Appunti sull Aritmetica dei Calcolatori

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1 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea a.a. 6/7 Ultma modfca: 7//6

2 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Sommaro Rappresetazoe de umer atural Teorema della dvsoe co resto Propretà dell operatore modulo Correttezza ed uctà della rappresetazoe de umer ua data base Rappresetazoe su u umero fto d cfre Eserczo (da fare a casa)... Elaborazoe d umer atural tramte ret combatore.... Complemeto Crcuto logco per l operazoe d complemeto Moltplcazoe e dvsoe per ua poteza della base Moltplcazoe per k Dvsoe (quozete) per k Modulo k Estesoe d campo Addzoe Full Adder base Temp d rsposta e crcuto d lookahead Icremetatore Eserczo (da fare a casa) Eserczo (da fare a casa) Eserczo (da fare a casa) Sottrazoe Comparazoe d umer atural Sommatore/sottrattore base Moltplcazoe Moltplcatore co addzoatore x base Algortm per l calcolo teratvo del prodotto Eserczo Dvsoe Dvsore elemetare base Eserczo (da fare a casa) Eserczo svolto Rappresetazoe de umer ter... 47

3 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea 3. Possbl legg d rappresetazoe de umer ter Propretà del complemeto alla radce Eserczo (da fare a casa) Operazo su ter complemeto alla radce Valore assoluto Crcuto d coversoe da CR a MS Cambameto d sego Estesoe d campo Eserczo (da fare a casa) Rduzoe d campo Eserczo (da fare a casa) Moltplcazoe/Dvsoe per poteza della base Shft Logco ed Artmetco Somma Sottrazoe Comparazoe d umer ter Moltplcazoe e dvsoe Crcuto d coversoe da MS a CR Moltplcazoe Eserczo (da fare a casa) Dvsoe Eserczo (da fare a casa) Coversoe d base tra ter Eserczo (da fare a casa) Soluzo degl esercz per casa Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo

4 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea 5. Soluzoe dell eserczo Soluzoe dell eserczo Altr esercz svolt Eserczo Febbrao 6 (umer atural e ter) Soluzoe Eserczo Geao 8 (umer atural) Soluzoe Eserczo Febbrao 5 (umer atural) Soluzoe Eserczo Gugo 4 (umer ter) Soluzoe Eserczo Settembre (umer ter) Soluzoe Verso hstory - //: Modfche d formule a pag. 6, 8-7//: Modfche cosmetche su tutta la parte degl ter (rguardat esclusvamete cose dette a lezoe, o comuque dette meglo a lezoe). - 7//: Agguta d esercz svolt alla fe. - //3: Aggut esercz svolt el testo ed fodo. - 6//3: Agguto l eserczo.7.3 svolto a lezoe. Modfche cosmetche su cose dette a lezoe. - 7//4: Aggut esercz svolt (4.8.3, 4.8.5). - //5: Corrett error el testo e egl esercz. - 8//5: Modfche cosmetche vare. - 7//6: Modfche cosmetche ulteror. 4

5 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Rappresetazoe de umer atural S parte da u cocetto tutvo, che è quello d umero aturale. I atural soo umer co cu s cota. Esstoo defzo pù formal d cosa sa u umero aturale, ma questo ambto o c teressao. U sstema umerco d rappresetazoe d tpo poszoale s compoe d: ) U umero, detto base d rappresetazoe. Nel caso del sstema decmale, è = dec. ) U seme d smbol, dett cfre, a cascuo de qual è assocato u umero aturale compreso tra e. 3) Ua legge che fa corrspodere ad og sequeza d cfre u umero aturale. Dato l umero A N, lo rappreseto base co ua sequeza d cfre ( a a... aa), co a,. Drò tal caso che (... ) A a a aa. Nel caso d sstema umerco d tpo poszoale, la legge che fa corrspodere l umero aturale co la sua rappresetazoe è. = A= a Notazoe poszoale sgfca che, ella rappresetazoe d u umero aturale, ua cfra cotrbusce a determare l umero modo dfferete a secoda della propra poszoe. Ifatt, a secoda della propra poszoe sarà moltplcata per ua dfferete poteza della base. La otazoe poszoale o è l uco modo possble d rappresetare umer. Fo al Europa soo stat usat umer roma, e qual og smbolo ha u valore dpedete dalla propra poszoe (sstema addtvo). Fu peraltro u psao, Leoardo Fboacc, ad trodurre Europa la otazoe poszoale, avedola appresa dagl Arab. Esempo: sstema umerco decmale 3 = dec. Le cfre soo {,,,3, 4,5,6,7,8,9 }. ( 4) = A be guardare, quado dco l umero 54 sto realtà mezoado cotemporaeamete: l umero aturale, quale cocetto tutvo (spesso verrà scrtta lettere: dec ). - la sua rappresetazoe ua qualche base (spesso ) otazoe poszoale. Dovremmo teer dstte le due cose, a rgor d logca. I pratca è dffcle, e qud o ruscremo a farlo sempre. 5

6 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Esempo: sstema umerco esadecmale = sedc. Le cfre soo {,,,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F }. Abbamo che ( A ) = ( ),, ( F ) = ( 5) ( AF) = ( F) ( 6 ) + ( ) ( 6) + ( A) ( 6 ) + ( ) ( 6 ) 3 = ( 5) ( 6 ) + ( ) ( 6) + ( ) ( 6 ) + ( ) ( 6 ) = = 93 Esempo: sstema umerco baro = due. Le cfre soo {, }. Questo è l sstema usato e calcolator per effettuare operazo artmetche.. Teorema della dvsoe co resto Domade. Data ua base d rappresetazoe, posso sempre rappresetare u umero quella base? La sua rappresetazoe, data ua base, è uca? Come facco a trovarla? Quate cfre m servoo? La rsposta a tutte queste domade passa per l seguete: Teorema della Dvsoe co Resto Dato x Z, N, >, esste ed è uca la coppa d umer q, r, co q Z e r N, r<, tale che x= q + r. Dmostrazoe Essteza: Dmostramo che ua coppa d umer co queste caratterstche esste sempre. S prede l asse de umer ter e lo s dvde blocch,( ) +, Z. = = = = = L uoe d quest tervall rcopre tutto quato l asse de umer ter.,( ) + Z. Z Pertato, l umero x fa parte d u tervallo, sa l q -smo. Allora q x ( q ) < +. Defsco allora r= x q, ed ho garaza che r<. Ho qud dmostrato che ua tale coppa esste sempre. 6

