INDICE. 1 Introduzione Trasmissione analogica in banda base Trasmissione analogica in banda traslata... 72

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1 INDICE MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI UNIÀ 1 Nozioni di base di eoria dei segnali... 1 Inroduzione... 3 Segnali deerminai nel dominio del empo Classificazione dei segnali deerminai Proprieà dei segnali deerminai Esempi di segnali deerminai Campionameno e quanizzazione Campionameno naurale Segnali deerminai nel dominio della frequenza Sviluppo in serie di Fourier per segnali periodici Sviluppo in serie di Fourier per segnali non periodici Proprieà della rasformaa di Fourier Banda di un segnale Spero di un segnale campionao Segnali aleaori Valor medio e sazionarieà... 3 In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Sisemi fisici Inroduzione Sisemi lineari Sudio dei sisemi lineari nel dominio del empo Risposa impulsiva Sudio dei sisemi lineari nel dominio della frequenza Sisema lineare ideale: condizioni di non disorsione lineare Sisema lineare reale: larghezza di banda Sisemi non lineari e disorsione armonica In sinesi Verifica dell unià... 5 UNIÀ 3 Rumore nei sisemi di elecomunicazione Inroduzione... 5 Rumore inerno e rumore ermico Poenza disponibile di rumore Banda equivalene di rumore emperaura equivalene di rumore Figura di rumore Figura di rumore e emperaura equivalene di rumore di n quadripoli in cascaa Rapporo segnale/rumore Rumore di origine eserna emperaura di rumore di anenna... 6 In sinesi Verifica dell unià MODULO RASMISSIONE ANALOGICA UNIÀ 1 rasmissione in banda base e in banda raslaa Inroduzione rasmissione analogica in banda base rasmissione analogica in banda raslaa... 7 In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Modulazione analogica Inroduzione Modulazioni lineari Modulazione di ampiezza (AM) Modulazione DSB Modulazione SSB Sisemi per oenere la modulazione lineare Demodulazione dei segnali AM Demodulazione lineare: rivelaore a inviluppo Demodulazione quadraica Demodulazione di segnali DSB III

2 INDICE 4 Modulazioni angolari Modulazione di frequenza Modulazione di fase Sisemi per oenere la modulazione di frequenza e di fase Modulazione direa Modulazione indirea: modulaore di Armsrong Demodulazione di frequenza e di fase Phase Locked Loop (PLL) Il rumore nelle modulazioni AM e FM rasmissione FDM In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 3 Radiorasmeiori e radioriceviori Inroduzione... 1 Radiorasmeiori AM Radiorasmeiori FM Radioriceviori ad amplificazione direa Radioriceviori supereerodina Circuii a radiofrequenza Circuii a frequenza inermedia Circuii di bassa frequenza: radioriceviori supereerodina AM ed FM In sinesi Verifica dell unià MODULO 3 RASMISSIONE NUMERICA UNIÀ 1 eoria dell informazione Inroduzione Misura dell informazione Enropia della sorgene Ridondanza Codifica di sorgene Codifica di canale Codifica ARQ (Auomaic Repea reques) Codifica FEC (Forward Error Correcion) Codifica di linea In sinesi Verifica dell unià UNIÀ rasmissione numerica in banda base Inroduzione Caraerizzazione del canale di rasmissione Crierio di Nyquis e velocià di modulazione Equalizzazione Velocià di rasmissione. Codici mulilivello Capacià di canale Codifica di linea Codici inerni Codici di linea Rumore nelle rasmissioni numeriche in banda base Jier Diagramma a occhio Ricosruzione della sequenza originale In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 3 rasmissione numerica in banda raslaa Inroduzione Modulazioni numeriche Modulazioni numeriche lineari Larghezza di banda di un segnale modulao linearmene Modulazione ASK Demodulazione ASK Modulazione npsk Modulazione PSK o bifase Demodulazione coerene PSK Esrazione del riferimeno di fase: loop di Cosas Codifica differenziale (DPSK) Modulazione PSK mulilivello Modulazione 4PSK Codifica differenziale 4PSK (D-4PSK) Demodulazione 4PSK Modulazione 8PSK Demodulazione 8PSK Spero del segnale npsk Modulazione 16-QAM Modulaore 16-QAM Demodulazione 16-QAM Modulazioni numeriche non lineari Modulazione FSK Demodulazione FSK... 1 In sinesi Verifica dell unià IV

3 INDICE MODULO 4 MEZZI RASMISSIVI RADIOELERICI UNIÀ 1 Poni radio erresri... 1 Inroduzione... 1 Propagazione delle microonde rasmissione nello spazio libero: formula di Friis del collegameno.... rasmissione in condizioni reali Ellissoide di Fresnell Effeo della curvaura erresre Effeo della roposfera Fenomeni di fading Calcolo di un collegameno radio Disponibilià di un collegameno radio. Margine di fading Rapporo segnale/rumore all ingresso del riceviore Radiocollegameni numerici ecniche di diversià Diversià spaziale Diversià in frequenza Apparai di un collegameno in pone radio rasmeiore Riceviore In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Saellii per elecomunicazioni Inroduzione Cenni di meccanica spaziale Orbia geosazionaria Il sisema saellie Aspei meccanici Aspei relaivi alle elecomunicazioni Configurazioni del ransponder Aenuazione di spazio libero Apparecchiaure di bordo ecniche di accesso muliplo ecnica FDMA (Frequency Division Muliple Access) ecnica DMA (ime Division Muliple Access) ecnica SDMA (Space Division Muliple Access)... 6 In sinesi Verifica dell unià MODULO 5 RASMISSIONE E COMMUAZIONE NUMERICA UNIÀ 1 ecnica di rasmissione PCM Cenni sorici Sisemi a divisione di empo rasformazione di un segnale analogico in un segnale numerico Campionameno rasferimeno e memorizzazione dei campioni Quanizzazione Codifica Sruura della rama e della mulirama PCM Segnale PCM compleo e rasmissione in linea Ricezione del segnale PCM ed esrazione del clock Decodifica Ricosruzione del segnale originario In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Muliplazione di segnali numerici Inroduzione... 9 Muliplazione numerica Muliplazione asincrona Gerarchia numerica sincrona: sisemi SDH Livelli gerarchici Formazione del modulo base SM Sruura della rama In sinesi Verifica dell unià... 3 UNIÀ 3 Commuazione a divisione di empo Inroduzione Commuazione a divisione di empo analogica Funzionameno ciclico-aciclico Funzionameno aciclico-aciclico Commuazione numerica Marice monosadio emporale () Marice bisadio empo-spazio (S) e spazio-empo (S) Marice risadio empo-spazio-empo (S) In sinesi Verifica dell unià V

