Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi.

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1 Iroduzioe () Ua defiizioe (geerale) del ermie qualià: qualià è l isieme delle caraerisiche di u eià (bee o servizio) che e deermiao la capacià di soddisfare le esigeze espresse ed implicie di chi la uilizza. Di solio si parla di qualià co riferimeo a prodoi fisici o a servizi. La disizioe è rilevae: o sempre srumei adeguai per valuare la qualià di u prodoo possoo essere adeguai per u servizio. Nel seguio uavia si preseerao meodologie che co le dovue accorezze possoo essere uili i erambi i casi. Iroduzioe () Prodoi e servizi soo realizzai per mezzo di processi produivi. Ua defiizioe di processo produivo: u processo produivo è u isieme di risorse e di aivià ra loro iercoesse che rasformao degli elemei i igresso (ipu) i elemei i uscia (oupu). Tra gli ipu si disigue ra ipu corollabili ed ipu o corollabili da pare di chi govera il processo. Iroduzioe (3) Aspei geerali della qualià:. la qualià di progeo; i bei e servizi soo prodoi co vari gradi di qualià; ali gradi soo iezioali. la coformià alle ormaive; fa riferimeo all adereza del prodoo alle specificazioi e olleraze assegaegli i fase di progeazioe. Ogi prodoo possiede u cero umero di elemei misurabili che coribuiscoo alla formazioe della qualià del prodoo. Quesi elemei vegoo idicai co il ome di caraerisiche di qualià. Caraerisiche di qualià () Le caraerisiche di qualià possoo essere di diverso ipologie, ad esempio: fisiche, sesoriali, comporameo el empo. I geere quado le caraerisiche di qualià soo misure espresse su ua scala coiua si parla di variabili. Quado ivece si fa riferimeo a caraerisiche o umeriche (ad es. difeoso o o difeoso) si parla di aribui.

2 Caraerisiche di qualià () Il valore desiderao per ua caraerisica di qualià è defiio valore omiale (o valore arge). Olre al valore omiale può essere idicao u iervallo di valori, ipicamee u ioro del valore omiale, ale che se il valore della caraerisica di qualià riera i ale iervallo il prodoo viee rieuo coforme. Il limie superiore di queso iervallo è deo limie di specifica superiore (USL, Upper Specificaio Limi); il limie iferiore è deo limie di specifica iferiore (LSL, Lower Specificaio Limi). Talvola per alcue caraerisiche di qualià ha seso forire solamee specifiche uilaerali. Caraerisiche di qualià (3) La variabilià delle caraerisiche di qualià è u aspeo molo delicao per la qualià del prodoo. Le aziede ifai ivesoo risorse per assicurarsi che i valori delle caraerisiche di qualià dei prodoi realizzai siao il più vicio possibile ai valori omiali. Tuavia esise sempre u livello di variabilià elle caraerisiche di u prodoo e la qualià del prodoo dipede dall ammoare della variabilià. Poiché la variabilià può essere descria solamee i ermii saisici, i meodi saisici hao u ruolo cerale elle aivià legae al migliorameo della qualià. Caraerisiche di qualià (4) Nella figura soo visualizzae le disribuzioi di due caraerisiche di qualià. Si può oare il diverso livello di variabilià ed è iuiivo compredere che ua maggiore variabilià aumea la probabilià di produrre u elemeo che o rispea le specifiche. Caraerisiche di qualià (5) La variabilià può maifesarsi i diversi modi o i ua uià di prodoo o ra uià di prodoo o el empo Iolre la variabilià è dovua ad almeo quaro cause (4M):. Ma. Machie 3. Mehods 4. Maerials LSL valore omiale USL

