Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte

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1 Limiti e continuità Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte Politecnico di Torino 1

2 Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Un insieme limitato se X R si dice superiormente b R : x b, x X b X (,b] viene detto maggiorante di X e si ha Politecnico di Torino 2

3 Insiemi limitati Un insieme limitato se X R si dice ineriormente a R : a x, x X a X [a, + ) viene detto minorante di X e si ha 5 Insiemi limitati Un insieme X R è limitato se a, b R : a x b, x X Equivalentemente se c R : x c, x X Politecnico di Torino 3

4 Massimo e minimo di un insieme Un insieme X R ammette massimo se x M X : x x M, x M viene detto massimo di indicato con X x M =maxx è superiormente limitato x M è un maggiorante di X X x X, è unico e 7 Massimo e minimo di un insieme Un insieme X R ammette minimo se x m X : x m x, x X x m viene detto minimo di indicato con X X x m =minx è ineriormente limitato e x m è un minorante di X, è unico e Politecnico di Torino 4

5 Esempi X = N è ineriormente limitato N [0, + ) e min N =0 9 Esempi X =(, 1] max X =1 è superiormente limitato Politecnico di Torino 5

6 Esempi X =( 5, 12] èlimitato 11 Esempi X = ½ ¾ n n +1 : n N min X =0 max X è limitato Politecnico di Torino 6

7 Sia X R Estremo superiore di un insieme un insieme superiormente limitato Chiamiamo estremo superiore il più piccolo dei maggioranti di X S =supx= estremo superiore di X 13 Estremo superiore di un insieme equivalentemente i) x X, x S ii) r <S, x X : x>r Se X sup X =+ non è superiormente limitato, poniamo Politecnico di Torino 7

8 Estremo ineriore di un insieme Sia X R un insieme ineriormente limitato Chiamiamo estremo ineriore il più grande dei minoranti di X s =inx= estremo ineriore di X 15 Estremo superiore di un insieme equivalentemente Se i) ii) X x X, x s r >s, x X : x<r in X = non è ineriormente limitato, poniamo Politecnico di Torino 8

9 Esempi Sia X =( 5, 12] allora in X = 5 e max X =12 17 Esempi Sia X = min X =0 ½ ¾ n n +1 : n N e sup X =1 allora Politecnico di Torino 9

10 Esempi ½ ¾ 1 Sia X = n : n>0 in X =0 e max X =1 allora 19 Esempi Sia X = Z in X = allora e sup X = Politecnico di Torino 10

11 Richiami sulle unzioni - parte II Estremo superiore e ineriore di una unzione Sia : A dom R (A) una unzione Si dice estremo superiore di su l estremo superiore dell insieme S =sup(a) =sup{(x) :x A} =sup(x) x A A Politecnico di Torino 11

12 Estremo superiore e ineriore di una unzione Sia : A dom R una unzione Si dice estremo ineriore di su l estremo ineriore dell insieme (A) A s =in(a) =in{(x) :x A} =in x A (x) 23 Estremo superiore e ineriore di una unzione S<+, Se la unzione si dice superiormente limitata su s>, Se la unzione si dice ineriormente limitata su Se la unzione si dice limitata su A A <s S<+, A Politecnico di Torino 12

13 Valore massimo e minimo di una unzione Sia Se : A dom R S =sup(x) (A) x A S = M =max x A (x) una unzione allora è detto valore massimo di Poiché Il punto per su su M (A), x M A : (x M )=M x M A A è detto punto di massimo (assoluto) 25 Valore massimo e minimo di una unzione Sia Se : A dom R s =in(x) (A) x A una unzione allora è detto valore minimo di Poiché Il punto x m per su s = m =min x A (x) m (A), A su A x m A : (x m )=m è detto punto di minimo (assoluto) Politecnico di Torino 13

