RAPPRESENTAZIONE DI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CASO DEI SEGNALI APERIODICI

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1 RAPPRESENTAZIONE DI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CASO DEI SEGNALI APERIODICI Da un sgnal aprdc s(), la sua rapprsnazn nl dmn dlla frqunza è frna dalla sgun dfnzn d rasfrmaa d Furr: S( ) F[s()] s() d. () Dualmn, a parr da S(), la rcsruzn dl sgnal s() è pssbl ulzzand la sgun frmula d anrasfrmaa s() F [S( )] S( ) d π () L () () csuscn la cppa d rlazn, d anals d sns, n vrù dll qual è lc parlar d crrspndnza bunvca ra l sgnal s() la sua rasfrmaa S(): s() S( ) ; (3) n alr parl, la cnscnza d S() è prfamn quvaln a qulla d s() ( vcvrsa). Al sl, n lug dlla pulsazn s può cnsdrar la frqunza f, pr cu la () è ssua da: πf S(f ) F[s()] s() d (4) la () da: πf s() F [S(f )] S(f ) df. (5) L du rapprsnazn sn, vvamn, dl u crrspndn: nl sgu s farà prfrblmn rfrmn alla prma (n rmn, cè, d pulsazn) ma nn sarann rar cas, sprau nll applcazn, n cu s ulzzrà la scnda. Ovunqu, pralr, rmn frqunza pulsazn vrrann usa ndffrnmn, n manra dl u nrscambabl. Cm gà s è fa pr l svlupp n sr, anch la rasfrmaa d Furr vrrà qu nrda n rmn ssanzalmn pragmac, ssnd nrssa pù agl asp applcav (nlla prspva dll sud d ssm d cmuncazn) ch a qull rc/spculav. Rsp all svlupp n sr, l sprssn prcdn mn mmdaamn n vdnza una mpran dffrnza: la pulsazn la frqunza f nn sn n qus cas dscrzza, ma hann nvc l sgnfca d varabl cnnu. Ps allra S( ) S( ) θ s ( ) dfn l spr d ampzza cm l andamn, n funzn dlla pulsazn, dl mdul dlla rasfrmaa, l spr d fas cm l andamn dlla fas dlla rasfrmaa, c s aspa ch qus funzn san, n gnral, cnnu, nn a rgh cm s vrfcava pr sgnal prdc.

2 Nn è dffcl vrfcar, anch frmalmn, ch la rasfrmaa d Furr può ssr vsa cm l lm dll svlupp n sr d Furr quand l prd T nd all nfn. Nll sss sns, n manra ursca, s può affrmar ch la varabl cnnua è pr cr vrs l lm dlla varabl dscra k quand. Bnché nrssan cncualmn, cmunqu, qus ssrvazn (d alr sml ch prmm svluppar n mr alla crrspndnza ra du apprcc) nn aggungn nulla alla cmprnsn, pr cu nn c sffrmrm ulrrmn su d ss. Cm gà pr l svlupp n sr d Furr, nn u sgnal aprdc sn Furr rasfrmabl. In parclar val la sgun cndzn d asslua ngrablà: s () d < (6) ch s dmsra ssr suffcn a fn dll ssnza dlla rasfrmaa. I sgnal ch vrfcan la (6) s dcn mpulsv. Bnché la class d sgnal mpulsv ncluda gran par d sgnal d nrss prac (n parclar d qull ulzza nll amb dll cmuncazn ) l sddsfacmn dlla (6) scludrbb ml alr sgnal ch nn è rar ncnrar nll applcazn. L nrduzn dlla dla d Drac, dfna n un Capl prcdn, cnsn n ralà d rmuvr l vncl (6) cn una prcdura ch, sppur frmalmn un p anmala, rsula d fac dl u accabl. Csì facnd, rsula ad smp pssbl calclar la rasfrmaa d Furr d un sgnal prdc, cn l vanagg d dsprr d un prar mamac ugualmn vald an pr sgnal aprdc quan pr qull prdc. Il calcl splc dlla rasfrmaa d Furr d un gnrc sgnal prdc vrrà svluppa nl crs dll Esrcz N. 6 allga a qus Capl; vvamn s rarà d un spr a rgh. Prma d prcdr lr, cn l nrduzn dll prncpal prprà dlla rasfrmaa, è bn prcsar l cararsch ch ad ssa cmpn quand s rfrsc ad un sgnal s() ral. In qus cas, dramn dalla dfnzn, è mmda vrfcar ch la par ral dlla rasfrmaa è una funzn par d mnr la par mmagnara è una funzn dspar. S ha cè: R [ S( ) ] R[ S( ) ] Im[ S( ) ] Im[ S( ) ]. (7) Qus prprà s raducn mmdaamn n cararsch analgh dgl spr d ampzza d fas, pr cu s prà scrvr, smpr s l ps d sgnal s() ral: S( ) S( ). (8) θs ( ) θs ( ) S p l sgnal ral è par la sua rasfrmaa è puramn ral ( par), mnr s l sgnal ral è dspar la sua rasfrmaa è puramn mmagnara ( dspar). Qus prprà sn srmamn ul a fn dlla vrfca dlla crrzza dl rsula dl calcl. Ancra pù frqunmn, ss vngn ulzza pr smplfcar l calcl vs ch, sfruand l smmr, la par rlava all pulsazn ngav dll spr può ssr smpr rcavaa a parr da qulla rlava all pulsazn psv. Rchamam ra, snza dmsrazn, l prncpal prprà dlla rasfrmaa d Furr. Ad smp nclud u sgnal fsc ch rsulan dvrs da zr n un nrvall d mp lma.

