B e C è data dal podotto di un ceto temine q, che dipende dallo stato di elettizzazione del copo, e da un secondo temine, che invece dipende sia dallo stato di elettizzazione del copo A sia dalla distanza da A stesso: in geneale, possiamo cioè scivee che FB = qb( q, ) F = q ( q, ) C In queste espessioni, il temine (q,) è quello che dipende dallo stato di elettizzazione e dalla distanza. Facendo il appoto membo a membo di quelle due elazioni, otteniamo FB q B = F q C Il temine (q,) pende il nome di campo elettico geneato dalla caica q alla distanza. Una definizione igoosa di campo elettico è la seguente: si definisce campo elettico la foza che agisce sulla caica unitaia, ossia il appoto ta la foza F e la caica q che la sente. In base ad una qualsiasi delle elazioni icavate pima, se pendiamo una caica campione q, la caica q di un alto copo avvicinato a tale caica saà data dalla semplice elazione F q F q = Adesso supponiamo di avee due caiche q e q poste a una ceta distanza una dall'alta; siano F la foza che q esecita su q e F la foza che q esecita su q ; supponendo che le due caiche siano puntifomi e applicando il noto pincipio di azione e eazione, possiamo scivee che C F = q ( q, ) = F = q ( q, ) C da cui si icava che q (, ) q = q (, ) q Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3

3 lettostatica Questa elazione dice che il campo elettico geneato dalla caica q deve essee diettamente popozionale alla stessa caica q, come anche il campo elettico geneato dalla caica q deve essee diettamente popozionale alla stessa caica q. Dato peò che anche le foze elettiche F ed F eano popozionali alle due caiche ed eano popozionali anche all'inveso della distanza ta le due caiche, possiamo iassumee il tutto con una unica elazione: F = K qq Questa elazione ci fonisce il modulo del vettoe foza elettica F. Pe pote deteminae in modo completo la definizione di tale vettoe, dobbiamo pecisane diezione e veso. Pe quanto iguada la diezione, abbiamo già detto che è quella della congiungente le due caiche: alloa, indicato con a = il vesoe del vettoe che individua la caica q ispetto alla caica q, la elazione diventa F = K qq u Questa espessione pende il nome di legge di Coulomb pe l'elettostatica ( ). La costante K che compae in quella legge ha un valoe che dipende dall'unità di misua scelta, cioè dal sistema di misua a cui ci si ifeisce, e da questo valoe dipende evidentemente l'unità di misua della caica elettica. Nel sistema CGS, K ha valoe unitaio e la caica elettica isulta misuata in statcoulomb. Nel sistema MKS azionalizzato, invece, il valoe di K è 9 9 Nm /C (valido nello spazio vuoto) e la caica si misua in coulomb. La elazione che intecoe ta il coulomb e lo statcoulomb è la seguente: coulomb = 3 9 statcoulomb ( ) Pe questioni fomali legate all'espessione di alte leggi che si vedanno in seguito ( 3 ), si pefeisce scivee la costante K in un alto modo: K = 4π In questa nuova espessione, è la cosiddetta costante dielettica (o pemettività dielettica) del mezzo che si sta consideando. Quando il mezzo è il vuoto oppue anche l aia, il valoe di tale costante è = C /Nm abbastanza evidente la similitudine con la legge della gavitazione univesale, con la diffeenza fondamentale che, in quel caso, l'inteazione è solo di tipo attattivo bene pecisae che il coulomb è una unità molto gande pe i fenomeni elettostatici: tanto pe avee una idea, se noi pendiamo due caiche q e Q di coulomb, poste ad un meto di distanza, la foza di epulsione che si sviluppa ta di esse è dell'odine di 6 tonnellate!! Si icoe peciò molto spesso all'uso dei sottomultipli del coulomb, in paticolae il nanocoulomb ( -9 ) e il micocoulomb ( -6 ) 3 Ci ifeiamo alle 4 leggi fondamentali di Maxwell pe l'elettomagnetismo Ultimo aggionamento: 6/7/3 3 Autoe: Sando Petizzelli

4 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I Tamite la legge di Coulomb, possiamo espimee anche il campo elettico geneato da una caica Q isolata: F Q = = q 4π Alla caica q si dà il nome di caica sonda, popio pe il fatto che si tatta della caica campione utilizzata pe valutae il campo podotto da Q. Tuttavia, è bene pecisae che il campo elettico esiste anche se non c è una caica sonda che isente della sua azione. Questo significa che, se q=, F= ma. In base all espessione del campo elettico appena tovata, è evidente che il modulo di è Q/4π, mente la diezione è quella individuata dal vesoe a, che è quello della congiungente Q a q. Dato che nel sistema MKS l'unità di misua della caica è il coulomb e quella della foza è il N, si deduce che l'unità di misua del campo elettico è il Newton/Coulomb. Spesso si usa peò un'alta unità di misua, il Volt/meto, sulla cui utilità si toneà più avanti quando si paleà del potenziale elettostatico e della sua unità di misua (che è appunto il Volt). Pe concludee, si definisce linea di foza elettica quella cuva che, in ogni punto, è tangente al vettoe campo elettico esistente in quello stesso punto: in alte paole, in ciascun punto la diezione del campo elettico è quella della tangente alla linea di foza elettica in quel punto. Le linee di foza elettica sevono a daci una visione qualitativa dell andamento del campo elettico nella egione consideata. Sevono peò anche a daci una idea quantitativa, visto che il numeo di linee di foza elettica pe unità di supeficie è popozionale all ampiezza del vettoe. a Vettoe spostamento elettico Abbiamo detto che il campo elettico podotto, in un punto a distanza, da una caica puntifome isolata Q, è valutabile come F Q = = q 4π dove q è la caica sonda posta nel punto in esame. In base a questa elazione, è evidente che il campo elettico dipende sia dal valoe Q della caica e dalla sua posizione (appesentata da ) sia anche dalla pemettività dielettica del mezzo in cui il campo viene misuato. oppotuno alloa definie un alta gandezza, sempe legata alla caica Q, che invece non dipenda da, cioè dalla natua del mezzo: si tatta del cosiddetto spostamento elettico Ψ (detto anche flusso elettico ), il quale, nel sistema MKS, è esattamente pai alla caica che lo poduce, ossia (questa definizione saà chiaa più avanti). Ψ=Q a Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 4