14 Richiami sulle unzioni - parte II Sia Funzioni suriettive, iniettive e biiettive :dom X Y una unzione La unzione si dice suriettiva su se im = Y Y La unzione si dice iniettiva se x 1,x 2 dom, x 1 6= x 2 (x 1 ) 6= (x 2 ) Politecnico di Torino 14

15 Funzioni suriettive, iniettive e biiettive equivalentemente, se (x 1 )=(x 2 ) con x 1,x 2 dom x 1 = x 2 29 Funzioni suriettive, iniettive e biiettive La unzione si dice biiettiva se è suriettiva su Y e iniettiva Politecnico di Torino 15

16 Esempio (x) =ax + b, a, b R caso a 6= 0 è suriettiva perché im = R è iniettiva perché se x 1 6= x 2 allora (x 1 )=ax 1 + b 6= ax 2 + b = (x 2 ) è biiettiva 31 Esempio (x) =ax + b, a, b R caso a =0 non è suriettiva perché non è iniettiva perché se (x 1 )=b = (x 2 ) im = {b} x 1 6= x 2 allora Politecnico di Torino 16

17 Richiami sulle unzioni - parte II Funzione inversa Sia iniettiva :dom X Y una unzione Si dice unzione inversa di deinita come la unzione 1 :im Y dom, x = 1 (y) y = (x) dom 1 =im, im 1 =dom Politecnico di Torino 17

18 Funzione inversa 35 Funzione inversa Il graico della unzione inversa è l insieme Γ( 1 ) = {(y, 1 (y)) Y X : y dom 1 } = {((x),x) Y X : x dom } Politecnico di Torino 18

19 Funzione inversa 37 Funzione inversa Politecnico di Torino 19

20 Funzione inversa 39 (x) =ax + b : R R, y = ax + b con 1 : R R a, b R, x = y b a y = 1 (x) = x b a Esempio 1 a 6= Politecnico di Torino 20

21 Esempio 1 Graico della retta (x) =2x 2 e della sua inversa 1 (x) = 1 (x +2) 2 41 Esempio 2 (x) =x 2, : R R non iniettiva in quanto (x) =( x) 1 (x) =x 2, 1 :[0, + ) [0, + ), iniettiva (e suriettiva) 1 1 (x) = x, 1 1 :[0, + ) [0, + ) Politecnico di Torino 21

22 Esempio 2 Graico della unzione 1 (x) e della sua inversa 1 1 (x) 43 Esempio 2 (x) =x 2, : R R non iniettiva in quanto (x) =( x) 2 (x) =x 2, 2 :(, 0] [0, + ), iniettiva (e suriettiva) 1 2 (x) = x, 1 2 :[0, + ) (, 0] Politecnico di Torino 22

23 Esempio 2 Graico della unzione 2 (x) e della sua inversa 1 2 (x) 45 Esempio 3 (x) =x 3, : R R iniettiva (e suriettiva) 1 (x) = 3 x, 1 : R R Politecnico di Torino 23

24 Esempio 3 Graico della unzione (x) =x 3, e della sua inversa 1 (x) = 3 x 47 Esempio: unzione arcoseno (x) =sinx, : R R non iniettiva 1 (x) =sinx, 1 :[ π 2, π 2 ] [ 1, 1], iniettiva (e suriettiva) 1 1 (x) =arcsinx, 1 1 :[ 1, 1] [ π 2, π 2 ] Politecnico di Torino 24

25 Esempio: unzione arcoseno Graico della unzione 1 (x) =sinx, e della sua inversa 1 1 (x) =arcsinx 49 Esempio: unzione arcocoseno (x) =cosx, : R R non iniettiva 1 (x) =cosx, 1 :[0, π] [ 1, 1], iniettiva (e suriettiva) (x) =arccosx, 1 :[ 1, 1] [0, π] Politecnico di Torino 25

