Recupero sul 1 compitino di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2013/2014. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/200 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: ad œ D

2 Recupero sul compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di 0aB. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) (a partire dal grafico di Sh B). 0aB œ kshakbk" k. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim Ä_ a" a" x Þ 2

3 Recupero sul compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0aB per B Ä B, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0aB in un intorno di B œ B. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. logacosb ChaB 0aB œ à B œ Þ sinabb Î ShaB 5. Studio qualitativo di funzione con limiti e asintoticiþ Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in ase alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in ase alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 B œ B klogk a B kk. È B"

4 Recupero sul compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 6. Derivata della funzione inversa. Sia B B" 0aB œ / Œ. B Dopo aver dimostrato che 0 è strettamente monotona, e quindi invertiile, nell'intervallo w aß_, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare ˆ % Þ / 4

5 Es Tot. Punti Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/200 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione 0aB si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivaile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivailità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aB œ B arcsink"kbkk Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivailità e dei punti di non derivailità di una funzione".

6 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. 0aB œ BÈklog kbkk. 2

7 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): BcShasinBBd lim BÄ BShB ChB 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " ca x d œ" a

8 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 5. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione trovata: ( È B.BÞ " 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( BklogB k.bþ 4

9 Es Tot. Punti Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/200 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione 0aB si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivaile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivailità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aB œ Š " È log "BÎ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivailità e dei punti di non derivailità di una funzione".

10 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 2 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. (Non è richiesto lo studio del segno di 0 e le intersezioni con l'asse B). 0aB œ / ˆ % kb" kb B. 2

11 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 2. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): Blog alog B lim BÄ/ ˆ È B È / 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " " Š " / Œ " " œ"

12 Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Tema n 2 5. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ' ( sin a B cos B.BÞ 6. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: JaB œ ( B asin>.>þ logk>" k 4

13 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: Sia D œ / * * D œ / D œ / * Le soluzioni sono % in tutto. ad œ D œ È / % È * * / % / œ / œ È œ * œ * " % œ ß œ È ā * œ 5 * œ 5 % " " ˆ 5 D œ ßD œ / " per 5 œ ß"ßÞ È 2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo en in evidenza il grafico di 0aB. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) (a partire dal grafico di Sh B). 0aB œ kshakbk" k

14 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n Sh B -0-0 ShaB" Sh akbk" kshakbk" k. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. Sia: lim Ä_ a" a" x Þ a" x + œ ß successione a termini positivi, e studiamola col criterio del rapporto. + " a x œ + a " a a % % œ µ œ "ß a" x " " " / / a ˆ quindi + Ä Þ Per il criterio del confronto, anche la successione di partenza tende a zero: a" a" x º º œ + Ä Þ 2

15 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0aB per B Ä B, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0aB in un intorno di B œ B. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. Per B Ä ß logacosb ChaB 0aB œ à B œ Þ sinabb Î ShaB cosb" " B " 0aB µ µ œ B B Î B 'B " B œ punto di discontinuità eliminaile, flesso a tangente verticale, discendente. 5. Studio qualitativo di funzione con limiti e asintoticiþ Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in ase alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in ase alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 B œ B klogk a B kk. È B" Definita per B Á ßB Á "Þ Per B Ä ß0aB µ BklogkBkk Ä, B œ punto di discontinuità eliminaile, 0 a œ Þ Poiché 0aBÎB µ klogkbkk Ä _ß nell'origine ha tangente verticale (punto di flesso a tangente verticale, ascendente). Per B Ä " ß klogabk kb" k Î 0aB µ µ œ sgnab" kb" k Ä È B" È B" B œ " punto di discontinuità eliminaile, di flesso a tangente verticale, discendente.

