Statistica descrittiva

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1 Statstca descrttva. Indc d poszone. Per ndc d poszone d un nseme d dat, ordnat secondo la loro randezza, s ntendono alcun valor che cadono all nterno dell nseme. Gl ndc pù usat sono: I. eda. II. edana. III. oda. I. eda. La meda d una dstrbuzone d valor deve fornre un ndcazone sntetca de dat della dstrbuzone secondo un crtero da scelere. Esstono var tp d meda (artmetca, eometrca, quadratca, armonca) che tenono conto de crter scelt per determnarla, ma la pù mportante è: a) La meda artmetca. Per un nseme d valor X { x,x, K,x} s defnsce meda artmetca o meda la quanttà [ ] x X x (.) Ovvamente la meda artmetca rappresenta quel valore che sosttuto a cascuno de dat non altera la loro somma. A tale tpo d meda (che è la pù usata) s fa rcorso quando prevale l aspetto addtvo de termn della dstrbuzone. Se valor s presentano con rspettve frequenze f s parla d meda ponderata defnta da: x el caso d dat raruppat n class le formule (.) e (.) contnuano a valere con l avvertenza d consderare l numero delle class, x l valore centrale della - esma classe e f la relatva frequenza. [ ved esempo n..doc]. Pa. [ ] x f X (.) f

2 Propretà della meda artmetca: Se a e b sono due costant è facle verfcare che: [ ] [ a ] [ ] X + a X + a (.3) X a X (.4) a X + b a + b (.5) X b) La meda eometrca. Data una dstrbuzone d dat X { x,x, K,x} s defnsce meda eometrca semplce la radce n-esma del loro prodotto: x x L x Sosttuendo a cascuno de dat l prodotto d quest rsulta nalterato. Propretà della meda eometrca: a) La meda eometrca de recproc è uuale al recproco della meda eometrca. ( r) L x x x b) Date due dstrbuzon X { x,x, K,x} e Y { y,y, K,y} la meda eometrca de rapport è uuale al rapporto tra le mede eometrche delle due dstrbuzon. Osservazone: Il loartmo della meda eometrca è la meda artmetca de loartm de snol termn. Esemp: ) Inserre fra termn 04 e 4,66 un termne che con due dat costtusca una proressone eometrca: Il termne cercato è la meda eometrca de due termn: 04 4,66 09, Pa.

3 ) Un captale C vene mpeato ad nteresse composto ed a tasso varable per 4 ann secondo l seuente schema: anno (7%); anno (7,5%); 3 anno (7,8%); 4 anno (8,%) Calcolare a quale tasso annuo costante l captale darebbe lo stesso montante alla fne del 4 anno: Indcando con l tasso annuo rchesto s ha: da cu rsulta: (, 07) (, 075) (, 078) (, 08) ( + ) 4 C C 4 +,07,075,078,08,0756 ossa l fattore d captalzzazone a tasso annuo costante è la meda eometrca de fattor relatv a snol ann. Se valor s presentano con rspettve frequenze f s parla d meda eometrca ponderata defnta da: dove f+ f + L + f. S ha anche: ( ) ( ) ( ) f f f x x L x Lo f Lo x + L+ f Lo x da cu, calcolando l antloartmo seue la meda eometrca. [ ved esempo n..doc]. el caso d una dstrbuzone per class l calcolo della meda eometrca ponderata s ottene con la stessa formula con l avvertenza d assumere come termn x valor central delle class [ ved esempo n..doc] c) eda armonca S ntende per meda armonca semplce l recproco della meda artmetca d recproc de dat: a + + L+ x x x Pa. 3

4 Per la meda armonca ponderata, ovvamente s ha: a f f f + + L+ x x x ( f+ f + L + f. con f frequenza del dato x ). [ved esempo n..doc] el caso d dstrbuzon n class nelle formule precedent al posto de dat x s devono sostture valor central delle class. Esempo d uso della meda armonca: Una persona deve percorre con una automoble una dstanza d 900 Km prorammando 3 tappe da 300 Km cascuna. In cascuna tappa la veloctà meda è stata, rspettvamente: 80 Km/h, 54 Km/h e 75 Km/h. Determnare la veloctà meda sull ntero percorso. (eserczo proposto). d) eda quadratca S ntende per meda quadratca semplce la quanttà: x + x + L+ x mentre la meda quadratca ponderata è data da: ( f+ f + L + f f x + f x + L+ f x x ). con f frequenza del dato el caso d dstrbuzon n class a dat devono essere sosttut valor central delle class. Osservazone: La meda quadratca è la radce quadratca della meda artmetca de quadrat de snol termn. S osserva che per una dstrbuzone d dat valono le relazon: > > > a Pa. 4

