Scelta sociale. Definizione del problema. Il teorema di impossibilità di Arrow. Interpretazione e superamento attraverso l indebolimento degli assiomi

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1 Scelta sociale Definizione del problema Il teorema di impossibilità di Arrow Interpretazione e superamento attraverso l indebolimento degli assiomi

2 Definizione del problema Il problema della scelta di un punto lungo la frontiera delle utilità può essere affrontato ricorrendo al medesimo approccio utilizzato per descrivere la scelta del consumatore razionale. 1) Occorre in primo luogo definire un ordinamento di preferenze della società 2) Il punto scelto massimizza la funzione di benessere che descrive queste preferenze. L ordinamento preferenziale della società deve completare l ordinamento ottenuto con l applicazione del principio di Pareto. Quindi la base da cui derivo questo ordinamento devono essere le preferenze stesse degli individui Devo quindi cercare un meccanismo che mi consenta di aggregare le preferenze individuali per giungere ad un ordinamento di preferenze sociali Esempio: sistemi di voto Problema di Arrow: Verificare se è possibile passare da un sistema di preferenze individuali date ad un sistema di decisione sociale dovendo la procedura in questione soddisfare alcune condizioni irrinunciabili.

3 Prerequisiti Concetto di ordinamento Indichiamo con R la relazione di preferenza debole xry significa che x è almeno tanto buono quanto y Indichiamo con P la relazione di preferenza stretta xpy significa che x è migliore di y Indichiamo con I la relazione di indifferenza xiy significa che x è equivalente ad y Un profilo di preferenze è chiamato ordinamento se soddisfa le seguenti proprietà Riflessività per tutti gli x nell insieme degli stati del mondo xrx Completezza per tutti gli x nell insieme degli stati del mondo xry oppure yrx Transitività per tutti gli x, y, z nell insieme degli stati del mondo xry e yrx implica xrz

4 Teorema di impossibilità (Kenneth Arrow 1951) Non esiste alcuna funzione del benessere sociale che partendo da un insieme di ordinamenti preferenziali individuali consente di ottenere un ordinamento sociale riflessivo, completo e transitivo rispettando le seguenti condizioni U Dominio universale e illimitato P Principio di Pareto Debole D Assenza di dittatore I Indipendenza dalle alternative irrilevanti

5 Dominio Universale e illimitato Tutti i profili preferenziali sono ammissibili ossia non esiste alcuna limitazione a priori sulle preferenze dei singoli Principio di Pareto debole Date due alternative x e y se tutti gli individui della società preferiscono in senso stretto x a y allora anche a livello sociale deve essere xpy Assenza di dittatore Non esiste alcun individuo che. per tutte le coppie di alternative e per tutti i possibili profili preferenziali degli altri membri della collettività determini comunque la scelta sociale Indipendenza dalle alternative irrilevanti Nella scelta fra due alternative x e y sono rilevanti solo le preferenze riguardanti questo specifico sottoinsieme, non dovendosi quindi prendere in considerazione le preferenze riguardanti le altre coppie di alternative.

6 Non dimostriamo il teorema ma cerchiamo di illustrarlo, chiarendo la portata delle condizioni imposte, considerando un meccanismo che soddisfa i quattro assiomi Voto a maggioranza Supponiamo tre individui e quattro alternative Individuo A Individuo B Individuo C xpypzpw xpypwpz ypwpxpz Per ottenere un ordinamento possiamo far votare su coppie di alternative Risultato xpy xpz xpw ypw ypz wpz Risultato ordinamento xpypwpz Soddisfa gli assiomi? U - Il metodo può essere applicato qualsiasi siano i profili preferenziali degli individui P- Soddisfa il criterio di Pareto debole Infatti per tutti è xpz e anche per la società D - Non è dittatoriale I è soddisfatta consideriamo la scelta fra x ed y e supponiamo che il terzo individuo cambi le proprie preferenze su w e z per cui xpzpwpy Se rivotiamo sarà sempre xpy dal punto di vista sociale Perché il voto a maggioranza non è una possibile soluzione?

