Le nozioni fondamentali

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1 Le nozioni fondamentali Il concetto di funzione che abbiamo introdotto nel capitolo 5 di Algebra si è molto arricchito. Lavorando nel piano cartesiano, abbiamo familiarizzato con il passaggio dalla scrittura algebrica simbolica alla rappresentazione grafica della geometria, e viceversa. Vogliamo ora da una parte sintetizzare ciò che abbiamo acquisito riguardo alla funzione come oggetto matematico, dall altra esplorarne alcuni aspetti nuovi. Infatti, il concetto di funzione è alla base degli sviluppi della matematica che affronteremo nel seguito, oltre che del profondo legame tra matematica e fisica, tra matematica e scienze sperimentali. Il linguaggio delle funzioni Ricordiamo che una funzione f da un insieme A a un insieme B, che indichiamo con f:a B, è una relazione univoca da A a B. Definizione Una funzione f da un insieme A a un insieme B è una corrispondenza che associa a ogni elemento nell insieme A una e una sola immagine in B. Le funzioni che trattiamo in matematica sono funzioni numeriche, mettono in relazione insiemi di numeri reali: usiamo infatti l espressione funzioni reali di varabile reale, e le indichiamo in generale con f:, ponendoci successivamente il problema di delimitarne il dominio e il codominio come sottoinsiemi di. Lavoriamo sul concetto e sulla rappresentazione delle funzioni f: usando quattro modalità espressive, quattro registri diversi. Infatti, possiamo:. esprimerci a parole, descrivendo verbalmente come la variabile indipendente è correlata alla variabile dipendente. Per esempio, diciamo L area di un cerchio si calcola moltiplicando per π il quadrato del raggio ;. usare i numeri, raccogliendoli in una tabella o mediante una lista di coppie ordinate, come a. riferirci al simbolismo dell algebra, che introduce lettere per le variabili e rappresenta il loro legame mediante un equazione in due variabili, nella forma generale: = f ();. visualizzarla graficamente, identificando in un piano cartesiano l insieme di punti che indichiamo qui con G, detto grafico o grafico cartesiano della funzione (fig. ). Esso è formato da tutti e soli i punti P(; ) le cui coordinate G sono legate dalla funzione, cioè: P(; = f ()) l ascissa è la variabile indipendente; l ordinata è la variabile dipendente, legata a dalla funzione data = f (). b 0 Per introdurre il concetto di funzione, abbiamo utilizzato molto le prime due modalità, ma ora, disponendo della rappresentazione nel piano cartesiano, ci muoveremo soprattutto attraverso le ultime due, equazioni e grafici. = f () Figura 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

2 Quando è possibile, interessa associare a una funzione reale di variabile reale, espressa tramite un equazione algebrica, anche il suo grafico, e viceversa, agendo nei due sensi: data l equazione di una funzione, individuare dalla forma algebrica le sue caratteristiche, e costruirne il grafico cartesiano, sul quale esse diventano proprietà geometriche; dato un grafico, riconoscere da certe sue caratteristiche geometriche le proprietà algebriche della funzione che rappresenta, e associarne l equazione. Partendo dall equazione, dobbiamo riconoscere il senso della notazione funzionale: = f() f è il nome che diamo alla funzione che associa a ogni valore della variabile indipendente il valore che è assegnato dall equazione algebrica. Quindi, dipende da ; scriviamo anche: = (), come per esempio nell equazione: () = +. Se abbiamo dato alla funzione il nome f, possiamo scrivere anche: f() = + Sottolineiamo: f è il nome della funzione; il simbolo f() è il valore della funzione calcolata in ; la variabile è detta anche argomento della funzione f(). Sia per la funzione sia per le variabili, si possono usare anche nomi diversi da,, f, per esempio si può trovare scritto anche: g() = + g(t) = t + t f(s) = s + s e tutte queste notazioni esprimono la stessa funzione. ESEMPI. La funzione di equazione = 5 + è una funzione algebrica di primo grado. Calcoliamo: a) f ( ); b) f (t) periamo in ogni richiesta la sostituzione dell argomento con quelli indicati. a) Poniamo =, otteniamo: f ( ) = 5 ( ) +. Questo è un valore particolare,, corrispondente al valore assegnato della variabile : f( ) =. La coppia ( ; ) appartiene alla funzione f. b) Ponendo = t, scriviamo: f (t) = 5 (t) + = 5t + e otteniamo ancora l espressione di una funzione, la stessa di prima, in cui abbiamo solo cambiato nome alla variabile indipendente.. È data la funzione: g() =. Calcoliamo: a) g ( ); b) g(z) La funzione ha nome g, è espressa dall equazione =. Agiamo come nel primo esempio: rimpiazziamo nell equazione la variabile denominata con con i valori dati. a) Se = abbiamo g( ) = ( ) = e otteniamo il valore : g( ) = ; diciamo che la coppia ( ; ) appartiene alla funzione. b) Esprimendo g(z) = (z), abbiamo espresso la funzione g in una variabile che ha un nome diverso da. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

3 Mettiti alla prova. Data la funzione f() = + : a. calcola f ( `) b. esprimi f ( ) c. esprimi f ( + ) Per quanto riguarda il grafico, ricordiamo anzitutto che, poiché in una funzione a ogni valore dell argomento deve corrispondere un solo valore di, la condizione geometrica per cui una generica curva G nel piano cartesiano è riconoscibile come grafico di una funzione è che non vi siano punti distinti di G che hanno la stessa ascissa. Ne viene il Criterio della retta verticale Una curva G è grafico di una funzione se una qualunque retta parallela all asse interseca G al più in un solo punto. Per esempio, il grafico della figura.a è il grafico di una funzione mentre non lo è quello della figura.b. Figura.a Figura.b Dal grafico di curve che rappresentano funzioni possiamo anche analizzare una proprietà importante come l iniettività. Definizione Una funzione f :, = f (), è iniettiva se non vi sono elementi distinti del dominio che hanno la stessa immagine nel codominio. In simboli, f () è iniettiva se:, D, con f( ) f( ) Dal punto di vista geometrico, la conseguenza è che il grafico G di ogni funzione = f () iniettiva deve avere una precisa caratteristica, che riconosciamo nel Criterio della retta orizzontale Una qualunque retta parallela all asse può intersecare il grafico G di una funzione iniettiva in uno e un solo punto. Nella figura.a è rappresentata una funzione iniettiva, perché le rette orizzontali intersecano il grafico in un unico punto. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

