LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti. Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali

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1 LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali Uno strumento molto utile per comunicare e leggere risultati sperimentali è la rappresentazione grafica; tale rappresentazione si chiama grafico. Essa diviene quasi indispensabile quando i risultati sono dipendenti da più di un parametro. Se il parametro di dipendenza è uno, allora è sufficiente un sistema di due assi cartesiani per rappresentare i dati; spesso si sceglie un sistema di assi ortogonali ed è noto che ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri. Gli assi cartesiani hanno una ben definita graduazione, cioè: Il valore che identifica il punto di intersezione con l altro asse: normalmente questo valore lo si sceglie uguale a zero. Il verso positivo La scelta della scala. È da questa scelta che dipende la chiarezza della rappresentazione e la possibilità di una lettura facile e rapida. Nei grafici a coordinate cartesiane si possono avere due tipi di scale: le scale aritmetiche e quelle funzionali. La scelta dipende dal tipo di funzione da rappresentare. Tipi di scale funzionali sono le quadratiche, le logaritmiche ecc. Le scale funzionali, in molti casi, hanno il vantaggio di trasformare i grafici curvilinei in grafici rettilinei di più facile lettura. Le scale aritmetiche sono quelle che hanno le graduazioni degli assi cartesiani direttamente proporzionali ai valori da rappresentare. Per fare ciò è necessario determinare l unità grafica, cioè un segmento la cui lunghezza corrispondente all unità della grandezza da rappresentare o ad un suo multiplo, es.. cm sull asse = Kg,. cm sull asse = kg, cm sull asse = s, ecc. Le unità grafiche devono essere scelte in modo tale che il grafico dia una rappresentazione di tutti i risultati che si intendono rappresentare. Il grafico deve visualizzare, oltre ai risultati anche i valori che quotano le scale, cioè del parametro che rappresentano. Questi devono essere scelti opportunamente, e dipendono dal range dei dati e dal loro andamento. Infatti, i risultati sperimentali del comportamento dei circuiti elettrici a regime, in altre parole eccitati con funzioni sinusoidali la cui frequenza spazia da un valore minimo ad un massimo, sono rappresentati utilizzando scale logaritmiche. Iniziamo con esempi piuttosto semplici. Se dobbiamo graficare una funzione: = + si sceglie un sistema di assi ortogonali in cui la graduazione dell asse delle sarà differente dalla graduazione dell asse delle in modo da visualizzare meglio i dati poiché l incremento di una unità del valore di comporta un incremento di dieci unità del valore di. I valori numerici che si mettono sugli assi dipendono dal range dei valori che devono essere rappresentati. Quindi, per il caso in esempio, se si sceglie il valore dell unità grafica dell asse minore di quella scelta sull asse, allora i dati sono rappresentati in maniera conveniente. Ancora, nell origine degli assi i parametri che si stanno rappresentando non devono necessariamente assumere valore zero, ma opportuni valori funzione dei dati che si vogliono rappresentare.

2 Supponiamo di dovere rappresentare con un grafico i seguenti valori sperimentali: X Y Figura. Asse : cm, asse cm 5. Unità grafica =/ l cm l = / 5 Possiamo notare che l unità grafica dell asse è differente da quella dell asse. Sull asse il valore unitario del parametro da rappresentare è contenuto in un segmento di.5 cm, mentre sull asse il valore 5 del parametro che si vuole rappresentare è contenuto in segmento di lunghezza cm. Ora costruiamo un nuovo grafico con gli stessi dati di sopra e con gli stessi valori delle unità grafiche, ma con l origine degli assi più conveniente; cioè facciamo corrispondere l intersezione degli assi con il punto (, ). In questo caso il grafico risulta più dettagliato e quindi ancora più chiaro. cm

3 Figura. Asse cm, Asse cm 5. Unità grafica l = / l = / 5 L errore che si commette durante la lettura della posizione di un punto su di un foglio è pari alla metà del più piccolo valore che si riesce a leggere sulla scala dello strumento utilizzato per la misurazione. Poiché questo apprezzamento è in genere soggettivo, ma credo che non possa essere inferiore a.5 mm se si usa un comune righello, gli errori, sull asse ed rispettivamente, corrispondenti alla coppia di valori (, ) di un punto in esame, risultano: e = ±.5/ l e = ±.5/ l con l e l le unità grafiche rispettivamente dell asse e espresse in millimetri per unità del parametro che l asse rappresenta. Per l esempio di Fig., l è mm su, cioè 5, mentre l è mm su 5, cioè.. Derivata grafica Molto spesso ci troviamo a dover effettuare la derivata di una funzione di cui si conosce solamente il grafico. Per determinare la derivata in un punto P del grafico, si scelgono allora due punti P =(, ) e P =(, ) molto vicini tra loro ed equidistanti dal punto P e appartenenti al grafico. La derivata è: d d = oppure = () d d l l?l?l

4 dove?le?l sono le distanze tra i punti P, P misurate con un righello rispettivamente lungo l asse ed. Qualche volta è più facile calcolare la derivata misurando l angolo a, compreso tra la retta congiungente i due punti P, P e l asse delle, con un goniometro. Infatti, la derivata corrisponde alla tangente dell angolo α moltiplicata per il rapporto delle unità grafiche, cioè: d l?l = tga e tga =. d l?l Figura. Derivata grafica di una generica funzione nel punto P, utilizzando i punti grafici P e P.