7 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Uctà: Suppoamo per assurdo che esstao due coppe ( q, r ) e (, ) x= q + r = q + r, co q Z e r < e r <, co l che ( r r) q r dverse tal che r <. Allora ( q q ) = r r. Però per potes < <. Da questo s rcava che < ( q q ) <, coè che ( q q ) cosegue che q = q. < <. Vsto che, q q Z, e Vsto che q = q, allora ache r = r, cotro l potes. Questo dmostra che la dvsoe col resto ha u uco rsultato. Attezoe: l uctà è garatta dal fatto che r è u umero aturale, compreso tra e -. I forza d quato appea dmostrato, damo a q l ome d quozete, e ad r l ome d resto della dvsoe d x per. D ora avat l dchamo come: Parte tera ferore della frazoe x/beta x q=, r= x r modulo beta.. Propretà dell operatore modulo L operatore modulo ha ua sere d propretà, che vao sapute perché sarao usate el seguto. Dato α N, α > : ) x+ k α α = x α, k Z. Ifatt x + k α x x= α + α x α, e qud x x+ k α = + k α+ x α α. Ma è sempre u umero tero, e x α è sempre u umero compreso tra e α. Qud, per l uctà del teorema della dvsoe co resto, quell soo quozete e resto della dvsoe per α d x+ k α. ) x = x, A N. Ache qu: x < α α+ A. Qud, la dvsoe d x α per α+ A α α α+ A α ha quozete ullo e resto x α. + = +. Ifatt, x y x y ( qx qy) 3) x y x y α α α α propretà dmostrata s ottee la tes. 4) x y = x y. Ifatt, α α α α + = α. Ma applcado la prma α α α α ( x α) ( y α) ( y α) ( x α) x y α x y = x + q y + q = x y + x q + y q + q q α α α α α α α α = x y + k α α α α α 7

8 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Ed applcado acora ua volta la prma propretà s dmostra ache questa.. Correttezza ed uctà della rappresetazoe de umer ua data base Il teorema della dvsoe co resto m cosete d trovare la rappresetazoe d u umero aturale ua qualuque base. Data ua base, devo trovare (... ). = A= a A a a aa, cfre tal che Le trovo applcado teratvamete l teorema del resto (algortmo delle dvso successve, o MOD & DIV): A= q + a... q = q + a q = + a M fermo, ovvamete, quado l ultmo quozete è ullo. A quel puto, la -upla d rest, letta dal basso verso l alto, costtusce l seme d cfre che rappresetao l tero A base. Vedamo d dmostrarlo: Sosttuedo a q la propra defzoe, s ottee: E qud. = A= a ( ( ( )))... A= a + q = a + a + a + Ioltre, l teorema della dvsoe co resto garatsce ache che la -upla d cfre che ho trovato è uca. Ifatt, suppoamo per assurdo che e esstao due (... ) A a a aa, (... ). Suppoedo qud che esstao (... ), (... ) A b b bb A a a aa A b b bb, tal che a = b, s ottee che: = = a+ a+ = b + b+ = = Ma a, b, e qud per l uctà s ottee ecessaramete che a = b. 8

9 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Qud, adado avat: a + a = b = + + b+ = + + = + + = = a a b b Ma allora ache a = b, e così va per tutt gl altr. Pertato la rappresetazoe è uca. Peraltro, quella trovata prma è ua maera algortmca d trovare le cfre della rappresetazoe d u umero aturale ua qualuque base. Quate cfre servoo? q A A. Ifatt, q =, = A a+ a + q a+ a q q = = + = Qud, se, : q =. Il che coferma che l algortmo terma sempre. Basta sempre u umero fto d cfre. Predamo l pù pccolo che verfca quella propretà, coè quello per cu q, : a questo puto,. Per calcolare posso osservare che: ( ) A<. Ho qud bsogo d cfre per rappresetare A base A+ = log A+, oppure, alteratva, = log A +. Le due espresso soo detche (sa che l log A sa tero, sa che o sa tero)... Rappresetazoe su u umero fto d cfre Ovvamete, se ho a dsposzoe ua quattà fta d cfre ua data base, potrò rappresetare ua quattà fta d umer atural. I partcolare, data ua base ed cfre, o potrò che rappresetare que umer per qual l algortmo d cu sopra terma etro pass, coè que umer tal per cu A <. Qud, l umero aturale pù grade che posso rappresetare è. Qual è la rappresetazoe d questo umero? I base, l umero pù grade che posso rappresetare su cfre è I geerale, base, è quello che ottego quado tutte le cfre hao valore massmo, coè a =. Ifatt, s ottee: 9 etc.

10 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea + ( ) A= = = = = = = = = Questo è u modo d rappresetare. Ma vsto che rappresetazoe è uca, è la rappreseta- zoe d... Eserczo (da fare a casa) ) Sa ( ) A a a = u umero aturale rappresetato su cfre base. S dmostr che, dato γ sottomultplo d, A = a. S osserv che, per =, s rcava l (oto) crtero d dvsbltà per due e per cque de umer atural. ) Sa A ( a a ) 4 γ γ = u umero aturale rappresetato su cfre base quattro. Dmostrare che A = se e solo se 3 a = 3 =, ovvero che A è multplo d tre se e solo se lo è la somma delle sue cfre. 3) Estedere la precedete dmostrazoe al caso d umero A base > geerca: sa ( ) A a a = u umero aturale rappresetato su cfre base, >, dmostrare che A γ = se e solo se a =, dove γ è u qualuque sottomultplo d. = γ S osserv che, per =, s rcava l (oto) crtero d dvsbltà per tre de umer atural. 4) Dato A base su cfre dmostrare che A + = se e solo se ( ) ( ) a =. S = + ( ) osserv che, per =, s rcava l (probablmete poco oto) crtero d dvsbltà per udc de umer atural. Nota: per rsolvere put, 3, 4, può far comodo avvalers della (ota) formula dello svluppo d bomo d Newto, qu rchamata per facltare lo studete: Soluzoe k k a+ b = a b k= k ( )

11 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Elaborazoe d umer atural tramte ret combatore Tutto quato quello che è stato detto fora prescde dalla rappresetazoe dell formazoe all tero d u calcolatore. Il ostro obettvo è costrure ret logche che elaboro umer atural rappresetat ua data base. Ret, coè, che producao uscta le cfre base del rsultato, date le cfre base degl operad come gresso. Le ret logche, ovvamete, operao su varabl logche. Qud, per raggugere l obettvo, soo ecessare due cose. ) stablre la codfca d ua cfra base term d varabl logche. ) Descrvere e stetzzare la rete logca che svolge l operazoe Che tpo d ret logche sarao quelle che adrò a costrure? Sarao ret combatore, quato ad og stato d gresso (operad d u operazoe) corrspoderà uo stato d uscta (rsultato dell operazoe). Per quato rguarda la codfca, vedamo d fars qualche dea: - se =, la codfca è baale. Ua varable logca codfca ua cfra base. - Se >, c vorrao u certo umero d varabl logche per codfcare ua cfra base Esempo: codfca BCD per le cfre base strga d 4 bt. J x 3 x x x Posso costrure ua rete combatora che esegua la somma d due umer base codfcat BCD su cfra, e m produca l rsultato su cfre (fatt, l rsultato massmo è 9+9=8, che o sta su ua cfra). Tale rete combatora avrà 4+4=8 varabl logche d gresso e 4+4=8 varabl logche d uscta, e la chamerò sommatore ad cfra per umer atural base co codfca BCD. Questa o è ua rete che opera somme su umer base. Ifatt, se do gresso al sommatore umer atural e 9, codfcat BCD. L uscta, su cfre, dovrà essere corrspodete al umero. Qud:

12 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea - stato d gresso: (codfca BCD de due added) - stato d uscta: (codfca BCD delle due cfre del rsultato) Questo crcuto o ha eseguto la somma base degl gress. Se lo avesse fatto, avrebbe dovuto produrre - u uscta su 5 cfre bare, dato che può valere al massmo 8 - u uscta par a, che è effettvamete la somma degl gress, cosderat come umer base. Nel seguto, faremo quato segue:. predamo esame le operazo artmetche d base (somme, sottrazo, etc.). Ne daremo ua descrzoe dpedete dalla base, valda qud per qualuque base.. Cercheremo, facedo coto sulle propretà della otazoe poszoale, d redere tal operazo pù semplc. 3. Dettagleremo le ret logche (a lvello d porte elemetar) che le eseguoo base, che è la base cu lavorao calcolator. Per poterlo fare, è ecessaro dotars d ua otazoe dpedete dalla base. Per rappresetare grafcamete l fatto che u umero A è dvduato da ua sere d cfre base, scrveremo: Cascua d queste doppe frecce rappreseta l umero d varabl logche ecessaro a codfcare ua cfra base. Per esempo, per = avremmo quattro varabl logche per cfra. Nel caso partcolare = useremo vece frecce sgole, perché ua cfra base può essere codfcata da ua varable logca.

