Anno 3. Classificazione delle funzioni

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1 nno 3 Classificazione delle funzioni 1

2 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse. l termine della lezione sarai in grado di: descrivere le funzioni iniettive descrivere le funzioni suriettive descrivere le funzioni biunivoche determinare la funzione inversa di una funzione determinare la funzione composta di due funzioni In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su di esse. l termine della lezione sarai pertanto in grado di: descrivere le funzioni iniettive, suriettive e biunivoche, determinare le funzioni inverse e determinare la funzione composta di due funzioni. 2

3 Definizioni e notazioni Si dice funzione da a ogni corrispondenza fra i due insiemi che associ ad ogni elemento di uno e un solo elemento di. Indichiamo la funzione f da in con i simboli suo codominio. f : dove è detto dominio di f e il Considerato l elemento x nell insieme, indichiamo con y l elemento in che la funzione f associa ad x. llora scriviamo y=f(x) e diciamo che y è immagine di x x è controimmagine di y x f y Ricordiamo che una funzione da a è una corrispondenza che ad ogni elemento di associa uno ed un solo elemento di. Per indicare che f è una funzione da in si scrive f :. è il dominio della funzione, è il codominio. Considerato l elemento x in, indichiamo con y l elemento in che la funzione f associa ad x. llora scriviamo y=f(x) e diciamo che y è l immagine di x e x è la controimmagine di y. 3

4 Le proprietà delle funzioni Le funzioni, come ogni oggetto matematico, hanno delle proprietà; inoltre, con le funzioni e tra le funzioni, si possono stabilire alcune particolari operazioni. Prima di esaminare nel dettaglio proprietà e operazioni, facciamoci un idea generale. Proprietà: iniettiva: riguarda il numero di controimmagini di ogni elemento del codominio suriettiva: riguarda la relazione tra il codominio della funzione e l insieme di arrivo biunivoca: riunisce le due proprietà precedenti Operazioni: funzione inversa: è un operazione che si esegue su una sola funzione, se possibile; infatti non tutte le funzioni sono invertibili composizione di funzioni: è un operazione tra due funzioni, possibile sotto certe condizioni, che dà come risultato una terza funzione Le funzioni, come ogni oggetto matematico, hanno delle proprietà. Inoltre, con le funzioni e tra le funzioni, si possono stabilire alcune particolari operazioni. Prima di esaminare nel dettaglio proprietà e operazioni, formiamoci un idea generale. Le proprietà che studieremo sono: la proprietà iniettiva, che riguarda il numero di controimmagini di ogni elemento del codominio, la proprietà suriettiva, che riguarda la relazione tra il codominio della funzione ed il suo insieme di arrivo e la proprietà biunivoca, che riunisce le due proprietà precedenti. Per quanto riguarda le operazioni studieremo: la funzione inversa, che è un operazione che si esegue su una sola funzione, se possibile. Premettiamo già che non tutte le funzioni sono invertibili; la composizione di funzioni è un operazione tra due funzioni che, sotto certe condizioni, dà come risultato una terza funzione che unisce le due di partenza. 4

5 Le funzioni iniettive Una funzione da in si dice iniettiva se ogni elemento di è immagine al più di un elemento di. due elementi distinti dell insieme corrispondono due elementi distinti dell insieme. In simboli: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Tracciando il grafico della funzione, una qualsiasi retta orizzontale taglia il grafico al più in un punto. Non iniettiva Iniettiva Non iniettiva Iniettiva Quando una funzione di dice iniettiva? Una funzione da in si dice iniettiva se ogni elemento di è immagine al più di un elemento di. Vediamo come si può tradurre praticamente questa definizione. due elementi distinti dell insieme corrispondono due elementi distinti dell insieme. In simboli scriveremo che, x x f x ) f ( ). 1 2 ( 1 x2 Nelle figure, si vedono due esempi: il primo caso riporta una funzione non iniettiva, in quanto a due elementi distinti del dominio è associato lo stesso elemento del codominio. Nel secondo caso, invece, la funzione è iniettiva. Il grafico di una funzione iniettiva è attraversato da una qualsiasi retta orizzontale in al più un punto. In tal modo possiamo verificare che il primo grafico rappresenta una funzione non inettiva. 5

6 Le funzioni suriettive Una funzione da in si dice suriettiva se ogni elemento di è immagine di almeno un elemento di. Su ogni elemento di arriva almeno una freccia nella rappresentazione sagittale. In simboli: y x t. c. y f ( x) Tracciando il grafico della funzione, una qualsiasi retta orizzontale taglia il grafico almeno in un punto. Non suriettiva Suriettiva Non suriettiva Suriettiva Quando una funzione di dice suriettiva? Una funzione da in si dice suriettiva se ogni elemento di è immagine di almeno un elemento di. nche in questo caso analizziamo le conseguenze di questa definizione. Su ogni elemento di arriva almeno una freccia nella rappresentazione sagittale. In simboli scriveremo y x t. c y f ( x). Questo ci permette di distinguere subito una funzione non suriettiva, come nel primo disegno, in cui in c è un elemento a cui non arrivano frecce, da una funzione suriettiva, come quella del secondo disegno, in cui ad ogni elemento di arriva una freccia. Notiamo che operando un opportuna restrizione dell insieme si può sempre rendere una funzione suriettiva. 6

7 Le funzioni biunivoche Una funzione da in si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva. Tra e si può stabilire una corrispondenza uno a uno. y x t. c. y f ( x) Tracciando il grafico della funzione, una qualsiasi retta orizzontale taglia il grafico esattamente in un punto. Non biunivoca Non biunivoca iunivoca iunivoca Quando una funzione si dice biunivoca? Una funzione da in si dice biunivoca o biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. La prima conseguenza è che tra e si può stabilire una corrispondenza uno a uno. In simboli scriveremo che, per ogni y elemento di, esiste una ed una sola x in tale che y è uguale ad f di x. Questo permette di distinguere rapidamente una funzione non biunivoca da una biunivoca, guardando la rappresentazione sagittale. 7

8 Le funzioni inverse Data una funzione f biunivoca da in, tale che per ogni x in, y=f(x) è la sua immagine in, si dice funzione inversa di f la funzione da in che a ogni elemento y in associa x in. 1 1 In simboli, la funzione inversa si indica con f :, e si scrive che x f ( y ). x f y Da un punto di vista pratico, data la funzione scritta come y=f(x), bisogna cercare di raccogliere e isolare la x, esprimendola in funzione di y. Esempio: f 1 y 5 1 y 5 f ( x) y 3x 5 x f ( y) Solitamente si sostituiscono x e y, ottenendo: ( ) x f 1 x. 3 Vediamo ora come si definisce la funzione inversa di una funzione. Data una funzione f biunivoca da in, tale che per ogni x in, y=f(x) è la sua immagine in, si dice funzione inversa di f la funzione da in che a ogni elemento y in associa x in. In simboli, la funzione inversa si indica con un f -1 e si scrive x= f -1 (y) è la variabile dipendente dalla variabile y. Da un punto di vista operativo, data la funzione y=f(x) bisogna cercare di esprimere x in funzione di y. Per esempio, nella funzione y=3x-5, con semplici passaggi algebrici si ottiene che x=(y+5)/3. Solitamente, poi si sostituiscono di nuovo la x e la y riscrivendo formalmente la funzione con la x come variabile indipendente. 8

9 La composizione di funzioni Date due funzioni f : e g : C, la funzione composta g f è una funzione da in C ottenuta con la seguente procedura: preso un elemento x di si determina la sua immagine y secondo la funzione f il valore f(x) è un valore di e sarà l oggetto per la funzione g, cioè la g(y) sarà proprio g(f(x)) Notiamo che, per poter considerare la funzione composta g f, è assolutamente necessario che il codominio della funzione f sia contenuto con il dominio della funzione g. C f g x f (x) y z g f (x) g f Se e C sono uguali, allora si può realizzare anche la composizione composizione non è commutativa, cioè f g g f. f g, ma in generale la Occupiamoci, infine, della composizione di funzioni. Date due funzioni f da in e g da in C, la funzione composta g o f è una funzione da in C ottenuta con la seguente procedura: preso un elemento x di si determina f(x); si determina quindi z, l immagine di y secondo la funzione g; La funzione g o f fa corrispondere all elemento x l elemento z C. È molto importante notare che, per poter considerare la funzione g o f, il codominio di f deve essere contenuto nel dominio di g. Nella rappresentazione si vede che la funzione f associa a x l elemento y=f(x) e la funzione g associa a f(x) l elemento z=g(f(x)). La funzione composta associa direttamente all elemento x l immagine z. Se e C sono uguali e se il codominio di g è contenuto nel dominio di f allora si può realizzare anche la composizione f o g, ma in generale, la composizione non è commutativa. 9

10 Conclusione Le Funzioni: Proprietà e Operazioni Iniettive Suriettive Composizione di funzioni iunivoche Funzione inversa Ricapitoliamo quanto visto in questa lezione su proprietà delle funzioni e operazioni tra esse. Inizialmente, abbiamo definito cos è una funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva o biunivoca. Successivamente, abbiamo visto che nel caso delle funzioni biiettive è possibile definire la funzione inversa e ne abbiamo fornita la corrispondente definizione. Infine, abbiamo studiato la composizione di due funzioni. 10