4 INDICE MODULO 6 RASMISSIONE DAI UNIÀ 1 rasmissione dai: cenni inroduivi Inroduzione Configurazione di un sisema di rasmissione dai rasmissione dai sulla ree elefonica Principio di funzionameno del modem Colloquio ra erminale e modem Insaurazione di un collegameno dai su ree elefonica commuaa Modem fonici Sruura di un modem fonico Caraerisiche dei modem fonici Modem in banda base Modem inelligeni rasmissione dai su rei dedicae ipologie di collegameno Limii della rasmissione dai su rei dedicae In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Proocolli di comunicazione Inroduzione Archieura a srai Elemeni dell archieura di una comunicazione Unià informaive Modello di riferimeno OSI Srai del modello OSI Proocolli di livello 1. Inerfaccia V Circuii della serie Colloquio modem-de Disposiivo di risposa auomaica (DRA) Disposiivo di chiamaa auomaica (DCA) Circuii della serie Colloquio DCA-DE Raccomandazione V Proocolli di livello rasmissione sincrona e asincrona Proocollo asincrono sar-sop Proocolli sincroni orienai al caraere: il proocollo BSC Proocolli sincroni orienai al bi: il proocollo HDLC Sruura delle rame HDLC Esempi di procedure di colloquio HDLC In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 3 rasmissione dai: l evoluzione Limii del collegameno elefonico per la rasmissione dai Buffer per la memorizzazione emporanea dei dai Velocià di rasmissione La compressione dell informazione mulimediale Compressione d immagini fisse Compressione di filmai audio-video Applicazioni mulimediali In sinesi Verifica dell unià MODULO 7 REI DI ELECOMUNICAZIONI UNIÀ 1 Sruura delle rei di elecomunicazioni opologia di una ree di elecomunicazioni ipologia dei servizi di una ree di elecomunicazioni Caraerisiche delle sorgeni di informazione Segnalazione in una ree a commuazione di circuio La segnalazione a canale comune In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Rei a paccheo Inroduzione Rei a commuazione di messaggio Rei a commuazione di paccheo Sruura di una ree a paccheo Servizio daagramma o a pacchei isolai Servizio a chiamaa viruale (VC) o a pacchei unii Raccomandazione X Livello fisico (livello 1) Livello di rama (livello ) Livello di paccheo (livello 3) In sinesi Verifica dell unià VI

5 INDICE UNIÀ 3 Ree ISDN Inroduzione Modalià di accesso alla ree ISDN erminazioni di ree rasmissione sul doppino elefonico Proocolli ISDN Livello Livello Livello Principali servizi della ree ISDN In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 4 Rei locali (LAN) Generalià Rei locali opologia di una LAN opologia a bus opologia a sella opologia ad anello opologia ibrida Mezzi rasmissivi uilizzai nelle rei LAN Cavi in rame Il modello IEEE IEEE 8.1 (archieura del modello IEEE 8) IEEE 8. (Il soolivello LLC) IEEE 8.3 (CSMA/CD) IEEE 8.4 (oken Bus) IEEE 8.5 (oken Ring) IEEE FDDI La ree Eherne e lo sandard IEEE Lo sandard Eherne Lo sandard IEEE Hub Funzioni di un hub Bridge e swich Bridge Swich La ree Fas Eherne Archieura dello sandard 1 Base Diamero della ree Hub a 1 Mbi/s La ree Gigabi Eherne Archieura della Gigabi Eherne Base-X Base Diamero della ree, carrier exension e frame bursing La ree oken Ring e lo sandard IEEE rasmissione dei pacchei Acive monior Priorià di accesso Wireless LAN Archieura di una WLAN Lo sandard Inegrazione con il sisema operaivo Sicurezza Sruura proocollare In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 5 Proocollo CP/IP e inerneworking Suie di proocolli CP/IP Livello di inerfaccia di ree Livello di Inerne Livello di rasporo Livello di applicazione Archieura del CP/IP Documeni RFC (Reques For Change) Proocolli del livello Inerne versione L ARP Il proocollo RARP Inerne Proocol versione 4 (IPv4) Il proocollo ICMP rasmissione mulicas Proocolli del livello di rasporo Il proocollo CP Il proocollo UDP L inerneworking Sorgene e desinazione sulla sessa ree Sorgene e desinazione su rei diverse. Processo di rouing Caraerisiche fondamenali dei proocolli di rouing Suddivisione in aree Inerior Gaeway Proocol (IGP) ed Exerior Gaeway Proocol (EGP) Configurazione auomaica degli indirizzi IP BOOP DHCP Sicurezza in ree IPSec NA VPN VII

6 INDICE In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 6 Inerne Inroduzione La sruura clien/server e i proocolli specifici dei servizi Inerne Procedura di comunicazione su Inerne L indirizzameno in Inerne Il DNS Lo spazio dei nomi Nomi di dominio Sruura del DNS Classificazione dei name server Principio di funzionameno del DNS Caching Formao dei messaggi Ricerca inversa Regisrazione di un dominio Il VoIP Inerne e la ree PSN I proocolli sandard VoIP I servizi di Inerne In sinesi Verifica dell unià UNIÀ 7 Rei inegrae a banda larga Inroduzione ecniche AM Celle AM Ree AM Connessioni AM Muliplazione e commuazione AM Rei di accesso a larga banda ecnologia xdsl In sinesi Verifica dell unià MODULO 8 ELEFONIA CELLULARE UNIÀ 1 Le basi dei sisemi radiomobili Inroduzione Principali sisemi radiomobili adoai in Ialia Aspei funzionali di una ree radiomobile ecniche di accesso Riuilizzo delle frequenze Gesione della mobilià Inerferenze ra canali ecniche di coperura In sinesi Verifica dell unià UNIÀ Sisemi radiomobili Sisema RMS Archieura della ree Mobile Saion (MS) Canali radio e loro uilizzazione Procedura di chiamaa Sisema GSM Caraerisiche del sisema Archieura della ree Mobile Saion (MS) Aspei relaivi alla numerazione Soosisema radio Sisema UMS Caraerisiche del sisema ecniche di accesso... 6 In sinesi... 6 Verifica dell unià SOLUZIONI INDICE ANALIICO VIII

