Linguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense

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1 Linguaggio del calcolatore Circuiti e reti combinatorie ppendice + dispense Solo assenza o presenza di tensione: o Tante componenti interconnesse che si basano su e nche per esprimere concetti complessi it: binary digit ( o ) 2 lgebra di oole Strumento matematico su cui si basano i sistemi digitali (George oole, 854) Variabili che possono avere solo uno di due valori: (vero) o (falso) Operazioni di base tra le variabili: ND, O, NOT ND = x O = + NOT = Ā ND, O, NOT ND: risultato se e solo se entrambi gli operando sono O: risultato se almeno uno dei due operandi e NOT: inverte il valore dell operando Esempio: + ( x C) = D D = se = o se = e C= 4 3 Notazione nd e or Senza parentesi, ND ha precedenza sull O Esempio: + ( x C) = + x C Spesso scritto senza x: Esempio: + C Tabella di verita isultato per ogni possibile combinazione dei valori degli operandi 5 6

2 = = + x Xor e not ND O NOT ND O NOT falso falso falso falso falso falso falso vero falso vero falso falso vero vero vero falso vero falso falso vero falso vero vero vero vero vero vero vero 7 Proprieta dell algebra di oole Ā Ā egole di base (postulati): Commutativita + = + x = x Distributivita + ( x C) = ( + ) x ( + C) x ( + C) = ( x ) + ( x C) Elementi neutri x = + = Elementi inversi x + 9 ltre proprieta dell algebra di oole Ā Ā ssorbimento x = + = Idempotenza x = + = ssociativita x ( x C) = ( x ) x C + ( + C) = ( + ) + C Leggi di De Morgan x = += Porte logiche Circuito elettronico che, dati dei segnali in ingresso, produce un segnale ( o ) ottenuto effettuando una operazione ooleana sugli ingressi Ogni porta ha o 2 input e output Dati gli input, l output corrispondente appare quasi istantaneamente (ritardo di commutazione) Di solito, solo pochi tipi di porte identificare insieme di porte funzionalmente completi Completezza di and, or, e not 6 operazioni logiche binarie (tante quante possibili scelte di 4 valori) 4 operazioni logiche unarie Tutte possono essere ottenute componendo and, or, e not 2 2

3 Completezza O = NOT((NOT ) ND (NOT )) Quindi anche {ND, NOT} e un insieme completo Lo stesso per {O, NOT} NND NND falso falso vero falso vero vero vero falso vero vero vero falso NO NO falso falso vero falso vero falso vero falso falso vero vero falso 3 NOT ND iassunto: porte logiche di base O Quindi NND o NO sono complete circuiti con solo porte NND o solo porte NO. 6 falso falso falso vero vero falso vero vero vero vero falso vero equivale a ( ) ND ( ) ( )ND( ) equivale a (NOT ) O NOT (NOT ) O 3

4 o XO XO equivale a NOT ( ) NOT( ) X Dalla tabella di verita ad un circuito Implementazione di funzioni ooleane Tanti circuiti diversi per una stessa funzione Un metodo che funziona sempre (somma di prodotti): Tanti input quante sono le dimensioni della tabella Un solo output Un O la cui uscita e l output Tanti ND quanti sono gli della tabella Input degli ND: se diretto, se negato F = not() + not() 2 nche prodotto di somme Somma di prodotti: uscita se si verifica qualche combinazione di ingressi che produce un Prodotto di somme: uscita se non si verifica nessuna combinazione di ingresso che produce Un ND la cui uscita e l output Tanti O quanti sono gli della tabella Input degli O: se diretto, se negato Una funzione ooleana, tanti circuiti Esempio: F = (not() x ) + ( x not(c)) Ma anche F = x (not() + not(c)) Circuito corrispondente? F = ( + ) x (not() + not()) 2 22 Esercizio Esercizio Determinare la tavola di verità del seguente circuito: not not or or and è una tavola nota? Partendo dalla tavola di verità dell esercizio precedente, costruite un circuito che la realizza seguendo il metodo dela somma di prodotti e quello del prodotto di somme