7 Supponiamo che le preferenze siano le seguenti Individuo A xpypzpw Individuo B wpxpypz Individuo C zpwpxpy Il voto mi dà xpypzpw ma wpx Non è transitiva Prendo tre alternative x, y, w da xpy e ypw non discende xpw Noto come paradosso del voto o di Condorcet

8 Il teorema mi dice che un meccanismo di aggregazione esiste (teorema di possibilità) ma viola le condizioni imposte. La ricerca successiva ha sondato la percorribilità di soluzioni che rinunciassero ad alcuni degli assiomi. Transitività La transitività è una condizione sufficiente per ottenere una scelta sociale ma non è necessaria. Se le preferenze sociali sono transitive sicuramente posso individuare una alternativa che è almeno tanto buona quanto le altre. Tuttavia la transitività non è necessaria per scegliere un alternativa fra quelle disponibili per due ragioni a) posso individuare un alternativa che non è inferiore ad alcuna delle alternative disponibili anche se la relazione di preferenza della società è non transitiva (preferenze acicliche) b) posso utilizzare dei meccanismi che partendo dalle preferenze individuali producono una scelta fra le alternative possibili senza cercare di creare un ordinamento sociale e poi massimizzarlo (funzioni di decisione sociale).

9 Preferenze acicliche La transitività delle preferenze non è necessaria per individuare l alternativa maggiormente preferita Esempio Individuo A Individuo B Individuo C xpypzpw xpwpypz xpzpwpy Con il voto a maggioranza fra coppie di alternative otteniamo xpypzpw e xpz xpw quindi x è senza ambiguità l alternativa migliore dal punto di vista sociale. Tuttavia le preferenze sociali non sono transitive in quanto ypzpw ma wpy La condizione necessaria per poter individuare l alternativa maggiormente preferita è l aciclicità. Una relazione binaria è aciclica quando esiste un alternativa che è almeno altrettanto desiderabile rispetto a tutte le altre.

10 Perché non richiedere semplicemente l aciclicità? a) In assenza di transitività la scelta dipende dal numero e dalle caratteristiche delle alternative disponibili. Esempio Supponiamo che la società debba scegliere fra x ed y e che la funzione del benessere sociale stabilisca che xiy ossia che entrambe le alternative possono essere scelte. Se tuttavia esiste una terza alternativa per z per cui la funzione del benessere sociale stabilisce xpz e yiz dobbiamo concludere che la scelta migliore dal punto di vista sociale è x Se x, y e z sono punti sulla frontiera di Pareto, la scelta di uno di essi produrrà conseguenze in termini di distribuzione. Coloro che sono favoriti dalla scelta di y possono porre in dubbio il fondamento etico di un processo che fa dipendere il loro destino in modo talmente arbitrario dall insieme delle alternative prese in considerazione b) Le condizioni che occorre imporre per garantire l aciclicità sono comunque molto restrittive. In alcuni casi garantiscono anche la transitività (per il metodo a maggioranza se il numero dei votanti è pari) c) in presenza di aciclicità si ottiene una funzione del benessere sociale non dittatoriale ma si creano dei gruppi (delle oligarchie) che determinano comunque la scelta

11 Funzioni di decisione sociale Si riprenda l esempio del paradosso del voto di Condorcet Individuo A Individuo B Individuo C xpypzpw wpxpypz zpwpxpy Con il voto a maggioranza con i confronti a coppie si ottiene una relazione di preferenze sociale che è intransitiva e ciclica. xpypzpwpx e non è possibile definire l alternativa maggiormente favorita dal punto di vista della società Si consideri ora il seguente metodo di voto: le alternative vengono confrontate fra di loro e l alternativa perdente viene scartata. Viene scelta l alternativa che sopravvive a tutti i confronti. Avremo tra x e y vince x tra x e z vince x tra x e w vince w che è l alternativa scelta. (si osservi che il metodo soddisfa tutti altri assiomi di Arrow)

12 Perché non ricorrere a delle FDS? In assenza di transitività le FDS forniscono delle scelte che dipendono dal percorso seguito. Cambiamo l ordine di votazione nell esempio precedente Avremo tra x e w vince w tra w e y vince w tra w e z vince z In altri termini 1) non esiste alcun motivo per preferire un ordine di votazione ad un altro per cui la scelta appare irrazionale 2) il meccanismo è manipolabile. Se c è un presidente che sceglie l ordine di votazione può influenzare la scelta sociale.

13 Dominio illimitato Il teorema di Arrow mi dice che non esiste una funzione del benessere sociale che soddisfa i requisiti P D I e che fornisca al contempo un ordinamento transitivo per ogni articolazione delle preferenze individuali che sia logicamente possibile. Forse stiamo chiedendo troppo. Forse le preferenze che effettivamente incontriamo nella realtà in società simili (ad esempio paesi occidentali caratterizzati da un eguale livello di sviluppo industriale) sono sufficientemente omogenee da permettere la definizione di una FBS. La domanda può essere quindi rovesciata: quali caratteristiche devono avere le preferenze individuali affinché una particolare funzione di decisione sociale che rispetta le condizioni del teorema conduca ad una scelta non arbitraria? Partiamo da un osservazione banale. Se tutti gli individui hanno le stesse preferenze possiamo sempre definire una FBS. L impossibilità deriva quindi dalla disomogeneità delle preferenze. Individuiamo un metodo per valutare il grado di disomogeneità delle preferenze.