3 Caraerisiche di qualià (6) La variabilià o è oalmee elimiabile; u cero grado di variabilià può essere rieuo ollerabile, o fisiologico, per u dao processo produivo. Queso ipo di variabilià viee idicaa ache co il ome di variabilià aurale. Il corollo della qualià ha l obieivo di maeere la variabilià el processo e el prodoo ad u livello aurale. Il migliorameo della qualià mira ad ua riduzioe della variabilià el processo e el prodoo. Il Corollo Saisico di Processo U processo produivo dovrebbe essere sabile ed operare co ua variabilià ridoa ioro al valore obieivo (arge) specificao per la caraerisica di qualià di ieresse. Il corollo saisico di processo, SPC (Saisical Process Corol), è cosiuio da u isieme di srumei uili per garaire la sabilià e ridurre la variabilià del processo. Tra gli srumei del SPC la cara di corollo è lo srumeo ecicamee più imporae. Le care di corollo soo sae sviluppae da W. A. Shewhar (Bell Telephoe Laboraories) el 9 ed i leeraura soo idicae co il ome di care Shewhar. Variabilià el processo produivo () Ogi processo produivo è caraerizzao da ua cera variabilià aurale, che è dovua all azioe cogiua di mole piccole cause e geeralmee o è addebiabile a sigoli faori corollabili: usualmee i quese codizioi ale variabilià è piccola. Quado u processo produivo è caraerizzao solo da ua variabilià aurale, si può affermare che il processo opera soggeo ad u sisema di cause accideali o comui. Nella ermiologia del SPC, u processo che opera soggeo solo ad u sisema di cause accideali è i uo sao di corollo saisico. Variabilià el processo produivo () Alre foi di variabilià, dovue a faori be idividuabili e corollabili, possoo ierveire el processo produivo alerado ed aumeado la variabilià aurale fio a valori o acceabili per gli sadard di qualià. I queso caso si può affermare che il processo opera soggeo ad u isieme di cause sisemaiche o speciali. U processo che opera i preseza di cause sisemaiche è u processo fuori corollo saisico.

4 Variabilià el processo produivo (3) Variabilià el processo produivo (4) Quado u processo produivo è be progeao e arao opera i uo sao di corollo saisico. Cause sisemaiche possoo ierveire el processo provocado: a) u alloaameo del valore medio della caraerisica di qualià dal valore arge; b) u aumeo della variabilià della caraerisica di qualià; c) sia variazioi ella media sia u aumeo della variabilià. Il risulao è che aumea la produzioe di elemei che o soddisfao le specifiche richiese, co u coseguee peggiorameo della qualià risulae del prodoo ed u dao ecoomico per l azieda. Queso provoca uo sposameo (shif) del processo verso uo sao di fuori corollo saisico shif ella media aumeo della variabilià LSL valore omiale USL Variabilià el processo produivo (5) L obieivo pricipale del corollo saisico di processo è idividuare, el mior empo possibile, lo shif del processo i modo che possao essere prese azioi correive. Le care di corollo () Ua cara di corollo è ua visualizzazioe grafica di ua sequeza di es saisici per verificare lo sao di corollo del processo. Si corolla che el empo: il livello medio del processo si maega uguale al valore obieivo ; la variabilià del processo o aumei rispeo al valore rieuo fisiologico. Le care di corollo coseoo di sorvegliare il processo i corso di produzioe (o-lie) segalado eveuali problemi e coseedo iervei correivi. Foe: D.C. Mogomery (). Il corollo saisico della qualià McGraw-Hill

5 Le care di corollo () Sia X la caraerisica di qualià da corollare; dal processo produivo si esraggoo, ad iervalli regolari di empo, campioi di umerosià. Sia X, X,..., X u geerico campioe e g ( X, X,..., X ) ua saisica campioaria (media campioaria, mediaa campioaria, rage, deviazioe sadard ecc.) uilizzaa per sooporre a verifica il sisema d ipoesi: H : il processo è i corollo H : il processo è fuori corollo Le care di corollo (3) Nella cara è presee ua liea cerale, CL (Ceral Lie), che rappresea il valore medio della caraerisica di qualià i geere corrispodee al valore desiderao ell ipoesi di corollo del processo. Alre due liee orizzoali ideificao i limii di corollo: UCL (Upper Corol Limi) il limie di corollo superiore e LCL (Lower corol limi) il limie di corollo iferiore. la cara di corollo è la visualizzazioe grafica dei risulai campioari rispeo al empo. Le care di corollo (4) Le care di corollo (5) UCL CL LCL UCL CL LCL segale di allarme 5 5 isai campioari Esempio di Cara di Corollo isai campioari Esempio di Cara di Corollo