5 Esercizio Esercizio Si disegni un circuito logico che realizza la seguente tavola di verita : =, = = =, = = =,= = Dare la tavola di verita delle formule: ( NOT()) O ( ND ) O ( ND NOT()) (NOT() NOT()) O (NOT() ND ) =, = = eti combinatorie I circuti che abbiamo visto non hanno cicli Sono rappresentabili da reti combinatorie ete combinatoria: insieme di porte logiche connesse il cui output in un certo istante e funzione solo dell input in quell istante N input binari e m output binari d ogni combinazione di valori di ingresso corrisponde una ed una sola combinazione di valori di uscita eti combinatorie (segue) Vediamo alcuni esempi di circuiti: I segnali sono discretizzati e di solito assumono solo due stati: I circuiti piu complessi sono realizzati attraverso la combinazione di circuiti semplici (porte logiche) Esercizio: dal problema alla rete combinatoria Progettare una rete combinatoria a tre ingressi che restituisca in output solo se LMENO due ingressi sono a C? f SOLUZIONE : creazione della tabella C f Espressione booleana f = C + C + C + C Somma di prodotti

6 SOLUZIONE : riduzione della espressione f = C + C + C + C = C + C + (C + C) distributiva = C + C + () complemento = C + C + identità = C + C + + C idempotenza = C + C( + ) + distributiva = C + C() + complemento = C + C + identità = C + C + + C = idempotenza = C + C + = ( + )C + SOLUZIONE : schema della rete combinatoria f = ( + )C + C f 3 32 Implementazioni NND e NO Spesso si vuole usare solo porte NND o solo porte NO volte non minimale, ma regolare Esempio: F = (Ā+C) = e teorema di De Morgan F= nand(nand(ā,),nand(,c)) eti combinatorie (segue) Porte Logiche: Sono realizzate tramite transistor (sono in pratica interruttori automatici) eti combinatorie: specifica e progetto La specifica di una funzione logica da implementare mediante rete combinatoria può essere vista come un programma La progettazione diventa combinazione e complemento di reti già note Componenti standard Confrontatore, commutatore, selezionatore lcuni ingressi possono essere usati per controllare il funzionamento della rete combinatoria (bit di selezione o controllo) eti combinatorie piu usate Confrontatore, a due ingressi (x,y) ed una uscita (z) z := not (x = y) Commutatore, a due ingressi primari (x,y), un ingresso di controllo (α) ed una uscita (z) z := if not α then x else y Selettore, ad un ingresso primario (x), un ingresso di controllo (α) e due uscite (z,z 2 ) 35 if not α then (z := x ; z 2 := ) else (z := ; z 2 := x) 36 6

7 α α Confrontatore z := not (x = y) Commutatore z := if not α then x else y X X Y Z Z Y Selettore if not α then (z := x ; z2 := ) else (z := ; z2 := x) eti combinatorie multi-funzione X Z Z2 Operatori aritmetico logici a specifica diretta ddizione, sottrazione, traslazione, rotazione, incremento, decremento, etc. eti aritmetico logiche multi-funzione Eseguono una delle operazioni suddette a seconda del valore assunto da un certo numero di ingressi di controllo Si usano per implementare le LU (arithmetic logic unit) 39 4 Multiplexer (o selettore) 2 n a Solo uno degli ingressi viene trasferito all output n ingressi di controllo: indicano l ingresso da trasferire 2 n linee di input ( D - D 7 ) n linee di controllo (,,C) linea di output (F) Per ogni combinazione degli ingressi di controllo, 2n - delle porte ND hanno uscita, l altra fa uscire l ingresso Uso del multiplexer Caricamento del program counter, con valore proveniente da Un contatore binario (incremento per successiva istruzione) egistro istruzione corrente (istruzione di salto) Output della LU Input primari tanti quante linee di ingresso, PC in output ad un multiplexer ( multiplexer per ogni bit del PC)

8 Demultiplexer E il circuito inverso del Multiplexer ed è spesso usato in combinazione con quest ultimo (seleziona comunicazione fra linee) Comparatore Compara due ingressi e produce un output che indica la uguaglianza () o meno () degli ingressi Esempio di comparatore ad bit: si realizza con una porta XO ealizzazione con porte NND Comparatore a piu bit Comparatori ad bit vengono collegati tramite una porta NO L output vale solo se tutti gli output dei singoli comparatori ad bit valgono (i=i) per ogni Traslatore (shifter) Trasla i bit in ingresso (D) di una posizione, a sinistra o a destra a seconda del valore del bit di controllo (C) (C= shift a destra) i, cioe = Sommatore Somma due numeri binari Prima bisogna capire cosa sono i numeri binari e come si sommano 47 8

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