7 PRESENAZIONE La nuova edizione del Corso di elecomunicazioni è moivaa sia dalla necessià di aggiornare e rinnovare i conenui per rispondere alla cosane evoluzione del sisema delle elecomunicazioni, sia dalla scela di proporre un eso in edizione misa (volumi + maeriale in formao digiale), in aderenza alle receni indicazioni miniseriali. Il corso, sruurao in due volumi e in un CD-ROM, propone un percorso formaivo che evidenzia gli aspei fondani della disciplina e ne mee in luce i caraeri più innovaivi, araverso una didaica aena ai rimi di apprendimeno degli sudeni. Il primo volume raa gli argomeni basilari delle elecomunicazioni, il secondo ha l obieivo di fornire agli sudeni una guida per lo sudio dei principi e delle ecniche su cui si basano i moderni sisemi di elecomunicazioni. La nuova edizione ripropone la suddivisione in Moduli e Unià del eso precedene. L apparao didaico, già consisene nella prima edizione, è sao uleriormene poenziao. Ciascuna Unià si apre con una pagina in cui sono espliciai prerequisii e obieivi e si chiude con una sinesi e un breve es di verifica; una ricca sezione di esercizi risoli e proposi relaivi ai conenui raai nell unià è riporaa nel CD-ROM. Il CD-ROM è pare inegrane del corso e coniene maeriale uile per il consolidameno e la verifica dell apprendimeno. È suddiviso in: una sezione di Esercizi e Verifiche in cui sono riporai gli esercizi risoli e proposi di ciascuna unià, esercizi riepilogaivi di modulo, es e verifiche di modulo, emi d Esame svoli e simulai; una sezione di Approfondimeni, in cui vengono approfondii aspei ecnici, sorici e normaivi, che consene agli sudeni di personalizzare i percorsi di apprendimeno; una sezione di Laboraorio che propone una serie di approfondimeni ecnico praici (laboraorio di misure, laboraorio CISCO, laboraorio di radioecnica) e le radizionali Eserciazioni di laboraorio da svolgere secondo due diverse meodologie: il laboraorio reale e il laboraorio viruale che uilizza il programma di simulazione VisSimm/Comm, mediane il quale è possibile effeuare l analisi dei circuii araverso modelli che ne simulano il comporameno. IX

8 PRESENAZIONE A Simone e Michela Il progresso oggi percorre rapidissimo la sua srada, lasciando alle spalle chi non lo segue o chi crede di essere arrivao al massimo del suo sapere. Guai a chi si ferma. Da quell isane l uomo, anche se giovane, invecchia rapidamene, menre si manerrà sempre giovane, anche in arda eà, chi avrà sapuo cosanemene aggiornarsi. Il Volume ha l obieivo di fornire agli sudeni una guida allo sudio dei principi e delle ecniche su cui si basano i moderni sisemi di elecomunicazioni, con riferimeno all evoluzione verso le ecniche di inegrazione dei servizi; è cosiuio da 8 Moduli, suddivisi complessivamene in 6 Unià. Nel primo Modulo sono illusrae le principali proprieà dei segnali deerminai e aleaori, le caraerisiche dei sisemi di elecomunicazione e le problemaiche legae al rumore. Il secondo Modulo è dedicao alla rasmissione analogica, in banda base e in banda raslaa, con paricolare riferimeno alle modulazioni di ampiezza, di frequenza e di fase, alla ecnica di rasmissione FDM e alle caraerisiche dei radioriceviori e dei radiorasmeiori. Nel erzo Modulo, olre alla eoria dell informazione, nella quale sono affronai problemi relaivi alle codifiche di sorgene, di canale e di linea, vengono analizzae le problemaiche relaive alla rasmissione numerica in banda base e in banda raslaa, con paricolare riguardo alle modulazioni numeriche (ASK, PSK, FSK, QAM), di primaria imporanza nelle elecomunicazioni. Il quaro Modulo è dedicao allo sudio dei sisemi saelliari e in pone radio, all analisi della propagazione delle microonde e alla progeazione di una raa radio. Nel quino Modulo sono raai i sisemi PCM e le ecniche di muliplazione e commuazione numerica. Nel seso Modulo sono analizzai i sisemi di rasmissione dai, con approfondimeni sui modem fonici e in banda base e sui proocolli di rasmissione. Il seimo Modulo presena le rei numeriche di elecomunicazioni aualmene in esercizio, come la ree a commuazione di paccheo, la ree ISDN, le rei LAN, le rei IP, Inerne, le rei a larga banda in ecnica AM e i sisemi numerici su rame, con paricolare riguardo ai sisemi HDSL e ADSL. L oavo Modulo è dedicao alla elefonia cellulare, con l analisi dei sisemi RMS 9, GSM e UMS. Desidero ringraziare la Casa Edirice per la cura posa nella pubblicazione di queso eso e ui coloro che, con suggerimeni e osservazioni, inenderanno conribuire al migliorameno dell opera. L Auore X

9 1 ELABORAZIONE MODULO DEI SEGNALI Unià 1 Unià Unià 3 Nozioni di base di eoria dei segnali Sisemi fisici Rumore nei sisemi di elecomunicazione COMPEENZE UN PO DI SORIA Acquisire le basi della eoria dei segnali. Comprendere le problemaiche relaive al rumore nei sisemi di elecomunicazione. L impiego dei segnali come mezzo di comunicazione è molo remoo e risale ai empi degli anichi Romani, i quali per conrollare il loro impero avevano realizzao una vera e propria ree di elecomunicazioni, uilizzando segnali luminosi generai da fuochi accesi su alure o orri. Nel XIX secolo, la rasmissione dell informazione poé avvalersi di un nuovo e poene supporo: l elericià. Nel 183, infai, Samuel Morse invenò il elegrafo elerico, mediane il quale poevano essere rasmessi dai codificai soo forma di impulsi elerici; in seguio, nel 1871, Anonio Meucci realizzò il primo elefono della soria che consenì la rasmissione vocale, geando le basi della elefonia. Quese due invenzioni, basae sul rasporo delle informazioni mediane una grandezza elerica variabile nel empo, denominaa segnale elerico, insieme alla scopera delle onde eleromagneiche e all avveno della rasmissione radio, si rivelarono fondamenali per lo sviluppo delle moderne elecomunicazioni.