6 Le care di corollo (6) UCL e LCL vegoo deermiai prima di iiziare l ispezioe campioaria, i modo ale che quado il processo è i corollo la probabilià che i valori della saisica es cadao all iero di ali limii sia elevaa. Quado u valore della saisica es cade al di fuori dei limii di corollo si ha u segale di allarme o segale di fuori corollo: l evideza empirica pora ad acceare H. I quesi casi è ecessario fare uleriori corolli sul processo per verificare se siao ierveue cause speciali e se ecessario irapredere azioi correive. Le care di corollo (7) I realà le regole di decisioe soo più complesse. Ifai o si esamia solo la posizioe del sigolo puo campioario rispeo ai limii di corollo, ma si fa ache u esame della sequeza di pui per verificare l eveuale preseza di adamei sisemaici che possoo essere dovui a siuazioi di fuori corollo. I alcue siuazioi possoo essere presei ache i limii di guardia: UWL (Upper Warig Limi) il limie di guardia superiore; LWL (Lower Warig Limi) il limie di guardia iferiore. Sul loro sigificao ed uilizzo si rimada ai paragrafi seguei. Cosruzioe di ua cara di corollo () Il modello geerale per ua cara di corollo è il seguee. Si suppoga di voler corollare il seguee sisema d ipoesi: H Y il processo è soo corollo H il processo è fuori corollo : : Idichiamo co Y g ( X X X ) Y,,..., la saisica campioaria relaiva ad ua caraerisica di qualià che si desidera corollare co E Y e V ( Y ) Y. ( ) Y Cosruzioe di ua cara di corollo () Se defiiamo UCL Y + k Y CL Y LCL - k Y Allora i faori k e k soo fissai i modo che soo H Pr { Y ( LCL, UCL)} α (α rappresea la probabilià di u falso allarme) Y

7 Cosruzioe di ua cara di corollo (3) Si oi che se la disribuzioe di Y è simmerica e α P Y UCL P Y LCL allora k k k α /. ( ) ( ) La fuzioe es è basaa sulla saisica si accea H se si accea H quado oppure ( X ) Y g X, X,..., LCL k < Y < + k UCL Y Y Y Y Y UCL Y LCL Cosruzioe di ua cara di corollo (4) La probabilià α corrispode alla probabilià dell errore di primo ipo ella eoria di verifica delle ipoesi. Nel corollo saisico di processo α corrispode alla probabilià di segalare u fuori corollo quado il processo è i corollo (quado H è vera). Comuemee α viee idicaa co il ermie probabilià di u falso allarme. U falso allarme pora ad ua ierruzioe del processo, o comuque ad u isieme di corolli iuili ed il risulao può essere u dao ecoomico per l azieda. Cosruzioe di ua cara di corollo (5) Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio () La probabilià di u macao allarme è ivece daa da: P Y ( LCL, UCL H β ( ) La probabilià β corrispode alla probabilià di commeere l errore di secodo ipo ella verifica d ipoesi. U macao allarme pora ad u aumeo della difeosià ella produzioe i quao o si rileva che il processo ha subio uo shif: ache i queso caso si ha u dao ecoomico per l azieda i quao si ha u aumeo della produzioe o coforme. U esempio può aiuare a chiarire alcui dei cocei espressi sopra. Cosideriamo la produzioe di u farmaco. Ua caraerisica di qualià criica per queso ipo di processo produivo è il coeuo di pricipio aivo, X, el farmaco che assumiamo disribuio ormalmee: X N,. ~ Il processo è soo corollo se il coeuo di pricipio aivo elle cofezioi prodoe è pari a milligrammi. La deviazioe sadard della caraerisica di qualià si suppoe oa. 7 mg. I praica si vuole corollare il livello medio della caraerisica di qualià ovvero H : il processo è soo corollo H : il processo è fuori corollo