13 Ad esempo, voglamo poter costrure ret tpo questa, che predoo gresso due umer base e producoo la somma d quest due umer. J x 3 x x x Complemeto, rappresetato base su cfre, A<, defsco complemeto d È u operazoe partcolarmete rcorrete, ache se a prma vsta o sembra utle. Dato u umero (... ) A a a aa A ( base su cfre) l umero: A A Coè, A è quel umero che sommato ad A dà l massmo umero rappresetable base su cfre. Esemp: - ( 34) = ( 8965) - ( 34) = ( 34) 5 5 Attezoe: l complemeto rchede che s specfch l umero d cfre. Ifatt, ( 34) ( ) =. I umer d parteza soo gl stess, ma rappresetat su u umero dverso d cfre. Il complemeto è dverso. 3

14 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Devo stetzzare ret che calcolao cfre uscta a partre da altre cfre gresso. Come facco a trovare le cfre d A cooscedo quelle d A? La prma cosa da cheders quado s defsce u operazoe è su quate cfre sta l rsultato. Nel ostro caso, se A<, allora ache A<, qud soo certo che A è rappresetable su cfre. Dalla defzoe rcavo che: Ma: ( ) ( ) = = = A= a = a - a è ua cfra base, quato compresa tra e -. - a, dalla defzoe, è l complemeto del umero aturale a su ua cfra base. Qud, le cfre base della rappresetazoe d A soo a = a. Og cfra d A s ottee complemetado la corrspodete cfra d A. (... ) A a a a a.. Crcuto logco per l operazoe d complemeto Suppoamo d voler stetzzare u crcuto che esegua l complemeto d u umero base su cfre. Basta qud che sappa fare ua rete che fa l complemeto d ua sgola cfra. Vedamo come soo fatte le ret elle vare bas. I base =, tale rete è estremamete semplce. Ifatt, è la rete elemetare che: - se la cfra è rtora - se la cfra è rtora Coè è la porta elemetare NOT. I base l complemeto d u umero su cfre s fa co ua barrera d verttor. Cò accade perché le cfre base (, ) soo codfcate term d ua sgola varable logca. 4

15 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Vedamo adesso d ragoare base. Sceglamo ua codfca, e vedamo come s stetzza la rete che realzza l complemeto d ua sgola cfra quella codfca. Sceglamo l uca che cooscamo, coè la BCD (detta ache 84, dal peso assocato a cascua cfra). X X J x 3 x x x z 3 z z z J A regola adrebbe dsegato 9 ache l resto della tabella d 8 vertà. Tato sappamo che 7 le uscte o soo specfcate 3 6 per J> Vedamo d affrotare la stes. Per fare le cose bee adrebbe usata 4 volte la mappa d Karaugh (ua per cascua uscta). Però m teressa arrvare ad ua stes qualuque, o fare quella a costo mmo, e qud posso procedere a occho, a rscho d fare ua stes o ottma: - s vede al volo che z = x, z = x - s vede al volo che z3 = x3 x x - s vede al volo che z = x x (posso scrverlo perché c soo degl stat o specfcat) Qud, per fare l complemeto d ua cfra base codfcata BCD s deve usare u po d logca. No troppa, ma u po sì. A f della realzzazoe del complemeto modo effcete, s possoo pesare altre codfche per la base, dette autocomplemetat. Ua codfca s dce autocomplemetate quado l complemeto della rappresetazoe è uguale alla rappresetazoe del complemeto, quado coè posso otteere l complemeto d ua cfra semplcemete facedo l complemeto delle varabl logche che la codfcao. La codfca BCD o è autocomplemetate. Esempo: codfca eccesso 3 S rappreseta ua cfra X base come la cfra X+3 base. 5

16 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea X J x 3 x x x Esempo: codfca 4 Og cfra decmale vee codfcata co ua quatera d bt. A cascua d queste s assega peso, 4,,, a secoda della poszoe. Co questo metodo esstoo, per alcue cfre, dverse scelte equvalet. Ad esempo, posso decdere che 3 è rappresetato come o come. Ad esempo 6 può essere rappresetato come o come. Però se scelgo che 3 è rappresetato come, vorrà dre che sceglerò l suo complemeto, coè 6, come. X 4 J x 3 x x x Per tal due codfche posso utlzzare crcut d complemeto fatt da ua barrera d verttor, pù semplc de precedet. Osservazoe (mportate): - Come facco l complemeto d ua cfra base dpede dalla base e dalla codfca. - Il fatto che l complemeto d u umero su cfre possa essere eseguto complemetado le sgole cfre o dpede é dalla base é dalla codfca. È realtà ua propretà della otazoe poszoale. La ho fatt descrtta term algebrc, seza dcare ua base precsa. Nel seguto d questa parte del corso descrveremo propretà della otazoe poszoale che cosetoo, come quella vsta adesso, d scdere problem compless sottoproblem pù semplc, maera dpedete dalla base e dalla codfca.. Moltplcazoe e dvsoe per ua poteza della base k Devo esegure ua moltplcazoe (dvsoe) per. Domade: 6

17 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea - Quado, base, devo calcolare 5x, facco forse cot? No, aggugo tre zer fodo al umero. - Quado devo calcolare 56/, resto e quozete, facco forse cot? No: l resto è 6, ed l quozete è 5. Tutto questo perché sto moltplcado e dvdedo per ua poteza della base cu lavoro (la base, apputo). Questa è u altra propretà della otazoe poszoale, valda qualuque base. Vedamo d dare ua dmostrazoe formale delle propretà che abbamo appea tuto... Moltplcazoe per k Dato (... ) X x x x, defsco Y = X, e voglo trovare le cfre che rappresetao Y. S fa zalmete per k =, e po s geeralzza. - La prma domada da fars quado s cosdera u operazoe (qualuque) è: su quate cfre sta l rsultato? ( ) X Y < +, coè Y è rappresetable scuramete su + cfre. - + = = = =. Ma, dato che (... ) X = x Y = y = x = x Y y y y, vsto che ho appea dmostrato che sta su + cfre, dalla precedete uguaglaza ottego: (... ) (... ) Y y y y x x x. Qud, s ottee: x y = = Questa è ua soluzoe della precedete uguaglaza. Vsto che la rappresetazoe d u umero ua data base è uca, allora questa è l uca soluzoe. Qud: (... ) Y x x x. La rete che mplemeta questa cosa è a complesstà ulla (shft sstro). Così come l procedmeto metale per otteere rsultat è d complesstà ulla, possamo stetzzare ua rete d complesstà ulla che esegue questo procedmeto. 7