3 Prprà dlla raslazn mpral Da un sgnal s () s(τ) cn τ csan, ndcaa cn S() la rasfrmaa d Furr d s(), la rasfrmaa d s () s n cm: S'( ) τ S( ). (9) Prprà dlla raslazn n frqunza Da un sgnal s () s(), la sua rasfrmaa d Furr s n da qulla, S(), dl sgnal s() ulzzand la rlazn: S'( ) S( ). () Prprà d nvrsn dll ass mpral Da un sgnal s () s(), la sua rasfrmaa d Furr s n da qulla, S(), dl sgnal s() ulzzand la rlazn: S'( ) S( ). () Prprà dl cnug Da un sgnal s () s * (), la sua rasfrmaa d Furr s n da qulla, S(), dl sgnal s() ulzzand la rlazn: * S'( ) S ( ). () Prprà dlla drvazn m d s() Da un sgnal s (), la sua rasfrmaa d Furr s n da qulla, S(), dl sgnal m d s() ulzzand la rlazn: S'( ) () In parclar, pr m, s ha: s'() m S( ). (3) ds() S'( ) S( ). (4) d Prprà dll ngrazn Da un sgnal s () s()d, s rsula S () s()d, s ha: S( ) S '( ). (5) E nrssan rlvar, nll nunca d qusa prprà, ch la cndzn su S(), ancr pù ch mprr un vncl sul valr md d s() (csa qusa cramn vra: s dc ch l sgnal s() snd ara nulla ) è una dra cnsgunza dlla cndzn (6), ch abbam d ssr 3

4 suffcn a fn dlla Furr rasfrmablà. Prché nfa l sgnal s () sa mpulsv, n accrd cn la (6), è vdnmn ncssar ch s abba s () pr ; s csì nn fss, s () nn prbb ssr assluamn ngrabl. Essnd s () s ()d S(), la ncssà dlla cndzn è cnfrmaa. Nn a cas, v l ps prcdn fss rmssa, è pssbl dmsrar la sgun gnralzzazn dlla prprà dll ngrazn: s'() s()d S( ) S'( ) πs() δ( ). (6) In qus cas pù gnral s è dunqu pua sprmr la rasfrmaa d Furr d s () sl a pa d nrdurr la dla d Drac δ(). Tu cò a cnfrma, crnmn cn l cnsdrazn prcdn, d cm al funzn cnsna d suprar l vncl (6) d gnralzzar l cnc d rasfrmaa d Furr (s parla nfa, prpramn, d rasfrmaa d Furr gnralzzaa) Prprà dlla mlplcazn pr S s cnsdra l sgnal s () s(), la sua rasfrmaa d Furr s n da qulla, S(), d s() pr l ram dlla sgun rlazn: ds( ) S '( ). (7) d Anch qusa prprà può ssr gnralzzaa pr cu: m m m d S( ) s'() s() S'( ). (8) m d Prprà d dualà Da un sgnal s() la cu rasfrmaa sa S(), la rasfrmazn d S() rsula πs(). In frmula: s() S( ) mplca S() πs( ). (9) In praca qusa prprà, pralr lgaa ad una nzn pù gnral d dualà mp-frqunza d cu s avrà md d parlar nl sgu, sablsc ch rul dl mp dlla frqunza sn nrcambabl ssund l mp alla pulsazn nlla rasfrmaa d s() (csrund cè un sgnal ch ha l sss andamn mpral rgnaramn pssdu nll amb frqunzal dalla rasfrmaa d s()) s n una rasfrmaa ch, a mn dlla mlplcazn 3 pr un far π a mn dll nvrsn dll ass, rprduc l andamn dl sgnal rgnal. Qusa prprà, frra d mplcazn dal pun d vsa cncual, è ml mpran anch dal pun d vsa cmpuaznal: d fa da ssa s vnc ch l calcl d una nuva rasfrmaa d Furr crrspnd n ralà all acquszn d du cpp rasfrmaa-anrasfrmaa, nll qual, nl sns prcsa, rul d d sn nrscamba. S può anz nar ch la ndnza a zr dlla funzn ngranda nlla (6) dv avvnr cn rdn suprr a un, ma qus nn mdfca l sns dlla prsn ssrvazn. 3 Qus far sparsc v s cnsdrn rasfrma n funzn dlla frqunza anzché dlla pulsazn. 4