4 Nel caso della funzione nella figura.b, invece, ci sono rette parallele all asse che hanno anche tre intersezioni distinte con la curva G. Poiché diversi valori di danno la stessa, la funzione non è iniettiva. = f () = f () P(; f ()) Figura.a Figura.b Acquisiremo gradualmente altre importanti caratteristiche delle funzioni, a mano a mano che familiarizzeremo con altri strumenti dell algebra e della geometria analitica. Ricordiamo per completezza anche la definizione di funzione suriettiva. Definizione Una funzione f : è suriettiva se ogni elemento ha almeno una controimmagine nel dominio. Una funzione che è sia iniettiva sia suriettiva è detta biiettiva. Incominciamo ad analizzare alcuni elementi fondamentali di una data funzione = f () sia attraverso la sua equazione, sia a partire dal suo grafico: il dominio, che indicheremo per comodità con D; il codominio, che indicheremo con C D ; nel codominio cercheremo, in particolare, se è compreso lo zero: i valori dell argomento nei quali la funzione prende il valore 0 sono detti zeri della funzione; il segno della funzione. Il dominio Analizziamo l equazione Il dominio D di una funzione è l insieme di tutti i valori di per i quali una funzione è definita e calcolabile. Esso è la principale informazione relativa alla funzione, la prima da acquisire. Per individuarlo, dobbiamo esaminare le operazioni algebriche contenute nella sua equazione, ed esprimere, se è necessario, le condizioni della loro effettuabilità. Per le funzioni che sappiamo trattare finora, le limitazioni che incontriamo sono relative o all impossibilità della divisione per zero, che porta a escludere i valori di che annullano eventuali denominatori, oppure alla presenza di radicali con indice pari, che possono essere calcolati solo se i radicandi sono non negativi. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

5 In sintesi, abbiamo che: se la funzione è un polinomio intero, non ci sono limitazioni, D = ; se ci sono denominatori, la funzione è fratta, dobbiamo escludere gli eventuali valori di che li annullano; se ci sono radicali di indice pari, possiamo accettare solo i valori di che rendono non negativi i radicandi; se compaiono entrambe queste situazioni, bisogna tenere conto contemporaneamente delle rispettive limitazioni, mettendole a sistema: il dominio D della funzione è l insieme delle soluzioni del sistema. Quando abbiamo individuato il dominio D, lo rappresentiamo nel piano cartesiano sull asse, per esempio segnandolo in rosso. ESEMPI. La funzione f() = è un polinomio di secondo grado, perciò è definita :D =. Segniamo in rosso tutto l asse (fig. ).. La funzione f( ) = presenta un denominatore, è una funzione fratta. ( )( ) Per determinare il suo dominio D dobbiamo escludere dall insieme i valori per i quali ( )( ) = ). Essi sono = =, perciò: Figura D = { } Nel grafico (fig. 5), coloriamo in rosso l asse, segnando però due crocette sui punti A(; 0) e B(;0), per indicare che i due valori e devono essere esclusi dal dominio. Le due rette tratteggiate, = e =, segnalano che il grafico della funzione non può attraversarle, perché il grafico della funzione non contiene alcun punto di ascissa o di ascissa. Possiamo aspettarci che il grafico risulti spezzato, come abbiamo visto per l iperbole equilatera. A B Figura 5. La funzione g ( ) = + è irrazionale, è espressa da un radicale di indice pari. Essa è definita solo se il radicando è non negativo, cioè per: + 0 Il suo dominio è l insieme: D = { } In questo caso, coloriamo solo una semiretta sull asse, segnando con un pallino il punto A (fig. 6), per indicare che esso appartiene al ; 0 dominio. A ; 0 Figura RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

6 . Nell equazione della funzione g ( ) = compaiono sia radicali sia un denominatore. Per individuarne il dominio D, dobbiamo mettere a sistema entrambe le condizioni: 0 per l esistenza del radicale { 0 per la presenza del denominatore tteniamo così: D = { 0 < < } Nella figura 7 sull asse è in evidenza in rosso il dominio, in cui il punto A(0; 0) è compreso, mentre il punto B(; 0) di ascissa, segnato con la crocetta, è escluso. Anche in questo caso, la retta tratteggiata di equazione = segnala che nessun punto P(; ) può appartenere al grafico della funzione. A B Figura 7 Interpretiamo il grafico Se il grafico di una funzione è limitato e completamente visibile come in figura 8, gli estremi della curva (A e C in figura) permettono di individuare quale è l estensione del dominio D, cioè l intervallo sull asse compreso tra le ascisse degli estremi: D = { A C } Generalmente, però, abbiamo a che fare con grafici che rappresentano parti del grafico di una funzione, che si estende all infinito nel piano oltre la finestra della figura 8. Dobbiamo completare noi con l immaginazione o con ulteriori informazioni le parti che non vediamo; perciò dobbiamo imparare, partendo da un grafico, a interpretare le parti che vediamo per estrapolare come sono fatte quelle non visibili. Nella figura 9, per esempio, non sono indicati gli estremi di un arco, il tratto di curva esce dai bordi del riquadro. Possiamo interpretare questa situazione come il fatto che la curva si estenda oltre i bordi, all infinito, proseguendo con lo stesso andamento. Questo significa anche che il dominio D della funzione si estende a tutto : D = A A B C C D = { } Figura 8 Figura 9 Il codominio Determinare il codominio (in inglese range) di una funzione, cioè l insieme dei valori che essa assume in corrispondenza dei valori di D, è un problema molto più complesso che determinarne il dominio, ma anche molto interessante. Possiamo sempre calcolare il valore di per qualunque sostituzione di nel dominio D, ma non possiamo fare un grafico punto per punto perché dovremmo eseguire infiniti calcoli. 6 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