18 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Ovvamete, l tutto s geeralzza alla moltplcazoe per k. Il umero rsultate ha + k, cfre, le ultme k delle qual soo ulle, e le prme delle qual soo le cfre d X. y x k k + k = k.. Dvsoe (quozete) per k Ache questo caso faccamo cot zalmete per k =, e po geeralzzamo. Dato (... ), defsco Y = X, e voglo trovare le cfre d Y. X x x x - Su quate cfre sta l rsultato?, coè Y è rappresetable scuramete su - cfre X Y < - x x x + = = x + + = = = X = x Y = = = + x = x. L ultmo passaggo derva dal fatto che x < e la sommatora è u umero tero. Qud, s ottee: y, = x+ Ache questo caso l operazoe rchede ua rete d complesstà ulla: Ed ache questo caso, l tutto s geeralzza alla dvsoe per k. Il umero rsultate ha k, cfre, corrspodet alle k cfre pù sgfcatve d X...3 Modulo k Dato (... ) X x x x y = x, k + k, defsco Y = k, e voglo trovare le cfre d Y. X 8

19 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea k - X Y, coè Y è rappresetable scuramete su k cfre (per la k stessa defzoe d modulo, coè resto della dvsoe). - k k k k k = = k k k k k = = = = =. X = x Y = x = x + x = x + x = x Qud, s ottee: y = x, k Ache questo caso l operazoe rchede ua rete d complesstà ulla: Qud, dat due umer Y e Z, rspettvamete a k ed -k cfre, l operazoe d cocateameto = +, che produce u umero su cfre, è d complesstà ulla. k X Z Y Allo stesso modo, ha complesstà ulla l operazoe versa d scomposzoe d u umero su cfre due blocch d k ed -k cfre. Useremo spesso queste due operazo..3 Estesoe d campo L estesoe d campo è l operazoe co la quale s tede rappresetare u umero aturale usado u umero d cfre maggore. Quado s vuol scrvere l umero 3 su 4 cfre, s mettoo due zer testa. La stessa cosa s fa co umer atural (attezoe: co gl ter sarà dverso), qualuque base. Dato (... ) X x x x, defsco EST su + cfre. L uca possbltà è che (... ) EST X come l umero che vale quato X ma è rappresetato X x x x. O meglo, questa è ua possbltà, ma vsto che la rappresetazoe è uca, è ache la sola. 9

20 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea.4 Addzoe Rpredere la somma base. Algortmo mparato alle elemetar. =. L algortmo cosste : - sommare le cfre d par poszoe sgolarmete, partedo dalla meo sgfcatva e adado verso sstra - se la somma d due cfre o è rappresetable co ua sola cfra, usare l rporto per la coppa d cfre successve - Il rporto vale sempre o. Per la prma coppa d cfre (quelle meo sgfcatve), possamo assumerlo ullo. Dmostramo adesso che l utlzzo d questo algortmo o dpede dalla base d rappresetazoe, ma soltato dal fatto che usamo ua otazoe poszoale. Può pertato essere usato per sommare umer base qualuque. Dat X, Y base su cfre, qud X, Y, e dato C, C, voglo calcolare l umero Z = X + Y + C. Il terme C, che a prma vsta o sembra essere d ua qualche utltà, goca vece u ruolo fodametale, quato cosete d redere l operazoe modulare. Su quate cfre sta l rsultato? X Y C + + +, vsto che. Qud, Z è rappresetable sempre su + cfre. Vedamo qualche dettaglo pù su queste + cfre. Posso scrvere Z come quozete e resto d ua dvsoe per : Z Cout S X Y C = + = + +. Per l teorema del resto, abbamo: C X + Y + C out =, S = X + Y + C Ma, vsto che Z, per l uctà della rappresetazoe deve essere C <. Qud, vsto che è u umero aturale, abbamo che {,} C, e questo è vero dpedetemete dalla out base. Qud: la somma d due umer atural espress base su cfre, pù u evetuale rporto etrate che vale zero o uo, produce u umero aturale che è sempre rappresetable co + cfre base, l (+) sma delle qual, detta rporto uscete, può essere soltato zero o uo. out Posso qud pesare d costrure u crcuto che fa la somma d due umer base su cfre.

21 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea X Y + + C out C S Questo crcuto è ua rete combatora. Ovvamete, se è elevato, o se >, sarà molto complessa da stetzzare. Vedamo d scomporre l problema della somma sottoproblem pù semplc. Scompogo le rappresetazo d X ed Y due part dstte (operazoe a costo ullo): l X = X h + X l l Y = Yh + Yl Co X, Y su l cfre, e X, Y su -l cfre, l. l l h h Frecce sgole (soo bt) Suppoamo d saper sommare separatamete blocch d l ed -l cfre.

22 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea C + S = X + Y + C l h h h h l C + S = X + Y + C l l l l l Posso allora scrvere la somma fale come: l ( ) l ( ) ( ) X + Y + C = X + Y + X + Y + C h h l l = X + Y + C + S l h h l l = X + Y + C + S l h h l l l l ( ) l Ch ( Sh Sl) = C + S + S h h l = + + = Cout + S Posso qud scomporre la somma base su cfre somme base su u mor umero d cfre, purché: - esegua le somme partedo da grupp d cfre meo sgfcatv - sa grado d propagare l rporto tra u gruppo ed l successvo. Il crcuto dsegato sopra s chama, apputo, rpple carry (propagazoe del rporto) Portado questo ragoameto alle sue estreme cosegueze, posso realzzare u sommatore base su cfre utlzzado sommator base ad ua cfra (full adder) e propagado l rporto uscta dallo stado j-smo gresso allo stado j+. La preseza d u rporto uscete allo stado -smo va terpretata come segue: - se l rporto è zero, la somma è rappresetable su cfre, coè sul umero d cfre degl operad - se l rporto è uo, la somma o è rappresetable su cfre, ma ce e vuole ua pù. L struzoe maccha ADD, fatt, setta l CF quado l rsultato o è u umero aturale rappresetable su cfre..4. Full Adder base F qu abbamo descrtto propretà della otazoe poszoale, valde qualuque base, che c cosetoo d scomporre ua somma somme pù semplc, addrttura somme ad ua cfra. Come effettvamete s realzza u full adder dpede dalla base e dalla codfca. Il full adder base è u crcuto che fa somme d ua cfra base, co rporto.

23 X Y È ua rete combatora co 3 gress e uscte, e qud la sappamo stetzzare. + + C out C S x y c s c out x y s c x y c out c B A C - Per quato rguarda la produzoe del rporto uscete, o c soo problem: s può fare forma SP co 3 porte AND a gress ed ua porta OR a tre gress. - Per quato rguarda la produzoe della somma s, osservo che essa è ad uo se e solo se l umero d gresso è dspar. Per quest ultmo, esste ua semplce realzzazoe, fatta tramte porte XOR. Mettere pù porte XOR cascata (evetualmete ad albero) cosete d fare crcut che rcooscoo u umero dspar d, che coè dao quado lo stato d gresso ha u umero dspar d. 3

24 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Il full adder è ua rete a lvell d logca. Detto τ l tempo d attraversameto d u sgolo lvello d logca, abbamo che cascu full adder ha u tempo d rsposta δ = τ..4. Temp d rsposta e crcuto d lookahead Il problema che c poamo adesso è l seguete: se lavoro base, posso realzzare ua somma d u qualsas umero d cfre usado ua catea d full adder, che sommao ua cfra per volta. Quale sarà l tempo d rsposta d questa rete? Cascu full adder rchede u tempo δ = τ per produrre la propra coppa d rsultat. I partcolare, ache l rporto uscete sarà prodotto dopo u tempo δ. Ma l rporto uscete serve da gresso al full adder successvo. Qud: δ ( ) δ δ δ I totale, l ultmo bt del rsultato e l ultmo rporto uscete vegoo prodott ad u state δ. È lo stesso problema che s spermeta quado s fao le somme a mao. Se dobbamo sommare umer a 5 cfre, la 5ma somma può essere fatta solo quado ho l rporto della 49-ma. L algortmo d somma è scompoble, ma purtroppo o parallelzzable. 4

25 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea S può fare qualcosa? Certo che sì. Possamo vestre rsorse per aggugere u crcuto che, pres gresso j bt meo sgfcatv d etramb umer produce l rporto j-smo uscta. Questo crcuto combatoro, pur complesso, lo posso stetzzare a due lvell d logca. I questo modo, la parte alta del crcuto può zare prma l propro lavoro, quato dspoe del rporto etrate all state δ = τ vece che j δ ). δ 5δ 4δ 3δ δ 4δ 3δ δ δ È ovvo che: - dovrò stetzzare u crcuto complesso (che ha, questo caso, 9 gress ed uscta), ed teora o strettamete ecessaro ( quato l carry j-smo sarebbe comuque prodotto). - questo crcuto m cosete d atcpare la geerazoe del carry per gl stad successv. Ad esempo, ua somma co operad a 4 bt, - seza lookahead l tempo d rsposta è: 4 δ - usado - carry lookahead a 4 bt l tempo dveta: ( ) ( ) ( ) 4+ δ = + 3 δ < 4 δ Quato m covee fare grade l lookahead? C soo ovv lmt d fattbltà (u lookahead a 3 bt o è troppo pù semplce da stetzzare che u sommatore a 3 bt). Farlo pù grade della metà del umero d bt o serve, perché la parte pù grade del crcuto fa l passo..4.3 Icremetatore U cremetatore è u crcuto combatoro che somma C (che vale o ) ad u umero dato. Possamo pesare che tale cremeto sa u caso partcolare d somma co rporto tra due added ad cfre, cu uo de due added è ullo. Pertato, lo possamo realzzare scompoedo l tutto modul full adder. Però quest modul hao u gresso (y ) che è 5

26 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea sempre ullo. Qud posso semplfcarl. Questo è u crcuto pù semplce del full adder (ad u solo lvello d logca). Rchamo sull assembler: ADD $, %AL ed INC %AL, pur se ottegoo lo stesso rsultato, soo struzo dverse. I partcolare, la secoda potrebbe essere pù veloce della prma (era così quado calcolator erao pù let)..4.4 Eserczo (da fare a casa) Descrvere u cremetatore base 7 codfca 4--. Chamare z, z, z le varabl che supportao la cfra uscta e c e c out rport etrat ed uscete. Traccare la mappa d Karaugh della varable /z (s ot d /z) e: - dvduare e classfcare gl mplcat prcpal - trovare tutte le lste d copertura rrdodat - sceglere la lsta d costo mmo secodo l crtero a dod - cotrollare se la stes così otteuta è soggetta ad alee, ed evetualmete classfcarle e rmuoverle Effettuare fe la stes a porte NOR d z (s ot: d z). NB: Al fe d redere stadard l layout delle mappe d Karaugh, semplfcado così la correzoe dell eserczo, s utlzz c come la varable d gresso d orde maggore. Soluzoe.4.5 Eserczo (da fare a casa) ) Descrvere l crcuto lookahead d u sommatore per added a bt. ) Detto τ l tempo d attraversameto d u lvello d logca (supposto costate ed detco per tutte le porte), calcolare l tempo d rsposta d u sommatore per added a N= bt, che utlzz l crcuto lookahead d cu al puto. 3) stetzzare l crcuto a costo mmo forma SP. 6

27 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Soluzoe.4.6 Eserczo (da fare a casa) Sa data ua rete combatora che: ) rceve gresso tre varabl x, x, x che esprmoo u umero aturale X ad ua cfra base 5 ( codfca 4) ed ua varable d comado b, e ) produce uscta tre varabl y, y, y che esprmoo u umero aturale Y ad ua cfra base 5 ed ua varable c secodo la seguete legge. Il umero aturale Y è legato al umero aturale X dalla relazoe Y X b= 5 = X + b= 5 La varable c vale se l rsultato dell operazoe scrtta tra o è rappresetable su ua cfra base 5 e altrmet. ) Descrvere la rete ella sua completezza rempedo le seguet mappe x x c b x x x y y y b x ) Stetzzare la sottorete che geera y a costo mmo sa a porte NAND sa a porte NOR 3) Calcolare l costo delle due realzzazo (sa a porte che a dod), e specfcare quale delle due sa d costo more. Soluzoe.5 Sottrazoe Rpredere la dffereza base. Algortmo mparato alle elemetar. 7

28 =. L algortmo cosste : - sottrarre le cfre d par poszoe sgolarmete, partedo dalle meo sgfcatve - se la dffereza d due cfre o è rappresetable co ua sola cfra, usare l prestto (borrow) per la coppa d cfre successve - Il prestto vale sempre o. Per la prma coppa d cfre (quelle meo sgfcatve), possamo assumerlo ullo. Questo algortmo o dpede dalla base d rappresetazoe, ma soltato dal fatto che usamo ua otazoe poszoale. Può pertato essere usato per sottrarre umer base qualuque. Dat X, Y atural base su cfre, qud X, Y, e dato b, b, voglo calcolare l umero aturale Z = X Y b, ammesso che essta. Sappamo che X Y b. Qud, Z può ache o essere u umero aturale, cosa che sappamo bee dall artmetca ( atural o soo u seme chuso rspetto alla sottrazoe). Comuque, Z = X Y b dvso per q= q= dà quozete al mmo -. q= q= q= Pertato defsco: ed ottego che {,} out bout = X Y b, = D X Y b b, acora ua volta dpedetemete dalla base. Qud, posso scrvere Z = bout + D= X Y b Qud: la dffereza d due umer atural base su cfre, meo u evetuale prestto etrate, produce u umero che, se aturale, è sempre rappresetable su cfre base. Può oltre produrre u umero o aturale, el qual caso c è u prestto uscete. I og caso l prestto uscete può valere soltato zero o uo. Per calcolare la dffereza d due umer, facco quato segue: 8