10 1 U N I À NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI CONENUI 1. Inroduzione. Segnali deerminai nel dominio del empo 3. Segnali deerminai nel dominio della frequenza 4. Segnali aleaori PREREQUISII OBIEIVI Sapere Conoscere la rappresenazione caresiana di modelli maemaici o di espressioni in funzione del empo e della frequenza. Conoscere la rappresenazione grafica di un segnale in re dimensioni. Conoscere le operazioni maemaiche di derivazione, inegrazione, raslazione. Saper applicare semplici ed elemenari conoscenze saisiche a casi concrei. Conoscere le differeni ipologie di segnali. Conoscere i principali parameri di un segnale (ampiezza, valore di picco, periodo, frequenza, empo di salia, empo di discesa, duraa). Conoscere i concei di periodicià, campionameno e quanizzazione, anche in relazione a casi concrei (segnali). Sapere fare Saper racciare in un grafico l andameno ipico dei segnali corrispondeni a espressioni maemaiche. Saper rappresenare lo spero in frequenza di un segnale in funzione del empo. Saper rappresenare forma d onda e spero di un segnale prodoo da un processo di campionameno. Saper disegnare lo spero di un segnale in relazione al suo andameno nel empo e saperne inerpreare i parameri ipici.

11 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 1 In Inglese waveform forma d onda specrum spero Inroduzione Nel precedene volume del corso si è viso che per rasmeere informazioni su un sisema di elecomunicazioni si uilizza come mezzo di rasporo una grandezza elerica variabile nel empo, denominaa segnale, sulla quale viene caricaa l informazione. In praica esise una grande varieà di segnali, i quali possono essere classificai in funzione di come variano le loro caraerisiche nel empo: se si conosce l andameno del segnale in ogni isane, esso viene deo deerminao, menre se l andameno non è noo e se ne conoscono solano alcune caraerisiche saisiche, il segnale è deo aleaorio. Daa la naura profondamene diversa delle due ipologie di segnali, è evidene che per ognuna di esse è necessario uilizzare un approccio diverso: i segnali deerminai vengono infai sudiai con i radizionali mezzi maemaici, menre quelli aleaori con meodologie saisiche. ipici segnali aleaori sono il rumore e i disurbi di ogni genere che, sovrapponendosi al segnale che pora l informazione lungo la caena di rasmissione, possono dar luogo a inerpreazioni errae da pare del riceviore: il semplice sudio deerminisico non è quindi sufficiene a garanire una correa progeazione di un sisema di elecomunicazioni. Un qualsiasi segnale, sia esso deerminao o aleaorio, può essere sudiao sia nel dominio del empo sia nel dominio della frequenza. I grafici che ne derivano, riporando su un sisema di assi caresiani i valori isananei s() che il segnale assume in funzione del empo nel primo caso e i valori isananei s( f ) che il segnale assume in funzione della frequenza nel secondo caso, sono rispeivamene denominai forma d onda e spero. Segnali deerminai nel dominio del empo In queso paragrafo saranno analizzai i segnali deerminai nel dominio del empo, fornendo prima una classificazione in funzione delle caraerisiche della forma d onda e successivamene una descrizione delle proprieà fondamenali. Seguirà poi un analisi dei segnali di maggior ineresse nelle elecomunicazioni..1 Classificazione dei segnali deerminai In base alla propria forma d onda, un segnale deerminao può essere disino in coninuo e discreo. Un segnale è deo analogico o coninuo se la forma d onda che lo rappresena è una funzione coninua nel empo, cioè se può assumere in ogni isane un qualsiasi valore compreso ra un massimo e un minimo (fig. 1a). Un segnale è deo invece discreo se, a isani prefissai, può assumere un deerminao valore fra una serie di valori possibili, dei livelli (fig. 1b). Essendo possibile associare un valore numerico a ogni livello, i segnali discrei vengono chiamai anche numerici o digiali (dall inglese digi, che significa cifra). 3

12 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Occorre però evidenziare che esisono alcuni segnali che non apparengono né all una né all alra delle due suddee caegorie: è queso il caso dei segnali come quello mosrao in figura 1c, in cui la relaiva forma d onda presena uno o più puni di disconinuià laddove varia isananeamene ra due diversi valori. Il segnale di figura 1c non può essere considerao coninuo in quano presena puni di disconinuià, ma nemmeno discreo in quano la sua forma d onda ha andameno coninuo ranne nei puni di disconinuià. Non essendo quindi classificabili né come coninui né come discrei, chiameremo ali segnali semplicemene disconinui, proprio per evidenziare le disconinuià che essi presenano. s() s() s() 1 a) FIGURA 1 Esempi di segnali: coninuo (a), discreo (b) e disconinuo (c). b) c). Proprieà dei segnali deerminai Periodicià In Inglese period periodo frequency frequenza I segnali deerminai si possono suddividere nelle segueni due classi: segnali periodici; segnali aperiodici. Un segnale s() è deo periodico se, a inervalli di empo cosani, riprende a variare con le sesse modalià, cioè se esise un empo finio ale che: s() = s( + ) = s( + ) = s( + 3) = s( + n) [1] La caraerisica di periodicià deriva dal fao che il segnale assume valori uguali a inervalli di empo uguali, come mosrao in figura. L inervallo di empo, che viene misurao in secondi, prende il nome di periodo del segnale menre il numero di periodi al secondo rappresena la frequenza f del segnale s(), per cui si ha: f 1 [ ] FIGURA Segnale periodico: dopo un inervallo emporale pari al periodo esso riassume gli sessi valori. s() 4

13 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 Per un segnale periodico è perano sufficiene conoscere l andameno di un singolo periodo, dao che le forma d onda degli alri è idenica. Un segnale aperiodico invece non soddisfa l eq. [1] e la sua forma d onda non prevede periodi ripeiivi, come illusrao nella figura 3. s() FIGURA 3 Segnale aperiodico: si noi la complea assenza di periodi ripeiivi. Simmeria Un segnale deerminao s() si dice a simmeria pari rispeo all origine dei empi, se per ogni isane di empo risula (fig. 4a): s() = s( ) [3] menre si dice a simmeria dispari se (fig. 4b): s() = s( ) [4] s() = s(ñ) s() = ñs(ñ) FIGURA 4 Esempio di segnale pari (a) e di segnale dispari (b). a) b) Causalià Un segnale deerminao s() si dice causale se (fig. 5): s() = per < [5] s() FIGURA 5 Esempio di segnale causale. Più in generale si può affermare che un segnale è causale quando s() = per <, dove è un qualsiasi isane che può essere diverso da zero. In sosanza, la causalià esprime la caraerisica di un segnale deerminao che si annulla soo una prefissaa soglia emporale, menre al di sopra di essa assume valori non nulli. 5