8 Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio () Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (3) Per corollare il processo si esrae ogi ora u campioe casuale di 5 uià di prodoo (cofezioi di farmaco) e si misura i coeuo di pricipio aivo. Si può calcolare quidi la media del campioe xi i x Queso valore è ua realizzazioe della variabile aleaoria media campioaria Xi i X che soo l ipoesi H si disribuisce ormalmee: X N, Fissaa ua probabilià α (probabilià di u falso allarme) si può scrivere P zα / < X < + zα / α Quidi i limii di corollo risulao zα / UCL + zα / LCL e la liea cerale risula pari a CL Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (4) Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (5) Se α. si ha z α / 3. 9, i limii risulao UCL + zα /. 97 LCL zα / Defiedo co δ lo shif sadardizzao, el caso i esame si ha δ Suppoiamo ora che sia vera l ipoesi H :, i paricolare Queso sigifica che sul paramero media del processo produivo è avveuo uo shif. E' ieressae calcolare la probabilià di u macao allarme β. Soo l ipoesi H si ha che X N,

9 Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (6) segue che β P Y ( LCL, UCL) H P X + zα/ P X zα/ + zα/ zα/ X X P P Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (7) Ricordado che Si oiee δ z α z α β Φ δ Φ δ dove co Φ( i ) si è idicaa la fuzioe di riparizioe di ua variabile casuale ormale sadardizzaa Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (8) Cosruzioe di ua cara di corollo Esempio (9) Poiché el osro caso δ -.4 ( ) ( ) β Φ Φ ( ) ( ) Φ Φ La probabilià β è ua fuzioe di, ampiezza del campioe, di δ, ampiezza dello shif e di α, probabilià dell errore di primo ipo δ Probabilià β

10 Limii di corollo () Il posizioameo dei limii di corollo dipede dagli errori α, probabilià di u falso allarme, e β, probabilià di u macao allarme. I limii di corollo, fissaa u ampiezza campioaria, dipedoo dalla probabilià α: se α dimiuisce i limii di corollo diveao più ampi, cosegueemee però β aumea; se si aumea α i limii di corollo diveao più srei e cosegueemee β dimiuisce. Si comprede quidi che o si riescoo a redere miimi coemporaeamee sia α che β. Limii di corollo () Nella prassi si possoo seguire due srade:. se è fissao, si fissa α e si deermia β cosegueemee. se può variare, si fissao α e β e si deermia cosegueemee. Per deermiare i limii di corollo elle care di ipo Shewhar esisoo delle covezioi o liee guida. I Europa, per i limii di corollo si usa fissare u valore per α (probabilià di u falso allarme) oppure ragioare su alcue fuzioi legae ad α come la fuzioe ARL di cui parleremo i seguio. Limii di corollo (3) Per esempio, sabilire che la probabilià di u falso allarme è pari α. el caso di popolazioe ormale corrispode ad u k / z / α α Negli USA, idipedeemee dalla disribuzioe della caraerisica oggeo di corollo, si è solii idividuare i limii di corollo come muliplo della deviazioe sadard della saisica es. Il muliplo soliamee scelo è k3 (regola del 3-sigma). La scela dei limii 3-sigma forisce i geere buoi risulai elle applicazioi e ei casi i cui la vera disribuzioe della caraerisica di qualià o è oa. Limii di guardia o di sorvegliaza Olre ai limii di corollo possoo essere presei dei limii più ieri chiamai limii di guardia o sorvegliaza. Tali limii, chiamai UWL e LWL (Upper Warig Limi e Lower Warig Limi), vegoo deermiai specificado u valore di probabilià α > α ad esempio α. 5 che corrispode ad u valore z α. 96. Negli / USA si usa per i limii di guardia la regola -sigma. U valore della saisica campioaria iero ai limii di corollo, ma esero ai limii di guardia è u eveo che pur o essedo u segale di fuori corollo ha ua probabilià o elevaa di verificarsi, quidi soo opporui uleriori acceramei sul processo produivo.