7 Anche se per ora non abbiamo gli strumenti per descrivere globalmente in modo completo e certo l andamento della funzione quando varia in tutto il dominio D, cerchiamo un modo per individuare le informazioni che possiamo ottenere sull insieme dei valori presi dalla funzione. Analizziamo l equazione Di alcune funzioni fondamentali, di cui conosciamo il comportamento, sappiamo riconoscere il codominio C D ; per esempio: la funzione di primo grado = m + q ha come codominio tutto :C D = ; la funzione di secondo grado = a ha come codominio una semiretta; la funzione fratta = k ha come codominio privato dello zero: C D = {0}. Di funzioni meno semplici o che non conosciamo, possiamo al momento determinare algebricamente, se ne siamo in grado: i valori di per cui è f () = 0 (zeri della funzione); il segno della funzione, cioè gli insiemi di per cui si ha f () < 0 oppure f () > 0. Queste informazioni, tuttavia, non consentono di decidere quale sia il codominio, ma solo di individuare le zone del piano cartesiano in cui è contenuto il grafico della funzione, come vediamo negli esempi. ESEMPI. Determiniamo il codominio della funzione di secondo grado f () = +. Serve conoscere l ordinata V del vertice V della parabola, grafico della f (). Sfruttiamo le relazioni note: = b ac e calcoliamo V = 7 8. V a sservando che a =, e quindi la parabola è rivolta verso il basso, concludiamo che l ordinata del vertice corrisponde al massimo valore della funzione e che il codominio della f () è C D = { 7 8 }.. È data l equazione della funzione f ( ) =. Non è una funzione tra quelle note, perciò analizziamo l equazione e ricaviamo algebricamente le informazioni che possiamo. Identifichiamo il dominio: essendoci un denominatore, dobbiamo escludere i valori che lo annullano, ponendo ±. Perciò D = { }. Determiniamo zeri e segno di f (): f () = 0 per = 0 f () < 0 per < 0 Æ < 0 < < f () > 0 per > 0 Æ < < 0 > 7 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

8 Nel piano cartesiano, individuiamo sull asse il dominio, in colore rosso, e segniamo le rette verticali tratteggiate in corrispondenza dei valori esclusi (evidenziati con la crocetta). Segniamo in rosso l unico zero della funzione, che è nel punto (0; 0), poi individuiamo in colore le parti di piano in cui, in base al segno, è contenuto il grafico delle funzione. Sono colorate in rosa le parti in cui la f > 0, in azzurro quelle in cui f < 0 (fig. 0). sserviamo che le regioni di piano sono delimitate dall asse, dalle rette tratteggiate verticali e dall asse, retta verticale di equazione = 0, che corrisponde all ascissa del punto di zero. f() > 0 f() > 0 f() = 0 f() < 0 f() < 0 Figura 0 Interpretiamo il grafico Se in un piano cartesiano abbiamo un grafico che rappresenta una funzione, anche se non ne conosciamo l equazione, quali informazioni sul codominio possiamo desumere? Se il grafico di una funzione è tutto visibile, sono individuabili gli estremi del codominio, che corrispondono ai valori delle ordinate del punto più basso e del punto più alto, cioè il valore minimo e il valore massimo che la funzione assume nel dominio. Nella figura.a completiamo l analisi della figura 8, in cui abbiamo identificato e segnato il dominio D, evidenziando insieme: il dominio D, comprendente gli estremi, sull asse, segnato in rosso; il codominio C D, comprendente gli estremi, sull asse, segnato in azzurro. Nella figura.b si vede che il grafico è tutto compreso nel rettangolo che ha per dimensioni il dominio e il codominio. B B C C D = { B } C C D = { B } A D = { } A D = { } Figura.a Figura.b Se invece, come nella figura, il tratto di grafico esce dai bordi inferiore e superiore, esso rappresenta una funzione avente il codominio (segnato in azzurro sull asse ) illimitato da entrambe le parti: C D =. 8 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

9 Analizziamo più a fondo il grafico della funzione in figura. Sul grafico è possibile identificare le coordinate di alcuni punti: per esempio, nella figura si riconosce che: per = f ( ) = Æ A( ; ) per = 0 f (0) = Æ B(0, ) per = f () = Æ C(; ) per = f () = Æ D(; ) D D H B C B C H A A Figura Figura Figura Tuttavia, se non è data l equazione della funzione, identificare le coordinate dei punti non è sempre possibile, e bisogna tener conto che niente garantisce che vediamo precisamente il valore delle coordinate: c è un forte dubbio sulla nostra approssimazione visiva. In particolare, se cerchiamo di individuare le coordinate dello zero della funzione, il punto di intersezione tra il grafico e l asse, indicato con H nella figura, non siamo in grado, solo dal grafico, di stabilire a occhio quale sia precisamente l ascissa di H, possiamo solo approssimarla. Per esempio, possiamo dire che essa è compresa tra e, informazione che può servire, ma è piuttosto grossolana. Il punto H rappresenta il punto in cui il grafico della funzione passa dal semipiano delle negative a quello delle positive, cioè la funzione cambia segno; possiamo ancora dire che: < H f () < 0 > H f () > 0 Le funzioni che conosciamo Ricapitoliamo quali funzioni abbiamo già trattato, e quali sono le loro caratteristiche. Indicheremo con D il dominio (in rosso sull asse ) e con C D il codominio (in blu sull asse ) di una funzione.. La funzione costante associa a ogni lo stesso valore numerico, indichiamolo con k. La sua equazione è perciò: = k e il suo grafico (fig. 5) è una retta parallela all asse. 9 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

10 Essa ha D = e il suo codominio è formato dal solo valore k, C D = {k}. La funzione costante non è iniettiva, perciò non è invertibile. Possiamo anche riguardare la funzione costante come caso particolare di una potenza, quando l esponente è zero (e k 0): scriviamo = k 0.. La funzione di primo grado ha equazione = m o, più in generale, il generico polinomio di primo grado: = a + b Il suo grafico è una retta: passante per l origine per le funzioni di tipo = m in posizione generica nel piano, ma non parallela all asse, per le altre (fig. 6). Sappiamo che il coefficiente m è chiamato coefficiente angolare e dipende dall angolo di inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo. La funzione di primo grado è definita, quindi D =, e il suo codominio è C D =. Essa è iniettiva e suriettiva, perciò è invertibile. k = m (m < 0) = k Figura 5 = a + b (a > 0) Figura 6. La funzione valore assoluto ha equazione =. Per definizione significa: per 0 = - per < 0 Come discende dal modo stesso in cui è definita, il suo grafico è composto dall unione di due semirette, cioè è una spezzata (fig. 7). Il valore assoluto associa a ogni un valore non negativo, perciò ha dominio D =, mentre il suo codominio è C D = +. = Figura 7 La funzione = non è una funzione iniettiva, perciò non è invertibile.. La funzione potenza di secondo grado ha equazione: = a Il suo grafico (fig. 8) è una parabola, avente vertice nell origine; il coefficiente a determina con il segno il semipiano in cui è contenuta la parabola e con il valore assoluto la sua apertura (o concavità). = a (a > 0) Figura RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