5 lettostatica videntemente, dato che la caica si misua in coulomb, lo stesso si faà pe Ψ. Il significato dello spostamento elettico è dato dalla nota espeienza di Faaday delle sfee concentiche: consideiamo due sfee concentiche e supponiamo che su quella intena sia stata depositata una caica +Q; questa caica induce sulla sfea estena una caica esattamente pai a -Q e questo indipendentemente dalla dimensione della sfea stessa e dalla natua del mateiale dielettico eventualmente disposto ta le sfee. Ricchhi iaami i ssuul ll inndduuzzi i ioonnee eel leetttti iccaa In geneale, ogni volta che un conduttoe metallico, isolato e allo stato neuto, viene avvicinato ad un copo elettizzato, il conduttoe si elettizza a sua volta pe induzione: esso si caica cioè di eletticità di segno contaio a quella del copo induttoe nella pate più vicina a questo e di eletticità dello stesso segno in quella più lontana. Se il copo induttoe viene allontanato (oppue scaicato), il conduttoe metallico (che pende il nome di "indotto") itona allo stato di patenza (cioè allo stato neuto). Natualmente il temine "caicae" non indica che, dal nulla, si viene a ceae una caica elettica all'inteno del conduttoe: con quel temine si vuol die che, a seguito della vicinanza dell'induttoe, si ha all'inteno dell'indotto la sepaazione delle caiche elettiche di segno opposto. Solo se ci fosse il contatto ta l'indotto e l'induttoe (e in questo caso non si pala più di induzione), alloa la caica di quest'ultimo veebbe tasfeita, tutta o in pate, all'indotto il quale quindi "acquista" tale caica. Vettoe densità di spostamento elettico Consideiamo una caica Q isolata e consideiamo un punto qualsiasi di una supeficie sfeica, di aggio, centata nella caica stessa: pende il nome di spostamento elettico pe unità di supeficie, o densità di spostamento elettico, la quantità Ψ Q D = a = a 4π 4π Lo spostamento elettico pe unità di supeficie è dunque una quantità vettoiale e questo deiva dal fatto che essa dipende dalla oientazione della supeficie: infatti, la sua diezione è quella della nomale all elemento di supeficie pe cui la densità di spostamento elettico isulta massima. Chiaamente, pe una caica Q isolata in un mezzo isotopo, la diezione è quella adiale con cento nella caica stessa e coincide peciò con quella del campo elettico. L unità di misua del vettoe D è il Coulomb/meto. Se confontiamo la elazione di poco fa con quella che definisce il campo elettico, possiamo senz alto affemae che, dato un mezzo isotopo (cioè caatteizzato da una costante dielettica che non dipende dal campo elettico) ed omogeneo (cioè con costante, indipendente dalla posizione), sussiste la elazione D =. Ultimo aggionamento: 6/7/3 5 Autoe: Sando Petizzelli

6 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I Il vettoe polaizzazione Supponiamo di avee un mateiale dielettico (cioè isolante, pivo di caiche elettiche libee) soggetto all azione di un campo elettico: questa azione consiste nel petubae le obite di elettoni e molecole nel mezzo e questa petubazione dà luogo ad un dipolo di polaizzazione pe unità di volume. In paticolae, l applicazione del campo esteno tende ad allineae tutti i dipoli nella stessa diezione del campo, il che compota una diminuzione dell intensità del campo elettico all inteno del mateiale. Alloa, è ovvio che il vettoe densità di spostamento elettico, che dipende dal campo elettico, saà la somma di due contibuti: quello del campo applicato dall esteno e quello del campo podotto dai dipoli del dielettico. Possiamo die, peciò, che il vettoe densità di spostamento elettico pe un mateiale isotopo viene definito mediante la elazione D= = + P dove si nota subito il contibuto del cosiddetto vettoe polaizzazione, definito dalla elazione P = χ e dove è la costante dielettica del vuoto, χ e la suscettibilità dielettica lineae ed il campo elettico. Quando il mezzo consideato non è isotopo, come ad esempio alcuni mezzi cistallini, la pemettività dielettica vaia a seconda delle diezioni del campo elettico: ciò implica che i vettoi D ed abbiano in genee diezioni divese. In questi casi, la elazione D = = + P va intepetata come una opeazione tensoiale, cioè un podotto maticiale: in paticolae, se ci mettiamo in un sistema di coodinate catesiane, quella elazione diventa D D D X Y Z = XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ X Y Z ossia D = + + X XX X XY Y XZ Z D = + + Y YX X YY Y YZ Z D = + + Z ZX X ZY Y ZZ Z Liinee dii ffllusso ellettiico Si definisce linea di flusso elettico la cuva che in ogni punto è tangente al vettoe D pesente in quello stesso punto. Così come le linee di foza elettica ci davano una visione qualitativa del campo elettico, le linee di flusso elettico ci danno una visione qualitativa del vettoe densità di spostamento elettico. Il numeo di linee di flusso pe unità di supeficie dà una indicazione della gandezza del vettoe D. Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 6

7 lettostatica In base a quanto detto pima, è evidente che, in un mezzo omogeneo e isotopo, nel quale cioè sussiste la elazione D = con scalae e costante punto pe punto, le linee di foza elettica (vettoe ) e le linee di flusso elettico (vettoe D ) hanno la stessa diezione. Flusso di un campo vettoiale Supponiamo di avee un campo vettoiale qualsiasi ( ) = e supponiamo di avee un elemento di supeficie ds avente come nomale positiva la semietta n. Si chiama alloa flusso elementae dϕ del campo attaveso la supeficie ds la seguente quantità: dϕ= nds = ds In questa espessione, ds è il vettoe avente pe modulo l'aea ds dell elemento di supeficie e pe diezione e veso quelli della nomale oientata n a ds. Inolte, è il valoe che il campo vettoiale assume nel punto in cui si tova ds. Pe avee una idea chiaa di cosa sia il flusso di un campo vettoiale, pensiamo ai fluidi: il campo vettoiale appesenteebbe la distibuzione di velocità in un fluido incompimibile, pe cui il flusso definisce il volume di fluido che passa attaveso la supeficie ds nell'unità di tempo. Infatti il fattoe (scalae) nds appesenta il volume del pisma avente pe base ds e pe altezza la componente della velocità nella diezione otogonale a ds. Se la supeficie attaveso la quale vogliamo calcolae il flusso è finita, è possibile sfuttae il pincipio di sovapposizione sommando tutti i contibuti infinitesimi attaveso gli elementi ds di tale supeficie: in tal modo, il flusso totale del campo attaveso la supeficie S saà dato da ϕ = S nds = S dscosθ dove θ è l'angolo che il campo foma con la nomale positiva all'elemento geneico ds consideato. Se il campo vettoiale consideato è quello elettico, si deduce, dalle fomule appena fonite, che la misua del flusso del campo elettico si misua, nel sistema S.I. in Volt meto : infatti, il campo elettico si misua in Volt/meto mente l'aea della supeficie si misua in meto. Il teoema di Gauss pe la densità di spostamento elettico Il teoema di Gauss pe il vettoe densità di spostamento elettico affema quanto segue: il flusso del vettoe D attaveso una qualsiasi supeficie chiusa che ciconda una ceta caica Q è pai alla caica stessa. Dimostiamo questo isultato. Consideiamo una caica puntifome Q situata in un mezzo omogeneo e isotopo con costante dielettica. Consideiamo poi un Ultimo aggionamento: 6/7/3 7 Autoe: Sando Petizzelli