5 Prprà d lnarà Da du sgnal, s () s (), cn rasfrma d Furr S () S () rspvamn, l sgnal s () A s () A s () è cararzza da: S '( ) AS ( ) AS ( ). () La prcdn val, n parclar, quand A ( A ) è ugual a zr, cnsnnd dunqu d drmnar la rasfrmaa d Furr dl prd d una csan pr una funzn, la cu rasfrmaa sa na. Prprà dlla cnvluzn Dfna cm sgu la cnvluzn d du sgnal aprdc s () s (): c() s( τ)s ( τ)dτ s() s () () ndca cn S () S () l rasfrma d Furr d du sgnal, la rasfrmaa d c() è daa da: C ( ) S ( )S ( ). () S nga bn prsn qusa prprà ch, cm vdrm succssvamn, ha una srardnara mpranza nll amb dll sud dlla cararzzazn d ssm d cmuncazn. Fn d ra pssam ssrvar ch ssa cnsn d rcndurr un prazn rlavamn cmplcaa, qual la cnvluzn, ad un prazn ml smplc, qual l prd. S può bn dr ch v nasca l sgnza d calclar un ngral d cnvluzn rsula vanaggs prars nl dmn dlla frqunza, dnd p sarà pssbl rnar al dmn rgnal pr anrasfrmazn. Pr ncs ssrvam ch l smbl vrrà spss ulzza nl sgu ad ndcar sncamn la cnvluzn. Prprà dl prd Da l sgnal s () s ()s (), ndca cn S () S () l rasfrma d Furr d sgnal ch vngn mlplca ra lr, rsula: S'( ) S ( ϑ)s π ( ϑ) dϑ. (3) In vrù dlla dfnzn () (v s ssusca la pulsazn al mp), la (3) ha l sgnfca d cnvluzn ra l rasfrma d sgnal s () s (). E fn rpp facl cncludr ch qusa prprà è lgaa alla (d è anz cnsgunza dlla) dualà mp-frqunza gà rchamaa cn la prprà d dualà: s alla cnvluzn nl mp crrspnd l prd n frqunza, al prd nl mp nn può ch crrspndr la cnvluzn n frqunza. L dfnzn frn l prprà sn qu nunca vrrann ra ulzza nll amb d una sr d srcz, l cu bv è, da una par, qull d acqusr una cra manualà nl calcl dll quanà va va nrd, dall alra, d arrcchr l bagagl d cnscnz aravrs la valuazn dll rasfrma d sgnal d parclar nrss prac. Alcun d qus rasfrma 5

6 csuscn man lmnar a parr da qual s rcavan ( s gusfcan) l rasfrma d funzn pù cmplca. Sarà dunqu bn ch l sudn mmrzz qus andamn cararsc. Inlr, al d là dgl asp numrc, n alcun d qus Esrcz sn cnnu alcun mpran ssrvazn, ch sarà mpran lggr cn anzn ad ngrazn dlla ra. Infn, va anch prcsa ch l lnc dll prprà dlla rasfrmaa d Furr nn è lma a quan appna dscuss. Alr prprà vrrann rchama dp gl Esrcz, n Capl succssv, n quan prmn d prcsar ulrrmn l pcularà dlla rasfrmazn dal dmn dl mp a qull dlla frqunza. 6

7 Esrcz N. Drmnar la rasfrmaa d Furr dlla funzn s() a s G () a > (4) l cu andamn, nu dalla cmbnazn dlla funzn spnnzal dlla funzn gradn unar, è llusra n Fgura. -a s G () s() -a s G () Applcand dramn la dfnzn, s n: Fgura S( ) s() d a cn a > a s G () d a d ( a ) d (5) Il rsula può ssr cnvnnmn sprss n mdul fas, cn cò nnd: S( ) (6) a 7

8 qund θs ( ) arcg (7) a arcg a S ( ) (8) a Il rsula è rpra grafcamn n Fgura ; è nrssan nar ch S() è una funzn par d mnr θ s () è una funzn dspar. S() /a θ s () π/ -π/ Fgura 8

9 Esrcz N. S cnsdr l sgnal mpuls ranglar unar dfn cm: > () s I (9) rpra n Fgura 3. s () - I Fgura 3 Pr ss s ha sn sn sn d ) ( S I (3) S raa d una funzn puramn ral l cu andamn è llusra n Fgura 4. È srmamn mpran ssrvar ch la larghzza dl lb prncpal è nvrsamn prprznal alla duraa. All aumnar dlla duraa dll mpuls s ha dunqu un spr ch è smpr pù raccl nll nrn dll rgn. Qusa cararsca è d valdà gnral può ssr cnsdraa una manfsazn dlla na prprà d dualà mp-frqunza valda pr la rasfrmaa d Furr. 9

10 S I () π/ 6π/ 4π/ Fgura 4

11 Esrcz N. 3 Drmnar la rasfrmaa d Furr dll mpuls ranglar: > () s (3) l cu andamn è llusra splcamn n Fgura 5. s() - Fgura 5 Applcand dramn la dfnzn, s n: d d d d d d d s() ) S( (3) Rcrdand ch l ngrazn pr par frnsc: d (33) s rcava: ( ) [ ] ) cs( ) S( (34)