14 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Duraa Un segnale deerminao s() si dice a duraa limiaa se esise un inervallo di empo finio ( 1, con 1 < ) ale che s() è nullo fuori da ale inervallo, cioè (fig. 6): s() = per < 1 e > [6] s() FIGURA 6 Esempio di segnale a duraa limiaa. 1 In praica esisono segnali che al di fuori di un inervallo emporale assumono valori almene piccoli, rispeo a quelli assuni al suo inerno, da poer essere rascurai: in quesi casi si considerano nulle le ampiezze inferiori a una prefissaa soglia γ, che può essere definia in funzione del livello assuno dal rumore, sempre sovrapposo al segnale. Si può allora supporre che la duraa del segnale sia limiaa all inervallo considerao, con l eq. [6] che rimane così valida. Valor medio Il valor medio di un segnale deerminao s(), calcolao nell inervallo di empo finio ( 1, ), con 1 <, rappresena il valore che il segnale mediamene assume in ale inervallo e viene così definio: V m 1 s 7 () d [ ] 1 1 Poiché, come noo dall analisi maemaica, l inegrale sd esprime l area oale 1 che la forma d onda del segnale s() deermina con l asse orizzonale enro l inervallo di empo Δ = 1, il valore medio V m rappresena l ordinaa che moliplicaa per il segmeno Δ fornisce un area (V m Δ) uguale a quella individuaa dalla forma d onda di s() nell inervallo Δ. Nella figura 7 l area del reangolo raeggiao rappresena dunque il ermine sd, () 1 () s() V m FIGURA 7 Valor medio di un segnale. 1 Δ 3 6

15 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 cioè l area deerminaa dall asse delle ascisse con la pare posiiva della forma d onda ra gli isani 1 e 3, meno quella deerminaa dall asse delle ascisse con il ramo negaivo della forma d onda compreso ra gli isani 3 e. Alernaivià Un segnale deerminao s() è deo alernaivo quando è periodico e ha valore medio nullo (V m = ); la sua forma d onda perano, in un inervallo di empo uguale al periodo, deermina rispeo all asse dei empi aree posiive uguali a quelle negaive, come mosrao nella figura 8. Poiché un segnale alernaivo ha valor medio nullo, viene considerao il valor medio in un semiperiodo, indicao con V m, la cui espressione analiica è la seguene: Vm = s () d [ 8] s() FIGURA 8 Esempio di segnale alernaivo. Energia e poenza Si definiscono energia E s e poenza P s di un segnale deerminao s() le segueni espressioni: E lim s () d s () d [ 9] s 1 Ps lim s () [ ] d 1 In Inglese energy signal segnale di energia power signal segnale di poenza Se l energia E s ha valore finio, cioè < E s <, il segnale si dice segnale di energia, menre se è la poenza ad avere valore finio, cioè < P s <, il segnale si dice segnale di poenza. Si può dimosrare che se un segnale è di energia, necessariamene risula P s =, menre nel caso di un segnale di poenza, deve essere E s =. I segnali a energia finia in praica sono cosiuii da impulsi isolai, dai quali non è possibile ricavare una poenza media, ma solo isananea, menre quelli a poenza finia forniscono una poenza uilizzabile. 7

16 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Esempio 1 Dao il segnale riporao nella figura 9: Soluzione a) verificarne la simmeria; b) calcolarne il valor medio; c) verificare se è un segnale di energia o di poenza. Δ a) Preso un isane ale che, poiché risula: s( ) = A Δ s() +A A + Δ + s( ) = A per l eq. [4] il segnale ha simmeria dispari. Δ FIGURA 9 b) Poiché l area posiiva S P e l area negaiva S N, formae dal segnale con l asse dei empi, sono uguali e pari a: S S A P N Δ il segnale è alernaivo e perciò il suo valor medio è nullo. c) Applicando l eq. [9] si ha: E s d A d A d A Δ s () Δ Δ Il segnale è quindi di energia (energia finia). Esempio Dao il seguene segnale: s() = Ae α con a > e < < D Soluzione a) verificare se è causale; b) calcolare il valor medio; c) verificare se è un segnale di energia o di poenza. a) L andameno del segnale in funzione del empo è del ipo indicao nella figura 1. s() A FIGURA 1 Andameno del segnale s()=ae α. Δ 8

17 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 Poiché risula: s() = per < il segnale è causale. b) Applicando l eq. [7] si ha: V m Δ Δ 1 1 α A s Ae Δ d e Δ d Δ c) Applicando l eq. [9] si ha: α Δ () [ ] α + A Es s () Δ α d A e d = ( e 1 α Il segnale è quindi di energia (energia finia). α Δ ) A 1 e α Δ αδ ( ).3 Esempi di segnali deerminai In queso paragrafo saranno analizzai i segnali deerminai più imporani per lo sudio dei sisemi di elecomunicazioni. Segnale cosane È un segnale del ipo: s() = A con A cosane e < < [11] È un segnale con simmeria pari e valor medio V m = A e può essere considerao periodico con periodo qualsiasi (fig. 11). s() A FIGURA 11 Segnale cosane. In Inglese sep signal segnale a gradino Segnale a gradino È un segnale che assume un valore cosane a parire da una prefissaa soglia emporale, menre al di soo di quesa è nullo (fig. 1): è perano un segnale causale. s() A FIGURA 1 Segnale a gradino. 9

