Il procedimento di linearizzazione consiste nell'usare una funzione delle variabili anziché le variabili stesse.

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1 Y Lnerzzzone Il dgrmm d dspersone suggersce che le funzone d nterpolzone de dt non sono lner, m presentno un ndmento che n un cso (dots ner) potree essere d tpo esponenzle, mentre nell ltro cso (dots ross) potree essere d tpo rdce. X

2 Qundo dt spermentl non evdenzno un correlzone d tpo lnere, m presentno un ndmento d tpo esponenzle, polnomle, etc. è dffcle (se non mpossle) rcvre grfcmente prmetr crtterstc dell curv, che spesso hnno un sgnfcto chmco-fsco en precso e potreero pertnto fornre utlssme nformzon su un certo fenomeno. In quest cs è convenente trsformre l'equzone che rppresent l curv che meglo pprossm dt n quell d un rett effettundo un cmmento d vrl (lnerzzzone) Il procedmento d lnerzzzone consste nell'usre un funzone delle vrl nzché le vrl stesse.

3 Un clsse mportnte d lnerzzzon è quell legt d ndment esponenzl (o logrtmc) e legg d potenz. Consdermo l funzone Ae Per rcondurc d un form pù «comod», pplchmo un "lnerzzzone" dell funzone pplcndo l funzone logrtmo: B Ponendo ln ln A B Y = ln, C = ln A, X = S grfcno dt mednte le nuove vrl funzonl X,Y che hnno così dpendenz lnere. Y C BX

4 Esempo B.3 Ae e Y ln.3 ln Y = ln X

5 Altr esemp: A n B X n Y Y 5X X= 3

6 A X Y 5 Y 5X 8 6 Y X=rdce qudrt

7 oppure A A X Y 5 Y 5X Y=^ X

8 Grfc con scle non lner Scle Logrtmche Un scl logrtmc è un sse sul qule sono rportt segment proporzonl logrtm de numer sull sse prescelto (d es. sse ) s rppresent l punto d scss = nell drezone postv s rppresentno, dstnze ugul fr d loro, punt d scss,, 3,... nell drezone negtv s rppresentno, dstnze ugul fr d loro, puntd scss,, 3,... vlor ntermed tr un potenz d e l successv (d.es., 3,... 9 ) sono poszont vlor de rspettv logrtm decml

9

10

11 Crt SemLogrtmc scl lnere sull sse delle scsse X e scl logrtmc sull sse delle ordnte Y (o vcevers) TRASFORMAZIOE DI VARIABILI X Y log X log Y lnere sull sse X e logrtmc sull sse Y logrtmc sull sse X e lnere sull sse Y

12 Crt Logrtmc scl logrtmc sull sse delle scsse X e scl logrtmc sull sse delle ordnte Y TRASFORMAZIOE DI VARIABILI X log Y log

13 APPLICAZIOI: rppresentre msure postve con ordn d grndezz molto dvers fr loro lnerzzre funzon esponenzl K scle semlogrtmche lnerzzre funzon potenz B scle logrtmche

14 Crt SemLogrtmc Dt l funzone esponenzle K pssndo logrtm decml e utlzzndo le propretà de logrtm ponendo log log X K log log s h l equzone d un rett K Y log log K log Y log K X log ntercett coeffcente ngolre

15 Crt Logrtmc Dt l funzone potenz B pssndo logrtm decml e utlzzndo le propretà de logrtm log log B log log B log B log ponendo X log Y log s h l equzone d un rett Y log B X ntercett coeffcente ngolre

16 8 6 4 Esempo 4 (.5 )

17 Rett de mnm qudrt Il metodo dell mssm e mnm pendenz per determnre l rett d est-ft è un metodo grfco che funzon stnz ene, m non esste lcun gustfczone teorc dell procedur. Affrontmo l prolem con un metodo pù rgoroso. Consdermo coppe d msure (, ) d due grndezze e fr le qul sppmo che esste un relzone d tpo lnere: Supponmo che l ncertezz su un delle due vrl (d esempo sull ) s trscurle rspetto quell dell ltr () determnmo mglor vlor d e corrspondent dt spermentl