16 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 0 a" œ ß per B Ä " ß klogbk kb" k 0aB µ µ È È B œ " punto angoloso e di minimo relativo. Per B Ä _ß 0aB µ B Î logkbk Ä _ con crescita sottolineare (senza asintoto oliquo). Ci saranno un punto di minimo in a"ß e un punto di massimo in aß". Grafico: 6. Derivata della funzione inversa. Sia B B" 0aB œ / Œ. B Dopo aver dimostrato che 0 è strettamente monotona, e quindi invertiile, nell'intervallo w aß_, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare ˆ % Þ 0 w B B B" B B" / ab œ / a œ B" B œ B ab ab ca a d / œ B / B B" ab ß_ Þ ab ˆ a Quindi sull'intervallo considerato 0 è strettamente decrescente. Poiché 4

17 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n w " 0 a œ %/ ß ˆ %/ œ œ 0 wa œ " / œ Þ / a*" ( 5

18 Es Tot. Punti Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione 0aB si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivaile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivailità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aB œ B arcsink"kbkk Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivailità e dei punti di non derivailità di una funzione". Definita per k"kbkk Ÿ "ß Ÿ B Ÿ Þ Mi aspetto eventuali punti di non derivailità dove si annullano i valori assoluti e dove l'argomento di arcsin vale ", cioè nei punti: B œ ßB œ "ßB œ. Negli altri punti dell'intervallo aß la funzione è derivaile con: 0 w B ab œ arcsink"kbkk sgnakbk" sgnabþ É" a"kb k La funzione è dispari. Per B Ä ß 0 w ab Ä, perciò 0 è derivaile in. Per B Ä ", 0 w ab µ sgnab" Ä "ß quindi B œ " punto angoloso. Per simmetria, anche B œ " è punto angoloso. Per B Ä ß 0 w ab µ Ä _ß È ab B œ punto a tangente verticale (da sinistra). Per simmetria, anche è punto a tangente verticale (da destra). 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo

19 Recupero sul 2 compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. 0aB œ BÈklog kbkk. Definita per: B Á Þ Per B Ä ß0aB Ä. B œ punto di discontinuità eliminaile, poniamo 0 a œ. Funzione dispari, studiamola per B ā ß 0aB œ BÈklogBk Per B Ä _ß 0aB Ä _ con crescita sopralineare (senza asintoto oliquo). Proaili punti di non derivailità dove si annulla l'argomento del modulo, cioè B œ ". Calcoliamo: Ú 0 w B " ÈklogBk ab œ ÈklogBk sgnalogb œ Û ÈklogBk B Ü ÈklogBk " ÈklogBk " ÈklogBk per B ā " per B " Per B Ä ß0 w ab Ä _. (Per simmetria, per B Ä ß0 w ab Ä _ ), quindi B œ punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per B Ä " ß0 w " ab µ Ä _Þ ÈklogBk B œ " punto di cuspide, verso il asso, e punto di minimo relativo. 0 a" œ. Per simmetria, B œ " punto di cuspide, verso l'alto, e punto di massimo relativo. 0a" œ. w Studiamo il segno di 0. Per B ā "ß 0 w a B per Èk log Bk " ÈklogBk ß logb" B ßB / "Î B ā " 0 w, cioè (per ) a Èlog B ā sempre. Per B "ß 0 w a B per Èk log Bk " ÈklogBk ß logb" B ßB Ÿ / "Î Èklog k Þ Quindi B œ / "Î punto di massimo relativo. 0 ˆ / "Î œ " Þ È/ "Î ˆ "Î " È/ Per simmetria, B œ / punto di minimo relativo, 0 / œ. Calcoliamo la derivata seconda. Per B ā "ß ww " " logb" 0 ab œ œ per B È/Þ Î Î BÈlogB %BalogB %BalogB 2

20 Recupero sul 2 compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n B œ È / punto di flesso a tangente oliqua. (Per simmetria, B œ È/ punto di flesso a tangente oliqua). Per B "ß ww " " logb" 0 ab œ œ per B È/, cioè in aß" mai. Î Î BÈklogB k %BklogB k %BklogBk In aß" 0 è concava verso il asso. Grafico:. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): BcShasinBBd lim BÄ BShB ChB % B B B Den. œ BŒB 9ˆ B Œ" 9ˆ % B œ ' %x % " % " œ B Œ 9ˆ B % µ B Þ ' % "