5 Integrale grafico A differenza della derivata, l integrale in un punto non esiste, o meglio si può determinare solamente l integrale improprio analiticamente. Allora, l integrale di una curva rappresentata graficamente, di funzione = f () sconosciuta o elementarmente non integrabile, è uguale all area sottesa dalla curva rispetto all asse. Per calcolare l area è necessario determinare gli estremi di integrazione, cioè il punto iniziale e quello finale n sull asse e suddividere l intervallo corrispondente, [, n], in un numero n di piccole parti k, k = k k > (generalmente uguali), ottenendo così delle figure prossime a dei trapezi rettangoli, se si considera come lato obliquo il tratto di curva delimitato dal trattino. L integrale sarà la somma dell area di tutti i trapezi. k, k Se < < sono i punti scelti sull asse e,, i corrispondenti valori dell asse, si ottiene che: n f ( ) d + + k k ( ) + ( ) +.. = ( ) n k = + k k Se gli intervallini k, k k =,..., n sono uguali tra loro, allora indicando con il loro valore, l integrale può essere scritto nella forma più conveniente n f ( ) d n + n + k k =.

6 Figura 4. Integrale grafico, tra i punti e 7 (n=7) con intervalli equidistanti, di una generica funzione. Grafici con scale funzionali Quando si hanno funzioni la cui rappresentazione grafica è una linea retta è molto facile determinare i principali parametri che la caratterizzano, mentre risulta difficoltoso fare altrettanto per una curva non retta. Esempio: = a. In questo caso per ottenere un grafico rettilineo, una delle due scale non dovrebbe essere lineare. Scegliendo la scala delle ascisse graduata in, cioè con una graduazione tale che per ogni tratto di lunghezza dell asse che indichiamo con L, il valore corrispondente è il quadrato di. In questo modo si ottiene un grafico rettilineo. Per la realizzazione si applica la relazione L = l tra la posizione del punto sull asse ed il valore di stesso, con l fattore di proporzionalità. Vedere Fig. 5. Per una funzione del tipo = è utile scegliere la scala delle ascisse graduata in cioè L = l. Vedere Fig. 6.

7 , 7,,4 4, 5 6,5 8, Figura 5.Grafico con scala funzionale tipo della funzione =a, con a= ,,5 4,7 7, 9,, Figura 6. Grafico con scala funzionale tipo della funzione = Graduazioni logaritmiche Esse sono utili per rappresentare funzioni del tipo α = e e = lg e funzioni con intervalli di definizioni molto grandi. Per la prima funzione si può scegliere la scala delle

8 ascisse graduata esponenzialmente mentre per la seconda logaritmicamente. Oppure si può scegliere l asse delle ordinate graduato logaritmicamente per la prima funzione ed esponenzialmente per la seconda funzione. Quando si decide di usare scale logaritmiche, si ha ad esempio per l asse delle ascisse, L = l ln, con l unità grafica. Nonostante la funzione contenga un logaritmo naturale, la graduazione della scala può essere eseguita anche utilizzando il logaritmo di base cioè L = l log. Scegliendo una lunghezza dell asse detta unità grafica logaritmica, essa rappresenta un intervallo del parametro di una decade, cioè a, o da a, oppure da a e così via. α Per la funzione = e è utile scegliere la scala delle ascisse graduata esponenzialmente come b e L = b l. Il valore di corrispondente alla distanza L è lg ( L / l ).La base b è generalmente scelta uguale a. b = =ln() 5 4 =log() l Figura 7. Grafico con scala orizzontale logaritmica di base e unità grafica l Tabella riassuntiva Esempi di graduazione dell asse Funzione Valore di Tipo graduazione Valore di L = a L / l = Lineare L = l = L / l = a quadrato L = l = L / l a cubo L = l = = ( L / l ) = a radice quadrata L = l log L / l Esponenziale L = a l = a ( ) = a = a lg ep ( L / l ) Logaritmica L = l lg =

9 Alcuni semplici accorgimenti per graficare i dati sperimentali Quando si fanno dei grafici si usa solo la matita onde evitare l impossibilità di cancellare. Individuare bene i limiti inferiori e superiori e poi scegliere le scale più opportune. Non è necessario scrivere il valore corrispondente ad ogni punto, ma solamente alcuni valori corrispondenti ai punti più salienti del grafico e quando è possibile elencare il valore dei dati. Oggigiorno i grafici vengono realizzati mediante programmi al calcolatore già sviluppati ma ciò non permette di sottovalutare le procedure per realizzare un grafico. Nelle operazioni di fit dei dati sperimentali è molto semplice operare con comportamenti lineari anziché curvilinei ed è per questo motivo che ci siamo preoccupati di sviluppare i vari metodi che permettono a molte funzioni non lineari ad essere rappresentate con grafici lineari. In questo caso per trovare la linea di tendenza si tracciano le due rette che intersecano i segmenti relativi a tutti i punti sperimentali ottenendo così la massima e la minima pendenza, e rispettivamente il minimo ed il massimo coefficiente angolare. Se i dati sperimentali non permettono di ottenere una simile simulazione, allora può significare che il fenomeno rappresentato dai dati sperimentali non è di tipo lineare oppure che i dati sperimentali sono errati. Quindi volendo descrivere il comportamento dei dati sperimentali con una relazione lineare del tipo Y = m + c Il coefficiente angolare m sarà determinato dai coefficienti angolari estremi come pure il termine noto c. I coefficienti estremi sono dati dalle due rette estreme di adattamento: Y = mmin + c ma e Y = mma + cmin Pertanto: m = m ma + m min m ± ma m min c c = ma + c min c ± ma c min

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