Laboratorio di Informatica

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1 Laboratorio di Informatica Metodologie, Tecnologie e Strumenti per l automatizzazione dell informazione Corso di Laurea «Scienze dell Educazione» AA Prof. Giorgio Poletti giorgio.poletti@unife.it

2 Self-Portrait in Spherical Mirror (Escher 1935) «Le predizioni sono molto difficili, specialmente per il futuro.» Niels Bohr

3 DEIGRAFIERETI I 4 Problemi Fondamentali Il problema dei PONTI DI KÖNIGSBERG Il problema del COMMESSO VIAGGIATORE Il problema TRE CASE E TRE FORNITURE Il problema dei QUATTRO COLORI

4 B A D C Il problema dei ponti di Königsberg e problemi correlati (L ottavo ponte del principe blu) Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti cittadini con l'aiuto della teoria dei grafi, si convince dell'impossibilità di passare i ponti. Decide allora di costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la sera di passare i ponti partendo dal suo Schloß (castello) e finendo alla Gasthaus (osteria) dove potersi vantare della sua riuscita; e inoltre fa in modo che il principe Rosso non riesca a fare altrettanto a partire dal suo Schloß.. Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu? La città di Königsberg, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. Ci si pone la questione se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. B A D C Il nono ponte del principe Rosso Il decimo ponte del Vescovo

5 G 12 Il problema del commesso viaggiatore Data una rete di città, connesse tramite delle strade, trovare il percorso di minore lunghezza che un commesso viaggiatore deve seguire per visitare tutte le città una e una sola volta. 25 B A D 13 E 8 DEI GRAFI: dato un grafo completo pesato, trovare il ciclo hamiltoniano con peso minore Problema tipico per lo studio dell informatica teorica e della teoria della complessità (detta anche Teoria K-C-S da Kolmogorov, Chaitin e Solomonoff) 12 C 13 F 53 Rete di città rappresentata in G città nodi strade archi distanze i pesi sugli archi

6 DEIGRAFIERETI Il problema delle tre casette e delle tre forniture Si possono collegare tre case a tre fornitori senza che strade-tubature-cavi che le connettono si incrocino? Qual è il numero minimo di incroci che si devono fare? DEI GRAFI: dato un grafo completo bipartito, con tre nodi per ognuna delle due parti è planare? Qual è il numero minimo di intersezioni tra gli archi?

7 Il teorema nasce come congettura Una CONGETTURA (dal latino coniectūra, verbo conīcere, interpretare, dedurre, concludere) è una affermazione fondata sull'intuito, ritenuto probabilmente vero, ma non dimostrato. Il problema dei quattro colori Data una superficie piana divisa in regioni connesse, come ad esempio una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno un segmento di confine in comune. DEI GRAFI: i nodi di un grafo planare possono essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due vertici adiacenti non ricevano mai lo stesso colore (ogni grafo planare è 4-colorabile)

8 I 4 PROBLEMI FONDAMENTALI: principali applicazioni (1/2) DISTRIBUZIONE, CONTROLLO E MANUTENZIONI DI RETI I PONTI DI KÖNIGSBERG elettriche, idriche o stradali OTTIMIZZAZIONE DI PERCORSI distribuzione della posta (Chinese Postman's Problem) IL COMMESSO VIAGGIATORE FLUSSI DI MERCI distribuzione merci tra magazzini, clienti e fornitori MINIMIZZAZIONE DI PERCORSI percorso più breve tra due città

9 I 4 PROBLEMI FONDAMENTALI: principali applicazioni (2/2) LAYOUT DI RETI LE TRE CASE E LE TRE elettriche, idriche, stradali e circuiti stampati FORNITURE LAYOUT RETI TELMATICHE connessione e collegamento tra computer (client e server) I 4 COLORI TEST DI CONTROLLO Circuiti stampati ALLOCAZIONI E ASSEGANZIONI registri CPU e frequenze radiotelevisive

10 DEIGRAFIERETI Il problema del commesso viaggiatore, Problemi SP (Short Path Cammino Minimo) Flussi di Merci: distribuzione merci tra magazzini, clienti e fornitori Minimizzazione di percorsi: percorsi più «economici» tra località Dato un grafo completo con n nodi si indica K n K 4 K 4 GRAFO HAMILTONIANO se ammette un CAMMINO HAMILTONIANO. CAMMINO HAMILTONIANO è cammino, in un grafo semplice, che passa (visita) una ed una sola volta ogni nodo. Se il nodo di partenza e il nodo di arrivo coincidono CICLO HAMILTONIANO.

11 Il problema del commesso viaggiatore, Problemi SP (Short Path Cammino Minimo) Flussi di Merci: distribuzione merci tra magazzini, clienti e fornitori Minimizzazione di percorsi: percorsi più «economici» tra località WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ), scienziato irlandese, inventò il gioco da tavola detto puzzle di hamilton (ICOSIAN GAME)

12 Il problema del commesso viaggiatore, Problemi SP (Short Path Cammino Minimo) Flussi di Merci: distribuzione merci tra magazzini, clienti e fornitori Minimizzazione di percorsi: percorsi più «economici» tra località Il TEOREMA DI DIRAC definisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un grafo con n vertici sia hamiltoniano: il grado di ogni vertice (cioè il numero di spigoli adiacenti) deve essere maggiore o uguale a n / 2. Grafo con n nodi e grado di ogni nodo n/2 Teorema di Dirac Grafo hamiltoniano

13 «Dato un grafo pesato qual è il cammino che unisce 2 nodi (vertici) dati che è minimo rispetto al valore della somma dei costi (pesi) associati a ciascun arco?» Il problema del commesso viaggiatore, Problemi SP (Short Path Cammino Minimo) Flussi di Merci: distribuzione merci tra magazzini, clienti e fornitori Minimizzazione di percorsi: percorsi più «economici» tra località Soluzione Algoritmi di tracciamento di rotta (PATH ALGORITHM) Esempio l ALGORITMO DI DIJKSTRA (cammini con un solo nodo sorgente e archi pesati a valore non negativo) Telecomunicazioni (MIN-DELAY PATH PROBLEM) Curiosità: i 6 GRADI DI SEPARAZIONE ( DEL PICCOLO MONDO), concetto introdotto dallo scrittore ungherese Frigyes Karinthy in Catene, racconto del : analisi su 30 miliardi di sessioni chat (Messenger) su di persone, nel 78% dei casi la distanza media è 6,6 (max 29). Numero di Erdős (Paul Erdős) Numero di Bacon (Kevin Noordvood Bacon)

14 K4 regolare di grado 3 Il problema delle tre case e delle tre forniture Layout di reti: idriche, stradali, elettriche e circuiti stampati Layout di reti telematiche: connessione e collegamento tra computer (client e server) Un grafo completo con n nodi (Kn) è un grafo regolare di grado n-1. K sono i GRAFI DI KURATOWSKI (Kazimierz Kuratowski, matematico polacco) K3,3 Grafo Bipartito e Completo con 3+3 nodi

15 Il TEOREMA DI KURATOWSKI ci permette di dichiarare l impossibilità di generare 0 incroci e indicare 1 è il numero minimo. Il problema delle tre case e delle tre forniture K3,3 Schema del problema delle tre case e delle tre forniture (grafo bipartito e completo con 3+3 nodi) K3,3 Schema di possibile soluzione

16 DEIGRAFIERETI Il problema dei quattro colori Test di controllo: circuiti stampati Allocazioni e assegnazioni: registri CPU e frequenze radiotelevisive Congettura di Francis Guthrie 1852 Articolo di Arthur Cayley 1879 Pseudo dimostrazioni: Alfred Kempe; Peter Tait 1879 Dimostrazione definitiva Kenneth Appel e Wolfgang Haken (Università dell Illinois) 1977 Riduzione delle infinite mappe a e poi configurazioni possibili verificate da computer