8 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I punto P a distanza dal punto in cui si tova Q: pe definizione, la densità di flusso Q elettico nel punto P vale a D =. Peso invece un geneico elemento di 4π supeficie ds, il flusso del vettoe D, ossia il flusso elettico, attaveso ds è dato, pe definizione di flusso, da dψ = D nds = DdScosθ dove è l angolo ta il vettoe D e la nomale a ds. Il podotto dscosθ non è alto che la poiezione del vettoe ds nella diezione del aggio vettoe, ossia nella diezione di a : poniamo peciò ds n = ds cosθ Inolte, l angolo solido che dal punto in cui si tova Q sottende l elemento di supeficie ds è dato da ds n ds cosθ dω= = Adesso, il flusso totale, attaveso una supeficie chiusa finita S che avvolge la caica Q si ottiene integando il flusso elementae dψ su tutta la supeficie S: Q Ψ = dψ = DdScosθ = D dω = d Ω = Q 4π S S S S Questo è popio quello che volevamo dimostae. Ta l alto, da questa elazione è possibile compendee meglio la definizione data in pecedenza di flusso elettico. inolte ovvio che il isultato appena dimostato si può ulteiomente estendee al caso in cui la supeficie S acchiuda N caiche puntifomi ed al caso in cui invece essa acchiuda delle caiche non più puntifomi, ma distibuite unifomemente con una ceta densità. Se ci sono N caiche puntifomi, avemo evidentemente che N Ψ= Q i Se invece le caiche sono distibuite, in modo unifome, ento un volume con densità spaziale di caica ρ (misuata in coulomb/meto 3 ), alloa avemo che i= Ψ= ρ ( d ) Quest ultima elazione appesenta l espessione più geneale del teoema di Gauss in foma integale. Ne esiste anche un alta, questa volta in foma diffeenziale, e si ottiene da quella applicando il teoema della divegenza (di cui si paleà più avanti): in pimo luogo, pe definizione stessa di Ψ possiamo scivee che Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 8

9 lettostatica Ψ = ρ()d = S D nds In base al suddetto teoema della divegenza, l integale di supeficie è equivalente ad un integale di volume e pecisamente Ψ = ρ()d = S D nds = divdd Dall uguaglianza ta i due integali di volume otteniamo evidentemente che divd =ρ Nel caso paticolae in cui il mezzo sia isotopo e omogeneo, pe cui vale la elazione D =, il teoema di Gauss in foma diffeenziale diventa div = ρ mente invece in foma integale diventa SUP ds = ρ TOT Natua consevativa del campo elettico Supponiamo di avee una ceta distibuzione di caica che genea nella egione cicostante un campo elettico ( ) e supponiamo di avee una caica puntifome q posta sotto l'influenza di tale campo: sulla caica q agià una foza elettica F = q. Se si vuole mantenee la caica q fissa nella sua posizione, è necessaio applicae dall'esteno un'alta foza F A uguale in modulo e diezione e opposta in veso alla foza elettica: deve cioè essee FA = F. In queste ipotesi, supponendo che la caica q fosse inizialmente in quiete, imaà in quiete. Adesso immaginiamo di vole spostae questa caica puntifome da un ceto punto P ad un alto punto P ; tale spostamento deve peò soddisfae due condizioni: innanzitutto, deve avvenie a velocità molto bassa, tanto da pote itenee che l'enegia cinetica della caica non vai duante il taspoto; inolte, la caica dovà itonae in quiete nel punto P. Il lavoo compiuto dalle due foze agenti sulla caica duante lo spostamento è immediato da calcolae: se d l è lo spostamento infinitesimo dalla caica lungo un geneico pecoso, il lavoo della foza elettica è Ultimo aggionamento: 6/7/3 9 Autoe: Sando Petizzelli

10 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I P P F dl Il lavoo della foza applicata saà ovviamente uguale, ma di segno opposto, a quello della foza elettica. Quindi, se l'agente esteno fa un lavoo positivo, la foza elettica ne faà uno negativo, cioè "assobià" quello dell'alta e vicevesa. In geneale dunque si ha che L + L A = Adesso calcoliamo nel dettaglio quanto vale il lavoo del campo elettico pe lo spostamento di q da P a P. Il lavoo infinitesimo dl pe un geneico spostamento dl è dato da dl = F dl Se sostituiamo l espessione della foza elettica data dalla legge di Coulomb, otteniamo qq dl = ( a dl ) π 4 In base alle popietà dei due vettoi in questione, si deduce che il podotto scalae è pai a dlcosθ, dove θ è l'angolo compeso ta i due vettoi. Alloa, ponendo d = dlcosθ e integando ta la posizione iniziale ( ) e quella finale ( ), otteniamo che il lavoo totale compiuto della foza elettica è dato da L qq qq = d = 4 π 4 π Se ne deduce che il lavoo della foza elettica non dipende in nessun modo dal pecoso seguito dalla caica ma è legato solamente alla posizione iniziale e a quella finale. Questo isultato dice dunque che il campo podotto da una caica puntifome è di tipo consevativo. Teoema della cicuitazione del campo elettico La natua consevativa del campo elettico compota una impotante popietà del campo stesso: infatti, se la espimiamo con una fomula, essa dice che Γ F dl = dove Γ è una qualsiasi linea chiusa. Ma, consideando che la foza elettica ha espessione F quella elazione può essee iscitta nella foma = q, è chiao che Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3