14 Consideriamo due società Società omogenea Società eterogenea Individuo A xpypz xpypz Individuo B ypxpz zpxpy Individuo C zpypx ypzpx Nella società omogenea la FBS è ypxpz Nella società disomogenea il voto a maggioranza semplice comporta xpypzpx Rappresentiamo le preferenze graficamente

15 I società omogenea II III x y z società eterogenea I II III x y z

16 Nel caso della società omogenea i profili preferenziali sono a picco singolo oppure unimodali. Gli individui A e C amano le alternative estreme ma trovano un accordo sull alternativa intermedia y. Se x è asili nido privati, y asili nido pubblici ma con tariffe, e z è asili pubblici gratuiti esiste una certa continuità nelle preferenze che permette di giungere ad una scelta. Nel caso della società eterogenea l individuo B ama gli estremi ma detesta la soluzione intermedia (o tutto o niente). Quindi una misura della omogeneità delle preferenze può essere l assenza di picchi doppi o di preferenze bimodali. Infatti è possibile dimostrare che se le preferenze sono a picco singolo il voto a maggioranza semplice conduce ad una scelta sociale. Inoltre è possibile stabilire quale sarà l alternativa vincente. Per enunciare il teorema occorre definire il concetto di elettore mediano. Lo facciamo prendendo in considerazione un esempio in cui le alternative tra cui scegliere non sono discrete ma continue. Supponiamo che gli individui debbano scegliere la quantità di bene pubblico da produrre. Supponiamo che gli individui abbiano lo stesso reddito R e che il bene pubblico sia finanziato ripartendone il costo in parti uguali fra tutti gli individui. Se il costo marginale del bene pubblico è costante la quota a carico di ogni individuo sarà pari a (cm*g)/n. Reddito disponibile Y = R (cm/n) *G Graficamente

17

18 Reddito disponibile (Y) Spesa pubblica (G) Utilità dell individuo i Spesa pubblica (G)

19 Reddito disponibile (Y) Curva di indifferenza individuo 1 Curva di indifferenza individuo 2 Curva di indifferenza individuo 3 Utilità Individuo 1 Spesa pubblica (G) Individuo 3 Individuo 2 x 1 x m x 3 Spesa pubblica (G)

20 Dato che le preferenze sono a picco singolo possiamo identificare ogni individuo con la sua alternativa maggiormente preferita. L elettore mediano è quell individuo la cui alternativa maggiormente preferita lascia alla sua destra e alla sua sinistra un egual numero di alternative maggiormente preferite (se alternative dispari. Quando alternative pari la scelta mediana lascia a destra o a sinistra il 50% delle alternative) Si osservi che quando si confronta l alternativa mediana con tutte le alternative a destra, xm raccoglie i voti di tutti gli individui che sono alla sinistra più il voto dell elettore mediano. Tali voti sono pari al 50% (se gli elettori sono pari) oppure sono il 50% +1. L alternativa xm non può quindi mai perdere contro le alternative situate alla sua destra. Analogo ragionamento vale per le alternative situate a sinistra. Quindi l alternativa mediana non è battuta da nessun altra alternativa e verrà quindi scelta. Il teorema dell elettore mediano ci dice infatti che Se esiste una distribuzione delle alternative per la quale i profili preferenziali di tutti gli individui sono unimodali, allora l alternativa mediana, x m, coincide con la scelta preferita a livello sociale.

21 Elettore mediano Se le preferenze sono a picco singolo è quell individuo la cui alternativa maggiormente preferita lascia alla sua destra e alla sua sinistra un egual numero di alternative maggiormente preferite (se alternative dispari) Quando alternative sono in numero pari la scelta dell elettore mediano lascia a destra o a sinistra il 50% delle alternative maggiormente preferite Teorema dell elettore mediano. Se esiste una distribuzione delle alternative per la quale i profili preferenziali di tutti gli individui sono unimodali, allora l alternativa mediana coincide con l alternativa preferita a livello sociale.