29 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea osservo che Y+ Y= (defzoe d complemeto). Dal che dervo che Y = Y +. Sosttuedo quest ultma ell espressoe rquadrata sopra, s ottee: ( b ) + D= X + Y+ ( b ) out Come s terpreta questa equazoe? Dcedo che: - la dffereza fra X ed Y, meo u evetuale prestto etrate, qualora essa sa u umero aturale, può essere otteuta se sommo X ed Y complemetato, pù u evetuale rporto etrate, otteuto complemetado l prestto etrate. - Se l rporto uscete d detta somma è par ad, la dffereza è u umero aturale par a D, ed l prestto uscete, otteuto complemetado l rporto uscete della somma, è zero. - Se l rporto uscete d detta somma è par a, la dffereza o è u umero aturale, ed l prestto uscete, otteuto complemetado l rporto uscete della somma, è uo. Qud, posso realzzare la dffereza d due umer co u crcuto fatto così: X Y X Y N b out S b b out b D D Co tutto quel che e cosegue, cluso: - la possbltà d scomporre l tutto blocch pù semplc (fo ad ua cfra), quato sa l complemeto che la somma possoo essere scompost fo ad ua cfra, - la possbltà d usare full adder co lookahead, - la possbltà d trar fuor u crcuto d decremeto semplfcato, etc..5. Comparazoe d umer atural I sottrattor vegoo usat spesso come comparator. Dat due umer atural A e B, se voglo sapere se A < B, basta che sottragga A B e guard l prestto uscete. Se b =, allora A è pù pccolo. Ioltre, se voglo testare se due umer soo ugual, posso comuque predere l uscta del sottrattore e passarla ad ua porta NOR ad u opportuo umero d gress. I quest ultmo caso, però, covee fare lo XOR cfra per cfra e po passare tutto ad u NOR. out 9

30 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea.5. Sommatore/sottrattore base La stretta paretela tra sommatore e sottrattore può essere sfruttata per realzzare u utà multfuzoale che realzz etrambe le operazo. U utà, coè, che a secoda del valore d ua varable d comado esegue la somma o la sottrazoe (co rporto/prestto) tra due umer. Per l crcuto sopra dsegato, se cmd= le porte XOR soo elemet eutr. Se cmd= fugoo vece da verttor. Pertato, se cmd= questo crcuto esegue ua sottrazoe. NB: l crcuto dca porte XOR a gress: a cascua vee dato gresso l comado cmd ed uo de bt d Y, e le uscte vegoo raccolte u uco fasco. Attezoe a dmesoamet: u sommatore (o u sottrattore) ha lo stesso umero d cfre su etramb gl gress e sull uscta. No è u lmte, quato l uscta può sempre essere estesa..6 Moltplcazoe Ache questo caso rpartamo dall algortmo mparato alle elemetar, detto d shft e somma. 3

31 Possamo oltre osservare che: - S moltplca uo de due fattor per tutte le cfre dell altro, step successv. - I rsultat d cascuo d quest prodott parzal vegoo scrtt a partre dal posto occupato dalla cfra per la quale s sta moltplcado - I rsultat d cascu prodotto parzale soo sommat (co rporto) per otteere l prodotto. - la cfra d posto del prodotto,, è determata ucamete da prodott parzal relatv alle cfre j. Coè: alla fe dell -smo prodotto parzale posso gà stablre, tramte ua semplce somma, l valore della -sma cfra del prodotto. Come al solto, l algortmo e le propretà sopra mezoate valgoo dpedetemete dalla base cu s lavora. Vedamo d mpostare l problema modo formale, e d stetzzare la rete logca che lo rsolve. Dat: - X, C umer atural base su cfre, tal qud che X, C m - Y umero aturale base su m cfre, tal qud che Y Voglo calcolare: P= X Y+ C. Orma è charo l perché troduco u terme pù ell operazoe: così come ua somma (sottrazoe) co rporto (prestto) etrate su cfre può faclmete essere scomposta somme (sottrazo) su u umero more d cfre, allo stesso modo trodurre l terme C a sommare m servrà per scomporre u prodotto pù prodott pù semplc. Osservamo che, dalle due potes sopra mezoate, dscede che: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m P= X Y + C + = < + Il che mplca che l prodotto è rappresetable su +m cfre. Cò detto, possamo dsegare lo schema della rete che svolge l operazoe appea vsta: 3

32 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea La rete sopra dsegata s chama moltplcatore co addzoatore per atural. Vedamo come s realzza term d ret pù semplc. Usamo la cosueta tecca d scomposzoe del problema. ) S scompoe Y (attezoe, soltato Y, o X) due blocch: l Y Yh Yl h l = +, co Y, Y r- l spettvamete quozete e resto della dvsoe per. ) Posso allora scrvere: l l ( ) P= X Y + C + X Y = P+ X Y l h l h Il prmo terme è u prodotto su per l cfre, che posso svolgere co u crcuto aalogo a quello dsegato sopra, ma pù semplce (co u umero ferore d gress). 3) Il rsultato d questo prmo prodotto sarà u umero che posso scomporre (a costo ullo) l quozete e resto della dvsoe per. P P P= P + X Y P X Y + = + + l l l l l. l l l h l l l h 4) Ma adesso, l secodo terme è u umero su cfre, e qud l ultmo terme tra paretes è quello che produce uscta u moltplcatore co addzoatore a per (m-l) cfre. 5) Posso sommare due prodott parzal così otteut per formare l prodotto fale. Attezoe, però, ché la somma è fatta su tervall d cfre dsgut. L ultmo addedo, fatt, ha l a moltplcare, e qud ha le ultme l cfre ulle. Il prmo addedo, vece è su l cfre. Qud, o s tratta d somma ma d cocateameto de due prodott parzal. I sostaza, ho calcolato P, prodotto d atural su ed m cfre, utlzzado - u moltplcatore co addzoatore a per l cfre - u moltplcatore co addzoatore a per m-l cfre - cocateamet e scomposzo, qud operazo d costo ullo 3

33 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Ovvamete, quello che facco per va algebrca lo posso fare ache per va crcutale: Posso terare questa scomposzoe tate volte quate soo le cfre d Y. Qud, posso realzzare la moltplcazoe utlzzado soltato moltplcator (co addzoatore) ad per ua cfra..6. Moltplcatore co addzoatore x base Vedamo come s stetzza l moltplcatore co addzoatore ad per ua cfra base. X C Il rsultato che deve uscre da qu è: C y = P = y X + C= X + C y = y MUL + ADD X NAT + P l Qud la stes d questo crcuto è partcolarmete semplce: è u crcuto che, sulla base del valore d y, deve sommare a C o X oppure zero. 33

34 Il multplexer a sstra, realtà, rappreseta multplexer to parallelo, cascuo de qual è relatvo alla coppa corrspodete d bt. Vedamo pù dettaglo come è fatto cascuo d quest multplexer. E ua rete che fa passare o o u gresso, a secoda che Y sa o. Qud è baalmete ua porta AND X Y È ua semplce barrera d porte AND..6. Algortm per l calcolo teratvo del prodotto Il prodotto d due umer s presta, come abbamo gà travsto, ad essere calcolato maera teratva. - S possoo scrvere sottoprogramm assembler che eseguoo questo compto - S possoo dare mplemetazo mcroprogrammate d ret che svolgoo questo compto Esstoo due dvers algortm che calcolao l prodotto modo teratvo: Algortmo d shft e somma Voglo calcolare: P= X Y+ C. - X, C umer atural base su cfre, tal qud che X, C m - Y umero aturale base su m cfre, tale qud che Y Pogo: P = C P = y X + P + Questa è la formalzzazoe dell algortmo che usamo d solto per fare la moltplcazoe a mao I questo modo, s dmostra baalmete che s ottee Pm = P. Ifatt 34