18 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Per definire l espressione di un segnale a gradino è conveniene uilizzare la funzione a gradino uniaria u(), caraerizzaa da un puno di disconinuià (con che può essere posiivo, negaivo o nullo) ale che per > la funzione assume un valore uniario e per < un valore nullo; nel puno di disconinuià viene generalmene aribuio alla funzione il valore 1/, cioè: per 1 u () per 1 per [ 1] In Inglese rise ime empo di salia Uilizzando l eq. [1], l espressione del segnale a gradino si può quindi così scrivere: s() = A u( ) [13] Infai, per ui gli inervalli emporali >, u() vale 1 è quindi s() = A, menre per ui gli inervalli emporali <, u() vale è quindi s() =. Il segnale a gradino ora viso è in realà una pura asrazione maemaica, in quano il segnale passa isananeamene da un valore nullo a un valore cosane ben definio e ciò non è fisicamene possibile. I segnali a gradino che si riescono a generare in praica sono del ipo mosrao in figura 13, in cui il passaggio dal valore nullo al valore cosane non è isananeo, ma avviene in un cero inervallo emporale. Daa la difficolà nel descrivere maemaicamene la curva di raccordo ra i due rai orizzonali (quello a valore nullo e quello a valore cosane), le caraerisiche del gradino sono definie convenzionalmene fornendo i segueni due parameri: il empo di salia s, cioè l inervallo emporale necessario affinché il segnale passi dal 1% al 9% del valore cosane A; l isane di scao sc, cioè l isane in cui il segnale raggiunge il 5% del valore cosane A. s() 1,9,5,1 FIGURA 13 Segnale a gradino reale. sc s Segnale sinusoidale È un segnale periodico e alernaivo, caraerizzao da un forma sinusoidale del ipo: s() = A sen(ω + φ) [14] dove: A è il valore massimo o ampiezza del segnale; ω è la pulsazione, funzione della frequenza f secondo la relazione ω = πf; φ è la fase iniziale. 1

19 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 Nella figura 14 è mosrao un segnale sinusoidale: si noi come i relaivi valori isananei possono essere oenui dalla proiezione, sull asse immaginario (ordinae), di un veore avene modulo pari ad A e roane con una velocià angolare uguale alla pulsazione ω. +j s() A ω A φ = +1 FIGURA 14 Segnale sinusoidale oenuo dalla proiezione, sull asse delle ordinae, di un segmeno roane con velocià angolare ω. Se la fase iniziale è nulla (φ = ) la forma d onda del segnale sinusoidale passa per l origine (fig. 15a) e l eq. [14] divena una funzione dispari, cioè ale che s() = s( ), menre nel caso in cui φ =+9 l eq. [14] divena una funzione pari e risula s() = s( ), come indicao nella figura 15b. s() s() FIGURA 15 Segnale sinusoidale dispari (a) e segnale sinusoidale pari (b). φ = + φ = 9 a) b) + Per quano già viso nel precedene volume, un segnale sinusoidale può essere indicao in forma esponenziale dall espressione: s() = Ae j(ω + φ) [15] dove: θ () = (ω + φ) [16] cosiuisce la fase isananea del segnale. 11

20 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI In Inglese recangular impulse impulso reangolare Impulso reangolare Un impulso reangolare di duraa finia e ampiezza cosane A è rappresenao dalla seguene relazione: s () A per per per [ 17] dove è l isane cenrale dell impulso. Per rappresenare analiicamene l impulso reangolare è necessario inrodurre una paricolare funzione, denominaa rec(), cosiuia da un impulso reangolare di duraa e ampiezza uniarie e così definia (fig. 16): FIGURA 16 Funzione rec(). 1 rec() 1 1 rec ()= 1 per per 1 per [ 18] Uilizzando la funzione rec (), l espressione analiica dell impulso reangolare di duraa e ampiezza A si può scrivere nel modo seguene: s () Arec( ) [ 19] e la sua rappresenazione grafica è del ipo indicao nella figura 17. Arec A FIGURA 17 Impulso reangolare ideale. FIGURA 18 Impulso reangolare reale: è da noare che il passaggio dal valore nullo al valore cosane e viceversa non è isananeo, ma avviene in un deerminao inervallo emporale. s() A A 1 p Analogamene a quano viso per il gradino, l impulso reangolare è in realà una pura asrazione maemaica, in quano passa in un empo nullo da un valore pari a zero a un valore cosane ben definio, per poi riornare a zero isananeamene. Nella realà gli impulsi reangolari sono del ipo mosrao nella figura 18. 1

21 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 Anche in queso caso, daa la difficolà nel descrivere maemaicamene la curva di raccordo ra i due rai orizzonali (nullo e pari ad A), le caraerisiche dell impulso vengono convenzionalmene definie con i segueni parameri: In Inglese fall ime empo di discesa empo di salia s, cioè l inervallo emporale nel quale il segnale passa dal 1% al 9% del valore cosane A; empo di discesa d, cioè l inervallo emporale nel quale il segnale passa dal 9% al 1% del valore cosane A; duraa dell impulso p, cioè l inervallo emporale deerminao dagli isani 1 e in cui il segnale raggiunge, sia nella fase di salia sia in quella di discesa, il 5% del valore cosane A. Impulso ideale o di Dirac L impulso reangolare ideale della figura 17, di duraa e ampiezza A, soende con l asse dei empi un area S pari a: S = A [] Ricavando A dall eq. [] e sosiuendo il valore rovao nell eq. [19] si oiene: S s () rec( ) [ 1] In Inglese recangular impulse impulso reangolare che rappresena l espressione dell impulso reangolare in funzione dell area che esso soende sull asse dei empi. Facendo endere a zero la duraa dell impulso, si oiene un segnale cenrao su di duraa nulla, ampiezza infinia e area pari a S, che prende il nome di impulso ideale ad area cosane o impulso di Dirac. Indicando ale impulso con Sδ ( ) si ha: ( ) S Sδ ( ) lim rec [ ] Convenzionalmene l impulso δ si rappresena con una freccia applicaa nel puno di ampiezza S, rivola verso l alo se S è posiiva e verso il basso se S è negaiva (fig. 19). È imporane osservare che l ampiezza di ale freccia non rappresena un ordinaa, ma un area. Sδ( ) FIGURA 19 Rappresenazione dell impulso ideale di duraa nulla e area finia S. S Nel caso l area sia uniaria (S = 1) l eq. [] divena: s() = δ ( ) [3] 13