22 Osserva: la condizione di unimodalità è solo condizione sufficiente affinché esista una scelta. a) sebbene le preferenze siano a picco doppio può accadere che il metodo a maggioranza produca una scelta (esercizio 9 prima parte) b) quando non esiste un modo naturale per ordinare le alternative, come nel caso di G, per verificare l esistenza di una rappresentazione a picco singolo dovrei ordinare le alternative in tutti i possibili modi. Tuttavia se applicando direttamente il voto a maggioranza non ottengo una scelta significa che non esiste alcuna rappresentazione a picco singolo

23 La questione dunque diviene: è plausibile ritenere che le preferenze siano a picco singolo? L esempio del bene pubblico suggerisce che per molti problemi di carattere economico la convessità delle curve di indifferenza implichi l unimodalità. Tuttavia in generale il problema è più complesso se prendiamo una formulazione più generale del problema vediamo che la convessità delle curve di indifferenza non garantisce l unimodalità. Quindi la restrizione del dominio non rappresenta una via d uscita pienamente soddisfacente.

24 Bene privato w y x z U 1 U 1 U 2 U 2 Bene pubblico (G) U 1, U 2 Individuo 2 Individuo 1 w y x z Bene pubblico (G)

25 Indipendenza dalle alternative irrilevanti. Per comprendere portata ed implicazioni di questo assioma occorre introdurre i concetti di misurabilità e comparabilità delle utilità Misurabilità Significato dei numeri reali attributi ai livelli di utilità degli individui Misurabilità con una scala ordinale Se xpy allora U(x)>U(y) Qualsiasi trasformazione monotona positiva (lineare o non lineare) non modifica il contenuto informativo. Infatti anche log U(x) > log U(y) e anche U(x) 2 >U(y) 2 (se U è sempre positivo). Differenze o rapporti fra valori della funzione di utilità non hanno significato. Non ha senso dire che un alternativa fornisce un livello di utilità doppio di quello fornito da un altra.

26 Misurabilità con scala cardinale Non sono ha significato il livello dell utilità ma anche la differenza Ha senso ad esempio affermare che il passaggio dall alternativa y all alternativa x produce un aumento di utilità superiore dal passaggio dall alternativa z all alternativa y U(x) U(y) > U(y) U(z) Questo non ha senso con utilità ordinale Esempio > 9 1 Se prendo la radice quadrata ottengo 10 9 < 3 1 Se assegno un significato cardinale alle utilità la funzione di utilità è unica a meno di trasformazioni affini V(x) = a + b U(x) V( x) V( y) > V( y) V( z) a + bu( x) a bu( y) > a + bu( y) a bv( z) b[ u( x) u( y)] > b[ u( y) v( z)] esempio temperature

27 Comparabilità Fa riferimento alla possibilità di paragonare le utilità di individui differenti Comparabilità e misurabilità sono due concetti distinti. Le utilità individuali possono essere misurate secondo una scala cardinale e tuttavia possono essere non comparabili. Tuttavia le possibilità di comparare le utilità dipende dalle ipotesi che faccio sulla misurabilità Se utilità ordinale posso confrontare fra di loro i livelli di utilità ma non le differenze. Ad esempio posso dire che x fornisce all individuo A la stessa utilità che fornisce y all individuo B ma non posso dire che x fornisce ad A il doppio dell utilità che z fornisce a B. Se l utilità è cardinale posso confrontare fra loro anche le differenze in utilità.

28 La condizione di indipendenza dalle alternative irrilevanti serve ad escludere che la funzione del benessere sociale utilizzi ogni forma di informazione sulle intensità delle utilità. In altri termini esclude che le utilità siano comparabili. Esempio Supponiamo che le utilità siano misurabili in maniera cardinale e pienamente confrontabili

29 Perché escludere le comparazioni di utilità? a) i meccanismi che valutano l intensità delle preferenze sono manipolabili Esempio: metodo di votazione di Borda applicato alle preferenze utilizzate per illustrare il paradosso del voto x y z w IND. A IND. B IND. C All individuo B non conviene esprime correttamente le proprie preferenze. Conviene invece dare i seguenti punteggi in modo tale che sia w a vincere (a pari merito con z) b) non è possibile misurare in maniera scientifica le utilità Allo stato attuale delle conoscenze, nessuno è riuscito a varcare il ponte fra le valutazioni individuali, difformi una dall'altra ed inconoscibili, della curva dell'utilità della ricchezza e la uniforme valutazione statale... Se le cose stanno così a che la solenne costruzione derivata dal sommo principio utilitaristico? Guardando in fondo, si vede che la costruzione poggia tutta sulla scelta arbitraria fatta dal legislatore, e per lui dallo studioso, di un criterio qualunque di distribuzione dell'imposta consigliata dal