11 La funzione di secondo grado ha D =, mentre il suo codominio è C D = + oppure C D =,a seconda del segno di a. = a + b + c (a < 0) V Più in generale, sappiamo trattare la funzione polinomiale di secondo grado: = a + b + c che ha per grafico una parabola con vertice V traslato rispetto all origine. Essa ha D =, il suo codominio è una semiretta Figura 9 (fig. 9) che comprende la propria origine, l ordinata del vertice V. Anche la funzione di secondo grado non è iniettiva, perciò non è invertibile. 5. La funzione razionale fratta ha equazione = k, che possiamo anche scrivere = k, e in questa = k forma la riconosciamo come una potenza di a esponente negativo. k > 0 Il suo grafico è l iperbole equilatera riferita agli asintoti (fig. 0). Il suo dominio è D = {0}, come è in evidenza sul grafico, per la presenza del denominatore. Anche il suo codominio è C D = {0}, perché la retta = 0 è un asintoto dell iperbole, e tale retta non ha punti in comune con la curva. Figura 0 La funzione = k è iniettiva e suriettiva, perciò è invertibile. Ricordiamo che essa esprime la relazione di proporzionalità inversa tra le due variabili e. Avere dimestichezza con queste funzioni base è importante per imparare a trattare problemi in cui sono coinvolte relazioni funzionali, sia dal punto di vista matematico, sia, come abbiamo visto nel capitolo 8, in diversi contesti. Vediamo per esempio come la visualizzazione di funzioni consenta di trattare disequazioni algebriche tramite il confronto dei grafici. ESEMPI. Vogliamo risolvere la disequazione <. Abbiamo ora a disposizione due modi, quello algebrico che abbiamo già sviluppato, e un analisi dei grafici delle due funzioni. Partiamo dal secondo. modo (confronto grafico) Interpretiamo i due membri della disequazione come le equazioni di due funzioni: = e = e trasferiamo la disequazione < nell analisi della relazione tra le due funzioni: < 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

12 Sviluppiamo il confronto rappresentando le due funzioni nello stesso riferimento cartesiano, poi confrontando i due grafici negli stessi valori di, determinando: dove si intersecano; come sono collocati uno rispetto all altro per gli altri valori di (fig. ). Riconosciamo che i due grafici hanno in comune i punti (0; 0) e (; ), per il resto la loro posizione reciproca nel piano cambia al variare di. Leggiamo i grafici di figura facendo crescere la nel verso dell asse delle ascisse, come è indicato dalla freccia. Le diverse situazioni da descrivere sono: per ogni < 0 il grafico di è nel semipiano delle > 0, mentre il grafico di è nel semipiano delle < 0, perciò: < Æ > per = 0 = Æ = per ogni 0 < < il grafico di è sotto quello di, dunque: > Æ < per = = Æ = per ogni > i due grafici cambiano ancora posizione reciproca, passa sopra, dunque: < Æ > Concludiamo perciò che l insieme S delle soluzioni della disequazione di partenza è: S = {0 < < } modo (algebrico) Risolviamo con i passaggi usati nelle disequazioni di secondo grado: < Æ < 0 Æ ( ) < 0 Æ S = {0 < < } Abbiamo raggiunto lo stesso risultato. Il primo modo può apparire più lungo, anche perché per chiarezza l abbiamo molto dettagliato; tuttavia si può apprezzare come esso fornisca una interessante visione geometrica del significato delle disequazioni algebriche. = = Figura Nuove funzioni 5 Funzioni definite a tratti Abbiamo già visto che, considerando sistemi misti, che tengono conto dell equazione di una funzione insieme a condizioni sulle variabili, si individuano parti di curve, come segmenti, semirette, archi di parabola. Si possono allora generare anche funzioni formate da unioni di tali parti: la funzione valore assoluto è il primo esempio che abbiamo visto, è descritta dall unione di due semirette. Abbiamo già individuato altre spezzate, limitate o illimitate; ora possiamo pensare anche a 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

13 funzioni ottenute raccordando archi di curve diverse, oppure archi e segmenti. In generale, funzioni ottenute per raccordo di parti di altre funzioni sono dette funzioni definite a tratti. Si tratta di situazioni molto frequenti nella descrizione di contesti concreti, come nel seguente caso. dal contesto al modello In un anno di produzione di un certo prodotto, il profitto di un azienda si mantiene costante per i primi sei mesi dell anno, poi cala costantemente dello 0,% nei mesi estivi, risale dal mese di settembre fino a raggiungere il profitto precedente entro la fine dell anno. L andamento del profitto dell azienda è descritto da tre diverse equazioni nei tre intervalli gennaio-giugno, luglio-agosto, settembre-dicembre, e il grafico di figura mostra (qualitativamente) come è descrivibile. Vediamo come descrivere analiticamente nel linguaggio delle funzioni questo tipo di funzioni. profitto Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set tt Nov Dic Figura ESEMPI. Rappresentiamo la funzione espressa dal sistema: = La limitazione sui valori di contenuta nel sistema dice che non dobbiamo guardare tutta la parabola di equazione = + +, ma solo l arco compreso B tra il punto A(0; ) e il punto B(; 0) (fig. ). Gli estremi A e B dell arco devono essere compresi, perché la limitazione è espressa da un intervallo chiuso agli estremi. Figura Il dominio della funzione è individuato dalla condizione stessa, D = {0 }, mentre il codominio è l intervallo C D ={0 }, dove è l ordinata del vertice V.. Scriviamo le condizioni che descrivono algebricamente la funzione in figura, formata da una semiretta che si raccorda in P a una semiparabola. Dobbiamo individuare separatamente i sistemi misti che identificano le due parti del grafico, che sono tratti di funzioni diverse, poi considerarne l unione. = f() = La semiretta è identificata dal sistema {, la 0 semiparabola invece è individuata dalle condizioni nel sistema: P = > 0 Figura A V 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

14 Il punto P può essere compreso in uno qualsiasi dei due tratti di curva, l abbiamo considerato nella semiretta. = = Complessivamente allora abbiamo: f( ) = { 0 > 0 Il dominio della funzione è l unione dei due domini, D =, mentre il codominio è la semiretta C D = { }.. Una funzione = f () è così definita: + per 0 f () = per > Rappresentiamola, e individuiamone dominio e codominio. Questo tipo di scrittura è una modalità sintetica per esprimere funzioni definite a tratti: attenzione, non sono due funzioni, ma una sola funzione, formata da due tratti diversi. Per analizzarla, infatti, dobbiamo separare le due parti, cui possiamo anche dare un nome diverso e riscrivere la funzione come unione di due sistemi: = + = f ( ) = f { ( ) = 0 > cioè f = f f Riconosciamo che f () è un tratto di retta, quindi il suo grafico è un segmento, mentre il grafico di f () è un arco di iperbole equilatera (fig. 5). Il dominio di f () è l unione dei domini D di f e D di f, perciò abbiamo: D = { 0}. Anche il codominio è l unione dei due codomini, in questo caso è C D = {0 }. f Questa funzione ha una caratteristica più strana f rispetto alle precedenti: se guardiamo nel punto di ascissa, vediamo che il punto (; 0) è compreso nel segmento e fa parte della funzione, però D = D D la funzione in quel punto si spezza, cioè i suoi due tratti non si raccordano con continuità. Figura 5 6 Componiamo le funzioni tteniamo altre funzioni da quelle note non soltanto unendo tratti di curve, ma anche definendo una operazione tra funzioni. Consideriamo due funzioni f e g, tali che: f abbia dominio un insieme X e codominio un insieme Y, f :X Æ Y; g abbia come dominio il codominio Y della f e codominio Z: g :Y Æ Z. Possiamo allora pensare che la funzione g agisca su Y dopo che la f ha agito sugli elementi X, considerando cioè in Y come l immagine di nella f. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

15 Poiché la g porta Y nella sua immagine z Z, l azione successiva della f : Æ e della g: Æ z ha come effetto per così dire congiunto di portare X nell immagine z Z, passando per Y: = f(), z = g() Æ z = g( f ()) (si legge: g di f di ) X Y Z f g z = g() = f() z = g(f()) g f Figura 6 Abbiamo così generato una nuova funzione, che agisce da X a Z,come si vede nella figura 6. La chiamiamo funzione composta di f e g, e la indichiamo con g f che si legge: g composta a f. sserviamo subito che, nella scrittura della funzione composta, la funzione che si applica per prima è quella scritta a destra, perciò anche nell applicazione delle funzioni componenti bisogna procedere da destra verso sinistra. Questa scrittura ha il vantaggio di ricalcare la scrittura della generica immagine z ottenuta da dopo la successiva applicazione delle due funzioni, cioè z = g( f()). ESEMPI. Sia X =, e sia f la funzione da a che associa a ogni numero di X il suo doppio. Su è definita anche la funzione g, g:, che associa a ogni numero naturale il suo successivo. Scriviamo simbolicamente come agisce ciascuna delle due funzioni sul generico numero naturale: f : f (n) = n g: g(n) = n + Vediamo come agisce la funzione composta g f. Per scrivere l equazione della funzione composta, partiamo dal generico naturale n e schematizziamo i passaggi in questo modo: f (n) = n f g n f(n) + = n + g f L equazione della funzione composta g f, a cui possiamo anche dare un nuovo nome ponendo h = g f,è: h(n) = n + Valgono i passaggi: h(n) = g (f (n)) = g (n) = n RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

16 . Consideriamo ora le due funzioni f : 0 0 di equazione f( ) = e g : + di equazione g() = +, e ricaviamo l equazione della composta g f. Preso un 0, la sua immagine nella f è = f( ) =. periamo ora con la g, calcolata nel valore : g() = +. Teniamo conto che è l immagine di nella f sostituendo a l espressione : = f( ) = g( ) = + otteniamo così l equazione della composta g (f()), ovvero g f (): gf ( ( )) = + Rinominandola con h, vediamo che si tratta di una nuova funzione: h: 0 +, h ( ) = + Formuliamo ora la definizione di funzione composta. Definizione Se f è una funzione che ha dominio X e codominio Y, f :X Y, g una funzione che ha dominio contenuto in Y, codominio di f, e codominio Z, g :Y Z, funzione composta di f e g è la funzione che associa, se possibile, a un elemento X l elemento z Z che è immagine in Z dell elemento = f (), immagine in Y di : z = g ( f ()) In simboli: g f o anche h() = (g f )() Chiameremo prima componente la f che, nell ordine, è quella che agisce per prima, e seconda componente la g. Da due funzioni abbiamo ottenuto una nuova funzione, perciò possiamo pensare di aver definito una nuova operazione tra funzioni, la composizione, il cui simbolo è. Analizziamola da questo punto di vista.. La composizione di due funzioni è sempre possibile? Consideriamo le due funzioni f : { } avente equazione f() = e g: + + che opera la radice quadrata di un numero reale: g ( ) =. Se volessimo comporre la f e la g per avere h = g f, dovremmo renderci conto che il codominio della f non ha alcun punto in comune con il dominio di g, che è +. In questo caso perciò la composizione non sarebbe possibile. Concludiamo allora che la composizione di due funzioni è possibile solo se il codominio della prima componente ha intersezione non vuota con il dominio della seconda componente.. L ordine della composizione può essere modificato, cioè vale che g f = f g? Per rispondere, proviamo a comporre le funzioni: f : f(n) = n g : g(n) = n + dell esempio nell ordine inverso, e costruiamo la funzione, che chiamiamo l, l = f g. 6 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