18 In corrspondenz d ogn esste un vlore teorco dto dll relzone t t t ovvero rppresent l ordnt del punto d scss pprtenente ll rett, mentre è quello msurto spermentlmente n corrspondenz d. t

19 In genere, cus degl error d msur, t e può essere volte t volte t t L qunttà rppresent lo scrto del vlore spermentle d quello teorco t t Al vrre d e l rett cmerà pendenz o trslerà e gl scrt ssumernno vlor dvers

20 Osservzone: un grnde vlore d non h d per sè un grnde sgnfcto. Cò che cont è l vlore ssoluto dello scrto rspetto ll errore d cu e ffetto. L mglor rett deve rendere l pù possle pccol vlor ssolut degl scrt (dvs per rspettv error). Pochè rendere pccolo uno scrto può renderne grnd ltr, llor come mglor rett s prende quell che rende mnm l somm de qudrt degl scrt (dvs per rspettv error) (Prncpo d Mssm Verosmglnz)

21 L mglor rett è quell che rende mnm l qunttà z dove σ è l ncertezz sttstc sull msur. z = z (, ), l vrre d e, ssume uno ed un solo mnmo n corrspondenz de vlor per cu le dervte przl rspetto e s nnullno z z

22 z z

23 Che equvle d vere l sstem: Supponendo che le σ sno tutte ugul σ = σ Sstem d equzon n ncognte

24 S S S S S S S S S S S S S S S Usndo l regol d Crmer S S SS S S S SS SS

25

26 I prmetr e sono ffett d ncertezz (perché lo sono le ). Per l propgzone degl error sttstc: ) ( ) (

27 ( ) ell potes che tutte le vrnze sno ugul

28 Anlogmente s clcol ( )

29 Rssumendo: ( ) ( )

30 Queste espresson ndcno che le ncertezze su prmetr dell rett dmnuscono ll umentre d, m nche dell qunttà denomnt rcco dell lev dell estensone delle msure: lo stesso numero d msure sprse su un ntervllo pù grnde determnno prmetr con un mggore precsone. S può noltre dmostrre che l rett de mnm qudrt pss per l punto B( B, B ) le cu coordnte sono rcentr delle msure d ed. B B

31 Se l non è not l s può stmre trmte l dspersone de punt ntorno ll rett: resdu ( ) È stt così determnt l mglore rett che pprossm un nseme d dt spermentl rendendo mnm l somm de qudrt delle dstnze, msurte nell drezone dell sse, de punt dll rett. L rett così determnt d dce rett d regressone (d su )

32 Avremmo potuto mnmzzre l somm de qudrt delle dstnze msurte nell drezone dell sse, ovvero l qunttà ' ' L rett così determnt d dce rett d regressone (d su ). In genere le due rette non concdono, m qunto pù l dstruzone de punt è prossm d essere rettlne, tnto pù le due rette d regressone s vvcnno. Infne è possle rendere mnm l somm de qudrt delle dstnze msurte ortogonlmente d punt ll rett. L rett così determnt d dce rett d regressone ortogonle.

33 Generlzzzone del metodo de mnm qudrt Il metodo può essere pplcto n modo molto pù generle. Consdermo coppe d msure (, ) d due grndezze e e supponmo che l ncertezz su un delle due vrl (d esempo sull ) s trscurle rspetto quell dell ltr () e che le σ sno tutte ugul σ = σ Inoltre l relzone che leg le vrl s espress dll generc funzone f c, c, c, c,..., 3 4 c p c j sono prmetr d cu s voglono determnre vlor n corrspondenz de qul l curv meglo s dtt dt spermentl

34 Il metodo de mnm qudrt permette d determnre vlor de prmetr c j che rendono mnm l qunttà:,...,c,c f z... c p z c z c z Mednte l rsoluzone del sstem d equzon:

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