5 II. edana Data una dstrbuzone semplce d valor ordnat X { x,x, K,x} la medana è l termne che occupa l posto centrale. Se termn sono n numero par la medana è la meda artmetca de due termn central. Se la dstrbuzone è ponderata (element che s presentano con certe frequenze) occorre costrure la tabella delle frequenze cumulate dopo d cò la medana è l prmo termne la cu la frequenza cumulata corrspondente supera la semsomma delle frequenze. el caso d dstrbuzon per class la prma classe cu corrsponde una frequenza cumulata superore alla semsomma delle frequenze è la classe medana. S dmostra che l valore della medana è dato dalla seuente formula: m medana l + c (.6) f dove l è l lmte nferore della classe medana; la frequenza cumulata complessva; la frequenza cumulata fno alla classe medana esclusa; f la frequenza ( non cumulata) della classe medana; c l'ampezza della classe medana. [ ved esempo n..doc ] III. oda. La moda d un nseme d numer è l valore che s presenta con la pù alta frequenza. La moda può non esstere o anche non essere unca. Ad es.:. l nseme de numer,,5,7,9,9,9 ha per moda 9.. l nseme 3,5,7,8,9 non ha moda 3. l nseme 3,3,6,7,7,9,0 ha due mode : 3 e 7. Una dstrbuzone che abba una sola moda s dce unmodale. el caso d una dstrbuzone per class d uuale ampezza vene detta classe modale quella a cu corrsponde la maore frequenza. Se le class hanno ampezza dversa al posto della frequenza s fa rfermento al rapporto frequenza/ampezza. Pa. 5

6 Anche nel caso d una dstrbuzone d class s parla d moda ntendendo con cò l valore dato dalla formula: essendo oda l Δ + c (.7) Δ +Λ l confne nferore della classe modale; Δ eccesso della frequenza modale sulla frequenza della classe mmedatamente nferore; Δ eccesso della frequenza modale sulla frequenza della classe mmedatamente superore; c ampezza della clase modale. [ ved esempo n..doc ] La moda è per lo pù utlzzata quando s trattano dat d tpo qualtatvo per qual non è possble utlzzare meda e medana. Ad esempo: In uno stablmento venono restrat cas d malfunzonamento d una macchna controllata da un computer e le loro cause. I dat relatv ad un certo mese sono seuent: fluttuazone d tensone 6 nstabltà del sstema d controllo errore dell operatore 3 strumento usurato e non sosttuto altre cause 5 totale 48 In tal caso s può parlare solo d classe modale: nstabltà del sstema d controllo. In enerale, poché la moda può non esstere o non essere unca o essere lontana dal centro del sstema d dat essa è poco utlzzata. eda, medana e moda sono anche dett ndc d tendenza centrale perché descrvono attorno a quale valore è centrato l nseme de dat. Generalmente la medana è preferble alla meda quando s volono elmnare l effett d valor estrem molto dvers dal altr anche se utlzzare solo dat central può, a volte, costture un lmte per questo ndce. Pa. 6

7 Altr ndc d poszone sono quantl e percentl che sono usat spesso per amp nsem d dat. Ess dvdono l nseme de dat n part uual e sono ndc d poszone non centrale. DEIIZIOE: Il prmo quartle Q è l valore tale che l 5% de dat ordnat è mnore o uuale a Q ; esso vene chamato anche 5-esmo percentle e vene ndcato con P 0,5. Il 75% de dat ordnat è nvece mnore o uuale al terzo quartle Q 3 o 75-esmo percentle P 0,75. Ovvamente l secondo quartle concde con la medana. Per calcolare quartl o percentl vale la seuente reola pratca: REGOLA per l calcolo de quartl o percentl:. s ordnano l n dat n ordne crescente;. s calcola k np essendo p la percentuale rchesta ( 0,5 per l prmo quartle, 0,95 per l 95-esmo percentle etc.); 3. se k è un numero ntero l quartle o percentle relatvo è la meda artmetca del k-esmo e k+-esmo termne de valor ordnat; 4. se k non è un numero ntero lo s arrotonda per eccesso e s scele come quartle o percentle l dato corrspondente della sere. Osservazone: Usando l folo elettronco Excel s può usare la macro relatva senza mettere n ordne dat [ved esempo n.3.xls] che usando una reola un po pù complessa basata sull nterpolazone fra dat adacent, può fornre valor leermente dvers da quell ottenut con la reola pratca. Pa. 7