12 Rcrdand, dalla rgnmra, l frmul d duplcazn s rcava nfn sn sn S( ) sn (35) 4 La rapprsnazn grafca d qusa funzn è rpraa n Fgura 6. S( ) π/ 4π/ 6π/ Fgura 6 V è un md pù lgan pr rcavar l rsula nu, ch cnss nll ssrvar ch l sgnal s() qu cnsdra può ssr vs cm la cnvluzn, a mn d un far mlplcav /, ra du mpuls ranglar unar dl p dfn nll Esrcz, val a dr ch s può scrvr: s() s I ( τ)s I ( τ) dτ (36) Cò cnsn d ancpar un smp (smplc) d calcl dlla cnvluzn. Cm s avrà md d vdr pù avan, la cnvluzn è un prazn fndamnal nll amb dlla ra d sgnal, n spc pr quan cncrn la cararzzazn d ssm lnar. L apprcc pù cnvnn all prazn d cnvluzn è pr va grafca. L andamn d s I (τ) è qull gà rpra nlla Fgura 3, a mn d ssur la varabl ndpndn cn la nuva varabl τ (raas d una pura qusn d nazn). Tal andamn è cmunqu rpu n Fgura 7a) pr maggr charzza. La funzn mpuls ranglar è a smmra par, pr cu s( τ) s(τ). Inrducnd una raslazn s ha allra l andamn rpra n Fgura 7b)

13 s ( τ) I - τ (a) s (- τ) I - (b) Fgura 7 τ Nl calcl dll ngral d cnvluzn, ha l sgnfca d paramr. Il rsula dll ngral dv dunqu ssr dscuss al varar d. In ff, fnan ch: < < (37) s I (τ) s I ( τ) nn s svrappngn (pù prpramn, pssam dr ch pr < du sgnal sn rgnal) l ngral d cnvluzn è null. Dunqu: s() Pr valr d al ch pr < (38) (39) s ha nvc la suazn llusraa n Fgura 8, v du sgnal sn sa dsgna sull sss ass pr mgl vdnzar la rgn d svrappszn. 3

14 - - τ Fgura 8 E nfa nlla sla rgn vdnzaa n grg ch ambdu sgnal sn dvrs da zr. Dunqu s dv scrvr: / s() dτ / (4) Ragnand analgamn, pr (4) s ha la suazn llusraa n Fgura 9, pr cu / s() dτ / (4) - - τ Fgura 9 Infn pr > (43) 4

15 du sgnal rnan ad ssr rgnal l rsula dlla cnvluzn è nuvamn null. Cmpaand l rsula, è mmda vrfcar ch ss cncd cn l mpuls ranglar dfn all nz d qus srcz. Dunqu al funzn s n ffvamn cm rsula dlla cnvluzn ra du mpuls ranglar d ampzza unara duraa, dvsa pr. Pr ncs ssrvam ch l rsula dlla cnvluzn ra du funzn csan (cè d rdn n ), all nrn d prfssa nrvall, è una funzn lnar n ; nlr, la duraa dlla cnvluzn ra du mpuls ranglar, cascun d duraa, è dppa, cè par a. Qus prprà pssn ssr gnralzza, ssnd cnsgunza dlla sssa sruura ngral ch dfnsc la cnvluzn. S può dunqu affrmar ch: a) ffuand la cnvluzn ra du sgnal ch prsnan una dpndnza dal mp dl p α β, rspvamn, l rsula prsna una dpndnza dal mp al pù 4 dl p αβ ; b) la cnvluzn ra du sgnal d duraa, rspvamn, ha duraa. Pr vdn mv, c s è qu rfr alla cnvluzn ra du sgnal, val a dr du funzn dl mp, ma è char ch l prprà ca valgn anch v s cnsdr la cnvluzn ra du funzn d una gnrca varabl (ad smp la pulsazn ) a pa d ssur l mp cn la nuva varabl. Trnand ra all Esrcz, applcand la prprà dlla cnvluzn, s può scrvr, dramn: sn sn S( ) SI ( )SI ( ) SI ( ) (44) appun cncdn cn l sprssn (35) rcavaa pù spra dal calcl dr. 4 Cn qus s vul dr ch la smma dgl spnn pù un crrspnd all rdn massm ma, n funzn dlla sruura d sngl sgnal, s può avr lcalmn un rdn mnr. Pr cnvncrsn, basa pnsar alla cnvluzn ra du mpuls ranglar d duraa dvrsa: n qus cas l rsula nn sarbb l mpuls ranglar ma un mpuls rapzdal n cu ra lnar sn nrvalla da un ra csan, d snsn par alla dffrnza ra l du dura. 5

16 Esrcz N. 4 Drmnar la rasfrmaa d Furr dlla funzn sgn() csì dfna sgn() d llusraa n Fgura. > < (45) sgn() -a s G () - a s G (-) - Fgura In fgura, n ralà, accan alla funzn sgn() (lna cnnua) sn anch rpra (n ragg) du funzn spnnzal dcrscn, ul a fn dlla drmnazn dlla rasfrmaa d Furr ncgna. E nfa vdn ch s può scrvr: sgn() lm [ a a s G () a s G ( )] (46) n vrù dlla qual s può affrmar ch la funzn sgn() è l lm d una succssn d funzn al ndr a zr d un paramr (a). Pr la lnarà dll prazn d rasfrmazn rsula allra anch: S( ) F[sgn()] lm a a d a d lm a a a (47) La rasfrmaa d Furr è puramn mmagnara a smmra dspar, csì cm dv ssr n cnsdrazn dl fa ch l sgnal s() è puramn ral, a sua vla, dspar. Gl andamn dl mdul dlla fas sn rpra n Fgura ; la (47) può nfa ssr rscra cm: θ ( ) π /sgn( ) S( ) S( ) s (48) 6