21 Recupero sul 2 compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n B " B Num. œ B ŒB 9ˆ B ŒB 9ˆ B 9ˆ B B œ ' ' ' œ B B " B B 9ˆ B B œ B œ 9 ' ' 9ˆ B ˆ B % Þ 9ˆ % B 0aB µ " Ä Þ B " % 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " ca x d œ" a Serie a termini positivi. Applico il criterio della radice per le serie. Calcoliamo ora lim, Ä_ ax a+ "Î œ, Þ. Per far questo usiamo il criterio del rapporto per le successioni., " c a" dx a a" % % œ œ, " " x " µ œ Ä _ß a a a" ˆ " / / pertanto, Ä _ e per il criterio della radice la serie di partenza diverge. 5. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione trovata: ( È B.BÞ " È È B œ Ê B àb œ Ê sin >à.b œ Ê cos >.>à> ß arcsinê " ( ÈB.B œ ( È Ê Ê È sin> cos>> cos >.> œ œ arcsiné œ È " œ " È % Ê arcsinê Þ arcsinê È % arcsiné 4

22 Recupero sul 2 compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( BklogB k.bþ " ( BklogB k.b œ ( BlogB.B( BlogB.BÞ " B B " B B ( BlogB.B œ logb(.b œ logb -Þ B % ( BklogB k.b œ B logb B B logb B œ " log" " œ log " Þ % % % % " " 5

23 Es Tot. Punti Recupero sul 2 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2. Derivata e punti di non derivailità. Della seguente funzione 0aB si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivaile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivailità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aB œ Š " È log "BÎ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivailità e dei punti di non derivailità di una funzione". Definita per: " È "BÎ Î ā ßB ß kbk È. Mi aspetto punti di non derivailità in B œ e B œ ". Altrove, nell'insieme di definizione, esiste Per B Ä ß w " " 0 ab œ Þ Î Œ B " È "BÎ a"bî B œ punto di cuspide verso l'alto. Per B Ä " ß w " " " 0 ab µ Œ œ Ä _Þ B *B w " 0 ab µ Ä _ß Î Œ a"b Î B œ " punto di flesso a tangente verticale, discendente. La funzione è pari, per simmetria B œ " è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione

24 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 2 dei punti di flesso. (Non è richiesto lo studio del segno di 0 e le intersezioni con l'asse B). Definita per ogni B. Per B Ä _ß 0aB œ / ˆ % kb" kb B. 0 B µ B / Ä B C œ asintoto orizzontale per a œ B Ä con crescita sopralineare (senza asintoto oliquo) Proaile punto angoloso per B œ " (dove si annulla il modulo). Calcoliamo: Per B ā " : w B B 0 ab œ / ˆ % ab" B %B œ / ˆ B 'B per " B Ÿ ßB ' B œ punto di massimo relativo: 0 a œ %à B œ ' punto di minimo relativo: 0 a' œ )/ Per B " : w B B 0 ab œ / ˆ % ab" B %B œ / ˆ B B per ' B Ÿ B œ punto di massimo relativo: 0a œ w lim 0 ab œ œ (/ a / BÄ " B œ " punto angoloso e di minimo relativo: 0a" œ /. Calcoliamo la derivata seconda. Per B ā " ww B B 0 ab œ / ˆ B 'BB' œ / ˆ B )B' per % È" Ÿ B Ÿ % È" con punti di flesso a tangente oliqua in B œ % È". Per B " ww B B 0 ab œ / ˆ B BB œ / ˆ B per È Ÿ B " con punto di flesso a tangente oliqua in B œ È. 2

25 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 2 Grafico:. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): Per B Ä /ß Per De L'Hospital, Blog alog B lim BÄ/ ˆ È B È / B log a log B / c log a log B d )/ c log B" d B" œ )/ log µ µ Þ ˆ ÈB È/ ˆ ÈB È/ ˆ ÈB È/ ÈB È/ quindi " " logb" B / lim lim BÄ/ È BÄ/ " " B / œ œ œ È / B Î / Î, 0 a B µ )/ Œ œ ( / ) œ "'Þ

26 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 2 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. quindi _ " " Š " / Œ" " œ" Per studiare la serie, sviluppiamo: Š / " " " " " " " " " " " œ "Œ 9 œ Œ Œ ' Œ " " " " " " " œ "Œ 9 œ Œ Œ Œ ' " " & " œ " 9 ' Œ " & " " & " & + œ " 9Œ Œ" œ 9Œ µ ' ' ' quindi la serie è a termini definitivamente negativi e per il criterio del confronto asintotico e il confronto con la serie armonica generalizzata " convergente, converge. 5. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ' ( sin a B cos B.BÞ ' ' " cosb " ( sin abcos B.B œ ( sin ab Œ.B œ B œ >àb œ.> " " > sin> cos> sin > œ ( sin > a" cos>.> œ œ % % È = " Ô È % œ Þ % Õ ) Ø % 6. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: asin> logk>" k JaB œ ( B asin>.>þ logk>" k 0 a> œ è definita per > Á " ; il denominatore si annulla per k>" k œ "ß quindi > œ ß> œ Þ 4

27 Recupero sul compitino di Analisi. Ing. Elettronica. A.A. 20/4. Svoglimento Tema n 2 Per > Ä ß e 0 è integraile in un intorno di. Per > Ä "ß asin> > " 0 a> œ µ œ loga>" > > asin" 0 a> µ Ä, logk>" k > œ " punto di discontinuità eliminaile, e 0 è integraile in un intorno di ". Per > Ä ß Î, asin> asin 0 a> œ µ Ä _ loga >" > del prim'ordine, quindi non integraile. Perciò l'insieme di definizione di J aß_ Þ è 5

28 Es Tot. Punti Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/200 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: ad œ D 2. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim Ä_. Derivata della funzione inversa. Sia a" a" x Þ B B" 0aB œ / Œ. B Dopo aver dimostrato che 0 è strettamente monotona, e quindi invertiile, nell'intervallo w aß_, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare ˆ % Þ 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. (Non è richiesto lo studio del segno di 0 e le intersezioni con l'asse B). 0aB œ / ˆ % kb" kb B. /

29 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " " Š " / Œ" " œ" 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( B B 'B*.BÞ 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione trovata: ( È B.BÞ ". Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: B "Î "Î a"> / k > k JaB œ (.>Þ Î > a> loga> 2

30 Es Tot. Punti Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/200 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: Œ D " % œ )) È 2. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0aB per B Ä B, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0aB in un intorno di B œ B. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. logacosb ChaB 0aB œ à B œ Þ sinabb Î ShaB. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): Blog alog B lim BÄ/ ˆ È B È / 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. 0aB œ BÈklog kbkk.

31 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 2 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " ca x d œ" 6. Calcolare il seguente integrale definito: a ( BklogB k.bþ 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ' ( sin a B cos B.BÞ. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: JaB œ ( B asin>.>þ logk>" k 2

32 Es Tot. Punti Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: Sia D œ / * * D œ / D œ / * Le soluzioni sono % in tutto. ad œ D œ È / % È * * / % / œ / œ È œ * œ * " % œ ß œ È ā * œ 5 * œ 5 % " " ˆ 5 D œ ßD œ / " per 5 œ ß"ßÞ È 2. Limiti di successioni. Stailire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. Sia: lim Ä_ a" a" x Þ a" x + œ ß successione a termini positivi, e studiamola col criterio del rapporto.

33 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n + " a x œ + a " a a % % œ µ œ "ß a" x " " " / / a ˆ quindi + Ä Þ Per il criterio del confronto, anche la successione di partenza tende a zero: a" a" x º º œ + Ä Þ. Derivata della funzione inversa. Sia B B" 0aB œ / Œ. B Dopo aver dimostrato che 0 è strettamente monotona, e quindi invertiile, nell'intervallo w aß_, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare ˆ % Þ 0 w B B B" B B" / ab œ / a œ B" B œ B ab ab ca a d / œ B / B B" ab ß_ Þ ab ˆ a Quindi sull'intervallo considerato 0 è strettamente decrescente. Poiché w " 0 a œ %/ ß ˆ %/ œ œ 0 wa œ " / œ Þ / a*" ( 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. (Non è richiesto lo studio del segno di 0 e le intersezioni con l'asse B). Definita per ogni B. Per B Ä _ß 0aB œ / ˆ % kb" kb B. 0 B µ B / Ä B C œ asintoto orizzontale per a œ B Ä con crescita sopralineare (senza asintoto oliquo) Proaile punto angoloso per B œ " (dove si annulla il modulo). Calcoliamo: 2