11 Numerosià campioaria e frequeza di campioameo () Numerosià campioaria e frequeza di campioameo () I geerale ao più è grade il campioe ao più è facile idividuare piccoli sposamei del processo. Queso lo si può verificare se si calcolao le misure delle presazioi di ua cara di corollo: la fuzioe di poeza o, il suo complemeo a uo, la curva operaiva caraerisica. La probabilià di rilevare ua variazioe (shif), visa come fuzioe di e dell ampiezza δ dello shif, è daa dalla fuzioe di poeza (G) G P Y ( UCL, LCL ) H { } δ Fuzioe di poeza Numerosià campioaria e frequeza di campioameo (3) Numerosià campioaria e frequeza di campioameo (3) La fuzioe Curva Operaiva caraerisica (CO) di ua cara di corollo esprime ivece la probabilià di o rilevare uo shif { ( ) } CO P Y UCL, LCL H sempre come fuzioe dell ampiezza del campioe e della variazioe. La fuzioe di poeza è ua fuzioe crescee sia di sia dell ampiezza i valore assoluo dello shif. La curva operaiva caraerisica ha per defiizioe u comporameo complemeare. Si può quidi deermiare i fuzioe dello shif del processo che si vuole idividuare co ua cera probabilià. Nella praica, ache per ragioi di coso, è coeuo ( 5) δ Curva operaiva caraerisica 5 5

12 Frequeza di campioameo U elevaa frequeza di campioameo compora u mior empo per idividuare eveuali aomalie el processo. Ache i queso caso è imporae ricordare che u elevaa frequeza di campioameo compora u aumeo ei cosi d ispezioe. Nella praica si edoo a privilegiare, salvo idicazioi corarie, piccoli campioi co ua frequeza di campioameo elevaa. La fuzioe ARL () U imporae misura sulla quale basarsi per predere decisioi sull ampiezza campioaria e frequeza di campioameo è cosiuia dalla fuzioe ARL (Average Ru Legh - lughezza media delle sequeze). Si defiisca co RL la variabile casuale discrea che descrive il umero di campioi che è ecessario osservare per rilevare u segale di fuori corollo: RL il umero di campioi da esrarre per avere u segale di fuori corollo La fuzioe ARL () La fuzioe ARL è il valore aeso della variabile RL: ARL E( RL ) ovvero il umero medio di campioi da esrarre per avere u segale di fuori corollo. Per campioi rilevai ad iervalli di empo regolari ARL è ua misura del empo medio di aesa per u segale di fuori corollo. L ARL è ua fuzioe dello sao del processo: se il processo è i corollo l ARL dovrebbe essere alo; se il processo è fuori corollo l ARL dovrebbe essere piccolo. La fuzioe ARL (3) Si suppoga di essere i regime di H. La probabilià di u fuori corollo è α, segue che RL ha ua disribuzioe geomerica co paramero p α: P RL m p( p) m e la fuzioe ARL(H ) è { } p α ( ) ( ) ( ) k ARL H E RL k p p k

13 La fuzioe ARL (4) Co α. si ha ARL(H )5. Queso vuole dire che se il campioameo avviee ogi ora ci si aede i media u falso allarme ogi 5 ore. Si suppoga di essere i regime di H. La probabilià di avere u segale di fuori corollo è -β, segue che RL ha ua disribuzioe geomerica co paramero p-β ( ) ( p) m P RL m p e la fuzioe ARL(H ) è p β k ARL( H) E( RL ) k( p) p k Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici () Ua cara di corollo idica ua siuazioe di fuori corollo quado: a) uo o più pui superao i limii di corollo; b) si è i preseza di u comporameo o casuale della sequeza dei valori della saisica es. E imporae osservare o solo il sigolo isae campioario. Cosideriamo m campioi (prove) idipedei i cui α è la probabilià di u falso allarme. Sia Z la variabile aleaoria che eumera i pui fuori corollo (soo H ) su m campioi. La probabilià di avere esaamee Zr è daa da m r m r P ( Z r ) α ( α ) Bi( m, α ) r Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici () Il valore aeso della variabile Z è dao da E( Z) mα che rappresea il umero di pui fuori corollo su m campioi quado il processo è soo l ipoesi H. Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici (3) Cosideriamo ora la probabilià di avere almeo u falso allarme su m campioi P Z Pr Z ( α ) m ( ) ( ) o quesa probabilià è ua fuzioe crescee di m Pr Z o per m si ha ( ) o o è rascurabile per m> Ad esempio, co α.7 (regola 3-sigma) e m, si ha 53 5 P Z.. P ( Z ). co P ( Z ). e ( ) Quidi: co u puo fuori corollo è acora elevaa la probabilià di giugere a coclusioe errae (acceare H quado è vera H ); co due o più pui fuori corollo ivece quasi ceramee il processo è effeivamee fuori corollo.