17 S( ) θ s ( ) π/ -π/ Fgura 7

18 Drmnar la rasfrmaa d Furr d: a) un mpuls mamac; b) una csan; c) una funzn csnusdal; d) una funzn gradn unar. Esrcz N. 5 Prlmnarmn rcrdam, pr cmdà, l prncpal prprà dll mpuls mamac ( dla d Drac), gà nrd n un capl prcdn: δ ( ) pr δ() pr (49a) )d δ( s() δ( )d s( ) (49b) (49c) La prprà d campnamn dal dlla dla d Drac, sprssa dalla (49c), può ssr ulzzaa pr l calcl dlla rasfrmaa d Furr dll sss mpuls mamac. Avnds nfa: S δ ( ) F[ δ()] δ() d (5) s n ( ): Sδ ( ) (5) Dunqu, la rasfrmaa d un mpuls mamac è una csan d valr unar. D alr can, l anrasfrmaa dlla csan dv rsur l mpuls mamac. Dv dunqu ssr: δ() π d (5) Qusa fndamnal rlazn può ssr usaa pr calclar la rasfrmaa d Furr d una csan, n parclar d valr unar. S ha nfa: F[] d (53) ch, n vrù dlla prcdn, v s scambn rul d, qus ulm vnga anch camba d sgn, frnsc: 8

19 F[] πδ( ) πδ( ) (54) La rasfrmaa d una csan unara è dunqu un mpuls mamac n d ara π. L cpp sgnal rasfrmaa appna drmna sn rpra grafcamn n Fgura. δ() S ( ) δ s() S( ) πδ( ) Fgura S n cm agl smp n qusn s applch dramn la prprà d dualà dlla rasfrmaa d Furr. Cn l sss prncp, d anz sndnd dramn l rsula, può ssr drmnaa la rasfrmaa d una funzn csnusdal. S ha nfa: F[cs( )] π δ cs( ) ( d d [ ( ) δ( )] ) ( ) d d π δ( ) δ( ) (55) Nl cas d una funzn snusdal s sarbb nu: 9

20 F[sn( )] π sn( ) ( d d [ δ( ) δ( )] ) ( ) d π d δ( ) δ( ) (56) Dunqu, n ambdu cas, la rasfrmaa è csua da du dla d Drac n ± d fas ppruna. Può ssr nrssan ssrvar ch rsula (55) (56) s ngn anch applcand dramn la prprà dlla raslazn n frqunza, dp avr splca l funzn cs( ) sn( ) sulla bas dll frmul d Eulr. Infn la rasfrmaa dlla funzn gradn unar: s G () < (57) può ssr nua cmbnand alcun d rsula prcdn. S può nfa scrvr: sgn() s G () (58) qund: F[s G ()] { F[] F[sgn()] } πδ( ) πδ( ) (59)

21 Esrcz N. 6 Esprmr cmmnar la rasfrmaa d Furr d una gnrca funzn prdca. In ff, nll Esrcz N. 5 sn sa valua l rasfrma dll funzn cs( ) sn( ) ch, vdnmn, csuscn smp, pur parclar, d funzn prdch. Il rsula pr ss drmna vrrà ra gnralzza. Un sgnal prdc può ssr, cm n, rapprsna n cndzn ml gnral mdan la sr spnnzal d Furr: k k s () c k (6) T D alra par, applcand la rasfrmaa d Furr alla (6) s n: S( ) s() d k c k T k k ( k ) d c k d (6) T Qusa sprssn, ulzzand l n rsula rlav alla funzn mpuls mamac, gà rcrda nll Esrcz N. 5, frnsc: k S ( ) π c k δ( k ) (6) T Dunqu, la rasfrmaa d Furr d un sgnal prdc è csua da una squnza d mpuls mamac ps n, ±, ±, ±3,..... D alr can, dalla dfnzn sssa, s ha: T / k c k s() d (63) T T / Pr cnfrn cn la () (ch frnsc l sprssn gnral dlla rasfrmaa d un sgnal s()) è mmda cncludr ch l ngral nlla (63) frnsc la rasfrmaa d Furr dlla rapprsnazn lmnar dl sgnal prdc s() all nrn d un prd, val a dr d: T T s() s () (64) T T <, > calclaa n k. Dunqu: c k S (k ) (65) T Ssund nlla (6) s n cnclud ch:

22 k π S ( ) S (k ) δ( k ) S (k ) δ( k ) (66) T k In dfnva, s può cncludr ch: l spr d un sgnal prdc s() è csu da una succssn d funzn dla d Drac spara d l una dall alra nvluppa dall spr S () dl crrspndn sgnal aprdc s (). Cm smp, n Fgura 3 è rpra l cas d un sgnal nu assumnd cm s () l sgnal mpuls ranglar. s () s I () S () S I () -/ / -4π/ -π/ π/ 4π/ s() S ( ) S I ( ) T -T/ T/ T - - Fgura 3