35 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea P = y X y X + C m m m X m y C X Y C = = + = + - u sottoprogramma assembler che realzz questa moltplcazoe è ragoevolmete semplce - ua rete sequezale che realzz questa operazoe è puttosto complessa. Algortmo d somma e shft Sempre elle stesse potes, defsco P ' m P Qud, ' m P = C, e P = P = P, coè l algortmo dà lo stesso rsultato dopo m pass. ' m m m m m m Moltplcado etramb membr della relazoe d rcorreza dell algortmo precedete per, ottego: P = y X + P m m m + P ' = y X + P ' m + P + m y X + P ' ' = L algortmo d somma e shft è pertato l seguete: P ' = C P + m m y X + P ' ' = - u sottoprogramma assembler che realzz questa moltplcazoe è ragoevolmete semplce - ua rete sequezale che realzz questa operazoe è meo complessa della precedete. Ifatt, ella prma versoe (shft e somma) è rchesto ad og passo ua moltplcazoe per, coè uo shft d u umero d poszo varable. Nel secodo caso, è rchesta ua moltplcazo- m e per, coè uo shft d u umero d poszo fsso..6.3 Eserczo Stetzzare ua rete combatora che, rcevedo gresso u umero aturale base a due cfre, geer uscta l corrspodete umero baro su? bt. S suppoga che le due cfre decmal sao codfcate 84 (BCD). Devo realzzare u crcuto fatto questo modo 35

36 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Su quate cfre sta l rsultato? Vsto che z 99, bastao 7 bt. Le due cfre d gresso soo x e x, e soo codfcate BCD. Pertato la loro rappresetazoe (come sgole cfre) è coerete co la rappresetazoe d u umero aturale base a 4 cfre. Qud, l rsultato da calcolare è: Y = x + x Ma u crcuto che facca questa operazoe lo so stetzzare: Voledo, esste u modo pù furbo per fare la stessa cosa. Basta osservare che: Y = x + x = 8 x + x + x Allora s tratta d fare somme pù due shft, che soo a costo ullo. 36

37 4 x x 4 ) calcolo x+ x. Devo dmesoare corret- 5 5 x x x 7 I questo modo servoo full adder (a 7 e 5 bt). tamete l uscta, che vale al massmo 9+ 9= 7. M servoo 5 bt uscta. ) Dmesoo l gresso su 5 bt d cosegueza 3) Calcolo adesso 8x ( x x ) + +, che sta su 7 bt perché è more d 99. Devo dmesoare gl gress opportuamete. S tega presete che l. d bt gresso ad u addzoatore deve essere detco su etramb gl gress. Altrmet è errore (grave)..7 Dvsoe Dat: m - X umero aturale base su +m cfre (dvdedo), tale che X + m - Y umero aturale base su m cfre (dvsore), tale che Y Voglo calcolare due umer Q ed R tal che: X = Q Y+ R. Q ed R soo l quozete ed l resto, e soo uc per l teorema della dvsoe co resto. Su quate cfre dovrao essere rapprsetat Q ed R? - Il resto, dovedo essere more del dvsore, sta scuramete su m cfre. - Per l quozete o posso dre molto. Ifatt, se Y=, allora Q=X, e qud alla peggo sta su +m cfre. Voglo rappresetare l quozete su cfre. Assumere che Q sta su cfre mplca che: ( ) ( ) X = Q Y + R Y+ Y = Y Qud, l potes aggutva che m garatsce che l quozete sta su cfre è: X < Y. 37

38 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Sotto quest potes o poso fare tutte le dvso, ma soltato alcue. Quest potes è restrttva? Dpede. Se l umero delle cfre, m o è u dato del problema (coè o è fssato a pror), dat X ed Y posso sempre trovare tale che quella dsuguaglaza sa vera (l che vuol dre che posso sempre fare la dvsoe, purché sa grado d estedere la rappresetazoe del dvdedo ed abba u umero suffcete d cfre per l quozete). Il problema sussste se l umero d cfre,m è u dato del problema. Questo accade, ovvamete, quado s lavora su camp ft, coè sempre all tero d u calcolatore. Pccola dvagazoe sull Assembler: La DIV ammette dvdedo su bt e dvsore su bt, co =8,6,3, e rchede che l quozete sta su bt (altrmet geera u terruzoe). Nello schema d sopra, è quello che s otterrebbe poedo =m. Il dvdedo è selezoato mplctamete sulla base della lughezza del dvsore. I questo caso, è cura del programmatore asscurars che X < Y, evetualmete estededo la rappresetazoe del dvdedo (e del dvsore) su u umero maggore (doppo) d bt. Così facedo X ed Y rmagoo detc. Poter dsporre d =3 (dvsoe co dvdedo a 64 bt e dvsore a 3 bt) sgfca poter garatre che quella dsuguaglaza può essere resa vera, evetualmete estededo le rappresetazo, per qualuque dvdedo su 3 bt e qualuque dvsore. Qualora l dvdedo o sta su 3 bt, o è detto che la dvsoe s possa sempre fare, perché o s possoo estedere ulterormete gl operad. Il modulo dvsore deve testare la fattbltà della dvsoe co le potes date. Se l quozete o sta su cfre, deve settare ua varable logca o_dv che dce che la dvsoe o è fattble. Il rvelatore d fattbltà s fa co u comparatore ad +m cfre (sottrattore), che ha gresso X, Y e ha come uscta o _ dv= bout. D ora avat o lo dsegamo per semplctà. Posso realzzare l tutto co u crcuto a lvell d logca (che o soo, però, grado d stetzzare perché troppo complesso), o posso cercare d scomporre l tutto modul pù semplc. La scomposzoe modul pù semplc s ottee traducedo forma crcutale l algortmo che s usa per esegure la dvsoe a mao. 38

39 X R 7 Y Q 6 Quado facco le dvso, vece d cosderare tutto l dvdedo u colpo solo: - predo l mmo umero ecessaro delle cfre pù sgfcatve del dvdedo modo tale da otteere u umero compreso [Y, Y [. Quate soo queste cfre? m possoo o bastare; m+ cfre bastao (purché, ovvamete, o abba zer testa). - Calcolo u quozete e resto parzal della dvsoe così otteuta. Soo certo che l quozete sta su ua sola cfra (per l potes che ho fatto). - Calcolo u uovo dvdedo cocateado l resto parzale così otteuto co la cfra pù sgfcatva o acora utlzzata del dvdedo. Ottego uovamete u dvdedo parzale certamete more d Y, date le potes. - Vado avat fo ad esaurre le cfre del dvdedo. - Il quozete è otteuto dal cocateameto de quozet parzal (tutt su ua cfra) - Il resto è l resto dell ultma dvsoe parzale. Vedamo d scrvere la scomposzoe della dvsoe modo formale. l X = X h + X l l Q= Qh + Ql Co X, Q su l cfre; l l Da X = Q Y+ R ottego: X h su +m-l cfre; Q h su -l cfre, sotto l potes X < Y. Dalla precedete dscede che: X + X = Q Y + Q Y + R l l h l h l l l X h + X l Qh Y + Ql Y+ R l = l l Rmuovedo multpl d da etramb lat s ottee: 39