26 Esempio: unzione arcocoseno Graico della unzione 1(x) =cosx e della sua inversa 1 1 (x) =arccosx 51 Esempio: unzione arcotangente (x) =tanx, non iniettiva : R \{k π 2,k Z} R 1 (x) =tanx, 1 :( π 2, π 2 ) R, iniettiva (e suriettiva) 1 1 (x) = arctan x, 1 1 : R ( π 2, π 2 ) Politecnico di Torino 26

27 Esempio: unzione arcotangente Graico della unzione 1 (x) =tanx, e della sua inversa 1 1 (x) =arctanx 53 Esempio: unzione esponenziale e logaritmo (x) =e x, : R (0, + ) iniettiva (e suriettiva) 1 (x) =logx, 1 :(0, + ) R Politecnico di Torino 27

28 Esempio: unzione esponenziale e logaritmo Graico della unzione (x) =e x, e della sua inversa 1 (x) =logx 55 Richiami sulle unzioni - parte II 2006 Politecnico di Torino 28

29 Sia e sia :dom R R I dom un intervallo Funzioni monotòne una unzione 57 Funzioni monotòne Si dice che è monotòna crescente su se I x 1,x 2 I, x 1 <x 2 (x 1 ) (x 2 ) Politecnico di Torino 29

30 Funzioni monotòne Si dice che su I se è monotòna strettamente crescente x 1,x 2 I, x 1 <x 2 (x 1 ) <(x 2 ) 59 Funzioni monotòne Si dice che è monotòna decrescente su se I x 1,x 2 I, x 1 <x 2 (x 1 ) (x 2 ) Politecnico di Torino 30

31 Funzioni monotòne Si dice che è monotòna strettamente decrescente su se I x 1,x 2 I, x 1 <x 2 (x 1 ) >(x 2 ) 61 Funzioni monotòne Funzione strettamente crescente su un intervallo I Politecnico di Torino 31

32 Funzioni monotòne Funzione decrescente su un intervallo I 63 unzione strettamente monotona in iniettiva. Dimostrazione caso x 1,x 2 dom, x 1 6= x 2 Proprietà x 1 <x 2 oppure x 2 <x 1 (x 1 ) <(x 2 ) oppure (x 2 ) <(x 1 ) (x 1 ) 6= (x 2 ) dom strettamente crescente Politecnico di Torino 32

33 Proprietà Nota bene: unzione iniettiva in strettamente monotona. NON vale l implicazione inversa dom NON IMPLICA Ad esempio, si consideri la unzione iniettiva ma non strettamente monotona (x) = 1 x se x 6= 0, 0sex =0 65 Richiami sulle unzioni - parte II 2006 Politecnico di Torino 33

34 Siano :dom X Y g :domg Y Z e due unzioni Si dice unzione composta di e la unzione h = g deinita ponendo Funzioni composte h(x) =g((x)) g 67 Funzioni composte Risulta g = h : domg X Z x dom g x dom e (x) dom g Politecnico di Torino 34

35 Funzioni composte Rappresentazione schematica di una unzione composta attraverso diagrammi di Venn 69 Esempio Consideriamo le unzioni (x) =x 1 e g(x) =logx Vogliamo determinare le unzioni composte g e g Politecnico di Torino 35

36 Esempio Si ha g (x) =g (x) = g(x 1) =log(x 1) dom g =(1, + ) 71 Esempio Si ha g(x) = g(x) = (log x) =logx 1 dom g =(0, + ) Politecnico di Torino 36

37 Esempio Si ha g (x) g(x) =log(x 1) =logx 1 Nota bene: in generale g 6= g 73 Proprietà Proprietà.,g g Proprietà.,g g unzioni monotone unzione monotona unzioni iniettive unzione iniettiva e (g ) 1 = 1 g Politecnico di Torino 37

38 Proprietà In particolare, se è iniettiva si ha h = 1 =id dom : dom dom h(x) =x, x dom k = 1 =id im : im im k(x) =x, x im Politecnico di Torino 38