17 perando per prima la g, partiamo da un naturale n e otteniamo g(n) = n + ; applichiamo ora la f al risultato di g, e scriviamo f (g(n)) = (n + ). Dunque, l equazione della funzione composta che otteniamo in questo ordine è: l (n) = (n + ) = n + Confrontando con il risultato ottenuto in precedenza per la funzione h = g f abbiamo già risposta alla nostra domanda: h(n) = g (f(n)) = n + l(n) = f (g(n)) = n + Le equazioni delle funzioni composte h e l sono diverse: g f f g. Abbiamo così verificato che la composizione di funzioni non è commutativa, perché l equazione della funzione composta può dipendere dall ordine con cui sono applicate le funzioni. Mettiti alla prova. Sono assegnate le funzioni f, g:, di equazioni f(n) = n, g(n) = n. Scrivi le equazioni di f g e g f e confrontale.. Il dominio di una funzione composta coincide sempre con quello della sua prima componente?. Se sono date tre funzioni f, g e k, la composizione delle tre funzioni ha la proprietà associativa, cioè vale che k (g f ) = (k g ) f? 7 Grafici delle funzioni circolari Siamo ora in grado di tornare sulle funzioni circolari, seno, coseno e tangente, che abbiamo definito in Algebra partendo dal triangolo rettangolo, per esaminarne alcune caratteristiche e tracciarne il grafico nel piano cartesiano. Per le funzioni circolari la variabile indipendente è la misura di un angolo, finora data in gradi sessagesimali (o sessadecimali). L angolo è generato dalla rotazione di una semiretta intorno alla sua origine, mentre l altra semiretta lato dell angolo rimane fissa. Partendo dalla situazione in cui le due semirette sono sovrapposte, e l angolo ha misura 0, in una rotazione completa si generano gli angoli da 0 a 60. Misurando gli angoli in radianti, possiamo associare a ogni angolo un numero reale tra 0 (misura dell angolo nullo) e π, misura in radianti dell angolo giro. Dalla proporzionalità tra angoli al centro e gli archi corrispondenti in ogni circonferenza: α : 60 = (radianti) : π deduciamo la corrispondenza delle misure gradi sessagesimali-radianti, di cui raccogliamo in una tabella quelli più usati: Angolo a Angolo (radianti) π π π π 0 π π π π 6 π Le due immagini delle rotazioni nella circonferenza nelle figure 7.a, b mostrano la suddivisione del cerchio in questi angoli, tenendo conto della convenzione per cui è positivo il 7 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

18 verso di rotazione antiorario, e si fa cominciare la rotazione dalla posizione standard dello zero. _ 5 _ 90 _ 5 _ 0 _ _5 70 _ Figura 7.a 5 _7 _ 0 00 _5 Figura 7.b Nel piano cartesiano, si considera la circonferenza goniometrica, che ha centro nell origine (0; 0) e raggio unitario: R =. La sua equazione è: + = Preso un punto P qualsiasi sulla circonferenza (fig. 8), si ha H = P, K = P. Al punto P corrisponde l angolo al centro α =AP, e facendo percorrere al punto P un giro completo sulla circonferenza partendo da A, in corrispondenza l angolo α varia, dal valore di 0 quando P A,a 60 quando P ha concluso tutto il giro, ritrovandosi nuovamente in A. Figura 8 Consideriamo il triangolo rettangolo HP. Per definizione delle funzioni goniometriche, si ha: cos α = H = H = senα = HP = K P P P da cui ricaviamo che: = P possiamo leggere i valori delle funzioni goniometriche coseno e seno dell angolo α dalle coordinate cartesiane del punto P che gli corrisponde sulla circonferenza. Ritroviamo così che: quando il punto P percorre in senso antiorario il primo quarto di circonferenza, dal punto A al punto (0; ), l angolo α va da 0 a π, sen α = P va da 0 a, cos α = P diminuisce da a 0; procedendo nella rotazione, P descrive il secondo quarto, da (0; ) a ( ; 0), l angolo α va da π a π. In corrispondenza, sen α diminuisce da a 0, mentre cos α diventa negativo, diminuisce da 0 a ; nel terzo quarto di circonferenza, π < α π il punto P va da ( ; 0) a (0; ), i valori di sen α diminuiscono da 0 a, mentre cos α aumenta da a 0;, nell ultimo quarto di giro, π < α π: < sen α <0, mentre 0 < cos α <. K P (; ) = senα α A = cosα H + = 8 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

19 Segniamo nella tabella i valori che già conosciamo degli angoli notevoli tra 0 e π: Angolo a Angolo (radianti) π π π π 0 π π 6 π sen 0 cos 0 sserviamo così il ripetersi dei valori delle due funzioni, a meno del segno, che dipende dal quadrante in cui si trova P. Cominciamo a disporre sul piano cartesiano, riportando in ascisse le misure in radianti dell angolo α, in ordinate i valori delle funzioni, e costruiamo i loro grafici nell intervallo che corrisponde a un giro completo, che è detto periodo delle funzioni, ed è indicato con T (fig. 9.a, b). = sen π π π π π T = π Figura 9.a = cos π π π π π T = π Figura 9.b Vediamo con chiarezza: l andamento a onda; il codominio C D = { +} Il dominio delle due funzioni è D =, come si intuisce dalle parti tratteggiate di grafico che si vedono. Il grafico, infatti, continua sia per le < 0 sia per le π, ripetendo all infinito il tratto in colore, 0 < π, che è il periodo principale. 9 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

20 La forte parentela tra le due funzioni, che analizzeremo con cura in seguito nella parte di goniometria, è messa in evidenza nella figura 0, in cui le due curve compaiono insieme. π = sen π π π π = cos T = π Figura 0 Per quanto riguarda la tangente dell angolo α, ricordiamo che essa è data dal rapporto tra seno e coseno: sen α tg α = cos α Perciò, se P appartiene alla circonferenza goniometrica, possiamo scrivere: tg α = P Abbiamo calcolato alcuni valori di tg α e li raccogliamo nella tabella che segue. Angolo a Angolo π π π π 0 π π π (radianti) 6 tg 0 0 P non è definita 0 La tangente riprende gli stessi valori quando l angolo α supera π, perciò diciamo che la funzione = tg ha periodo T = π. Esiste poi un valore, = π, in cui non è definita, perché il denominatore si annulla: infatti, cos π = 0. Il suo dominio, allora, non è tutto l intervallo corrispondente al periodo 0 < π, ma bisogna porre la condizione π, e tenerne poi conto anche nei periodi successivi. = tgα = π T = π A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente non è limitata, ha come codominio tutto. Proponiamo nella figura il grafico della funzione tg, mettendo in evidenza, come per le altre, il periodo principale. Figura 0 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