34 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n Per B ā " : w B B 0 ab œ / ˆ % ab" B %B œ / ˆ B 'B per " B Ÿ ßB ' B œ punto di massimo relativo: 0 a œ %à B œ ' punto di minimo relativo: 0 a' œ )/ Per B " : w B B 0 ab œ / ˆ % ab" B %B œ / ˆ B B per ' B Ÿ B œ punto di massimo relativo: 0a œ w lim 0 ab œ œ (/ a / BÄ " B œ " punto angoloso e di minimo relativo: 0a" œ /. Calcoliamo la derivata seconda. Per B ā " ww B B 0 ab œ / ˆ B 'BB' œ / ˆ B )B' per % È" Ÿ B Ÿ % È" con punti di flesso a tangente oliqua in B œ % È". Per B " ww B B 0 ab œ / ˆ B BB œ / ˆ B per È Ÿ B " con punto di flesso a tangente oliqua in B œ È.

35 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n Grafico: 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. quindi _ " " Š " / Œ " " œ" Per studiare la serie, sviluppiamo: Š / " " " " " " " " " " " œ "Œ 9 œ Œ Œ ' Œ " " " " " " " œ "Œ 9 œ Œ Œ Œ ' " " & " œ " 9 ' Œ " & " " & " & + œ " 9Œ Œ" œ 9Œ µ ' ' ' quindi la serie è a termini definitivamente negativi e per il criterio del confronto asintotico e il confronto con la serie armonica generalizzata " convergente, converge. 4

36 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( B B 'B*.BÞ B (B& B ( ab )"& (.B œ ( B'.B œ 'B (.B œ B 'B* ab ab B (.B B * œ 'B (.B*( œ 'B( B - B logk k a B ab 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione trovata: ( È B.BÞ " È È B œ Ê B àb œ Ê sin >à.b œ Ê cos >.>à> ß arcsinê " ( ÈB.B œ ( È Ê Ê È sin> cos>> cos >.> œ œ arcsiné œ È " œ " È % Ê arcsinê Þ arcsinê È % arcsiné. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: B "Î "Î a"> / k > k JaB œ (.>Þ Î > a> loga> 0 a> è definita per > ß> Á ß"ßÞ Poiché Î a"ß esaminiamo i punti interi in quest'ordine: Per > Ä " ß / " a"> 0 a> µ Ä % log a"> (confronto di infinitesimi), mentre per > Ä " ß % log Ä _ in modo esponenziale, quindi 0 non è integraile in un intorno sinistro di ", ma è integraile in un intorno destro. Per > Ä ß / " 0 a> µ / k > k " œ a> / k > k " "Î "Î sgna> integraile perché infinito di ordine "Î. 5

37 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n Per > Ä / 0 a> µ Ä _ a> loga> non integraile (di ordine maggiore di "). Quindi l'insieme di definizione di J è: " Ÿ B. 6

38 Es Tot. Punti Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 20/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: Œ D " % œ )) È Sia A œ D". Risolviamo prima % A œ "'/ % A œ / ˆ 5 ß5 œ ß"ßßÞ D " œ AßD œ A" œ / A" œ œ / ˆ a5" " œ Š " È "à Š È " œ œ È à È àš È " à Š È " le soluzioni sono quattro. 2. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0aB per B Ä B, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0aB in un intorno di B œ B. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. logacosb ChaB 0aB œ à B œ Þ sinabb Î ShaB Per B Ä ß cosb" " B " 0aB µ µ œ B B Î B 'B "

39 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 2 B œ punto di discontinuità eliminaile, flesso a tangente verticale, discendente.. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): Per B Ä /ß Per De L'Hospital, Blog alog B lim BÄ/ ˆ È B È / B log a log B / c log a log B d )/ c log B" d B" µ µ œ )/ log Þ ˆ ÈB È/ ˆ ÈB È/ ˆ ÈB È/ ÈB È/ quindi " " logb" B / lim lim BÄ/ È BÄ/ " " B / œ œ œ È / B Î / Î, 0 a B µ )/ Œ œ ( / ) œ "'Þ 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivailità, determinazione dei punti di flesso. 0aB œ BÈklog kbkk. Definita per: B Á Þ Per B Ä ß0aB Ä. B œ punto di discontinuità eliminaile, poniamo 0 a œ. Funzione dispari, studiamola per B ā ß 0aB œ BÈklogBk 2

40 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 2 Per B Ä _ß 0aB Ä _ con crescita sopralineare (senza asintoto oliquo). Proaili punti di non derivailità dove si annulla l'argomento del modulo, cioè B œ ". Calcoliamo: Ú 0 w B " ÈklogBk ab œ ÈklogBk sgnalogb œ Û ÈklogBk B Ü ÈklogBk " ÈklogBk " ÈklogBk per B ā " per B " Per B Ä ß0 w ab Ä _. (Per simmetria, per B Ä ß0 w ab Ä _ ), quindi B œ punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per B Ä " ß0 w " ab µ Ä _Þ ÈklogBk B œ " punto di cuspide, verso il asso, e punto di minimo relativo. 0 a" œ. Per simmetria, B œ " punto di cuspide, verso l'alto, e punto di massimo relativo. 0a" œ. w Studiamo il segno di 0. Per B ā "ß 0 w a B per Èk log Bk " ÈklogBk ß logb" B ßB / "Î B ā " 0 w, cioè (per ) a Èlog B ā sempre. Per B "ß 0 w a B per Èk log Bk " ÈklogBk ß logb" B ßB Ÿ / "Î Èklog k Þ Quindi B œ / "Î punto di massimo relativo. 0 ˆ / "Î œ " Þ È/ "Î ˆ "Î " È/ Per simmetria, B œ / punto di minimo relativo, 0 / œ. Calcoliamo la derivata seconda. Per B ā "ß ww " " logb" 0 ab œ œ per B È/Þ Î Î BÈlogB %BalogB %BalogB B œ È / punto di flesso a tangente oliqua. (Per simmetria, B œ È/ punto di flesso a tangente oliqua). Per B "ß ww " " logb" 0 ab œ œ per B È/, cioè in aß" mai. Î Î BÈklogB k %BklogB k %BklogBk In aß" 0 è concava verso il asso.

41 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 2 Grafico: 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ " ca x d œ" a Serie a termini positivi. Applico il criterio della radice per le serie. Calcoliamo ora lim, Ä_ ax a+ "Î œ, Þ. Per far questo usiamo il criterio del rapporto per le successioni., " c a" dx a a" % % œ œ, " " x " µ œ Ä _ß a a a" ˆ " / / pertanto, Ä _ e per il criterio della radice la serie di partenza diverge. 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( BklogB k.bþ 4

42 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 2 " ( BklogB k.b œ ( BlogB.B( BlogB.BÞ " B B " B B ( BlogB.B œ logb(.b œ logb -Þ B % ( BklogB k.b œ B logb B B logb B œ " log" " œ log " Þ % % % % " " 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ' ( sin a B cos B.BÞ ' ' " cosb " ( sin abcos B.B œ ( sin ab Œ.B œ B œ >àb œ.> " " > sin> cos> sin > œ ( sin > a" cos>.> œ œ % % È = " Ô È % œ Þ % Õ ) Ø %. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: asin> logk>" k JaB œ ( B asin>.>þ logk>" k 0 a> œ è definita per > Á " ; il denominatore si annulla per k>" k œ "ß quindi > œ ß> œ Þ Per > Ä ß e 0 è integraile in un intorno di. Per > Ä "ß asin> > " 0 a> œ µ œ loga>" > > asin" 0 a> µ Ä, logk>" k > œ " punto di discontinuità eliminaile, e 0 è integraile in un intorno di ". Î, 5

43 appello di Analisi Matematica. A.A. 20/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n 2 Per > Ä ß asin> asin 0 a> œ µ Ä _ loga >" > del prim'ordine, quindi non integraile. Perciò l'insieme di definizione di J aß_ Þ è 6