Risposta a segnali dotati di serie o trasformata di Fourier. Identificazione della risposta in frequenza. Azione filtrante dei sistemi dinamici
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- Aurora Bernasconi
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1 RISPOSTA IN FREQUENZA Risposta esponenziale Risposta sinusoidale Risposta a segnali dotati di serie o trasformata di Fourier Identificazione della risposta in frequenza Diagrammi di Bode Diagrammi polari Azione filtrante dei sistemi dinamici Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1
2 RISPOSTA ESPONENZIALE Esistenza di un uscita esponenziale Sistema SISO di ordine n _x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) +Du(t)? funzione di trasferimento G(s) = C(sI ; A) ;1 B + D Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2
3 Ingresso esponenziale u(t) = ^u(t) = e t t 0? movimento forzato dell uscita: combinazione lineare dei modi propri e di un contributo esponenziale associato alla trasformata dell ingresso 1=(s ; )? movimento libero dell uscita: un particolare x(0) potrebbe annullare completamente i contributi dovuti ai modi (x(t) = x(0)e t ) x(0)e t = Ax(0)e t + Be t + ^x(0) = (I ; A) ;1 B x(t) = ^x(t) = (I ; A) ;1 Be t t 0 y(t) = ^y(t) = C(I ; A) ;1 B + D e t = G()e t t 0? sistema asintoticamente stabile lim (y(t) ; ^y(t)) = 0 t!1 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3
4 RISPOSTA SINUSOIDALE Esistenza di un uscita sinusoidale Ingresso sinusoidale u(t) = ~u(t) = sin (!t) = Im(e j!t ) t 0? ^u(t) = e j!t (A non ha autovalori in j!) ^x(0) = (j!i ; A) ;1 B ^x(t) = (j!i ; A) ;1 Be j!t t 0 ^y(t) = G(j!)e j!t t 0 + ~x(t) = Im(^x(t)) t 0 ~y(t) = Im(^y(t)) = jg(j!)jsin (!t +argg(j!)) t 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4
5 Risposta sinusoidale (G(s) non ha autovalori in j! 0 )? ingresso ~u(t) = U sin (! 0 t + ') t 0? 9^x(0): uscita ~y(t) = Y sin (! 0 t + ) t 0 Y = jg(j! 0 )ju = ' + argg(j! 0 )? sistema asintoticamente stabile lim (y(t) ; ~y(t)) = 0 t!1 +? conoscenza di modulo e fase di G(j!) al variare di! ) determinazione del comportamento (asintotico) del sistema nei riguardi di ingressi sinusoidali di diversa pulsazione Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5
6 Esempio: circuito elettrico? movimenti (t 0 = 0, u(t) = U sin (! 0 t), t 0, x(0) = x 0 ) x(t) = e ;t=rc x 0 + U! 0RC 1+! 0 2R2 C 2 e;t=rc U p1 +! 2 0 R2 C sin (! 0t ; arctan(! 0 RC)) 2 + y(t) = ;e ;t=rc x 0 ; U! 0RC 1+! 0 2R2 C 2 e;t=rc U! 0 RC p1 +! 0 2R2 C cos (! 0t ; arctan(! 0 RC)) 2 +? x(2=! 0 ) = x 0 x 0 = e ;2=! 0RC x 0 + U! 0RC 1+! 2 0 R2 C 2 e;2=! 0RC ; U! 0RC 1+! 2 0 R2 C 2 + x 0 = ; U! 0RC 1 +! 0 2R2 C 2 ~y(t) = U! 0 RC p1 +! 2 0 R2 C 2 cos (! 0t ; arctan(! 0 RC)) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6
7 ? in maniera alternativa G(s) = RCs 1+RCs + jg(j! 0 )j =! 0 RC p1 +! 2 0 R2 C 2 argg(j! 0 ) = 2 ;arctan(! 0RC)? attenuazione di sinusoidi a bassa pulsazione (bloccaggio a! = 0)? passaggio praticamente inalterato di sinusoidi a pulsazione elevata (jg(j!)j! 1, argg(j!)! 0 per!! 1) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7
8 Risposta in frequenza: definizione e proprietà Risposta in frequenza (! 0) G(j!) = C(j!I ; A) ;1 B + D? restrizione di G(s) ai punti del semiasse immaginario positivo (escluso eventuali poli di G(s) sull asse immaginario)? ritardo di tempo G(;j!) = G(j!) G(j!) = e ;j!! 0 ~u(t) = U sin (! 0 t + ') t 0 y(t) = U sin (! 0 t ;! o + ') t Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8
9 RISPOSTA A SEGNALI DOTATI DI SERIE O TRASFORMATA DI FOURIER Effetto della singola armonica (principio di sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari e stazionari) Segnali sviluppabili in serie di Fourier Ingresso periodico ~u(t + T ) = ~u(t), 8t, T > 0 ~u(t) = +1X n=;1 U n e jn! 0t! 0 = 2=T? U n : contributo dell armonica Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9