21 8 Invertibilità e funzione inversa dal contesto al modello Incontriamo un cartello stradale che segnala una discesa pericolosa con pendenza dell 8%. Di quale angolo rispetto al piano orizzontale è l inclinazione della strada? Schematizziamo la situazione tracciando il profilo del terreno (fig. ). 8 m 00 m Figura La pendenza è il rapporto tra i due cateti del triangolo tracciato, nel caso della strada è il rapporto tra lo spostamento verticale e quello orizzontale. Essendo data in percentuale, se usiamo come unità di misura i metri, la pendenza dice che ogni 00 m in orizzontale si fanno 8 m in verticale. Chiamando l angolo segnato in figura, il dato che abbiamo esprime che: tg = 8 = 00 Da questo valore della funzione tangente possiamo risalire alla misura dell angolo. Si tratta allora di invertire la funzione tangente, che, invece, dato l angolo, permette di calcolare la pendenza. Se, infatti, usiamo la calcolatrice, dobbiamo impostare la funzione inversa della tangente (tasto tan ), che ha nome arcotangente. Troviamo artg (0,08),57, cioè l angolo di inclinazione della strada è un po di più di gradi e mezzo. 008, Mettiti alla prova. Se una strada ha una pendenza dell 8%, percorrendo un tratto di discesa che corrisponde a uno spostamento orizzontale di 50 metri, di quanti metri ci si abbassa? Qual è la differenza di percorso tra lo spostamento orizzontale e lo spostamento effettivo lungo la strada?. A quale inclinazione corrisponde la pendenza del 00%? Ha senso il cartello stradale qui riprodotto? Abbiamo visto nel volume Algebra che, data una funzione f :X Y di equazione = f (), la sua funzione inversa, se esiste, è la funzione f :Y X che associa a ogni Y la sua controimmagine X nella f. = f () = f () Una funzione che ammette funzione inversa è detta invertibile. La condizione per cui una funzione è invertibile è che sia biiettiva, cioè iniettiva e suriettiva. Se una funzione = f () è invertibile, come determiniamo la sua funzione inversa? Agiamo sia dal punto di vista algebrico sia da quello geometrico. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

22 Ricaviamo l equazione della funzione inversa Dall equazione = f () si ricava con passaggi algebrici (invertendo le operazioni) la variabile in funzione di : = f () sserviamo che ciò produce anche lo scambio tra dominio e codominio. ESEMPI. Consideriamo la funzione f : di equazione = f (): =. Essa associa a ogni numero reale uno e un solo numero reale, il suo triplo, ed è iniettiva. La sua funzione inversa = f () associa a ogni numero reale quel numero che, moltiplicato per, dà : la sua espressione algebrica è: =. Dunque, f :, f() = è invertibile, l inversa è f :, f () =.. Quando eleviamo al cubo un numero reale, operiamo tramite la funzione f : di equazione = f (): =. È una funzione iniettiva e suriettiva, perciò invertibile. La sua funzione inversa f : associa a ogni la sua radice cubica, ha dunque equazione =. Costruiamo il grafico della funzione inversa Per come è definita, una = f () invertibile e la sua inversa = f () hanno lo stesso grafico, nel quale si inverte la lettura: nella funzione diretta = f () si parte da e si va a (fig..a); nell inversa = f () si parte da e si torna a (fig..b). = f() P(; f()) P(f (); ) = f () = f() = f () Figura.a Figura.b Tuttavia, il grafico della figura.b non ci soddisfa completamente, perché non corrisponde alle abituali convenzioni che abbiamo adottato, fin dall inizio, per rappresentare le funzioni nel piano cartesiano: rappresentare la variabile indipendente sull asse delle ascisse (per questo denominandola abitualmente con la lettera ); rappresentare la variabile dipendente sull asse delle ordinate (per ragioni analoghe, denominandola solitamente con ); orientare gli assi cartesiani nella direzione abituale. 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

23 Pensiamo allora di rinominare le variabili nell equazione dell inversa, dando ad esse i nomi cui siamo abituati: alla variabile dipendente diamo il nome abituale, a quella indipendente diamo il nome. Così l equazione = f () è riscritta come Ø Ø = f () che è espressa e rappresentabile come siamo abituati a fare. L operazione di rinominare le variabili in questo modo è equivalente a scambiare tra loro le variabili e : { Abbiamo visto che ciò significa operare una trasformazione geometrica, la simmetria rispetto alla bisettrice = : { = = In questo modo è come se staccassimo il grafico dell inversa da quello della diretta, per ribaltarlo e leggerlo come funzione nel modo solito (fig. ). Figura P(; f()) = f() = P = f () Come regola pratica per ottenere, se è possibile, da una funzione f la sua inversa f e rappresentarla graficamente, operiamo i seguenti passaggi: RICRDA Risolviamo algebricamente l equazione = f() rispetto alla variabile, ottenendo l equazione = f (). Scambiamo tra loro le variabili e, passando all equazione di = f (). Rappresentiamo nel piano cartesiano = f(). periamo la simmetria rispetto alla bisettrice =, ed abbiamo il grafico di = f (). ESEMPI. La funzione di primo grado = è invertibile; ricaviamo dall equazione l inversa: = + Scambiamo le variabili: = + è l equazione di = f (). Rappresentiamo entrambe le funzioni nello stesso riferimento (fig. 5), evidenziando in alcuni punti la simmetria dei due grafici rispetto alla bisettrice =, alla quale necessariamente appartiene l unico punto comune ai due grafici. = = + = Figura 5 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