23 ANCORA SULLA DUALITA TEMPO-FREQUENZA L anals crca (d alcun) dgl srcz appna prps cnsn d mr n vdnza alcun asp d nvl mpranza applcava:. Un sgnal s() la cu vluzn è lmaa nl mp pssd un spr la cu snsn rsula llmaa sull ass dll pulsazn; smp splc n mr sn frn dal sgnal mpuls ranglar (Esrcz N. ) dall mpuls ranglar (Esrcz N. 3).. Un sgnal cararzza da un spr ad snsn lmaa ha un vluzn mpral ch rsula llmaa n ; a m d smp basa pnsar, applcand la prprà d dualà (9) ch, ulzzand l rsula dll Esrcz N., val la sgun cppa rasfrmaa anrasfrmaa: S( ) pr c c pr <, > c c c s() π sn ( ) c c. (67) 3. Dfna la larghzza sgnfcava B dll spr d un sgnal, anch d snsn llmaa n, cm l nrvall d pulsazn n cu l mdul d S() assum valr nn rascurabl, cmunqu maggr d una sgla mnma prfssaa 5, quan maggr rsula al larghzza an pù rapdamn vara l sgnal s(); pr cnvncrcn, basa ssrvar l smp allga all Esrcz N. 6 n cu al rdurs dlla duraa dl sngl mpuls ranglar, qund al dmnur dlla dsanza ra du ranszn succssv nl rn d mpuls, l lb prncpal nll nvlupp dll spr s allarga dunqu aumna l nrvall d frqunz ch dà un cnrbu sgnfcav; ancra pù claan, pralr, sn gl smp lm frn (vd Esrcz N. 5) dalla funzn csan dall mpuls mamac: nl prm cas s ha un sgnal nvaran nl mp cn una larghzza dll spr nulla (ssnd la sua rasfrmaa una dla d Drac); nl scnd cas, dual dl prcdn, s ha un sgnal massmamn varabl cn una larghzza dll spr nfna (ssnd la sua rasfrmaa una csan, pr cu u l frqunz dann l sss cnrbu). 4. Dfna la duraa sgnfcava D d un sgnal cm l nrvall d mp n cu l sgnal assum valr nn rascurabl, cmunqu maggr d una sgla mnma prfssaa, an mnr rsula l valr d D an maggr rsula la larghzza sgnfcava dll spr B, dfna al pun prcdn. S può anz vrfcar ch val la sgun rlazn: B D Q (68) dv Q è una csan l cu valr, ndpndn dal sgnal, dpnd dalla dfnzn adaa pr la duraa sgnfcava / la larghzza spral sgnfcava. In accrd cn la (68), ad una rduzn d D dv dunqu crrspndr ncssaramn un aumn d B. Un smp splc d qus fa s rnvn cn l mpuls ranglar (Esrcz N. ) n cu al dmnur d gl zr dll spr s spsan a frqunz smpr pù al. Dfna allra la larghzza sgnfcava dll spr d qus sgnal cm l snsn dl lb prncpal lmaamn all pulsazn psv (dall rgn dgl ass al prm 5 E vdn ch qulla frna è una dfnzn puramn qualava; la dfnzn d larghzza sgnfcava dll spr può ssr frmalzzaa aravrs l nrduzn d crr quanav, pr smp basa sul cnc d nrga, ch nn pssn prò ancra ssr nrd n qusa fas. Cò cndurrà ad splcar la nzn d banda d un sgnal, d nrm mpranza nll amb dll cmuncazn. 3

24 zr: è qusa una dll pssbl dfnzn ma, cm s vdrà succssvamn, rsula snz alr accabl) s ha B D π. Bnché rcava a parr dall ssrvazn d alcun smp spcfc, l prprà appna nunca sn dl u gnral, prbbr nfa ssr dmsra frmalmn. In parclar, l prprà pssn ssr snzza (, pr mgl dr, dvrsamn frmula) assrnd ch nn è pssbl ch un sgnal sa cnmpranamn lma n duraa n larghzza d spr. D alr can, una vrfca dra ad smp dlla prprà è daa dal fa ch un sgnal a duraa lmaa può smpr ssr vs cm l prd d un sgnal a duraa llmaa, cncdn cn l prcdn all nrn dll nrvall, d una funzn mpuls ranglar d duraa. L andamn dll spr sgu allra dall applcazn dlla prprà dlla cnvluzn, n cu una dll du funzn (l spr dll mpuls ranglar) ha cramn snsn llmaa (vd Esrcz N. ). Pr quan cncrn l pun 3, s può nuncar la sgun rgla ursca, snsn dra d una prprà analga valda, n amb dscr, pr l svlupp n sr d Furr: s l sgnal s() è assluamn ngrabl, cmunqu Furr rasfrmabl n sns sr (qus sgnfca ch nn s rcrr alla rasfrmaa d Furr gnralzzaa) prsna all nrn dl dmn d dfnzn un pù pun d dscnnuà sulla drvaa n-sma (pr n s rn la funzn) mnr l drva d rdn mnr d n sn u cnnu, allra l spr dl sgnal nd a zr cm / n pr valr suffcnmn lva d. Vrfch vdn d qusa prprà s rnvngn, ancra una vla, ngl Esrcz prps pù spra: nll Esrcz N., l mpuls ranglar prsna dscnnuà nlla funzn, nfa l spr dcad cm /; nll Esrcz N. 3, l mpuls ranglar prsna dscnnuà nlla drvaa prma (mnr la funzn è cnnua), nfa l sp dcad cm /. Tal rgla ursca ( cu lm d valdà dvrbbr nfa ssr mgl prcsa, ma qus sula dagl scp dlla prsn raazn) ha qu un sgnfca pramn qualav, ma cnsn d capr fn d ra cm sa spss ul, nll applcazn, sagmar la frma d sgnal rasmss, n md da rdurn l asprà, all scp d cnnr l ccupazn spral 6. Una ulrr manfsazn dll prprà d dualà mp-frqunza spra dscuss è l sgun Trma dl cambamn d scala Cnsdram un sgnal y() s( α). (69) A parr dalla s(), d cu suppnam na la rasfrmaa S(), la (69) ralzza un cambamn dlla scala mpral. A scnda dl valr d α s ha un ff dvrs; n dagl: α > cmprssn dlla scala d mp α < dlaazn dlla scala d mp α < nvrsn dlla scala d mp In alr rmn, s α < l vluzn dl sgnal vn rallnaa, vcvrsa s α > l sgnal vn acclra. Oprazn d qus p vngn ffua frqunmn nll labrazn d sgnal, quand ad smp s rgsra l sgnal, su nasr su dsc, ad una cra vlcà l s rprduc ad una vlcà dvrsa. Calcland la rasfrmaa d y() s rva: 6 Qus è un dgl argmn d maggr nrss nll Cmuncazn Elrch, v la rsrsa spral nn è llmaa d ha un cs. 4

25 y () s( α) Y( ) S. (7) α α S na allra ch una dlaazn dll ass d mp cmpra una cmprssn dll ass dll pulsazn, vcvrsa. Dl rs qus rsula può ssr nrpra faclmn, anch dal pun d vsa qualav: quand l sgnal vn rallna vngn a prdmnar l cmpnn a bassa frqunza, appun rspnsabl dll vluzn lna dl sgnal; n cnsgunza d cò, l spr nd ad addnsars nll nrn dlla frqunza nulla. 5

26 SEGNALI IN BANDA BASE E IN BANDA TRASLATA Bnché dra cnsgunza dll prprà dlla rasfrmaa nucla n prcdnza, val la pna, san la sua mpranza, d nuncar sparaamn l sgun: Trma dlla mdulazn La rasfrmaa d Furr dl sgnal s () s()cs( ) val: S' ( ) [ S( ) S( )]. (7) La dmsrazn d qusa prprà è ml nrssan, vrrà cnda nl succssv Esrcz N. 7. Dalla (7) dducam ch la mlplcazn pr la funzn csnusdal (ma l sss rsula, a mn d un nssnzal, nl prsn cns, sfasamn, s rrbb mlplcand pr una funzn snusdal) ha prd una dppa raslazn dll spr (vrs l frqunz psv vrs qull ngav) n ragn dlla quanà. S dunqu l spr dl sgnal rgnal ra allca ra B B qull dl sgnal dp mlplcazn sarà allca ra B B pr quan cncrn l pulsazn psv ra B B pr quan cncrn l pulsazn ngav. V è p un far d scala nll ampzz par a /, ch rsula prò dl u nnflun (agnd all sss md su u l cmpnn armnch dl sgnal). La suazn è schmazzaa n Fgura 4. Il sgnal rgnal, l cu spr è cncnra smmrcamn arn all rgn, prnd l nm d sgnal n banda bas, mnr s () prnd l nm d sgnal n banda raslaa. A S( ) B B (a) S ( ) A/ B B B B (b) Fgura 4 La maggr par d sgnal ulzza nll cmuncazn lrch nasc cm sgnal n banda bas. Nndmn spss qus sgnal subscn una cnvrsn n frqunza, 6

27 analgamn a quan appna dscr. La cnvrsn n frqunza è una dll prazn fndamnal ch cnsnn d ralzzar l csdd prcss d mdulazn (d qu anch la ragn dl nm arbu al Trma). In parclar, la smplc mlplcazn dl sgnal pr la funzn csnusdal ralzza la mdulazn d ampzza 7. Tram la cnvrsn d frqunza:. S cnsn l ulzz d annn d dmnsn ragnvl pr la rasmssn dl sgnal nll spaz lbr.. S adaa l allcazn spral dl sgnal all cararsch dl mzz rasmssv ulzza. 3. S prm la rasmssn smulana, sull sss mzz rasmssv, d pù sgnal, cascun d qual sarà cnvr ad una pulsazn dvrsa. Ovvamn, n qusa fas, l sudn nn sarà n grad d cmprndr appn l mvazn lnca. Alcun d ss rsulrann pù char nl sgu, mnr pr alr è ncssar l rmand a Crs succssv. Ess sn sa qu nsr slan cm ancpazn pr cnfrmar l mpranza applcava d cnc sps. D alra par, facnd mn lcal, c s accrg ch al mvazn sn faclmn rnvnbl nlla ralà qudana. La mvazn 3, ad smp, rva applcazn nlla cmun rad, n cu l var mn sn nramn cllca a frqunz dvrs: snnzzandc sull mn d nrss nn faccam alr ch slznar l spr dl sgnal da ssa rasmss, ch rsula nfa dsngubl da u gl alr sgnal. Guardand alla Fgura 4(b), la przn d spr pr > prnd l nm d banda laral suprr mnr la przn d spr pr < prnd l nm d banda laral nfrr. S l sgnal s() è ral, qus du sband gdn dlla prprà d smmra (rsp a pr l pulsazn psv a pr qull ngav) a su mp lnca pr sgnal ral. Inlr l spr cmplssv è vvamn smmrc rsp all rgn. La cnvrsn d frqunza può charamn ssr ulzzaa anch a parr da sgnal n banda raslaa. Csì s s cnsdra l sgnal s () l s mlplca d nuv pr cs( ) s n l sgnal s () s()cs ( ) s() s() cs( ) l cu spr, pr l sss sgnal d Fgura 4, è rpra n Fgura 5. A sgu dlla raslazn vrs dsra vrs snsra s hann ra du rplch dll spr n banda bas cnra su unamn all sss spr n banda bas. Nn a cas, la scnda mlplcazn pr cs( ) è prpr la cnca ulzzaa pr rnr l sgnal n banda bas a parr da qull mdula. S ( ) B B A/ A/4 B B B B Fgura 5 7 Snza vlr car cnch d mdulazn d pù rcn nrduzn, ra l mdulazn classch, lr alla mdulazn d ampzza vann rcrda almn la mdulazn d frqunza qulla d fas. In qusa cas l sgnal s() nn vn mlplca pr la funzn csnusdal ma ulzza pr mdfcar l argmn dlla funzn csnusdal. Occrr anch aggungr, ch qulla smplfcaa nlla (7) rapprsnaa n Fgura 4 è una parclar mdulazn d ampzza, csdda a banda laral dppa pran spprssa. Ovvamn la raazn daglaa dll mdulazn sarà gg d Crs succssv. 7

28 Esrcz N. 7 Drmnar la rasfrmaa d Furr dlla funzn s () s()cs( ) (7) suppnnd na la rasfrmaa S() d s(). L srcz può ssr rsl n var md. D sgu n vngn prps du. Sluzn Ulzzand la frmula d Eulr, la (7) può ssr rscra cm: s'() s(). (73) D qu, applcand l prprà d lnarà d raslazn n frqunza s n: S( ) S( ) S'( ) (74) cncdn cn la (7). Sluzn Ps s () s() s () cs( ), s può applcar la prprà dl prd, n vrù dlla qual: S'( ) S ( ϑ)s π ( ϑ) dϑ. (75) Ssund l rasfrma d s () d s () s n: S'( ) [ S( ϑ) δ( ϑ ) δ( ϑ )] dϑ. (76) Enr parns quadr cmpan du dla d Drac, rspvamn cnra n ϑ n ϑ. Rcrdand la prprà d campnamn dlla dla d Drac, sprssa dalla (49c) qu applcaa nl dmn dlla pulsazn anzché nl dmn dl mp, s cnclud ch l rsula dll ngral sarà la funzn S( ϑ ) calclaa n crrspndnza d al du argmn. Dunqu: S' ( ) [ S( ) S( )] cncdn cn la (74). Il rsula sprss dalla (76) è da rcrdar. In ss, cm llusra n Fgura 6, s è cnsdraa la cnvluzn ra una funzn S() du dla d Drac n (l dla d Drac sn sa p rasla nr ngral n accrd cn la dfnzn d cnvluzn). Cm 8

29 rsula, s è nua la funzn S() cnraa v ran allca l dla d Drac. Qusa cnclusn è gnral, vvamn val qualunqu sa la varabl ndpndn cnsdraa. A S( ) B B δ( ) δ( ) S ( ) ½ S( ) [ δ( ) δ( )] A/ B B B B Fgura 6 9

30 Vglam chudr qusa Szn rcapland, pr cmdà, alcun dll rasfrma calcla n prcdnza, nsm ad alr d nrss prac. In Tablla : Ovunqu s assum a >. La funzn s G () rapprsna l gradn unar gà nrd nll Esrcz N.. Nll è saa lggrmn mdfcaa la nazn, pr qusn d pprunà. Dl rs l sudn dv abuars all da ch la nazn può ssr dffrn, da cns a cns, pur rmannd l sgnfca l sss; d cnsgunza nn dv abuars, s nn n rar cas, all da d asscar smpr l sss smbl ad una daa grandzza; vcvrsa, dvrà, d vla n vla, vrfcarn l sgnfca, mnr l smbl usa è puramn cnvnznal. La funzn sn(x)/x è saa sncamn ndcaa ( cm al s rnvn nlla maggr par d s, anch d Anals Mamaca) cm snc(x). Tra l alr rasfrma, parclarmn nrssan è l rsula 8. n vrù dl qual la rasfrmaa d Furr d un sgnal gaussan è ancra una funzn gaussana. 3

31 s() S(). a sg () a. a sg () a 3., T / T p T () T sn c > T / 4. T T () T T sn c > T 5. a a 6. a sn( ) s () 7. a cs( ) s () 8. a G G a ( a ) a (a ) / π / 4a a 9. T π sn c pt ( ) T. T sn π ( ) c T T. π a a a. δ () 3. πδ ( ) 4. s G () πδ( ) 5. πδ ( ) 6. cs( ) π δ ) δ( 7. sn( ) 8. > sgn () < 9. cs( )s (). sn( )s () [ )] G G Tablla π ( [ δ( ) δ( )] π [ δ( ) δ( )] π [ δ( ) δ( )] 3