11 lettostatica Γ q dl = Γ dl = Questa popietà, estesa al caso più geneale possibile gazie al pincipio di sovapposizione, si espime dicendo che la "cicuitazione" del campo elettostatico podotto da una distibuzione qualsiasi di caica isulta sempe nulla. In temini diffeenziali, abbiamo che ot = Si dice che il campo elettico è iotazionale. L enegia potenziale elettica Dato che il lavoo pe spostae una caica q da un ceta posizione iniziale ad una finale non dipende dal cammino seguito, si può tovae una funzione U(x,y,z) delle sole coodinate spaziali, che chiameemo funzione enegia potenziale elettica, tale che la diffeenza ta i valoi che essa assume in P e in P dia popio il lavoo pe taspotae q da P a P : in paticolae, dato che pe spostae q nel campo geneato da Q occoe compiee un lavoo pai a L A qq = L = 4 π potemo sicuamente poe qq U ()= 4 π Pe chiaie ancoa meglio il significato di enegia potenziale, facciamo il seguente agionamento: pe potae la caica q da P a P, la foza applicata dall'esteno fa un lavoo L A (positivo) pai, in modulo, al lavoo assobito dal campo elettico (L = - L A); quindi, il lavoo L A non viene definitivamente peduto una volta che lo spostamento è stato ultimato, ma ci può essee estituito dal campo elettico se ipotiamo la caica nella posizione iniziale; infatti, nel taspoto, avemo L '> e L A'<. Questo si può anche espimee dicendo il lavoo fatto dall'agente esteno viene "immagazzinato" nel sistema duante il taspoto sotto foma di enegia potenziale,cioè L A = U FIN - U IN L'aumento dell'enegia potenziale avviene a spese del lavoo fatto dall'agente esteno. Dato peò che L A = - L, si ha evidentemente che la vaiazione dell'enegia potenziale è pai al lavoo delle foze del campo cambiato di segno, cioè U FIN - U IN = - L L'enegia potenziale è definita a meno di una costante abitaia: questo significa che, dal punto di vista fisico, hanno impotanza solo le vaiazioni Ultimo aggionamento: 6/7/3 Autoe: Sando Petizzelli

12 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I dell'enegia potenziale e non il valoe assoluto che attibuiamo a tale enegia quando la caica puntifome q si tova nei divesi punti dello spazio. Natualmente, lo stesso vale se a geneae il campo è una distibuzione continua di caica, e questo sempe in vitù del pincipio di sovapposizione. La funzione potenziale Il campo elettico può dunque essee caatteizzato dal lavoo necessaio pe spostae una caica puntifome unitaia da un punto peso come ifeimento (che comunemente è l infinito) fino ad un punto di inteesse P che si tovi ad una ceta distanza R dalla caica Q che genea il campo stesso. Si definisce diffeenza di potenziale (o tensione ) ta due punti P e B il lavoo W, cambiato di segno, fatto dal campo elettico pe spostae una caica unitaia da B a P: in temini analitici, si ha che P W Q Q VPB = VP VB = = d q = 4 π 4 π P B B inolte agionevole pensae che, quando B si tova all infinito, ossia quando B, sia V B=. Alloa, ponendo P=R, si definisce potenziale elettico nel punto P dovuto alla caica puntifome Q (distante R da P) la quantità Q VP ( ) = 4πR Si tatta del lavoo fatto dalla foza elettica pe potae una caica unitaia dal punto P all infinito. Il potenziale elettico è dunque un potenziale scalae. ssendo il potenziale dato da un lavoo pe unità di caica, la sua unità di misua è il Joule/Coulomb e si chiama Volt: diemo peciò che ta due punti c'è una diffeenza di potenziale (abbeviato d.d.p.) di Volt se il lavoo fatto dalle foze del campo elettico pe taspotae dal pimo al secondo punto una caica di Coulomb è pai a - Joule. In definitiva, il potenziale elettico è quella funzione scalae V(x,y,z) scelta in modo tale che il suo valoe in ogni punto del campo elettico appesenti l'enegia potenziale posseduta in quel punto dall'unità di caica positiva, la quale, a sua volta, appesenta, a meno di una costante, il lavoo che occoe spendee pe potae la caica in quella posizione dall'infinito. Deivazione del campo elettico dal potenziale elettico In base alla definizione matematica appena data di potenziale elettico ed in base alla definizione di campo elettico, ossia è possibile icavae che (P) = 4 π Q a R R Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3

13 lettostatica = gad V Questa elazione dice che la diezione del campo elettico è quella del gadiente di V, ossia quella in cui il potenziale vaia più apidamente (in base alle popietà del gadiente). Pe convenzione, il veso è quello che va veso i potenziali decescenti. quazione di Poisson ed equazione di Laplace In base al teoema di Gauss in foma diffeenziale, abbiamo appuato che div = ρ ; allo stesso tempo, abbiamo visto che il campo elettico è ottenibile mediante la elazione = gadv, dove V è la funzione potenziale. Alloa, sostituendo la seconda elazione nella pima, si tova che div ( gadv) = V ρ = Questa elazione si chiama equazione di Poisson: si tatta evidentemente di una equazione diffeenziale dove l incognita è la funzione scalae V. ssa espime una condizione fondamentale cui deve soddisfae il potenziale elettostatico nello spazio, una volta nota la distibuzione di caica mediante la sua densità. Nel caso paticolae che lo spazio peso in consideazione sia vuoto, cioè che non ci siano caiche elettiche, il valoe della densità isulta nullo, pe cui l'equazione di Poisson diventa una equazione diffeenziale omogenea che pende il nome di equazione di Laplace: div ( gadv) = V = La funzione di Geen Nella teoia dei campi, si ha spesso a che fae con funzione che sono continue insieme alle loo deivate; alloa, pe i calcoli matematici isulta di notevole aiuto l uso della funzione impulsiva unitaia δ di Diac, utile in paticolae pe la appesentazione di sogenti discete (come una coente lungo un filamento oppue una caica puntifome). Pe capie meglio questo concetto, vediamo il seguente esempio: consideiamo una caica puntifome q situata in un punto dello spazio; in base alla definizione di densità spaziale di caica, possiamo intepetae questa caica come una distibuzione unifome di caica, con densità spaziale ρ, situata in un volume : q = ρ d ( ) Ultimo aggionamento: 6/7/3 3 Autoe: Sando Petizzelli

14 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I In questa espessione, è il vettoe che individua la posizione della caica ispetto all oigine del sistema di ifeimento consideato. Ovviamente, se la caica q fosse estena al suddetto volume, dovebbe essee ρ( ) d = Alloa, ci si può chiedee quale sia la funzione densità spaziale di caica che soddisfa le condizioni espesse da queste ultime due. facile veificae che si tatta della funzione ρ ) = qδ( ) ( dove il vettoe individua il geneico punto P nel quale valutiamo la densità di caica. Abbiamo cioè tovato che la funzione ρ ( ) appesenta la densità di caica di una caica puntifome q situata nel punto =. Alloa, se ipendiamo l equazione di Poisson e sostituiamo l espessione appena tovata della densità di caica, otteniamo qδ( ) V() = Questa equazione impone dunque un peciso vincolo al potenziale elettico geneato, nel punto P (appesentato dal vettoe ), dalla caica q consideata (situata nel punto individuato da ). Nel caso paticolae in cui la caica q sia unitaia, il potenziale da essa geneato (e soddisfacente quella elazione) pende il nome di funzione di Geen e viene solitamente indicato con G (, ). Questa funzione deve dunque soddisfae alla elazione δ( ) (, ) = G Callcollo delllla ffunziione dii Geen ((iin coodiinate sffeiiche)) pe una caiica puntiiffome Vediamo quanto vale la funzione di Geen in un caso paticolamente semplice: consideiamo una caica isolata (ovviamente unitaia) situata nel punto individuato dal vettoe ; tale vettoe individua questo punto nel sistema di ifeimento pescelto e, in questo caso, si tatta del sistema di coodinate sfeiche ( 4 ). In un sistema di coodinate sfeiche, le coodinate sono,θ,ϕ, pe cui, in linea di massima, la funzione G dipende da tutte e te tali coodinate. Tuttavia, nel poblema che stiamo esaminando adesso, evidenti motivi di simmetia indicano che l unica coodinata dalla quale G può dipendee è quella adiale, ossia. Sulla base di ciò, l equazione scitta pima può essee senz alto semplificata: in pimo luogo, 4 Si icodi che il sistema di ifeimento può essee scelto a popio abitio, ma è ovvio che è consigliabile scegliee quello che più si addice al poblema in esame Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 4

15 lettostatica essendo nulle le deivate paziali ispetto alle coodinate θ e ϕ (pe i motivi di simmetia di cui si diceva), abbiamo semplicemente G (, ) = d d G pe cui l equazione che da isolvee è d d G δ( ) = Integiamo l equazione su una sfea centata nel punto P e di aggio R pai alla distanza ta P (punto potenziato) ed il punto Q (punto potenziante): Q O R P Possiamo subito ossevae quanto segue: l integale del secondo membo è quello esteso al volume acchiuso dalla sfea, pe cui è δ ( ) d senz alto più complessa è l integazione del pimo membo: in pimo luogo, essendo in coodinate sfeiche, dobbiamo effettuae una tipla integazione del pimo membo; le vaiabili di integazione sono, nell odine,, θ e ϕ; se l integazione è estesa ad una sfea, ϕ vaia ta e π, θ vaia ta e π ed vaia ta ed, dato che il aggio della sfea è R e sussiste la elazione = R; infine, l elemento di volume in coodinate sfeiche è dv= sinθddθdϕ, pe cui possiamo concludee che l integale del pimo membo è In definitiva, abbiamo che π π d d G sinθddθdϕ π π d d G sinθddθdϕ = δ( ) d Pocediamo adesso con i calcoli, a patie dal pimo membo: intanto, non c è nessuna funzione o vaiabile che dipenda dalla coodinata ϕ, pe cui possiamo facilmente isolvee la pima integazione e ottenee che Ultimo aggionamento: 6/7/3 5 Autoe: Sando Petizzelli

16 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I π d G δ( π sin θddθ = d ) d Adesso, possiamo tia fuoi dall integale in θ quei temini che non dipendono da θ stesso: π d G δ( ) π dsin θdθ = d d L integale in θ è adesso immediato, in quanto vale -cosθ, pe cui π d G δ( ) π[ cos θ] d = d d Ci imane dunque l ultimo integale, quello in d: possiamo subito semplificae e d, pe cui imane G δ( ) 4π d = d L integale definito del diffeenziale di una funzione è pai alla funzione stessa calcolata ta i due estemi di integazione, pe cui G δ( 4π = ) d A questo punto, avendo detto che G può dipendee solo dalla coodinata, possiamo sostituie il segno di deivata paziale con quello di deivata totale; successivamente, possiamo valutae tale deivata nei due estemi di integazione: icodando che = R, abbiamo che dg δ( ) d 4πR = dr Passiamo adesso al secondo membo: icodandoci semplicemente che l integale della funzione di Diac vale, abbiamo che 4πR dg dr = Dato che vogliamo l espessione della funzione G e, in questa elazione, essa compae deivata, è ovvio che dobbiamo effettuae una nuova integazione: in questo caso, peò, le cose ci vengono facilitate dal fatto che si tatta di una equazione a vaiabili sepaabili. Quindi, ponendola nella foma dg = dr 4π R Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 6

17 lettostatica e integando in modo indefinito, otteniamo che GR ( )= 4π R dove abbiamo evidentemente posto G(R )=). Questo è dunque il potenziale nel punto P podotto dalla caica unitaia puntifome situata nel punto Q a distanza R da P. videntemente, se la caica non fosse unitaia ma avesse valoe q, avemmo ottenuto q VR ( ) = qgr ( ) = 4π R Nel caso, invece, in cui la caica sia distibuita con continuità in un ceto volume con densità spaziale ρ, quest ultima elazione diventa VR ( ) = ρ 4 R ( ) d π Callcollo delllla ffunziione dii Geen ((iin coodiinate ciilliindiiche)) pe una caiica puntiiffome Consideiamo lo stesso poblema del caso pecedente, con la diffeenza che intendiamo questa volta agionae il coodinate cilindiche (ρ,ϕ,z) anziché in coodinate cilindiche (,,ϕ). Pe semplificaci la vita, possiamo suppoe che z sia stato fissato, pe cui la situazione è quella di figua: y Q R P O x Le coodinate sono dunque la distanza ρ del punto P di inteesse dall oigine e l angolo ϕ che il vettoe che individua P foma con l asse delle ascisse. La elazione geneale da cui patie è sempe δ( ) G (, ) = Ultimo aggionamento: 6/7/3 7 Autoe: Sando Petizzelli

18 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I ssa può essee semplificata tenendo conto che l unica coodinata dalla quale G può dipendee è ρ, pe cui essa assume la foma d ρ ρ ρ G δρ ( ρ ) = d ρ L integale è un integale di supeficie: la supeficie di integazione S è un cechio con cento in Q e aggio pai alla distanza di P da Q stesso: essendo ds=ρdρdϕ l elemento di supeficie in coodinate cilindiche, abbiamo che ρ π ρ d ρ ρ ρ G ρ ρρϕ d d = δρ ρ ds d ( ) L integale a secondo membo è pai ad, pe cui ρ π ρ SUP d ρ ρ ρ G d ρ ρρϕ d d = Vediamo alloa quanto vale l integale doppio a pimo membo: intanto, non ci sono temini che dipendono dalla coodinata ϕ, pe cui possiamo isolvee la pima integazione e scivee che ρ π Oa possiamo semplificae ρ e dρ: ρ d G ρ ρdρ = ρ dρ ρ ρ π ρ G d = ρ ρ L integale definito del diffeenziale di una funzione è pai alla funzione stessa calcolata ta gli estemi di integazione: quindi πρ G = ρ ρ ρ Ponendo adesso ρ =, abbiamo che G πρ =, ossia ρ G = ρ πρ Il simbolo di deivata paziale può essee eliminato, in quanto abbiamo detto che G può dipendee solo da ρ: quindi la elazione diventa Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 8

19 lettostatica dg = dρ πρ Integando in modo indefinito, abbiamo che G ( ρ ) = log ρ + cos t π Infine, imponendo che G( )=, concludiamo che G( ρ) = log ρ π Le supefici equipotenziali Si definisce supeficie equipotenziale una supeficie in ogni punto della quale la funzione potenziale elettico assume lo stesso valoe. videntemente, questo significa che il campo elettico lungo una supeficie equipotenziale è nullo ovunque, ossia, meglio, che è nulla la componente del campo elettico paallela al campo, ossia, ancoa, che il campo elettico è otogonale alla supeficie equipotenziale. Conseguenza di ciò è che non è necessaio spendee alcun lavoo pe spostae una qualsiasi caica lungo i punti di una supeficie equipotenziale. Tanto pe fae un esempio conceto, data una caica puntifome q, il potenziale elettico da essa geneato ha l espessione q VR ( ) = 4πR pe cui sono supefici equipotenziali le infinite sfee centate nella caica e di aggio R: su ciascuna di esse il potenziale è sempe lo stesso. Conduttoii metalllliicii iin equiilliibiio iin un campo ellettiico Campo inteno nullo Nei conduttoi metallici sono pesenti i cosiddetti elettoni di conduzione o elettoni libei, i quali non sono vincolati a paticolai posizioni nel eticolo cistallino e si possono peciò muovee libeamente, fomando ciò che viene definito gas elettonico. Supponiamo peciò di avee un copo conduttoe sottoposto ad un campo elettico applicato dall'esteno: le caiche mobili del conduttoe, sotto l'azione del campo, sentono l'azione di una foza elettica, pe cui si spostano veso quelle posizioni che fanno assumee al sistema di caiche la minima enegia potenziale, quindi veso posizioni di equilibio stabile. In paticolae, possiamo fa Ultimo aggionamento: 6/7/3 9 Autoe: Sando Petizzelli

20 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I vedee che l'equilibio elettico all'inteno di un conduttoe deve sempe coispondee ad un campo elettico inteno nullo. Il motivo è evidente: se il campo elettico inteno fosse diveso da zeo, saebbeo anche divese da zeo le foze F=q agenti sulle caiche mobili e tali foze solleciteebbeo le caiche stesse a muovesi anziché a femasi nelle posizioni di equilibio. Campo elettico in supeficie al conduttoe Il campo elettico applicato dall esteno inteessa inizialmente l'inteo conduttoe, sia cioè la sua supeficie estena sia la egione intena, e sollecita le caiche mobili a muovesi. Segue poi una bevissima fase tansitoia duante la quale il conduttoe si pota nella condizione di campo inteno nullo. Consideiamo ciò che succede all'inteno del conduttoe: una piccola fazione degli elettoni mobili va a concentasi da una pate del conduttoe, lasciando un eccesso di caiche positive nella pate opposta; tale sepaazione di caiche genea evidentemente un campo elettico, il quale, sommato a quello che viene imposto dall'esteno (e che genea la sepaazione di caiche) pota ad una situazione di equilibio elettico nella quale, come detto, il campo totale inteno isulta nullo. Vediamo di valutae il campo elettico nei punti immediatamente esteni ad un conduttoe. Abbiamo visto che, se il conduttoe in questione è in equilibio, necessaiamente il campo elettico deve essee nullo in tutti i punti inteni del conduttoe. Vedemo invece che, nei punti immediatamente esteni al conduttoe, il campo elettico isulta nomale alla supeficie stessa del conduttoe. Supponiamo di avee un conduttoe di foma geneica; pendiamo un paticolae cammino, tale da essee in pate inteno e in pate esteno al conduttoe e da avee il lato esteno paallelo alla supeficie e a distanza infinitesima. Pe il teoema della cicuitazione, la cicuitazione del campo elettico lungo questo cammino deve isultae nulla (in quanto il campo è consevativo) a pescindee dalla foma del cammino stesso: Γ dl = Tuttavia, il campo elettico totale nei punti di tale cammino è dato dalla somma del campo elettico inteno e di quello esteno; allo stesso modo, la cicuitazione del campo totale è la somma della cicuitazione del campo inteno più la cicuitazione del campo esteno: = dl = dl + dl INT ST Γ ΓINT ΓST Tuttavia, il campo inteno sappiamo essee nullo, da cui si deduce che deve essee nulla la cicuitazione del campo esteno: Γ ST ST dl = Ragioniamo alloa su tale campo esteno. Abbiamo detto che il cammino peso in consideazione ha i due lati paalleli alla supeficie del conduttoe e a distanza Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3

21 lettostatica infinitesima. Nella cicuitazione, possiamo alloa tascuae il contibuto che deiva dai due tatti infinitesimi pependicolai alla supeficie. Il campo esteno avà due componenti: una otogonale alla supeficie e una tangenziale. Oa, nell'integale della cicuitazione, dl indica lo spostamento infinitesimo paallelo alla supeficie del conduttoe; alloa, la cicuitazione del campo elettico esteno saà la somma di due integali estesi al cammino scelto: nel pimo integale bisogna effettuae il podotto scalae della componente di otogonale alla supeficie pe dl, mente nel secondo bisogna effettuae quello ta la componente tangenziale di pe lo stesso dl : dl = dl + dl ST n T ΓST ΓST ΓST Ma il pimo integale è nullo in quanto i vettoi da moltiplicae scalamente sono otogonali. In conclusione si icava che Γ ST dl = dl ST Tuttavia, sappiamo che questo integale deve isultae nullo: dato che lo spostamento dl non è nullo e non è paallelo alla componente tangenziale del campo, l unica possibilità pechè quell integale dia zeo è che sia nulla la componente tangenziale di. Concludiamo dunque che il campo elettico nei punti immediatamente esteni al conduttoe isulta otogonale alla supeficie del conduttoe stesso. Γ ST T Distibuzione supeficiale di caica Un'alta impotante popietà dei conduttoi in equilibio è che non ci può essee accumulo di caica nei punti inteni di un conduttoe che si tova in equilibio. Dimostiamo questa popietà sfuttando il teoema di Gauss. Pendiamo una geneica supeficie chiusa S intena al conduttoe; applichiamo a tale supeficie il teoema di Gauss: il flusso del campo elettico (che in questo caso è quello inteno) Q uscente da tale supeficie è ϕ =, dove Q è caica totale intena alla supeficie. Oa, pe definizione, questo stesso flusso è anche pai a pe cui sciviamo che S S INT INT nds Q nds = Del esto, quel podotto scalae è nullo in quanto il campo inteno di un conduttoe in equilibio è nullo, pe cui isulta anche Q=, ossia ciò che volevamo dimostae. Ultimo aggionamento: 6/7/3 Autoe: Sando Petizzelli

22 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I Ne deiva una ulteioe impotantissima popietà: se caichiamo un conduttoe o induciamo su di esso una ceta caica, essa si dovà necessaiamente localizzae sulla supeficie del conduttoe stesso, mente all'inteno ci saà caica nulla ( 5 ). Applicando nuovamente il teoema di Gauss, possiamo adesso valutae quanto vale il campo elettico nei punti immediatamente esteni ad un conduttoe. Sia dato quindi il nosto conduttoe di foma qualsiasi. Come supeficie a cui applicae il teoema di Gauss pendiamo questa volta un cilindetto così fatto: esso ha altezza infinitesima e ha una base intena al conduttoe e una estena. Calcoliamo alloa il flusso del campo elettico attaveso tale supeficie: attaveso la base intena non c'è flusso in quanto è nullo il campo inteno; attaveso la supeficie lateale non c'è flusso in quanto campo elettico e nomale positiva sono otogonali; l'unico contibuto quindi al flusso è quello della base estena, dove invece il campo elettico e la nomale positiva sono paalleli. Se alloa indichiamo con S l'aea di tale base estena, il flusso attaveso S è pai a ϕ = Q Adesso, se indichiamo con σ S la densità di caica supeficiale del conduttoe (misuata in Coulomb/meto ), è chiao che Q=σ, pe cui S S ϕ σ = S S Questo stesso flusso, applicando la definizione, è anche pai a S ST nds pe cui sciviamo che S ST nds = σ S S ssendo il campo esteno otogonale alla supeficie del conduttoe, esso è paallelo alla nomale oientata n, pe cui possiamo concludee che ST S = σ Natualmente, icodando la elazione D =, quella elazione diventa anche D ST =σ S 5 Ricodiamo che "indue" una ceta caica su di un conduttoe significa potae nelle sue vicinanze un copo caico e povocae una sepaazione di caiche: questo significa che non viene ceata alcuna caica, tanto che, se allontaniamo il copo caico, l'effetto dell'induzione cessa e il copo in questione itona allo stato neuto Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3

23 lettostatica Capaciità Capacità elettostatica di un conduttoe isolato Supponiamo di avee un conduttoe isolato, caico, a distanza molto gande da alte caiche e alti conduttoi, in modo tale da non isentie della loo pesenza. Sappiamo che, in condizioni di equilibio, la supeficie del conduttoe è equipotenziale: sia ϕ il valoe di tale potenziale. La funzione potenziale nei punti esteni al conduttoe si può deteminae isolvendo l'equazione di Laplace V = e imponendo le oppotune condizioni al contono (che sono il valoe V sulla supeficie del conduttoe e potenziale nullo all'infinito). Una volta deteminata la funzione potenziale V(x,y,z), si può deteminae il campo elettico sulla supeficie del conduttoe, che è otogonale alla supeficie stessa ed ha modulo V = n dove n indica la diezione nomale alla supeficie stessa. Dal campo si può deteminae la densità supeficiale di caica σ = e, da essa, la caica totale Q pesente sul conduttoe: Q= σ ds Supponiamo alloa che la funzione V(x,y,z) sia una soluzione del poblema che ci siamo appena posti; dato che l'equazione di Laplace è lineae, anche la funzione V'=K V (dove K è una costante eale) saà una soluzione dello stesso poblema, con, peò, la nuova condizione che V '=KV sulla supeficie del conduttoe (abbiamo cioè potato il conduttoe ad un potenziale più elevato). In questo caso, anche il campo in supeficie diventeà K volte più gande e con esso aumenteanno popozionalmente anche la densità di caica e la caica totale (che diventa pai a K Q). Deduciamo peciò che esiste una elazione di popozionalità ta il potenziale ϕ del conduttoe e la caica Q da questo posseduta. Si può peciò scivee che Q S = Cϕ dove la costante di popozionalità C dipende solo dalla geometia del conduttoe e pende il nome di capacità elettostatica. Caiche e potenziali su un sistema di conduttoi oi Supponiamo di avee un sistema di te conduttoi (più in geneale N), di foma e posizioni qualsiasi, posti in una cavità dalle paeti conduttici; supponiamo che tali paeti siano a potenziale nullo, a causa, pe esempio, di un collegamento a tea. La supeficie intena di tale cavità sostituisce, in questa nosta schematizzazione, Ultimo aggionamento: 6/7/3 3 Autoe: Sando Petizzelli

24 Appunti di Campi lettomagnetici Capitolo pate I l'insieme dei punti all'infinito a potenziale nullo: questo ci pemette di affemae che le conclusioni a cui aiveemo sono valide anche nel caso molto più geneale di un sistema di conduttoi isolati posti nello spazio vuoto. Siano A, A e A 3 i te conduttoi e siano q, q e q 3 le caiche da essi possedute; tali caiche, in base alle popietà già viste sui conduttoi, si andanno a distibuie sulla supeficie estena di ciascun conduttoe in modo tale che il campo inteno isulti nullo e che ciascun conduttoe isulti equipotenziale con potenziali V, V e V 3. Pe pote deteminae il potenziale nei punti dello spazio vuoto inteposto ta i conduttoi dovemo isolvee l'equazione di Laplace imponendo le oppotune condizioni al contono: il potenziale sulla supeficie intena della cavità deve essee nullo e i potenziali sulle supefici dei conduttoi devono essee quelli pima citati. Otteemo in tal modo la funzione potenziale V(x,y,z), funzione evidentemente dei punti dello spazio. Natualmente, la isoluzione dell'equazione di Laplace in una situazione così geneica come quella che stiamo consideando è pessoché impossibile; è necessaio peciò scompoe il nosto poblema complesso in te poblemi più semplici (in geneale in N poblemi più semplici). Colleghiamo peciò tutti i conduttoi, tanne uno, alle paeti della cavità, in modo che il loo potenziale diventi nullo: sia A il conduttoe che lasciamo isolato. Adesso potiamo tale conduttoe ad un nuovo potenziale V '. Risolviamo quindi l'equazione di Laplace imponendo queste nuove condizioni al contono: il potenziale è nullo sugli alti due conduttoi e sulla supeficie intena della cavità e vale ϕ ' sul conduttoe A. Otteniamo in tal modo la funzione potenziale V (x,y,z): da questa funzione possiamo deteminae il campo elettico in supeficie al conduttoe A, la densità di caica sempe in supeficie e quindi la caica totale posseduta. Osseviamo adesso che la caica posseduta dal conduttoe A genea sugli alti due conduttoi due caiche q e q 3 pe induzione; il valoe di tali caiche si otteà in base al valoe del potenziale sul conduttoe A : infatti, dal valoe della densità di caica su A, integando questa volta sulle supefici degli alti due conduttoi, si otteà il valoe delle caiche indotte q e q 3 da A ispettivamente su A e A 3. Adesso, iflettiamo sul valoe della caica posseduta da A e A 3: in base alla lineaità dell'equazione di Laplace, a seconda del valoe ϕ ' del potenziale dato ad A, toveemo un diveso valoe delle caiche q e q 3 possedute dagli alti due conduttoi; esiste cioè popozionalità ta la caica indotta e il potenziale dato al conduttoe inducente: ifeendoci ad uno solo dei due conduttoi, pe esempio ad A, possiamo peciò espimee tale popozionalità mediante la elazione q = C V ' In modo analogo, pe espimee la popozionalità ta la caica q posseduta da A e il potenziale V ' da essa aggiunto, sciveemo la elazione q = C V ' Se ipetessimo lo stesso pocedimento pe ciascuno dei te conduttoi (in geneale pe ciascuno degli N conduttoi), fissando cioè tutti gli alti a potenziale nullo e dando al conduttoe in esame un ceto potenziale V i', avemmo te distinte soluzioni dell'equazione di Laplace, cioè te divese funzioni potenziali V i(x,y,z), ognuna coispondente ad una deteminata situazione fisica. Tuttavia, sempe pe la lineaità dell'equazione di Laplace, anche la somma di tali soluzioni saà una soluzione: peciò, si ha che la soluzione geneale dell'equazione di Laplace, una Autoe: Sando Petizzelli Ultimo aggionamento: 6/7/3 4

25 lettostatica volta imposte le condizioni al contono del poblema geneale, è la funzione V(x,y,z) data dalla sommatoia delle N soluzioni tovate pe gli N poblemi semplici. Una volta tovato il potenziale, facilmente si ottiene il campo elettico (x,y,z) in ciascun punto dello spazio come somma degli N campi (ciascun deivabile dal coispondente potenziale) podotti dagli N conduttoi sfuttando il pincipio di sovapposizione. Dal campo si ottengono poi la densità di caica e la caica complessiva di ciascuno degli N conduttoi: in paticolae, la caica q j posseduta dal conduttoe A j è data dalla somma delle caiche q ji indotte su A j da ciascuno degli alti N- conduttoi; a sua volta, in base alle elazioni viste all'inizio, ciascuna delle caiche indotte q ji è data dal podotto della costante C ji del conduttoe in esame pe il potenziale ϕ i' del conduttoe inducente. Pe capici meglio, vediamo cosa succede nel caso che i conduttoi siano in tutto te; le elazioni che si ottengono sono le seguenti: q = CV + CV + C3V3 q = C V + C V + C V q = C V + C V + C V Nel caso geneale di N conduttoi si avà un sistema di N equazioni lineai che legano le caiche dei conduttoi isolati ai potenziali che questi stessi assumono. I coefficienti C ij isultano dipendee esclusivamente dalla foma, dalla gandezza e dalla posizione dei conduttoi: in alte paole, dipendono dalla stuttua "geometica" del poblema e non dai valoi delle caiche o dei potenziali. I coefficienti ad indici uguali, cioè C ii, iguadano evidentemente ogni singolo conduttoe e legano la caica da esso posseduta al potenziale, quando tutti gli alti conduttoi hanno potenziale nullo; essi pendono il nome di coefficienti di capacità e il loo valoe è sempe positivo in quanto un conduttoe isolato, caico positivamente, avà cetamente potenziale positivo. I coefficienti ad indici divesi, cioè i C ij, pendono invece il nome di coefficienti di induzione: infatti, ogni coefficiente C ij lega il potenziale del conduttoe A i alla caica q ji da esso indotta sul conduttoe A j,quando quest'ultimo e tutti gli alti conduttoi hanno potenziale nullo. Mente i coefficienti di capacità sono tutti positivi, i coefficienti di induzione isultano sempe negativi, in vitù del fatto che le caiche indotte sono sempe di segno opposto a quelle inducenti. Si dimosta che i coefficienti di induzione sono "simmetici", cioè vale la elazione C ij = C ji Condensatoi Abbiamo dunque tovato che ogni copo conduttoe, facente pate di un sistema di più conduttoi, è caatteizzato da un popio "coefficiente di capacità", che espime il appoto ta la caica e il potenziale del conduttoe quando è isolato e quando gli alti conduttoi pesenti sono mantenuti a potenziale zeo. In questo senso i coefficienti di capacità appesentano una estensione del concetto di "capacità" di un conduttoe isolato, dove pe capacità abbiamo indicato il appoto ta la caica e il potenziale del conduttoe quando è da solo, in assenza cioè di alti conduttoi. Detto in alte paole, il appoto ta la caica e il potenziale posseduti da un conduttoe pende il nome di capacità quando il conduttoe è da solo, Ultimo aggionamento: 6/7/3 5 Autoe: Sando Petizzelli