24 . Se consideriamo la funzione cubo =, la sua inversa = è riscritta come Ø Ø = che esprime la funzione estrarre la radice cubica di come la scriveremmo abitualmente. Mettiti alla prova. Verifica con qualche esempio che, per ricavare da una funzione = f() invertibile l equazione della sua inversa nella forma = f (), ottieni lo stesso risultato se operi in quest ordine: scambia tra loro le variabili e, passando all equazione di = f(); risolvi algebricamente l equazione = f() rispetto alla variabile, ottenendo l equazione = f ().. Se una funzione è invertibile, che cosa si ottiene componendo una funzione f con la sua funzione inversa f?. Esistono funzioni che coincidono con la propria inversa? 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

25 PRVA DI STUDI. Se in un riferimento cartesiano ogni retta verticale interseca un grafico G in un solo punto, possiamo dire che G: a rappresenta una funzione suriettiva b rappresenta una funzione iniettiva c non rappresenta una funzione d rappresenta una funzione. In ciascuno dei seguenti grafici, individua dominio e codominio delle funzioni rappresentate, ségnalo in colore sul grafico e completa: a. D = C D = b. D = C D = c. D = C D =. Fa un esempio per ogni richiesta, fornendo l equazione o il grafico di: a. una funzione che ha come codominio un insieme formato da un solo punto; b. una funzione che ha come codominio l insieme {, 0, }; c. una funzione che ha come codominio l intervallo 0 ; d. una funzione che ha come codominio una semiretta. 5 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

26 PRVA DI STUDI. Il codominio della funzione = + è: a b c d 5. Una funzione definita a tratti è: a la risultante di più funzioni messe a sistema b l intersezione di più parti di diverse funzioni c l unione di più parti di diverse funzioni d una funzione il cui grafico comprende le parti comuni di più grafici. 6. Quali tra le seguenti sono formalizzazioni corrette della funzione rappresentata nel grafico? a f() = = + 0 = + > 0 b c = + = + f() = = + = + per 0 per > 0 d f() = = + 0 = Date due funzioni f e g, la loro funzione composta g f: a si può fare solo se f e g hanno in comune il dominio b si può fare solo se il codominio di f ha punti in comune con il dominio di g c si può fare solo se il codominio di f coincide con il dominio di g d si può fare solo se il codominio di f ha punti in comune con il codominio di g 8. Date le funzioni f() = e g() = +, la funzione composta h = g f ha equazione: a h() = + + c h() = + b h() = + d h() = + 9. Quale tra le seguenti funzioni è invertibile? = = a b d = d = 0. Quale tra le seguenti è l equazione della funzione inversa di =? = = + = a b d + d = RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

27 ? DI CHE CSA ABBIAM PARLAT Una funzione f :A B è una corrispondenza univoca tra A e B, cioè associa a un elemento a A uno e un solo elemento b B. Se A e B sono insiemi di numeri reali, paliamo di funzione reale di varabile reale. Una funzione f : può essere individuata algebricamente dalla sua equazione nella forma = f () oppure geometricamente dal suo grafico cartesiano. Questo è l insieme di tutti i punti P(; ) nel piano cartesiano le cui coordinate e sono legate dalla funzione. Per analizzare una funzione, o attraverso l equazione o attraverso il grafico, ne determiniamo il dominio, gli zeri e il segno, stabiliamo se è iniettiva. Le funzioni elementari di cui conosciamo tali elementi e che sappiamo rappresentare sono: le funzioni costanti = k le funzioni potenza di primo grado = m o = a + b le funzioni potenza di secondo grado = a o = a + b + c la funzione valore assoluto = la funzione razionale fratta = k o = k Dalle funzioni che conosciamo possiamo formare nuove funzioni unendo tratti di funzioni e di grafici: abbiamo cioè funzioni definite a tratti. Sulle funzioni possiamo anche definire una nuova operazione detta composizione. Date due funzioni = f () e z = g (), se il codominio di f ha intersezione con il dominio di g, si può operare applicando g all immagine = f (), ottenendo così la funzione g (f ()). La funzione composta si indica anche con g f. Possiamo rappresentare graficamente anche le funzioni circolari, che associano a un numero reale, che esprime la misura in radianti di un angolo, un numero reale, dato dal rapporto delle lunghezze di segmenti associati all angolo. Se un funzione = f () è iniettiva e suriettiva, è invertibile. L equazione della funzione inversa = f () si può ottenere nella forma abituale scambiando tra loro e. Geometricamente, ciò equivale a farne il grafico operando la simmetria rispetto alla retta =, bisettrice del I e III quadrante. 7 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

28 ESERCIZI Le nozioni fondamentali Il linguaggio delle funzioni Scrivere un equazione = f() che formalizzi le seguenti funzioni, espresse a parole Sommare alla metà di un numero. Sommare al quadrato di un numero il quadrato di 5. Sottrarre a un numero il suo quadrato. Sommare all opposto del quadrato di un numero il suo doppio. Elevare al quadrato un numero aumentato di. Elevare al cubo la somma della metà di un numero e 8. Fare il reciproco di un numero. Fare il reciproco di un numero aumentato di. Sommare a un numero il suo reciproco. Sommare a un numero la sua radice quadrata. Fare la radice quadrata di un numero diminuito di. Moltiplicare un numero per il suo quadrato diminuito di. Sommare a un numero il suo valore assoluto. Moltiplicare il quadrato di un numero per il suo valore assoluto. Sottrarre a un numero il quadrato del suo reciproco. Descrivere a parole le funzioni date dalle seguenti equazioni in = + = + + = + ( + ) = = = = + = = 9 = ( ) = + 5 = 6 = = +0 = Usando il criterio della retta verticale riconoscere, in ciascuno dei seguenti gruppi di grafici, quali rappresentano funzioni. a. b. 8 0 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

29 a. b. c. a. b. a. b. c. 5 a. b. c. 6 a. b. 7 Usando il criterio della retta orizzontale decidere, tra i grafici degli esercizi dal al 6 che rappresentano funzioni, quali sono anche funzioni iniettive. Calcolare le funzioni date nei valori assegnati della variabile indipendente, eventualmente semplificando. 8 f( ) = + 5 a. b. f f ( ) = 7 c. =... f ( 5) =... 9 f( ) = + a. f ( ) =... b. f ( 5 ) =... c. f ( 0 ) = RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce