DISPENSE DEL CORSO DI IDRAULICA DEI MEZZI POROSI

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1 Ultimo aggiornamento 30/04/013 DISPENSE DEL CORSO DI IDRAULICA DEI MEZZI POROSI 1-1

2 Ultimo aggiornamento 30/04/013 INDICE 1. Introuzione al corso Le fale acquifere Legge i Darcy Fale freatiche e fale artesiane Estensione ella legge i Darcy al continuo Macroporosità in mezzo saturo Mezzi omogenei Mezzi fratturati Variabilità spaziale Classificazioni Mezzi statisticamente omogenei Approccio eterministico Approccio stocastico Equazioni inefinite Equazioni inefinite el moto Equazioni i continuità Equazioni el moto uniforme i un fluio pesante incomprimibile Equazioni el moto vario i un fluio pesante incomprimibile Campi i moto in fala artesiana Emungimento a fala artesiana confinata Prove i emungimento per fale artesiane Misure i livello all interno ei piezometri Cambio i permeabilità in fala artesiana Cuneo salino Trattazione con interfaccia netta Ipotesi i interfaccia stazionaria Legge i Ghyben-Herzberg Rilassamento ella conizione i valle Moello i Glover (1959) Moello i Eelman (197) Moello i Mualem e Bear (1974) Effetti ella marea sulla superficie libera Moelli numerici con interfaccia netta Misure i livello all interno ei piezometri: trattazione con strato i transizione Equazioni i governo Equazione i governo: conservazione ella massa Equazione i governo: legge i Darcy Concetto i quota piezometrica i acqua olce Equazioni in termini i quota piezometrica i acqua olce Moti a potenziale Definizione i moti a potenziale

3 Ultimo aggiornamento 30/04/ Proprietà elle funzioni armoniche Metoi i risoluzione Esempio i metoo analitico Campi i moto in fala freatica Teoria i Dupuit Flusso biimensionale su fono impermeabile Superficie libera soggetta a pioggia o evaporazione (ricarica o esaurimento) Cambio i permeabilità in fala freatica Conizioni i moto lungo un penio Soluzione integrale completa el profilo i acquiferi non arciani a frontiera libera Limiti all applicabilità ella soluzione integrale Dighe in terra Emungimento a fala freatica Terreni non saturi Risalita capillare Effetti ella capillarità su un terreno Curve i tensione Conucibilità iraulica Equazioni el moto in mezzi non saturi Equazione i continuità Valutazione ei parametri caratteristici i un mezzo non saturo Cenni sul trasporto i inquinanti in fala

4 Ultimo aggiornamento 30/04/ Introuzione al corso Molti aspetti ell Ingegneria sono legati alle conizioni i eflusso sotterraneo ell acqua nei moti etti i filtrazione. Nella terminologia tecnica ogni materiale che presenta ei vuoti nei quali si può muovere un fluio è etto mezzo poroso. Nell Ingegneria Civile e Ambientale è interesse il flusso nei mezzi porosi, sia naturali, quali sono a esempio, gli orizzonti geologici costituiti a epositi sabbiosi, sia artificiali, come nel caso el materiale grossolano con cui si realizzano i sistemi i renaggio. Molte elle motivazioni che inucono a stuiare in maniera approfonita i moti i filtrazione sono già noti agli stuenti che abbiano seguiti i Corsi i base i Iraulica e i Costruzioni Irauliche. Una elle principali motivazioni è rappresentata alla necessità i fornire un aeguato approvvigionamento i acqua, a uso potabile, irriguo o inustriale, sfruttano i volumi i acqua contenuti nel sottosuolo, le cosiette fale acquifere. La progettazione ei sistemi i prelievo e la tutela i queste acque all inquinamento rappresentano gli obiettivi perseguiti per una gestione sostenibile elle risorse iriche naturali. Altra motivazione è rappresentata alla regimentazione elle acque sia superficiali che sotterranee. A esempio, il imensionamento egli spechi ei sistemi i renaggio risulta fortemente legato alla partizione ei volumi i pioggia, tra ruscellamento superficiale e infiltrazione nel terreno. I coefficienti uometrici che si utilizzano nella progettazione sono per lo più i natura empirica e erivano a soluzioni approssimate che interpretano le inamiche el movimento nei primi orizzonti el suolo. Nelle situazioni più critiche è possibile risolvere in maniera accurata le equazioni el moto ell acqua anche in terreni parzialmente saturi. Il controllo elle acque sotterranee è, spesso fonamentale anche nella costruzione i nuove opere civili, parzialmente o totalmente interrate, one evitare affioramenti i acqua sia nelle fasi i realizzazione ell opera che nel corso ell esercizio. Anche l analisi ella stabilità i un penio o i un rilevato, in generale, eve preventivamente valutare la presenza i moti i filtrazione che rappresenta, molto spesso, una causa i rottura influenzano i valori i pressione neutra e quini le resistenze a taglio el terreno. Il programma el corso segue una suivisione logica tra ue inamiche el movimento la prima relativa ai mezzi porosi saturi, nei quali cioè tutti i vuoti risultano essere pieni acqua, la secona relativa ai mezzi non saturi, nei quali i vuoti risultano solo parzialmente pieni acqua. 1-4

5 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Per ciascuna elle ue parti, verranno sviluppate le equazioni inefinite el moto e ella continuità e verranno fornite le soluzioni analitiche nei casi più semplici i mezzo omogeneo e isotropo, sfruttano spesso particolari conizioni i simmetria. Sempre separatamente, per mezzo saturo e non saturo, saranno escritti i metoi per la eterminazione ei parametri iraulici che sono presenti nelle suette equazioni. Infine, saranno mostrate alcune tecniche per il controllo elle acque sotterranee, al fine i una gestione sostenibile elle stesse, sia in termini quantitativi che qualitativi. Una terza parte el corso sarà finalizzata a escrive alcuni programmi i calcolo commerciali che consentono la risoluzione numerica i campi i moto più complessi e a sviluppare applicazioni semplici a confrontare con le soluzioni analitiche preceentemente escritte. 1-5

6 Ultimo aggiornamento 30/04/013. Le fale acquifere Il ciclo ell acqua, rappresentato in Figura.1, è un iagramma ben noto che sintetizza i flussi irici che si sviluppano sulla superficie terrestre, sottoterra e nell atmosfera. Figura.1 Ciclo ell acqua Evientemente la percentuale più rilevante ell acqua complessivamente presente sul globo è raccolta nei mari e negli oceani. Figura. Distribuzione percentuale ell'acqua sulla Terra -6

7 Ultimo aggiornamento 30/04/013 L acqua presente nelle fale acquifere può avere ue iverse origini. Nel caso i rocce profone l acqua può rappresentare un erivato i reazioni chimiche complesse che hanno avuto luogo urante i fenomeni tettonici: solo in pochi punti ella superficie terrestre queste acque trovano recapito naturale con sorgenti in superficie. Più superficiali sono le fale acquifere che si alimentano con le acque provenienti al piano campagna per infiltrazione i acque meteoriche o per percolazione a fiumi e laghi (sub-alvea). Queste fale sono evientemente poco profone e possono essere facilmente sottoposte a emungimento. Prima i continuare la escrizione ei caratteri el eflusso nelle fale acquifere può convenire efinire alcune granezze proprie ei mezzi porosi..1. Legge i Darcy Verso la fine ell 800 un Ingegnere francese Henry Darcy cercò i eterminare le resistenze al moto in un campione i terreno costipato, realizzano un apposito apparato sperimentale oggi etto permeametro, schematicamente rappresentato in Figura.3. e Figura.4. Figura.3-7

8 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura.4 Il permeametro può essere isposto orizzontalmente o verticalmente (figura.1.3.) e è caratterizzato alla presenza i un conotto circolare contenente terreno, etto filtro, i lunghezza L e sezione trasversale S, nel quale efluisce un fluio newtoniano, generalmente acqua, per effetto ella ifferenza i quota piezometrica Y esistente tra gli estremi el filtro. Figura.5 Permeametri La prova, svolta in conizioni i moto permanente, per un assegnata geometria el filtro, prevee la misura ella portata circolante Q e el islivello piezometrico Y. -8

9 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Darcy verificò che la portata risultava irettamente proporzionale alla caente piezometrica e alla sezione trasversale el filtro e inversamente proporzionale alla lunghezza el filtro stesso. Introuceno la velocità i filtrazione: Y Q Σ (.1) L V = Q (.) Σ la legge i Darcy si scrive: V = f I (.3) ove il coefficiente i permeabilità f ha le imensioni i una velocità e è funzione elle caratteristiche el mezzo poroso e elle proprietà el fluio filtrante. Il legame lineare tra velocità i filtrazione e caente piezometrica imostra che il eflusso avviene in conizione i moto laminare. Attraverso il criterio ell omogeneità meccanica è possibile istinguere l influenza sul coefficiente i permeabilità elle caratteristiche el mezzo a quelle el fluio. Per analogia con la soluzione el problema ella eterminazione elle resistenze nel moto uniforme laminare in un conotto cilinrico (Legge i Poiseuille): 1 γ V = Ir0 (.4) 8 μ è possibile assumere che il coefficiente i filtrazione ebba anch esso ipenere al peso specifico el fluio g e all inverso ella viscosità μ. Una imensione caratteristica ei meati potrà essere rappresentata a un iametro efficace ei granelli,. Di conseguenza, al punto i vista imensionale, aveno γ e μ imensioni, rispettivamente pari a: F 3 L, L (.5) FT E tenuto conto che il coefficiente i filtrazione ha le imensioni i una velocità, ovrà essere: L T F L = L (.6) 3 L FT Pertanto, esplicitano la ipenenza el coefficiente i filtrazione al quarato i un iametro caratteristico el mezzo poroso e introuceno il coefficiente i permeabilità intrinseca, k, risulterà in efinitiva: -9

10 Ultimo aggiornamento 30/04/013 γ f = k (.7) μ Il coefficiente i filtrazione, attraverso il coefficiente i permeabilità intrinseca, ipenerà inoltre alle caratteristiche el mezzo poroso, in particolare all assortimento granulometrico el terreno Figura.6 e al grao i costipamento, il cui effetto per un materiale monogranulare è rappresentato in Figura.7. Figura.6 Curva granulometrica Figura.7 Grao i costipamento Entrambi questi parametri contribuiscono a eterminare la porosità el mezzo, efinita come rapporto tra il volume ei vuoti (W v ) e il volume totale (W t ): W W v n = (.8) t Evientemente, risulta impossibile esprimere in maniera analitica la ipenenza el coefficiente i permeabilità intrinseca alla struttura i un mezzo poroso naturale. Di conseguenza solo prove i laboratorio con permeametro su campioni i terreno non rimaneggiato possono consentire una valutazione attenibile el coefficiente i filtrazione. -10

11 Ultimo aggiornamento 30/04/013 In Tabella -1 sono riportati i campi i valori el coefficiente i filtrazione riscontrati per materiali aventi iversa classificazione geotecnica. Tabella -1 La velocità i filtrazione è una velocità fittizia tramite la quale viene sintetizzato il movimento insieme el fluio nel terreno. Questo movimento si esplica secono percorsi tortuosi, riconucibili alle interconnessioni esistenti tra i pori el mezzo. In Figura.8. è riportato un insieme i traiettorie percorse al fluio, nonché l ingranimento i un ipotetica istribuzione i velocità all interno i un meato (Figura.9). La velocità effettiva, con cui meiamente viaggia l acqua nei pori è evientemente maggiore ella velocità i filtrazione, ciò in quanto, parte ella sezione trasversale el campione è occupata ai granelli. La velocità effettiva è legata alla velocità i filtrazione alla relazione: V v = (.9) n a in cui n a è la porosità areale, cioè la quota parte ella superficie trasversale el campione occupata ai pori. Spesso la porosità areale è posta pari alla porosità. -11

12 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura.8 Figura.9-1

13 Ultimo aggiornamento 30/04/013.. Fale freatiche e fale artesiane Ogni mezzo poroso è caratterizzabile iraulicamente meiante un valore meio el coefficiente i filtrazione. Come si evince alla Tabella -1, il coefficiente i filtrazione varia i iversi orini i granezza a secono el tipo i terreno. I terreni naturali saturi più permeabili sono etti acquiferi, mentre quelli meno permeabili possono costituire strati i confinamento per gli acquiferi stessi. Generalmente sarà sempre possibile iniviuare uno strato i confinamento inferiore i un acquifero. Viceversa, superiormente un acquifero potrà essere limitato o no a un secono strato i confinamento. Questa ifferenza consente un importante istinzione tra fale artesiane e fale freatiche: - Le fale artesiane (Figura.10. B) sono acquiferi completamente racchiusi tra ue formazioni impermeabili o semi-impermeabili (rocce, argille, etc.), che presentano una quota piezometrica maggiore ella quota geoetica misurata in corrisponenza ella formazione impermeabile superiore (tetto ella fala). - Le fale freatiche (Figura.10. A) sono acquiferi confinati inferiormente a una formazione impermeabile o semi-impermeabile, ma caratterizzati alla presenza i una superficie libera ella fala a pressione atmosferica al isopra ella quale l ammasso filtrante è solo parzialmente saturo. Figura.10 A- fala freatica, B- fala artesiana In Figura.10 sono schematicamente rappresentati in sezione ue acquiferi nei quali si sviluppa un campo i moto piano, la fala A è una fala freatica, mentre la fala B è una fala artesiana. La -13

14 Ultimo aggiornamento 30/04/013 linea b-b rappresenta la piezometrica ella fala artesiana, invece la piezometrica ella fala freatica coincie, ovviamente, con la traccia ella superficie libera ella fala. E interessante notare come la fala artesiana possa presentare una quota piezometrica maggiore ella fala freatica sovrastante. In tal caso, anche in presenza i un collegamento tra le ue fale, il flusso all interno ello strato i confinamento anrebbe alla fala artesiana a quella freatica. Altro punto a chiarire è che è concettualmente possibile avere una fala freatica anche al isotto i altre fale più superficiali, freatiche o artesiane. Dal punto i vista ella qualità elle acque contenute nelle ue fale, va rilevato che le fale freatiche che si sviluppano al isotto el piano campagna e che sono irettamente alimentate per infiltrazione elle acque meteoriche risultano più vulnerabili al punto i vista qualitativo per apporto i nutrienti o i sostanze i origine agricola -erbicii, pesticii, etc.-. Viceversa le fale artesiane, specie se caratterizzate a elevati valori i quota piezometrica sono più salvaguarate, sempre che non vi siano interventi che moifichino l assetto ella fala, come prelievi a pozzi che eterminano forti riuzioni ella quota piezometrica. Nell ambito el corso stuieremo largamente le fale iriche sotterranee, sia per la loro importanza come fonte i approvvigionamento irico, sia per verificarne le interazioni con manufatti. -14

15 Ultimo aggiornamento 30/04/ Estensione ella legge i Darcy al continuo L esigenza ingegneristica i applicare equazioni analitiche per la soluzione ei problemi inerenti il movimento ell acqua nei mezzi porosi saturi implica la efinizione i funzioni analitiche continue e erivabili. Le proprietà ei mezzi porosi, a esempio la porosità, non rientrano a rigore tra le granezze i quel tipo: osservano la porosità è facile riconoscere che il suo limite puntuale vale 0 o 1, a secona se il punto ricaa all interno i un poro o ella matrice solia. Le granezze i tipo iraulico, quali la velocità o la quota piezometrica, airittura non risultano efinite all interno ella matrice solia. Per ovviare a questo problema si è soliti operare una meia mobile su un volume centrato in ciascun punto el campo i moto, in moo a riferire al punto il valore che la granezza assume nel volume sui cui si è operata la meia. Tale volume è etto Volume Elementare i Riferimento (REV, Reference Elementary Volume). Figura 3.1 REV La sua imensione convenzionale si assume essere quella minima per meiare le variabilità i piccola scala in moo a renere efinite le granezze che intervengono nella moellazione analitica el comportamento iraulico el mezzo poroso (Figura 3.1). E facile osservare che al crescere ella imensione el REV, tali granezze raggiungono rapiamente un valore stabile in corrisponenza el volume ΔU 0 in figura. Ulteriori incrementi ella imensione el REV, portano poi a nuove più significative variazioni, al momento che cominciano a intervenire le variabilità proprie ei mezzi naturali (inhomogeneous meium). La legge i Darcy, con il suo riferimento alla velocità i filtrazione, ben si presta a una estensione ai mezzi continui, basta riferire al REV le ue granezze: quota piezometrica e coefficiente i filtrazione, e esprimere la stessa in forma vettoriale: 3-15

16 Ultimo aggiornamento 30/04/013 r V p = f z = f γ p gra z γ (3.1) A B A B Figura 3. Estensione legge i Darcy a un continuo La risoluzione el problema iroinamico passa, pertanto, per la eterminazione el valore ella quota piezometrica in ogni punto el campo i moto. All interno ella fala si può immaginare la presenza i superfici isopieziche che uniscono punti con egual valore i quota piezometrica. Il vettore velocità i filtrazione è normale in ogni punto alle isopieziche. In figura 3.. le linee AA e BB rappresentano, tratti i isopiezica. Il valore i questa piezometrica associato a ciascuna elle ue isopieziche è evienziato alla presenza i ue piezometri infissi nel terreno, in particolare ciascun valore i quota piezometrica è rappresentato ovviamente alla istanza tra il menisco el piezometro e la quota i riferimento z=0. Generalizzano l espressione i Darcy per un mezzo anisotropo si ottiene: r V = [ f ]grah (3.) ove [f] è un tensore. Se si consierano gli assi principali, y e z V h h = f ; Vy = f y ; V y z h = f z (3.3) z Se il mezzo si presenta isotropo f = f y = f z =f. 3-16

17 Ultimo aggiornamento 30/04/ Macroporosità in mezzo saturo Nei mezzi a piccola granulometria la legge i Darcy esprime un legame i proporzionalità iretta tra la velocità i filtrazione V e la caente piezometrica J, tramite il coefficiente i filtrazione che ipenente alle caratteristiche el mezzo poroso e el fluio. La legge i Darcy non escrive, però, aeguatamente i moti i filtrazione attraverso filtri a grana grossa o attraverso le fratture che possono essere presenti all interno i formazioni rocciose, i piccole o grani imensioni Mezzi omogenei Nel laboratorio el DIGA (Dipartimento i Iraulica, Geotecnica, Ambientale) è stata realizzata un particolare permeametro (Figura 4.1) che consente i effettuare prove per la eterminazione ell f saturo su campioni i notevole imensioni, sottoposti a forti valori ella caente piezometrica. Figura 4.1 Permeametro La conotta i prova è stata riempita con materiale a granulometria grossolana (Figura 4.1), ricavato in situ a un banco i pomici lungo un penio ell entroterra campano, proveniente a processi 4-17

18 Ultimo aggiornamento 30/04/013 eruttivi el complesso Somma-Vesuvio (Figura 4.3). La necessità i operare su campioni i iametro notevolmente maggiore ella imensione meia elle pomici e la bassissima coesione naturale i queste ultime non hanno consentito il prelievo i campioni inisturbati. Figura 4. Materiale i riempimento ella conotta Figura 4.3 Complesso Somma-Vesuvio Il bilancio irogeologico i questi penii caratteristici ell area campana, lungo i quali possono eterminarsi istacchi el materiale i copertura con conseguenti fenomeni i colata rapia, è fortemente conizionato alla capacità renante egli strati a granulometria grossolana, lungo i quali si sviluppano fale freatiche o artesiane con movimento prevalente parallelo al penio (Figura 4.4). 4-18

19 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 4.4 Fala parallela al penio Una stratigrafia tipica rappresentata in Figura 4.5 mostra l alternanza i strati i pomici e i cineriti paralleli al penio. Figura 4.5 Stratigrafia tipica Le prove mostrano che al crescere ella caente piezometrica, il legame in moto uniforme tra V e J tene rapiamente a non presentarsi più lineare in quanto al crescere i J la V ha un incremento minore rispetto a quello che avrebbe avuto nel caso i un mezzo con un comportamento i tipo arciano. 4-19

20 Ultimo aggiornamento 30/04/ J (-) V (m/s) 0.0 Figura 4.6 Legane non lineare tra J e V Lo scostamento al regime lineare, proprio ella legge i Darcy, ipene inizialmente (regime i transizione) all instaurasi i effetti i scia a tergo egli elementi che costituiscono l ammasso, solo per valori molto elevati ella velocità i filtrazione possono manifestarsi meccanismi turbolenti. Questi fenomeni sono affini a quelli noti in iroinamica che si osservano a tergo i una sfera o i un cilinro investiti a una corrente. Figura 4.7 Campo i moto i una corrente che investe una sfera e al crescere el numero i Reynols Quini a prescinere se il moto sia laminare o turbolento si eterminano elle issipazioni, aggiuntive a quelle ovute al solo attrito el fluio con la parete ei singoli elementi, ovute alla presenza i particolari fenomeni i scia a tergo i ogni particella. Numerose sono state nel tempo, le leggi i resistenza proposte in sostituzione ella legge i Darcy, per escrivere i moti i filtrazione in regime non lineare (regime i transizione e turbolento). Qui si ricorano le: Relazioni in forma esponenziale (J = avⁿ) Relazioni in forma i serie (J = avbv²cv³...) 4-0

21 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Relazione i Forchheimer (J = avbv²) Queste relazioni consentono facilmente i interpolare i ati sperimentali e possono essere usate in fase i risoluzione ei problemi i eflusso ella fala in moto uniforme o in moto permanente, per eterminare il legame Q(h) tra la portata e lo spessore ella fala per un assegnata penenza ell acquifero. In Figura 4.8 vengono mostrate le scale i eflusso i una fala che efluisce in moto uniforme (i=j) in un acquifero costituito al materiale preceentemente escritto. Vengono confrontati i risultati ottenuti utilizzano il moello i Foirchheimer sulla serie completa i ati sperimentali e la legge i Darcy tarata sui ati sperimentali per bassi valori ella caente piezometrica che verifica la legge lineare. Dalla Figura 4.8 è facile osservare che già per piccoli angoli i inclinazione (α) el penio, valutare le resistenze al moto con la legge lineare comporta una fortissima sovrastima ella velocità i filtrazione, e, quini, per assegnato spessore ella fala, una fortissima sovrastima ella portata efluente. Figura 4.8 Legame tra α e V Con proceimento analogo a quello che si utilizza per l introuzione ell abaco i Mooy, è possibile riportare la legge i resistenza i Forchheimer in forma imensionale. Il proceimento escritto a War consiste nella introuzione i ue raggruppamenti imensionali: V k R k = e ν 1 f k = Cw (4.1) R k 4-1

22 Ultimo aggiornamento 30/04/013 R k è una forma particolare el numero i Reynols, mentre f k è una forma particolare ell inice i resistenza in cui 1/R k rappresenta l influenza egli effetti viscosi, mentre C w rappresenta gli effetti elle forze inerzia e elle turbolenze a alti numeri i Reynols). R k e f k sono legati ai parametri a e b ella legge i Forchheimer: ν C w a = e b = (4.) gk g k In tal moo la legge i Forcheeimer, o irettamente i ati sperimentali possono essere rappresentati nel iagramma bilogaritmico (R k, f k ) (Figura 4.9). Dalla rappresentazione appare eviente il comportamento elle resistenze al moto e è possibile arne un interpretazione. Figura 4.9 Legame tra f k e R k Per R k <0.5 il termine C w è trascurabile rispetto a 1/R k, quini la curva (R k -f k ) tene a sovrapporsi alla retta che ientifica il regime alla Darcy. Per valori el numero i Reynols superiori a R k = 6, il termine 1/R k iventa trascurabile rispetto a C w, la curva tene quini a assumere valore costante f k = C w (regime pienamente turbolento). Esiste, un ampio campo i valori intermei el numero i Reynols (0.5<R k <6) in cui si assiste a una progressiva eviazione al regime arciano. Altro moello interpretativo elle prove in regime non arciano è rappresentato al moello capillare proposto a Comiti e Renau. Nel moello capillare si suppone il mezzo poroso come costituito a un fascio i n tubi i flusso tortuosi i iametro pori, lunghezza L, e superficie esterna complessiva S. Il moello consente i eterminare i parametri geometrici el fascio i tubi capillari a partire alle 4-

23 Ultimo aggiornamento 30/04/013 costanti a e b ella relazione: J = avbv². I tre parametri geometrici fonamentali sono: La tortuosità τ pari al rapporto tra la lunghezza L ei pori e la lunghezza el filtro i prova L H, τ = ; H La superficie specifica inamica a v (superficie per unità i volume) pari al rapporto tra la S superficie el filtro bagnata al flusso e il volume el solio el filtro, a v = ; Volume Il iametro ei pori è pari a pori 4n = in cui n è la porosità el filtro. a (1 n) v Comiti e Renau forniscono le relazioni che legano τ e a v a a e b, a cui è possibile facilmente ricavare anche il iametro ei pori. Per le prove conotte presso il laboratorio el DIGA sono stati ottenuti i valori: : τ=1,030; a v =164,9 1/m; pori = 1,558 mm. Ottenuti i parametri possono essere calcolati i valori ella velocità interporo Vp e el numero i Reynols interporo R p : e el relativo inice i resistenza solio Vτ V pori = (4.3) ε ρvpori pori ρv poriτ R p = μ με = (4.4) f = p p 16 0,194 R (4.5) Le coppie i valori sperimentali (Rp-fp) sono state iagrammate in un piano bilogaritmico rappresentato in Figura

24 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Diagramma sperimentale Rk-fk Diagr. Rk-fk fk Regime arciano Diagr. Rk-fk speriment ale Rk Figura 4.10 Legame tra f p e R p Per R p >830 il regime i moto è pienamente turbolento Per R p <15 il regime i moto è arciano L interesse i questo metoo risiee nella eterminazione i alcune granezze geometriche ei pori che possono essere i utilità laove al problema iroinamico si accoppi anche un problema i iffusione i inquinanti, in quanto alcuni ei parametri el mezzo poroso quali la tortuosità e la superficie specifica inamica possono influire sulle inamiche e sui tempi i trasporto egli inquinanti. 4.. Mezzi fratturati Altra situazione particolare è quella in cui il eflusso avviene all interno i fratture che possono presentare imensioni trasversali anche notevoli (es. tufo fratturato). Figura 4.11 Esempi i rocce fratturate 4-4

25 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Questi casi sono più ifficili a affrontare in quanto è molto ifficile eterminare la imensione e la giacitura elle fratture. Dal momento che l interpretazione elle prove i carotaggio è molto ubbia spesso si esumono le caratteristiche elle fratture all osservazione iretta i strutture geologiche simili in affioramento. Si utilizzano pertanto ei moelli semplici in cui compaiono le caratteristiche el mezzo che possono essere misurate, come per es. la imensione meia elle fratture e il numero i interconnessioni che ci sono tra una frattura e l altra. Il più comune i tali moelli è la legge cubica in cui il eflusso nella frattura è associato a quello tra ue lastre parallele, ove Q è la portata per unità i larghezza e b è la istanza tra le lastre. Q 3 b J 1γ = (4.6) E eviente che questa equazione tiene conto unicamente egli sforzi viscosi. Figura 4.1 Legame tra f k e R k Come mostrato paragrafo preceente, nel caso i macroporosità nei terreni sciolti le perite i carico aggiuntive si hanno a causa egli effetti i scia a tergo ei granelli, mentre in presenza i lastre piane cioè rocce fratturate non si hanno effetti i scia ma si ha un movimento tra le lastre con valori i caenti piezometriche moeste ben interpretate alla (4.6). Generalmente in un mezzo naturale le interconnessioni tra le fratture eterminano apprezzabili issipazioni aggiuntive. Alle macroscale, però, l legame tra q e J rimane lineare. 4-5

26 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 4.13 Diagramma polare el coefficiente i filtrazione Legame tra f k e R k Frequentemente, però, si presentano altri ue tipi i problemi: - presenza i spaccature in più irezioni, - spaccature anisotrope. Yang et al. (1989) hanno mostrato che una larga percentuale elle perite i carico nelle fratture i maggiori imensioni ha luogo per le variazioni i forma e larghezza elle stesse. Cook et al. (1990) hanno proposto una forma moificata ella legge cubica 3 b 1 Q = 1γ 1 1 f J (4.7) In questa equazione f tiene conto ella tortuosità fuori piano,invece il fattore (1 - )/(1 ) tiene conto ella tortuosità nel piano. 4-6

27 Ultimo aggiornamento 30/04/ Variabilità spaziale Nel capitolo II si è efinito un mezzo continuo equivalente i un mezzo poroso naturale. Nella euzione elle equazioni inefinite el moto e ella continuità, che sono saranno ricavate per mezzo saturo nel successivo VI capitolo e verranno ricavate per mezzo non saturo nel capitolo XI, si farà largo uso el concetto i Volume i Riferimento Elementare (REV). Si è già etto che tramite l introuzione el REV è possibile eliminare gli effetti i variabilità i piccola scala. In questo capitolo cercheremo i inicare come affrontare il problema elle variabilità i grane scala propria egli acquiferi naturali. Esistono ue tipi i variabilità: 1- stratigrafica: sulla base elle proprietà geologico strutturale meie ello strato è possibile ientificare iversi strati con caratteristiche iverse, - propria i ogni strato. La eterminazione elle proprietà statistiche (più propriamente, come veremo in seguito stocastiche) ei mezzi naturali è essenziale per i problemi i tipo ambientale Classificazioni Numerose sono le classificazioni ei mezzi porosi naturali efinite nelle iverse iscipline tecniche. Queste classificazioni evono essere note anche nell ambito ell Iraulica ei mezzi porosi in quanto orizzonti che presentano ifferente classificazione, su base agronomica, peologica, etc., possono presentare proprietà irauliche anch esse ifferenti e, i conseguenza, possono overe essere trattati in maniera separata nell ambito ella moellazione iroinamica e i trasporto. Molto spesso l osservazione iretta el mezzo a un occhio non esperto non consente i ifferenziare tali orizzonti, mentre queste ifferenze emergono solo all analisi i un esperto elle iverse iscipline. Pertanto, la isponibilità i più escrizioni ello stesso mezzo, sulla base elle iverse classificazioni tecniche non è rionante, bensì essenziale per la preisposizione el moello iroinamico e i trasporto. 5-7

28 Ultimo aggiornamento 30/04/ Classificazione geologica: consente i istinguere nel sottosuolo orizzonti con caratteristiche geologiche ifferenti. Evientemente in questo caso non sipuò che rimanare lo stuente a testi specialistici sulla isciplina. - Classificazione geotecnica: consente i suiviere i terreni in base alle loro caratteristiche strutturali e meccaniche. Per i nostri fini la caratterizzazione ci interessa senz altro la curva granulometrica. Figura 5.1 Curva granulometrica Figura 5. Classificazione granulometrica Altro elemento i interesse è il risultato i prove meccaniche, in particolare quelle effettuate con penetrometro, in quanto la variazione elle proprietà meccaniche i resistenza el materiale è associabile, a pari contenuto acqua, a una variazione elle caratteristiche strutturali (granulometria o grao i costipazione). 5-8

29 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 5.3 Prova penetrometrica inamica 3- Classificazione agronomica: si basa sull antico concetto i lavorabilità el terreno. Con questo tipo i classificazione si efiniscono elle classi i suolo ifferiscono tra loro per la preisposizione el terreno a subire lavorazioni agricole. La classificazione più comune è quella messa a punto al Soil Survey egli Stati Uniti, che istingue i terreni in 1 classi 5-9

30 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 5.4 Diagramma triangolare Nel iagramma rappresentato nella Figura 5.4 si entra con le tre coorinate: % argilla, % sabbia, % limo e si trova un punto che è posizionato in un raggruppamento che prene il nome ell elemento più rappresentativo (quello in % maggiore). 4- Classificazione peologica: viene fatta in base al riconoscimento i alcune caratteristiche che riguarano il manifestarsi i colorazioni particolari, i tessiture e strutture iverse, la presenza o assenza i carbonati, i crepacciature, screziature o altro, originate alla concomitanza i combinazioni i fattori peogenetici. Figura 5.5 Classificazione peologica 5-30

31 Ultimo aggiornamento 30/04/013 La classificazione peologica viene effettuata attraverso un catalogo sistematico ei suoli secono criteri e principi specifici. La tassonomia peologica, risenteno ancora elle iverse impostazioni elle più importanti scuole i scienza el suolo (Stati Uniti, Francia e Russia), non propone un linguaggio unico e univoco, come le più universalmente riconosciute classificazioni i Linneo per il mono animale e vegetale. Attualmente le classificazioni più utilizzate sono la Soil Taonomy ell USDA (Unites States Department of Agriculture) e il WRB (Worl Reference Base), anche se ancora oggi sono iffusi termini e criteri esunti alle vecchie classificazioni nazionali (Francia, Germania, Russia, ecc.) 5.. Mezzi statisticamente omogenei A secona el tipo i problema e elle caratteristiche ell acquifero ovrò tenere più o meno conto elle eterogeneità. Utilizzano le classificazioni riportate nel paragrafo preceente (5.1.) si può effettuare una suivisione in più strati. Le maggiori complicazioni si hanno nel momento in cui si vuole eterminare la variabilità all interno i ciascun strato. Lo stuio ella variabilità spaziale elle proprietà può essere affrontato secono ue tipi i approcci ifferenti: un approccio eterministico e uno stocastico Approccio eterministico Nell approccio eterministico occorre, tramite sonaggi e prove, stabilire: lo spessore corrisponente a ogni strato riconosciuto tramite le preceenti classificazioni, le proprietà meie strutturali e irauliche i ogni strato assumeno che le caratteristiche i ogni strato siano omogenee. Quini la realtà fisica è semplificata in quanto si sono eterminate solo le macro-ifferenze. L approccio eterministico presuppone la conoscenza ei valori assunti ai iversi parametri in ogni punto el mezzo poroso. Tali valori possono essere assunti attraverso ue iverse schematizzazioni: 5-31

32 Ultimo aggiornamento 30/04/ mezzo omogeneo equivalente: si suppone che un acquifero possa essere trattato come un equivalente omogeneo, con proprietà costanti nello spazio, - mezzo con struttura eterogenea conosciuta: si cerca i fornire una escrizione più ettagliata el comportamento el ominio, meiante la conoscenza ei valori assunti alle sue proprietà in regioni in cui siano state effettuate misure irette. In questo moo si conoscono le proprietà in n punti el ominio. Per conoscere la variazione i un parametro in tutto il ominio si effettua un interpolazione (a esempio lineare) tra i punti in cui è noto il parametro esierato (es. permeabilità). Evientemente anche utilizzano metoi i interpolazione più sofisticati propri ella secona schematizzazione proposta il mezzo poroso naturale sicuramente presenterà tra l uno è l altro egli n punti noti proprietà iverse a quelle eterminate attraverso l interpolazione Approccio stocastico Alla base i questa metoologia vi è la consapevolezza ella impossibilità i fatto i conseguire una escrizione ettagliata ell'acquifero alle varie scale i interesse. Lo scopo non è quini quello i escrivere il comportamento reale ell acquifero ma i fornirne la migliore previsione possibile sulla base egli elementi (misure) isponibili. Il metoo che si sta cercano è un metoo i stima. Uno ei vantaggi ell approccio stocastico è quello i poter quantificare in qualche moo il grao i incertezza connesso con la mancanza i una "puntuale" conoscenza el mezzo. La escrizione ell'anamento nello spazio i una ata proprietà (come la permeabilità) viene conseguita tramite la conoscenza ella istribuzione i probabilità congiunta ei valori assunti a etta proprietà nelle iverse localizzazioni nel ominio. L obbiettivo i questo metoo consiste nel ricavare una istribuzione statistica ella proprietà in esame che è legata a come essa è istribuita nello spazio. Se si riesce a creare questa funzione ensità i probabilità, in cui c è una componente spaziale, si è in grao i generare un campo i moto che sia simile a quello in stuio. Questa è la base per avere una risoluzione probabilistica. 5-3

33 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Si consieri la permeabilità f e con P il generico punto el campo i inagine, f(p) è una funzione numerica che rappresenta quini la permeabilità nei punti el sito. In questo quaro si possono are le seguenti efinizioni: Variabile regionalizzata (VR) Si intene la funzione matematica f(p) sopra introotta. Il termine regionalizzata specifica che si tratta i una funzione numerica il cui valore ipene alla localizzazione, espressa normalmente alle coorinate spaziali, e che si presenta strutturata spazialmente Campo: E' il ominio nel quale la variabile f è suscettibile i assumere eterminati valori e, all interno el quale, se ne stuia la variabilità. Coincie con lo spazio i osservazione (o i inagine) el fenomeno in esame. Supporto: E' l entità geometrica sulla quale la variabile f è efinita o anche misurata; essa è caratterizzata alle sue imensioni e alla sua forma. Quano le imensioni sono molto piccole (rispetto alla scala el lavoro) il supporto può consierarsi puntuale (per es. un campione areale i suolo i qualche ecina i m può essere consierato puntuale rispetto a una istanza tra campioni successivi i alcune ecine i m). Il concetto i supporto e le sue implicazioni giocano un ruolo importante nella teoria e nelle applicazioni geostatistiche. Data una variabile regionalizzata riferita a un eterminato supporto, si ha che, cambiano la forma e le imensioni i esso, si ottiene una variabile regionalizzata iversa alla prima, ma non senza analogia con essa. Si osservi, a titolo i esempio, la Figura 5.6. In essa è riportato l anamento ella conucibilità iraulica misurata su campioni successivi i terreno i imensioni 10 cm; in tratto più grosso è riportato l anamento ei valori meiati su un metro (su 10 campioni). Nel primo caso la VR ha un supporto 10 cm e nel secono ha come supporto 1m. Si tratta i ue variabili che presentano un anamento molto iverso tra i loro. 5-33

34 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 5.6 In base alla efinizione ata, una VR è una variabile puramente eterministica; a un punto i vista matematico è una funzione f(p) che assume in ogni punto ello spazio un eterminato valore numerico. Si può osservare, a una parte, un anamento irregolare alla piccola scala che non incoraggia uno stuio matematico iretto, e all altra, una variabilità strutturata, cioè una variabilità che sembra ubbiire a elle regole. Vi si notano infatti tratti con elevati valori ella conucibilità e tratti con mei e bassi valori. Pertanto, campioni prelevati in vicinanza ei tratti a alto valore avranno un elevata probabilità i avere una conucibilità elevata, mentre vi avranno una meia e bassa probabilità i campioni prelevati negli altri tratti. Un approccio corretto allo stuio ei fenomeni spaziali eve consierare entrambi gli aspetti ella variabilità e fornire egli strumenti operativi alla risoluzione ei problemi. Un tale approccio è quello probabilistico, cioè basato sulle Funzioni Aleatorie. Prima i passare a illustrare l approccio probabilistico veiamo come è possibile, faceno uso ei concetti i varianza, covarianza e coefficiente i correlazione empirici, caratterizzare intuitivamente la variabilità spaziale i una VR. Sia f(p) una VR, i supporto puntuale, efinita in un area S avente un estensione i alcune centinaia i metri (fig. 3.3) e nota in tutti i punti. Si consieri una coppia i punti istanti h(vettore) i posizione e h, con h = h1 piccolo rispetto alle imensioni i S, per es. un metro (fig. 3.3 A1). In corrisponenza ei ue punti la VR assume i valori z() e z(h). 5-34

35 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Si introuce la funzione ranom che ientifica le proprietà el omini e che rappresenta una realizzazione i un processo stocastico che è costituito a un insieme i variabili casuali che concorrono al meesimo processo. Si immagini i fare una serie i fori nel terreno e i anare a misurare a una certa profonità elle granezze (a es. permeabilità, porosità etc.), i questi n punti consierati è chiaro che si possono elaborare elle statistiche (meia, scarto quaratico, simmetria, etc.). in questo moo si conoscono le probabilità statistiche ell insieme el ominio. In realtà le variabili consierate possono assumere uno qualunque ei valori ella funzione i probabilità. Nel iagramma riportato nella Figura 5.7 sono riportati i valori i permeabilità eterminati lungo un allineamento in un acquifero. Figura 5.7 Valori i permeabilità lungo un allineamento Il valore ella permeabilità a un punto 0 viene interpretato come uno ei possibili valori ella proprietà. La istribuzione spaziale ella permeabilità viene intesa come un processo stocastico K( 0, w), in cui w inica l'esistenza i molteplici possibilità nei valori i K al punto 0 (w efinisce la realizzazione particolare in cui si manifesta un ato valore i K nella posizione 0 ). Pertanto, la permeabilità K lungo l allineamento è una variabile ranom: in particolare, se questa è osservata nelle varie localizzazioni 1,,..., N, allora K( 1, w), K(, w),..., K( N, w), sono 5-35

36 Ultimo aggiornamento 30/04/013 tutte variabili ranom, ciascuna con una propria istribuzione i probabilità, che possono essere tra loro correlate. La probabilità i riscontrare una particolare sequenza, K(, w 1 ), nei valori i permeabilità lungo un allineamento ipene, quini, non soltanto alla funzione i ensità i probabilità (pf) i questa in una ata posizione, ma anche a quelle corrisponenti a altre posizioni, in quanto esistono ei legami forti tra il valore che assume il parametro in un punto e quello che assume nel punto aiacente. La istribuzione reale, i campo, ella permeabilità è allora una particolare elle infinite sequenze possibili. Naturalmente, nelle situazioni pratiche la pf congiunta ella variabile in esame non è ientificabile nel senso sopra inicato, in quanto si ha a isposizione un insieme i misure erivanti a un unica elle infinite sequenze possibili, cioè quella reale. Gli stuiosi hanno elaborato una tecnica che permette i eterminare le proprietà i un sistema parteno a questa singola realizzazione. Questo è possibile solo se sono rispettate ue proprietà: stazionarietà: una Ranom Function stazionaria in senso stretto soisfa il requisito per cui ogni proprietà statistica el processo in stuio (pf congiunta, meia, varianza) si mantiene costante nello spazio. ergoicità: presuppone che le caratteristiche statistiche 'insieme el processo possano essere esunte alla conoscenza el comportamento i una singola realizzazione. Una volta verificate queste ue ipotesi per rappresentare la variabilità ella funzione ranom si possono utilizzare in moo equipollent, la funzione covarianza o la funzione variogramma. La funzione covarianza esprime lo scarto che meiamente si osserva tra i valori elle granezze assunte in un punto e nei punti istanti h al punto stesso. Parteno alla meia o valore atteso i N osservazioni: n p i i= 1 V = ν (5.1) con p i probabilità i occorrenza ell evento n i, si può ricavare la varianza: e successivamente la covarianza: { V} = = [ V V ] Questa proprietà è funzione i h, per h=0 si ottiene la varianza el valore atteso cioè i Var σ (5.) { V ( ) V ( h ) } =< [ V ( ) < V ( ) > ] [ V ( h ) < V ( h > ] C ( h) = Cov ) (5.3)

37 Ultimo aggiornamento 30/04/013 { V ( ) V ( ) } = Var V ( ) C h = 0) = Cov ( (5.4) Y1 Y3 Y4 h1 Y h1 hn Yn-1 Yn 1. Valuto <Y> nel ominio. In ogni punto, calcolo Y'=Y-<Y> 3. Calcolo le varie istanze 1 e le ivio in classi 4. In ciascuna classe avrò un ato numero i punti e, quini, un certo numero i prootti Y'() Y'(y) 5. Per ogni classe calcolo il valore atteso (la meia) ei prootti elle fluttuazioni <Y'() Y'(y)> Covarianza 0 h1 h hn Figura 5.8 Variazione ella covarianza in funzione ella istanza h Segueno i cinque punti riportati nella Figura 5.8 si ricava, per ogni classe i istanza, un valore i covarianza. Questa funzione covarianza ha un massimo per h=0 in quanto non c è ifferenza tra il valore che assume il parametro nel punto e il punto stesso (non c è varianza). La funzione covarianza inica il grao i correlazione tra i valori ella proprietà al variare ella istanza tra i punti. Al crescere ella istanza h la covarianza può portarsi a zero più o meno rapiamente. Nel caso in cui c è il crollo immeiato ella covarianza non c è affinità tra quello che accae in un punto e quello che accae nei punti aiacenti a esso. Invece se la covarianza resta invariata si ha un legame tra la proprietà in un punto e un altro posto a una certa istanza h (le ifferenze sono più sfumate). 5-37

38 Ultimo aggiornamento 30/04/013 AFFINITA MAGGIORE Figura 5.9 Parentela tra covarianza e istanza L effetto el maggiore o minore grao i affinità riportato in Figura 5.9 sulla istribuzione i permeabilità è riportato in Figura 5.10 ove i valori i permeabilità sono espressi in tonalità i grigio. Evientemente in caso i minore affinità si osservano passaggi bruschi tra valori massimi e minimi i permeabilità. Aumenta l affinità Figura 5.10 La funzione variogramma consente i esprimere le stesse informazioni iscusse per la funzione covarianza. 1 1 ( h) = var h { V( h ) V( ) } = < { V( ) V( )} > γ (5.5) 5-38

39 Ultimo aggiornamento 30/04/013 La funzione covarianza e variogramma sono confrontate in Figura Figura 5.11 Diagramma i C(h) e g (h) I valori ella funzione variogramma, calcolata sulla base i rilievi isponibili, possono essere interpolati sulla base i funzioni analitiche semplici quali quelle espresse in (Figura 5.1). Figura 5.1 Esempi i funzioni variogramma Va osservato che i vario grammi sperimentali non partono a zero, per l effetto cosietto nuggett ovuto alla variabilità i piccola scala che non può essere risolta con le misure isponibili (Figura 5.13). La istanza alla quale i variogrammi iventano orizzontali è etta campo e rappresenta il limite spaziale oltre il quale rappresenta il limite spaziale oltre il quale il valore tra ue punti è praticamente scorrelato. 5-39

40 Ultimo aggiornamento 30/04/013 Figura 5.13 Esempi i funzioni variogramma La struttura ella variabilità spaziale che è stata trovata nel preceente paragrafo e in particolare la funzione variogramma consentono i ricreare realizzazioni ella fala reale aventi le stesse proprietà geostatistiche. Per svolgere questa operazione esistono programmi commerciali. Nessuna elle realizzazioni che ricreate è la realizzazione reale in quanto la probabilità i riuscire a trovare l esatta sequenza el ominio originario è praticamente nulla. Fatta questa operazione è possibile risolvere n problemi eterministici, in quanto è possibile stabilire la risoluzione ella minima istanza inagata con l analisi statistica, eterminano n soluzioni el problema. Si stabiliscono ei criteri (a es. meia ella soluzione ottenuta, intervalli fiuciari) per verificare quanto è cambiato il fenomeno tra una singola realizzazione e l altra. Quini se alla fine non si è in grao i raggiungere una efinizione eterministica el campo naturale si può almeno affermare che esso si trova a ±s rispetto alla meia i tutti i possibili valori ella funzione ranom. 5-40

41 Ultimo aggiornamento 30/04/ Moellazione numerica La possibilità i una caratterizzazione stocastica egli acquiferi ha aperto grani prospettive ai metoi i moellazione numerica egli acquiferi. Esistono infatti numerosi problemi i iraulica elle acque sotterranee nei quali la schematizzazione i mezzo omogeneo equivalente risulta insufficiente a ottenere risposte ingegneristicamente utili. Il principale i questi problemi è quello legato alla qualità elle acque sotterranee in quanto il movimento e la ispersione egli inquinanti sono fortemente legati alla variabilità elle proprietà locali el mezzo poroso, tra le quali le proprietà irauliche. Il presupposto alla moellazione numerica è in questi casi la consapevolezza ella impossibilità i eterminare la conoscenza in tutti i punti ella fala el valore assunto alla proprietà in esame, a esempio la permeabilità. Anziché iniviuare arbitrariamente il valore i questa proprietà nei punti ella fala compresi tra i punti i misura attraverso tecniche i interpolazione, si preferisce utilizzare le proprietà geostatistiche preceentemente introotte e eterminabili se si ispone i un aeguato numero i misure. La conoscenza elle proprietà statistiche complessive el mezzo -meia, varianza- e ella funzione interpolare ei punti el variogramma, consentono i generare singole realizzazioni ell'acquifero (a esempio meiante il software PMWIN i Moflow, o altri). Su ciascuna ì-esima realizzazione è possibile, quini, risolvere il campo i moto meiante le equazioni ell'iraulica ei mezzi porosi (mezzo saturo o parzialmente saturo, moto permanente o moto vario) e in maniera isaccoppiata le equazioni i trasporto el soluto. Figura 5.14 Schema i moellazione numerica calcolo i-esimo 5-41

42 Ultimo aggiornamento 30/04/013 La risposta al problema iraulico verrà fornita in termini probabilistici, in quanto si potrà ottenere per ciascuna granezza iraulica el campo i moto (quota piezometrica, velocità, concentrazione) la meia elle soluzioni elle N realizzazioni consierate e lo scarto quaratico meio. La statistica ci fornirà le probabilità relative al comportamento el campo i moto reale. Questo metoo i risoluzione, etto Montecarlo, consente i ottenere stime accurate ella meia già opo un numero abbastanza riotto i iterazioni (Figura 5.14). Figura 5.15 Legame tra valore meio e numero i iterazioni 5-4

43 Ultimo aggiornamento 30/04/ Equazioni inefinite 6.1. Equazioni inefinite el moto Si consieri un prisma elementare i terreno (Figura 6.1) nell ipotesi i mezzo poroso ineformabile Figura 6.1 Prisma elementare Il volume el fluio nel parallelepipeo è: ove n=v v /V tot è la porosità. La massa el fluio nel parallelepipeo è: nyz (6.1) nρ yz (6.) Valutiamo le forze che contribuiscono all equilibrio inamico el volume i fluio contenuto nel cubetto. FORZE i SUPERFICIE Si ricavi il termine elle forze i superficie al contorno el volume elementare. - Azione el fluio sui pori 6-43