40 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Posso qud otteere Ql Y+ R ' X h = Qh Y+ = Q l h Y+ R Q h dalla dvsoe d X h per Y. Ottego ache u resto ' R. Per covcers che ' l R sa u resto, basta osservare che Ql e R Y, qud l l Ql Y+ R Y Y+ Y < Y. Ma allora Per adare avat, sosttusco ad ( Q h Y ' ) l l l h + R + X = Q Y ' l R + X l = Ql Y+ R Quest ultma operazoe cosste el Ql Y+ R l < X h l espressoe trovata + Q Y+ R - predere l resto della precedete dvsoe, shftarlo a sstra d l cfre e cocatearlo co l resto del dvdedo - esegure ua uova dvsoe, dalla quale ottego: o le l cfre meo sgfcatve del quozete o l resto della dvsoe. I term crcutal: l Y. Che voglo scomporre modul pù semplc, secodo l procedmeto appea vsto. 4

41 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Spgedo al massmo la scomposzoe, per esegure ua dvsoe d u dvdedo su +m cfre per u dvsore su m cfre, basta: - saper esegure ua dvsoe base d u dvdedo su +m cfre per u dvsore su m cfre - scomporre e cocateare umer. Rcaptolado: per esegure la dvsoe d u umero su m+ cfre per u umero su m cfre, uso dvsor elemetar cascata. Cascuo d quest dvsor dvde u umero su m+ cfre per u umero su m cfre. Sotto l potes che X < Y, cascuo d quest dvsor produce u quozete che sta su ua sola cfra, e qud l quozete fale lo ottego come gustapposzoe de quozet parzal. Tale potes ( X < Y ) è equvalete a dre che le m cfre pù sgfcatve del dvdedo rappresetao u umero pù pccolo del dvsore..7. Dvsore elemetare base Vedamo d stetzzare l utà base che esegue ua dvsoe d u dvdedo a m+ cfre per u dvsore ad m cfre, sotto l potes che X < Y. Tale utà produce - quozete su ua cfra - resto su m cfre Qud, l quozete può valere o. Vale se l dvsore è maggore del dvdedo, ed altrmet. 4

42 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Il resto, vece, è uguale al dvdedo se questo è more del dvsore. Altrmet è uguale al dvdedo meo l dvsore. q= Q= q= X < Y, X Y X X < Y R= X Y X Y q= q= q= Y Y Y Y Qud, tutto quello che m serve d saper fare è: - stablre se l dvdedo sa o meo more del dvsore - evetualmete, fare ua sottrazoe. Ma per stablre se X sa more d Y, basta che l sottragga e cotroll l evetuale prestto uscete. Da dove s vede, questo crcuto, che è ecessara l potes che X < Y? È l potes che m garatsce la rducbltà del umero X (o della dffereza) su m cfre. Ifatt - se X < Y, allora X sta su m cfre come Y ed è l resto; - se X Y, allora X-Y è l resto se e solo se X < Y.7. Eserczo (da fare a casa) Stetzzare ua rete combatora co quattro uscte z, z3, z5, z (ed u opportuo umero d gress da dettaglare), che prede gresso u umero aturale N a 5 cfre base, codfcato BCD. L uscta z k deve valere solo quado N è dvsble per k. 4

43 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Per crter d dvsbltà s facca rfermeto alle dmostrazo oggetto d u precedete eserczo. Soluzoe.7.3 Eserczo svolto Sa dato X umero aturale rappresetato su cfre base. Seza far uso d moltplcator e dvsor, progettare ua rete combatora che rceve gresso X e produce uscta la rappresetazoe del umero aturale Y = 7 8 X base su? cfre. Su quate cfre potrò rappresetare l rsultato? Scuramete su, quato è more d X. Ne posso usare meo? Basta trovare u cotroesempo: X=7, =3. Allora Y=6, che rchede comuque =3 cfre. Ne devo usare. Per otteere l rsultato, basta osservare che, se devo calcolare Y = 7 8 X, o meglo acora Y = 7 8 X, posso scrvere: Y = ( X X ) 8 8. Nell orde: - moltplcare X per ua poteza della base (8= 3 ) è u operazoe che so fare, ed è a costo ullo. - sottrarre due umer atural è u operazoe che so fare - calcolare l quozete della dvsoe d u aturale per ua poteza della base è u operazoe che so fare, ed è a costo ullo. Qud: 43

44 Attezoe: Qualcuo potrebbe aver pesato la seguete cosa: prma calcolo X 8 e po lo sottraggo ad X, otteedo l rsultato corretto. Oltretutto, così facedo, la dffereza è su cfre, vece che su +3. Il rsultato che s ottee, però, è sbaglato. Ifatt, questo modo sto calcolado X X 7X 8 8 I due umer soo ugual soltato quado X è multplo d 8. Ifatt: - X=6: etramb lat fao 4. - X=3: l lato sx fa, l lato destro fa. Qud, attezoe quado s usao gl operator, perché s corre sempre l rscho d sbaglare. I partcolare, è bee osservare che postvo (qud approssma verso sstra). X X Y Y, quato la dvsoe per u aturale ha resto X Y q= 3 q= q= X Y q= q= q= X 3Y Y Y Y Y X 44

45 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Vedamo ora d rsolvere l medesmo eserczo partedo dalla realzzazoe co moltplcatore, ache se l testo lo vetava. Dobbamo usare u moltplcatore ad per 3 cfre base, e dsegare l crcuto accato. S può sostture a questo crcuto la sua mplemetazoe term d full adder, e, co le opportue semplfcazo, stetzzare u crcuto che fa la stessa cosa d quello precedete. 3 X MUL + ADD X NAT +3 3 x ) s scompoe l moltplcatore su 3 cfre, osservado che la rappresetazoe d 7 è. Le ultme 3 cfre vegoo elmate dalla dvsoe per 8 45

46 ) S osserva che cascu moltplcatore per può essere sosttuto co u full adder, vsto che la cfra a moltplcare è sempre uo, e X qud le porte AND soo corto crcut. X + I questo modo, ruscamo a fare la stes co due full adder ad bt. Nell altro caso, c vuole u solo full adder, ma ad +3 bt. Qud, questa mplemetazoe costa d pù della precedete se è maggore d X S osserv che questa mplemetazoe calcola l rsultato come: Y = ( X + X + X) 4 8. X X + X 46

47 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea 3 Rappresetazoe de umer ter Poamoc adesso l problema della rappresetazoe de umer ter, quell che samo abtuat a scrvere co u smbolo, detto sego, ed u umero aturale, detto modulo. Servoo perché l seme de umer atural o è chuso rspetto alla sottrazoe. I realtà, all tero de calcolator o covee usare questo stle d rappresetazoe: o covee rappresetare umer come modulo e sego ( bt), perché questo rederebbe le ret che operao sulle cfre pù complesse. Bsogerà adottare ua rappresetazoe o tutva, detta rappresetazoe complemeto alla radce. Suppoamo d avere a dsposzoe sequeze d cfre base, qud la possbltà d rappre- setare combazo dverse. Coosco ua legge (buvoca) che m permette d assocare a cascua d queste combazo u umero aturale, coè: A= a = A= a = Preso u seme d umer ter, posso sempre trovare ua legge buvoca che gl fa corr- spodere u seme d umer atural. A= a = 47

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