E S E R C I Z I M AT E M AT I C A 3. dipartimento di matematica

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1 E S E R C I Z I M AT E M AT I C A 3 dipartimento di matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [09/2008.1][S-All]

2 I N T R O D U Z I O N E Gli esercizi presentati in questo volume, seguono la stessa struttura capitolo, sezione, sottosezione del corrispondente testo di teoria. Gli esercizi non sono distribuiti in ordine rigoroso di difficoltà; si possono trovare prima esercizi più difficili e dopo esercizi più facili; in ogni caso la difficoltà è compatibile con lo sviluppo della teoria nel testo corrispondente. Valgono due sole eccezioni: ci sono esercizi contrassegnati con un asterisco (*) o con due asterischi (**): i primi sono da considerare esercizi difficili e i secondi molto difficili; in ogni caso, come tutti ben sanno, la difficoltà è una pura opinione. ii

3 I N D I C E i numeri e funzioni 1 1 numeri Tipi di numeri Proprietà fondamentali Uguaglianze e disugaglianze 2 2 appendici Naturali e interi 5 3 funzioni Definizioni Grafici Tipi di funzioni Operazioni Proprietà notevoli 8 ii funzioni trascendenti 9 4 funzioni trascendenti Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni goniometriche Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti 11 iii geometria analitica 12 5 il piano cartesiano 13 6 le rette 14 7 le trasformazioni 15 8 le coniche 16 9 i vettori del piano i numeri complessi 18 iv contributi 19 iii

4 Parte I N U M E R I E F U N Z I O N I

5 N U M E R I tipi di numeri 1.2 proprietà fondamentali 1.3 uguaglianze e disugaglianze Esercizio Risolvere le disequazioni x 3 + 2x [ 3 5 ] 2 x 1, x 3 2 [ ] x + 1 > 3x 2 5 < x < 3 3. x 2x 3 < 4 [ 13 ] < x < 7 Esercizio Risolvere le disequazioni. x 3 + 2x 2 9x x 4 10x ( 3 x 2 ; x = 3) 2. x 2 x 1 x 2 x 2 3x + 2 x 1 2 x x 3 x 2 x x + 3 x 2 + x 2 3x x 2 1 (x > 2) x 2 6x + 5 2x 2 7x (1 x < 3 2 ; 2 < x 5) (x 2 + 3)(x 2 4x + 3) x 2 4x (1 x 3 ma x 2) 5. x 3 x 2 5x 3 < 0 (x < 3 ma x 1) 6. (x 4 1)(x ) (x 6 + 1)(x 3 0 (x 2 ; 1 x 1 ; x > 3) 27) 7. 3 x 2 1 < 8 (2 x < 3) 8. 2x x 6 0 ( 2 < x < 2) x 2 x < 1 ( < x < ) 10. 2x x 2 0 ( 3 < x 1, 0 x < 7) 11. x 2 4x > 1 x (x 4, x < 1 2 ) 2

6 1.3 uguaglianze e disugaglianze 3 Esercizio Risolvere le disequazioni. 1*. 2. x 2 4x 1 + x 0 ( 2 < x 1 x 2 2 ) x 1 x x ( 1 < x 1 2 ; x > 1) 3. x 1 x x ( 1 < x 1 2 ; x > 1) 4. x > 3 3x 2 2x (0 < x < 1 ; x > 2) 5. x > 0 (x < 6 ; 4 < x < 2 ; x > 0) 6. 2x 2 + x 3 x + 1 > 0 2x + 1 x 3 < 2 (x 3 2 ; 1 < x < 5 4 ) 7. 2x 1 x 2 3x + 2 x > 0 ( < x 1 ; x 2) 8. x 1 x 2 x (x 3 2 ma x 3) x + 1 x 2 + 3x 0 (0 < x 1 + 2) x x + 1 x 1 < 2 (x 1 ; x > 5 3 ) x 2 + x 7 0 (3 x 4) x x + 7 < 0 (x > 9) 13. 2x x 2 3x x ( 4 < x 0 ; x > 4) 14. x 2 4 x + 3 < 0 (1 < x < 3) 15. x 3 27 x 2 1 < 0 (1 < x < 3)

7 A P P E N D I C I 2 4

8 2.1 naturali e interi naturali e interi Esercizio Per ogni intero n 1 dimostrare che n = n(n + 1) 2 Esercizio Per ogni intero n 1 dimostrare che (2n 1) = n 2 Esercizio Per ogni intero n 1 dimostrare che n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 Esercizio Per ogni intero n 1 dimostrare che n 3 = 2 n(n + 1) 2

9 F U N Z I O N I definizioni Esercizio Sia f(x) = x x definita per x 0; calcolare f(1), f( 1), f(2), f(123). Cosa si deduce? 3.2 grafici Esercizio Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni. 1. f 1 (x) = x f 2(x) = 2x f 3 (x) = 3x f 4 (x) = x 3 5. f 5 (x) = x 6. f 6 (x) = x f 7 (x) = x + x 8. f 8 (x) = x + x 9. f 9 (x) = 1 x f 11 (x) = 3 x 0 se x f 13 (x) = 1 se x > 0 x 2 se x < f 15 (x) = x se x f 10 (x) = 1 x f 12 (x) = x x 0 se x < f 14 (x) = 1 se x > 0 x 3 se x f 16 (x) = 1 se 0 < x < 2 x 2 se x 2 Esercizio Disegnare un grafico approssimato delle funzioni dell esercizio precedente, calcolandone anche alcune immagini per valori arbitrari del campo di esistenza. Esercizio Data la funzione f : R R, x x 2 4x la si rappresenti graficamente e si dica se è biiettiva; in caso contrario, renderla tale per x 2 ed indicare con f 1 la restrizione di f così trovata. Determinare l inversa di f 1 e rappresentarla graficamente. Infine, risolvere la disequazione x x. (f 1 1 : {x R : x 4} {y R : y 2}, x x; S : 0 x 4) Esercizio Con riferimento all esercizio precedente, rappresentare graficamente la funzione y = g(x) = f( x) e risolvere la disequazione g( x ) > 3 anche per via grafica. (x < 3 ; 1 < x < 1 ; x > 3) 6