10 9x 0 : uscita periodica (G(s) senza poli in jn! 0 ) ~y(t) = +1X n=;1 Y n e jn! 0t t t 0 Y n = G(jn! 0 )U n? sistema asintoticamente stabile lim (y(t) ; ~y(t)) = 0 t!1 particolarmente utile se t 0! ;1? la n-esima armonica all ingresso subisce un amplificazione pari a jg(jn! 0 )j e uno sfasamento angolare pari ad argg(jn! 0 ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10
11 Esempio: circuito elettrico ~u(t) = 8 < 0 ;T=2 t < ;T=4 V ;T=4 t < T=4 : 0 T=4 t < T=2? armoniche U 0 = V 2 U n = V 2 sin (n=2) n=2 n = ::: ;2 ;1 1 2 :::? spettro dell uscita (periodica:! 0 = 2=T) Y 0 = 0 Y n = jn! 0RC 1+jn! 0 RC V 2 sin (n=2) n=2 n = ::: ;2 ;1 1 2 ::: Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11
12 ? spettro dell ingresso (in grigio) e dell uscita (in nero) per RC = 10, V = 2, T = 60 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12
13 ? andamento dell ingresso e dell uscita Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13
14 Segnali dotati di trasformata di Fourier Ingresso ~u dotato di trasformata U (j!) = F[~u(t)] ~u(t) = 1 2 Z +1 ;1 U (j!)e j!t d!? infinità non numerabile di armoniche, ognuna moltiplicata per il coefficiente U (j!) ) proprietà di linearità 9x 0 : uscita periodica (G(s) senza poli in j! 0 ) + ~y(t) = 1 2 Z +1 ;1 Y (j!)e j!t d! t t 0 Y (j!) = G(j!)U (j!)? sistema asintoticamente stabile lim (y(t) ; ~y(t)) = 0 t!1 particolarmente utile se t 0! ;1 (trasformata di Fourier della componente forzata dell uscita) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14
15 Esempio: sistema massa-molla G(s) = 1 Ms 2 + hs + k? ingresso (x 0 = 0) ~u(t) = n 1 0 t < T 0 altrove U (j!) = e ;j!t=2 T sin (!T=2)!T=2 ju (j!)j = T jsin (!T=2)j!T=2? spettro dell uscita Y (j!) = G(j!)U (j!) = 1 sin (!T=2) k ; M! 2 + jh! e;j!t=2 T!T=2 jy (j!)j = p 1 (k ; M! 2 ) 2 + h 2! 2 T jsin (!T=2)j!T=2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15
16 ? spettro dell ingresso (in grigio) e dell uscita (in nero) per k = 1, M = 1, h = 0:2, T = 8: fenomeno di risonanza Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 16
17 ? andamento dell ingresso e dell uscita Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 17
18 IDENTIFICAZIONE DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA Determinazione a partire dalla rilevazione di misure sperimentali? sistemi SISO lineari, stazionari e asintoticamente stabili Esperimento? ingresso u(t) = U sin (! 0 t + ')? attesa tempo sino a regime? misura fase e ampiezza sinusoide in uscita +? modulo = rapporto tra ampiezze, fase = differenza tra fasi? :::ingressi a diverse pulsazioni ) tecniche di interpolazione Segnali di ingresso ricchi di armoniche ) uso di filtri sulle armoniche di uscita Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 18
19 DIAGRAMMI DI BODE Strumento efficace per la rappresentazione grafica della risposta in frequenza (sistemi SISO)? diagramma del modulo? diagramma della fase? uso di scala logaritmica in base dieci per l ascissa (!) ) decade = intervallo tra due pulsazioni tra loro in rapporto pari a dieci Forma fattorizzata della funzione di trasferimento G(s) = Q i (1 + is) Q i (1 + 2 is= ni + s 2 = 2 ni ) s g Q i (1 + T is) Q i (1 + 2 is=! ni + s 2 =! ni )? risposta in frequenza G(j!) = Q i (1 + j! i) Q i (1 + 2j i!= ni ;! 2 = 2 ni ) (j!) g Q i (1 + j!t i) Q i (1 + 2j i!=! ni ;! 2 =! ni ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 19
20 Diagramma del modulo Ordinata: valore del modulo espresso in decibel, in scala lineare jg(j!)j db = 20logjG(j!)j = 20logjj ; 20glogjj!j + + X i X ; X i ; i 20log X i 20logj1 +j! i j 1+2ji!= ni ;! 2 = 2 ni 20logj1 +j!t 1 j 20log 1+2ji!=! ni ;! 2 =! 2 ni? somma dei vari termini (contributi dei fattori corrispondenti agli zeri = contributi dei poli cambiati di segno) Termini fondamentali G a (s) = G b (s) = 1 s G c (s) = G d (s) = 1 1+Ts 1 1+2s=! n + s 2 =! 2 n? diagrammi asintotici (andamento qualitativo) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 20
21 Diagramma del modulo di G a (j!) jg a (j!)j db = 20logjj? retta parallela all asse delle!, con ordinata positiva (jj > 1), negativa (jj < 1) o nulla (jj = 1) Diagramma del modulo di G b (j!) jg b (j!)j db = 20log 1 j! = ;20log! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 21
22 Diagramma del modulo di G c (j!) jg c (j!)j db = 20log 1 1+j!T p = ;20log 1+! 2 T 2? diagramma asintotico (in grigio) jg c (j!)j db ' ;20log1 = 0 ;20log!jT j! 1=jT j! 1=jT j Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 22
23 ? diagramma dell errore E c (!) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 23
24 Diagramma del modulo di G d (j!) jg d (j!)j db = 20log = ;20log p 1 1+2j!=! n ;! 2 =! 2 n (1 ;! 2 =! 2 n )2 +4 2! 2 =! 2 n Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 24
25 ? in corrispondenza della pulsazione di risonanza! r =! n p1 ; 2 2? picco di risonanza (infinito per = 0) + jg d (j! r )j = 1 2jj p 1 ; 2 jg d (j! n )j = 1 2jj =) jg d (j! n )j db = 0 jj = 0:5 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 25
26 ? diagramma asintotico jg d (j!)j db ' ;20log1 = 0 ;40log(!=! n )!!n j!! n? diagramma dell errore E d (!) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 26
27 Tracciamento del diagramma asintotico del modulo? somma dei diagrammi associati ai singoli fattori? tracciamento diretto si parte dai fattori e 1=(j!) g (pendenza ;g ein! = 1 il prolungamento assume il valore 20logjj) alle pulsazioni 1=j i j o 1=jT i j la pendenza aumenta o diminuisce di un numero di unità pari alla molteplicità dello zero o del polo alle pulsazioni naturali ni o! ni la pendenza aumenta o diminuisce di un numero di unità pari al doppio della molteplicità dello zero o del polo diagramma esatto ottenuto apportando le correzioni? poli o zeri vicini in frequenza? pendenza del diagramma asintotico per!! 1 = grado relativo col segno cambiato della funzione di trasferimento (negativa per sistemi strettamente propri, nulla per sistemi propri) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 27
28 Esempio G(s) = 100s(1 ; 0:1s) (1 + 16s + 100s 2 )(1 + 0:01s) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 28
29 Diagramma della fase Ordinata: valore della fase espressa in gradi o radianti argg(j!) = arg ; garg(j!)+ + X i X i arg(1 + j! i ) arg ; 1+2j i!= ni ;! 2 = 2 ni X ; arg(1 + j!t i ) i ; arg ; 1+2j i!=! ni ;! 2 =! 2 ni? somma dei vari termini fondamentali (convenzione di considerare valori in modulo non superiori a 180 ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 29
30 Diagramma della fase di G a (j!) argg a (j!) = arg = 0 > 0 ;180 < 0? retta parallela all asse delle!, con ordinata 0 o ;180 Diagramma della fase di G b (j!) argg b (j!) = arg 1 j! = ;90? retta parallela all asse delle!, con ordinata ;g90 (polo: ritardo di fase, zero: anticipo di fase) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 30
31 Diagramma della fase di G c (j!) argg c (j!) = ;arg(1 + j!t) = ;arctan(!t)? diagramma asintotico (in grigio) argg c (j!) ' 8 < ;arg(1) = 0 : ;arg(j!t) = ;90 T > T < 0! 1=jT j! 1=jT j Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 31
32 Diagramma della fase di G d (j!) argg d (j!) = ;arg ; 1+2j!=! n ;! 2 =! 2 n = ;arctan 2!=! n 1 ;! 2 =! 2 n? = 0 ) G d (j!) = 1=(1 ;! 2 =! 2 n )? diagramma asintotico (in grigio) argg d (j!) ' 8 < ;arg(1) = 0 : ;arg(;! 2 =! 2 n ) = ; < 0!! n!! n Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 32
33 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33
34 Tracciamento del diagramma asintotico della fase? somma dei diagrammi associati ai singoli fattori? tracciamento diretto si parte dai fattori e 1=(j!) g (ordinata arg ; g90 ) alle pulsazioni 1=j i j o 1=jT i j l ordinata aumenta ( i > 0 e T i < 0) o diminuisce ( i < 0 e T i > 0)di90 alle pulsazioni naturali ni o! ni l ordinata aumenta ( i 0 e i < 0) o diminuisce ( i < 0 e i 0) di180 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 34
35 Esempio (precedente) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 35
36 Ritardo di tempo G(s) = e ;s > 0 jg(j!)j db = 0 argg(j!) = ;!180=? diagramma della fase Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 36
37 Sistemi a sfasamento minimo G(s) a fase minima: tutti i poli e gli zeri hanno parte reale negativa o nulla, e non sono presenti ritardi di tempo? diagramma di Bode della fase dedotto dalla conoscenza del diagramma di Bode del modulo: cambio di pendenza in diminuzione (in aumento) ) contributo angolare di ritardo (anticipo) dovuto a poli (zeri) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 37
38 DIAGRAMMI POLARI Rappresentazione grafica alternativa della risposta in frequenza nel piano complesso? immagine attraverso G(s) del semiasse immaginario non negativo? tracciamento per punti, a partire dai diagrammi di Bode o con l ausilio di un mezzo di calcolo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 38
39 Esempio G(s) = 1+Ts? diagramma polare per = 1, = 2 = 2 1 e = 3 = 4 1? diagramma polare per diverse combinazioni di segno di e T Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 39
40 Esempio: integratore G(s) = 1 s G(s) con poli sull asse immaginario? diagramma polare connesso: immagine dei punti j! + e j, 2 (;=2 =2), infinitesimo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 40
41 Esempio G(s) = 1 +2s=! n + s 2 =! 2 n? diagramma polare per > 0 e > 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 41
42 ? diagramma polare per > 0 e = 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 42
43 Esempio: ritardo di tempo G(s) = e ;s? diagramma polare: circonferenza di raggio unitario percorsa un numero infinito di volte in senso orario a partire dal semiasse reale positivo Esempio G(s) = 1+Ts e;s T > 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 43
44 AZIONE FILTRANTE DEI SISTEMI DINAMICI Segnale di ingresso, dotato di serie o trasformata di Fourier? sistema amplifica (attenua) e sfasa le armoniche presenti nel segnale (comportamento da filtro)? classificazione in relazione alle caratteristiche filtranti Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 44
45 Filtri passa-basso? lasciano passare inalterate (filtri ideali), o al più amplificate di un valore costante, unicamente le armoniche con pulsazione inferiore o uguale a un dato valore! ed eliminano le armoniche con pulsazione maggiore di! Filtro reale passa-basso 8 >< >: 1 p jg(j!)j 2 jg(j0)j p 2!! jg(j!)j jg(j0)j 1 p 2! >!? banda passante [0!] Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 45
46 Esempio G(s) = 1+Ts T > 0? filtro passa-basso con banda passante [0 1=T ]? risposta allo scalino tanto più veloce quanto più piccolo è T, alias quanto più grande è la banda passante (ampiezza banda, velocità del sistema) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 46
47 Altri tipi di filtro Filtri passa-alto? lasciano passare inalterate (filtri ideali), o al più amplificate di un valore costante, unicamente le armoniche con pulsazione maggiore o uguale a un dato valore! ed eliminano le armoniche con pulsazione minore di! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 47
48 Filtro reale passa-alto 8 >< >: jg(j!)j jg(j0)j 1 p 2! <! 1 p jg(j!)j 2 jg(j0)j p 2!!? banda passante [! 1) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 48
49 Esempio G(s) = s 1+Ts T > 0? filtro passa-alto con banda passante [1=T 1) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 49
50 Filtri passa-banda? lasciano passare unicamente le armoniche con pulsazione compresa in un intervallo [! 1! 2 ] (banda passante) Filtri arresta-banda? bloccano unicamente le armoniche con pulsazione compresa in un intervallo [! 1! 2 ] (banda passante: [0! 1 ) [ (! 2 1)) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 50
51 Filtri a spillo (notch filters)? filtri arresta-banda con banda passante [0 1) ;f^!g? esempio G(s) = s 2 +1 s 2 + p 2s +1 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 51
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