14 Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici (4) U Ru è ua sequeza di osservazioi dello sesso ipo: Ru up sequeza crescee; Ru dow sequeza decrescee. Si possoo iolre osservare sequeze di pui ui sopra CL o ui soo CL. Ogi sequeza può essere probabilizzaa e ua sequeza o Ru di lughezza 8 ha ua probabilià molo bassa di verificarsi. Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici (5) Perao la preseza di ale Ru è idicaivo di ua siuazioe di fuori corollo, ache se ui i pui cadoo ero i limii di corollo. Per idividuare comporamei o casuali ella care Shewhar esisoo delle regole di decisioe (Ru rules) suggerie el 956 dalla Weser Elecric. Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici (6) Alcue di quese regole soo riporae di seguio, mere per ua raazioe più aricolaa si rimada a Mogomery (6). Il processo è fuori corollo se:. uo o più pui soo fuori dai limii di corollo. pui su 3 cosecuivi soo fuori dai limii di guardia 3. 8 pui cosecuivi ui al di sopra o al di soo di CL Più i geerale u comporameo visivamee o casuale dei pui Regole di decisioe e aalisi degli adamei ipici (7) Bisoga fare aezioe ad eserciare più di u crierio di decisioe perché aumea la probabilià di falsi allarmi. Cosideriamo k crieri di decisioe e sia α i la probabilià di commeere l errore di primo ipo del crierio i-esimo (i,,,k). Segue che la probabilià di u falso allarme basaa su k es idipedei k α ( α ) i Quidi α > αi co α che cresce al crescere di k. I coclusioe se le Ru Rules aumeao la sesibilià della cara di corollo el rilevare lo sao di fuori corollo, aumeao ache la probabilià di falsi allarmi. i

15 Sima dei parameri del processo da u preru () Nella praica, l ipoesi di rieere oi i parameri del processo produivo, che qui idichiamo i modo geerico co e, o è quasi mai soddisfaa. Quidi è ecessario simarli sulla base di u cero umero m (m3-35) di campioi prelimiari opporuamee esrai i u periodo i cui il processo viee rieuo soo corollo. Tale isieme di campioi viee idicao co il ermie preru. Il preru risula quidi formao da m campioi di ampiezza Sima dei parameri del processo da u preru () Idicado co x, x,, xm le medie di ciascu campioe uo simaore della media icogia del processo è la media degli mcampioi: x, x,, x m m ˆ x Se ache la variabilià del processo o è oa, allora è ecessaria simarla. I due simaori più comui di uilizzao i rage o le deviazioi sadard degli m campioi. Sima dei parameri del processo da u preru (3) Sima dei parameri del processo da u preru (4) Sul preru di dai possoo essere calcolae diverse saisiche riassuive, riferedosi ad ogi sigolo campioe o alla loro oalià (il umero dei campioi di dai prelimiari aalizzai verrà idicao co la leera m): x j x + + x + + x j ij j i,, ; j,,m ; sigolo campioe ; S R x x ; j j max j mi j S i j ( x ) ij x j sulla oalia dei campioi prelimiari x + + x + + x x m S + + S + + S S m R + + R + + R R m j m j m j m

16 Sima dei parameri del processo da u preru (5) Sima di ˆ x (x è uo simaore correo del paramero di locazioe) Sima di : due simaori diversi, a secoda che si usi la deviazioe sadard media (S) o il rage medio (R): S ˆ c4 R ˆ d I faori c 4 e d dipedoo dalla umerosià campioaria. (Appedice A6 Mogomery (6)). Sima dei parameri del processo da u preru (6) Riguardo alla sima basaa sulla saisica Rage è opporuo ricordare che se la caraerisica di qualià è disribuia ormalmee X ~ N (, ), allora la deviazioe sadard di R è R d 3 ed essedo o oa si può simare Rco ˆ R R d3 d Sima dei parameri del processo da u preru (7) Riguardo alla sima basaa sulla saisica S è opporuo ricordare che se la caraerisica di qualià è disribuia ormalmee X ~ N (, ), allora la deviazioe sadard di S è S c 4 ed essedo o oa si può simare Sco S ˆ S c c 4 4

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