22 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI L impulso δ può considerarsi un segnale pari rispeo al puno, cioè: Sδ ( ) = Sδ ( ) Va inolre osservao che l impulso Sδ ( ) non è classificabile in base all energia o alla poenza, dao che il quadrao della funzione impulsiva non è definibile. uavia, come vedremo in seguio, all impulso ideale uniario possono applicarsi le definizioni e i meodi relaivi a segnali a energia finia, come per esempio la rasformaa di Fourier. Moliplicando un generico segnale s() per l impulso ideale uniario cenrao in, si oiene un segnale ovunque nullo ranne che in la cui area è s( ): s () δ ( ) d s ( ) [ 4] Quesa considerazione, come vedremo più approfondiamene in seguio, è di fondamenale imporanza per l operazione di campionameno dei segnali, che consise nel prelevare, in corrispondenza di isani emporali equidisani ra loro, campioni del segnale considerao. A queso proposio è opporuno inrodurre la funzione rep (), definia come la ripeizione periodica dell impulso ideale δ (), che consene di dare origine a un reno di impulsi δ disanziai di un empo, cioè: rep( ) δ () δ ( n) [ 5] Se si applica la funzione rep () a un segnale s(), si oiene: () () () ( ) ( ) s rep δ s δ n s n δ n [ 6] ( ) + n= n n ( ) Il risulao di ale operazione è una successione di impulsi ideali negli isani n aveni area pari a s(), come mosrao nella figura. rep () δ() FIGURA Esempio di campionameno di un segnale coninuo s() con impulsi ideali. s()rep () δ() n s(n)δ( n) 14

23 sen Impulso di ipo È un impulso così definio (fig. 1a): s () Asinc ( ) in cui la funzione sinc() vale (fig. 1b): 1 per sinc () senπ per π NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 [ 7] [ 8] A sinc A sinc () 1 FIGURA 1 a) Impulso A sinc ; b) funzione sinc(). + a) b) ale segnale ha un massimo pari ad A per =, si annulla negli isani = + n, è di energia, ha simmeria pari e area finia Segnali discrei Un segnale discreo ha la caraerisica di assumere deerminai valori in corrispondenza di isani n definii, la cui disanza emporale può essere qualsiasi, ma in queso corso verranno considerai solano quelli di maggior ineresse, in cui gli isani n sono equidisani, cioè ali che: s n = s(n) con n = 1,, 3,... [9] dove è un inervallo emporale cosane (fig. ). s n = s (n) s n FIGURA Esempio di segnale discreo con isani di definizione equidisani. Anche per i segnali discrei si possono esendere le proprieà e le considerazioni fae per i segnali analogici, considerando in queso caso la variabile discrea n al poso della variabile coninua, e quindi il segnale s(n) al poso di s(). n 15

24 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Per esempio un segnale discreo s(n) è deo periodico quando esise un numero inero N ale che: s(n + N) = s(n) [3] oppure, un segnale discreo si dice causale all origine se: s(n) = per ogni n < [31] In considerazione dei vanaggi che la rasmissione numerica presena nei confroni della rasmissione analogica, a parire dagli anni 8 del secolo scorso sono sai realizzai quasi esclusivamene sisemi di elecomunicazione numerici, anche se mole delle informazioni raae sono di naura analogica. Per poer rasmeere un informazione analogica mediane sisemi numerici, si rende necessaria una rasformazione del segnale analogico in segnale numerico; come si vedrà più approfondiamene nel Modulo 5, ale operazione consise nel prelevare dei campioni in corrispondenza di deerminai isani e nell associare a ciascuno di essi una precisa e univoca combinazione di codice. Ovviamene, in ricezione, il segnale numerico deve essere riconverio nel corrispondene segnale analogico. In queso coneso sono definie le operazioni di campionameno e quanizzazione. In Inglese sampling campionameno.4 Campionameno e quanizzazione L operazione di campionameno consise nel prelevare alcuni campioni di un segnale coninuo s() in corrispondenza di deerminai isani emporali n ; come viso nel paragrafo precedene, la corrispondene espressione maemaica [6] è oenua moliplicando il segnale s() da campionare per un reno di impulsi ideali (funzione rep () ). La serie di impulsi così oenua non conserva ua l informazione originaria di s() ma, se gli isani di campionameno hanno un adeguaa frequenza, il segnale informaivo può essere ricosruio correamene, nel senso che dai valori discrei si può rioenere la forma d onda coninua originale. eorema di Shannon Un segnale il cui spero non coniene componeni superiori a una frequenza f max è compleamene definio da una successione di suoi campioni prelevai a una frequenza pari ad almeno f max. A queso proposio, se gli isani di campionameno sono equidisani, si può dimosrare la validià del seguene eorema: Queso significa che gli isani di campionameno devono essere ra loro disani un empo: 1 f max La sequenza dei campioni, che prende il nome di segnale PAM (Pulse Ampliude Modulaion), pur essendo discrea nel empo è coninua nell ampiezza, in quano ciascun campione può assumere uno qualsiasi degli infinii valori di s(). 16

25 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ 1 In Inglese quanizaion quanizzazione Aenzione Ricordiamo che la banda di un segnale è definia come: B = f M f m dove f M ed f m sono rispeivamene la frequenza massima e minima del segnale. FIGURA 3 Processo di campionameno e quanizzazione. Poiché per realizzare una rasmissione numerica occorre codificare ogni singolo campione, facendo corrispondere alle relaive ampiezze una sequenza di impulsi codificai, è necessario limiare a un numero finio i valori che i campioni possono assumere, secondo una scala cosiuia da un deerminao numero di livelli prefissai, ciascuno dei quali corrispondene a una precisa combinazione di codice: quesa operazione, che prende il nome di quanizzazione, è eseguia associando a ogni campione PAM il livello prefissao cui esso più si avvicina, effeuando perano un operazione di approssimazione. s() s() s n 4 q n Campionaore s n Quanizzaore q n È da osservare che, se il campionameno è eseguio rispeando il eorema di Shannon, menre il segnale PAM conserva ineramene l informazione conenua nel segnale analogico originale, la quanizzazione inroduce una perdia di informazione, a causa della approssimazione effeuaa. ale perdia di informazione, dea errore di quanizzazione, può essere ridoa aumenando il numero dei livelli previsi, ma ciò compora un maggior numero di cifre per esprimere i valori della serie di impulsi e, conseguenemene, una maggiore necessià di banda. Nella figura 3 è mosrao l inero processo di campionameno e di quanizzazione..5 Campionameno naurale Nel meodo di campionameno viso nel precedene paragrafo, il prelievo di campioni di un segnale analogico è effeuao in isani ben precisi, uilizzando un reno di impulsi ideali, o di Dirac, la cui duraa è nulla: per ale moivo esso viene anche denominao campionameno isananeo o discreo. Se anziché uilizzare impulsi di Dirac si impiegano impulsi reangolari di duraa τ, breve ma finia, vengono prelevae piccole porzioni del segnale s(), generando così una successione di campioni di duraa τ la cui espressione è la seguene: s () per n < < n τ { [ 3] alrove In al caso il campionameno è deo naurale. Nella realà è possibile realizzare solo il campionameno naurale, in quano il campionameno discreo rappresena un operazione puramene ideale irrealizzabile, daa l impossibilià di generare impulsi di Dirac; uavia esso rappresena un uile supporo didaico, necessario per comprendere il processo di campionameno dei segnali analogici. 17

26 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Nella figura 4 sono messi a confrono il campionameno discreo (a) e naurale (b). s() s(n) a) s cn () n FIGURA 4 Campionameno discreo (a) e naurale (b). b) τ n FIGURA 5 Schema di principio di un campionaore. Nella figura 5 è riporao lo schema generale di un campionaore, sosanzialmene cosiuio da un oscillaore e da un moliplicaore. L oscillaore genera un reno di impulsi equidisani ra loro che, a seconda del ipo di campionameno (discreo o naurale), sono ideali (impulsi δ) o reangolari di duraa pari a τ, ma in ogni caso, all uscia del moliplicaore che esegue il prodoo ra il segnale coninuo s() e quello impulsivo, si oengono i campioni che s() Moliplicaore Oscillaore Impulsi campionaori Segnale campionao cosiuiscono il segnale PAM. In linea di principio il campionameno naurale può essere realizzao applicando il segnale s() all ingresso di un inerruore il quale, se è periodicamene chiuso a inervalli di empo pari a per un empo τ, fornisce all uscia una successione di impulsi di duraa τ, che cosiuisce il segnale PAM. 3 Segnali deerminai nel dominio della frequenza Un segnale deerminao può essere sudiao anche nel dominio della frequenza riporando in un grafico, denominao spero, i valori isananei s( f ) che esso assume in funzione della frequenza. La rappresenazione nel dominio della frequenza poggia i suoi fondameni sullo sviluppo in serie di Fourier che, a parire dalla forma d onda di un segnale periodico, consene di ricavare la relaiva composizione sperale. 18

27 NOZIONI DI BASE DI EORIA DEI SEGNALI UNIÀ Sviluppo in serie di Fourier per segnali periodici Lo sviluppo in serie di Fourier si può così enunciare: Qualsiasi segnale deerminao s() periodico di periodo può essere scomposo nella somma di un ermine cosane e di un cero numero di segnali sinusoidali dei quali il primo, avene lo sesso periodo di s() e quindi la sessa frequenza, è chiamao prima armonica o fondamenale e gli alri, aveni periodi soomulipli di s() e quindi frequenze muliple, armoniche superiori. L enunciao può essere espresso con la seguene relazione: dove: s ( ) a ( acos ( nω) bsen( nω ) [ 33] a s a s n b () n () ( ) n = d cos ω d n 1 n n + () ( ) ssen nω d [ 34] Maemaica cos α = cos ( α) sen α = sen ( α) Il coefficiene a, che rappresena il ermine cosane, cosiuisce il valor medio di s(), menre i coefficieni a n e b n rappresenano le ampiezze delle armoniche di ordine n. Poiché la funzione coseno è di ipo pari menre la funzione seno è di ipo dispari, a seconda che s() sia un segnale pari oppure dispari, risuleranno nulli i coefficieni b n oppure a n ; inolre le ampiezze delle singole armoniche endono a decrescere all aumenare del loro ordine. ramie lo sviluppo in serie di Fourier si può quindi eseguire l analisi armonica di un segnale s() periodico scomponendolo nelle armoniche che lo compongono e, viceversa, noe le armoniche si può riprodurre il segnale originario. Poiché le ampiezze delle singole armoniche decrescono con la frequenza, il loro conribuo diminuisce con l aumenare di ques ulima e perano, in praica, per avere una buona riproduzione del segnale, è sufficiene sommare solano le prime armoniche. Non è possibile, in generale, deerminare il numero delle armoniche necessarie per riprodurre con una deerminaa precisione il segnale originale, ma si può affermare che il loro numero è ano più elevao quano più il segnale da riprodurre ha caraere impulsivo. Nella figura 6 è mosrao un esempio di segnale cosiuio solo dalle prime due armoniche, rappresenao sia nel dominio del empo sia nel dominio della frequenza (grafico ridimensionale). (Analizzaore di spero) Ampiezza (Oscilloscopio) FIGURA 6 Rappresenazione nel dominio del empo e della frequenza di un segnale periodico composo dalle prime due armoniche. Frequenza empo 19

28 MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Maemaica Formule di Eulero: senα e jα cos α e jα e j e jα ; jα Applicando all eq. [33] le formule di Eulero si può dimosrare che: s () ce n in cui i coefficieni c n, che rappresenano le ampiezze delle armoniche cosiueni il segnale considerao, risulano: c 1 + n jnω se () ω d [ 36] jn [ 35] dove n è un inero che può assumere valori sia negaivi sia posiivi compreso (c rappresena il valor medio). L eq. [35] cosiuisce lo sviluppo in serie di Fourier ramie funzioni esponenziali, menre l eq. [33] rappresena lo sviluppo in serie di Fourier ramie funzioni circolari; esse sono due modalià equivaleni per eseguire lo sviluppo in serie di Fourier, ma hanno un differene approccio conceuale. Infai nell espressione [33] la sommaoria è esesa da + 1 a +, quindi si hanno solo frequenze posiive, menre nell espressione [35] la sommaoria è esesa da a + e perano si hanno anche frequenze negaive. A prima visa può sembrare assurdo considerare armoniche a frequenza negaiva, dao che il segnale s() è una funzione fisica reale e quindi anche ue le armoniche devono essere ali; uavia, poiché nell eq. [35] inervengono ermini complessi caraerizzai da una pare reale e una immaginaria, affinché il valore della frequenza corrispondene all armonica consideraa sia effeivamene reale, per ogni valore di n devono esisere due coefficieni complessi e coniugai, in modo ale che la loro somma sia un numero reale. In alre parole, ogni armonica è rappresenaa nel piano complesso da due veori (i cui valori delle ampiezze coincidono proprio con i coefficieni dell eq. [35]) roani con velocià angolari uguali e oppose: la somma di ali veori genera una risulane conenua sempre sull asse reale (fig. 7). Nauralmene il ermine a frequenza negaiva non ha alcun significao fisico, se preso separaamene, menre ha senso se considerao come complesso coniugao del corrispondene ermine a frequenza posiiva. Im +ω FIGURA 7 Rappresenazione nel piano complesso di un armonica ramie due veori roani con velocià angolari oppose: la somma dei due veori genera sempre una risulane sull asse reale. ω Re