30 buon senso, dall'opportunità politica, dalla prevalenza di certi sentimenti e di certi interessi [Einaudi, 1938] Conclusioni L assenza di un meccanismo ottimale rende necessario lo studio dei meccanismi decisionali che vengono effettivamente utilizzati nella realtà. Questo costituirà l oggetto dell ultima parte del corso quando considereremo le procedure di bilancio Italiane. L ultimo tentativo di superamento del teorema di Arrow è da attribuirsi ad Amartya Sen Secondo Sen il problema del teorema di Arrow è la ristrettezza della base informativa. Da un lato è possibile effettuare dei confronti di utilità senza ricorrere allo psicospopio Dall altro il Principio di Pareto fa sì che contino esclusivamente le informazioni sulle utilità e non su altre caratteristiche delle alternative prese in considerazione. In altri termini il Teorema di Arrow adotta la posizione filosofica nota come welfarismo: nel confronto fra Stati sociali alternativi devono essere prese in considerazione solo le utilità degli individui Per evidenziare che il problema è insito nel principio di Pareto Sen propone il paradosso del Paretiano Liberale

31 Impossibilità del Paretiano liberale (A. Sen 1971) Non esiste alcuna funzione di decisione sociale che soddisfi simultaneamente le condizioni U Dominio non ristretto P Principio di Pareto debole L Liberalismo: per ogni individuo esiste una coppia di alternative su cui la società accetta l ordinamento di preferenze individuale

32 Conseguenze a) Il principio di Pareto non è moralmente neutrale b) occorre allargare la base informativa della scelta sociale introducendo nell analisi la valutazione di aspetti che vanno al di là delle preferenze individuali Occorre prendere in esame approcci non welfaristi. I principali approcci sviluppati nel corso degli anni 70 sono La teoria della giustizia procedurale di R. Nozick e La teoria contrattualista di J. Rawls (anche Sen ha sviluppato un approccio detto dei functionings che però non ha avuto lo stesso impatto degli autori di cui sopra) Entrambi gli approcci possono essere definiti come teorie della giustizia liberali. In particolare per Rawls il problema è di individuare una teoria della giustizia che sia accettabile in una società pluralista ossia in cui gli individui hanno diverse concezioni del bene

33 R. Nozick Anarchia, Stato e Utopia (1975) Teoria della giustizia procedurale Una allocazione è giusta se è il risultato di una serie scambi che rispettano i principi di 1) giustizia nell acquisizione 2) giustizia nel trasferimento

34 J. Rawls Una teoria della giustizia (1971) Teoria contrattualista della giustizia Una allocazione è giusta se é equa E equo ciò che gli individui sceglierebbero unanimemente ricorrendo esclusivamente ai due poteri morali la capacità di un senso di giustizia la capacità di una concezione del bene Come individuare le distribuzioni eque? Attraverso un esperimento mentale: il velo di ignoranza

35 Dietro il velo di ignoranza gli individui si accordano su due principi Ogni persona deve avere un eguale diritto alla massima libertà che sia compatibile con la libertà degli altri (Principio di differenza) Le differenze economiche e sociali devono essere a) a vantaggio di tutti b) associate ad incarichi o posizioni aperti a tutti.

36 Facciamo ora un passo indietro Perché Arrow accetta il welfarismo? Il punto è che il principio di Pareto (da cui deriva il welfarismo in Arrow) nasce come reazione all approccio normativo dominante in economia nel corso dell ottocento: l utilitarismo. Esistono svariate versioni di utilitarismo. Le principali condividono tre caratteristiche Welfarismo Consequenzialismo Ordinamento somma. Nella forma base attribuita a J. Bentham, la somma delle utilità è semplice in quelle più articolate, proposte da un altro premio Nobel Harsanyi, che prevedono dei pesi per le utilità individuali. L ordinamento somma cade quanto con l affermarsi del positivismo non si ritiene più possibile comparare le utilità. Il principio di Pareto evita la somma ma mantiene il consequenzialismo e il welfarismo.

37 Sebbene gli approcci di Nozick e di Rawls sono stati sviluppati in secondo un approccio non welfarista può essere utile rappresentare le funzioni del benessere sociale che si ispirano a Rawls per comparare la scelta di Rawls con l utilitarismo Rawls { } W = min U a, U b le allocazioni eque soddisfano il principio del maxmin ossia massimizzano l utilità minima Utilitarismo (Bentham) W = U a + U b Graficamente

38 utilità individuo b N stato minimale R funzione del benessere sociale rawlsiana E soluzione egualitaria utilità individuo a

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