10 3.3 tipi di funzioni 7 Esercizio Rappresentare graficamente la curva di equazione y = f(x) = (x 2) partendo dalla curva base y = x 3 ; determinare, quindi, la funzione inversa f 1 e verificare che f f 1 è la funzione identica. (f 1 (x) = x 1) 3.3 tipi di funzioni 3.4 operazioni

11 3.5 proprietà notevoli proprietà notevoli Esercizio Stabilire quali delle funzioni seguenti sono pari, dispari o nessuna delle due. E opportuno considerare prima il campo di esistenza. 1. f 1 (x) = x 2. f 2 (x) = 2x 2 3. f 3 (x) = x f 4 (x) = x 3 5. f 5 (x) = x 6. f 6 (x) = 1 x 7. f 7 (x) = x 8. f 8 (x) = x + x Esercizio (*). Dimostrare che una funzione definita per tutti i numeri può essere scritta come somma di una funzione pari e una funzione dispari. Suggerimento: considerare la funzione g p (x) = f(x) + f( x) 2 Esercizio Dimostrare che la somma di funzioni dispari è dispari e che la somma di funzioni pari è pari. Esercizio Stabilire nei casi elencati quale sia il tipo della funzione prodotto dimostrando il risultato: prodotto di funzioni pari prodotto di funzioni dispari prodotto di una funzione pari per una funzione dispari

12 Parte II F U N Z I O N I T R A S C E N D E N T I

13 F U N Z I O N I T R A S C E N D E N T I funzioni esponenziali e logaritmiche 4.2 funzioni goniometriche verificare le seguenti identità goniometriche. 1. cos 4 α sen 4 α = 2 cos 2 α 1 2. sen 3 α cos 3 α sen α cos α = 1 + sen α cos α 3. sen α tg α + 1 tg α = sec α 4. cos2 α(tg α + ctg α) = ctg α 10

14 4.3 esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti Esercizio Determinare il C.E. delle seguenti funzioni reali di variabile reale 1. f(x) = log x 1 2 (2x 2 x 3) (x < 1 ma x 2 ; x > 3 ma x 4) 2. f(x) = log 2 log 1 4 x (0 < x < 1) 3. f(x) = log x2 4 x + 3 x (0 < x < 1 ; x > 3) x f(x) = x 4 + 3x 2 (x 2 ma x 0) 6. f(x) = x 4 5x (x 2 ; 1 x 1 ; x 2) 7. f(x) = (1 2log 2 x)log (x 2) 2 x f(x) = x 4 5 x 1 log x + 1 (x R {0, 1, 2}) 9. f(x) = log 2 (x + 1) 3 (x 7) 10. f(x) = lnx 1 + cosx (x > 0 ma x π + 2kπ, k Z + ) 11. f(x) = ln(1 sen2 x) xe senx 12. f(x) = 13. f(x) = ln( senx + cosx ) 3 2senx 4 3 senx x x 2 6x x x (x R { π 2 + kπ, k Z } ) (x R ma x π 4 + kπ, kπ, π 2 + 2kπ con k Z) (x R { 1 2, 3} )

15 Parte III G E O M E T R I A A N A L I T I C A

16 I L P I A N O C A RT E S I A N O 5 13

17 L E R E T T E 6 14

18 L E T R A S F O R M A Z I O N I 7 15

19 L E C O N I C H E 8 16

20 I V E T T O R I D E L P I A N O 9 17

21 I N U M E R I C O M P L E S S I 10 18

22 Parte IV C O N T R I B U T I

23 colophon Questo lavoro è stato realizzato conlatex 2ε usando una rielaborazione dello stile ClassicThesis, di André Miede, ispirato al lavoro di Robert Bringhurst Gli Elementi dello Stile Tipografico [1992]. Lo stile è disponibile su CTAN. Il lavoro è composto con la famiglia di font Palatino, di Hermann Zapf. Le formule matematiche sono state composte con i font AMS Euler, di Hermann Zapf e Donald Knuth. Il font a larghezza fissa è il Bera Mono, originariamente sviluppato da Bitstream Inc. come Bitstream Vera. I font senza grazie sono gli Iwona, di Janusz M. Nowacki. Versione [09/2008.1][S-All]

24 C O N T R I B U T I E L I C E N Z A Erica Boatto Beniamino Bortelli Roberto Carrer Morena De Poli Piero Fantuzzi Carmen Granzotto Franca Gressini Beatrice Hittahler Lucia Perissinotto Pietro Sinico Algebra - Insiemi Grafici Numeri - Funzioni - Coordinatore progetto Laboratorio matematica Algebra - Insiemi Funzioni Funzioni Funzioni trascendenti - Geometria analitica Funzioni trascendenti - Geometria analitica Geometria I La presente opera è distribuita secondo le attribuzioni della Creative Commons. La versione corrente è la. In particolare chi vuole redistribuire in qualsiasi modo l opera, deve garantire la presenza della prima di copertina e della intera Parte IV Contributi composta dai paragrafi: Colophon e Contributi e licenza. Settembre 2008 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave