della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:

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1 Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di vincoli. Problema base: la scelta del consumatore razionale I problemi di ottimizzazione vincolata sono estremamente frequenti nelle applicazioni economiche. Il caso più immediato è quello delle scelte del consumatore. Consideriamo un esempio semplice di funzione di utilità del consumatore: U () dove e sono due beni di consumo. Dato che le utilità marginali, cioè le derivate parziali di U, sono positive per tutti i possibili valori positivi di e, ciò che succederà è che in assenza di vincoli il consumatore massimizzerà la sua utilità solo se acquisterà quantità infinite di entrambi i beni e. In questo caso, come si vede, il problema avrebbe scarso significato economico. Il problema diviene invece significativo quando si tenga conto delle capacità di acquisto del consumatore, cioè quando si imponga al problema un vincolo di bilancio. Se il consumatore ha a disposizione 60 Euro e se i prezzi dei due beni sono p 4 e p, il vincolo di bilancio sarà rappresentato dalla equazione lineare: 4 60 () Un vincolo di questo genere renderà i valori ottimali ed, soluzione del, problema di scelta del consumatore, tra loro reciprocamente dipendenti. Il problema consiste quindi nel massimizzare la funzione obiettivo tenendo conto del vincolo. In termini matematici ciò significa restringere il dominio (e quindi il codominio)

2 della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione: z f ( come è quella rappresentata nella fig.. Se non impongo alcun vincolo, il dominio della funzione sarà rappresentato dalla base della cupola mentre il codominio sarà rappresentato dalla superficie della cupola stessa. Se vado a cercare il massimo libero di questa funzione, questo sarà rappresentato dal punto ML. Se invece introduco un vincolo g( c ovvero k( c) come quello rappresentato nella figura, il dominio della funzione sarà rappresentato dal segmento AB mentre il codominio sarà rappresentato dalla curva a U rovesciata che sta sopra il segmento AB. Se allora vado a cercare il massimo vincolato di questa funzione, questo sarà dato dal punto MV. E' lecito attendersi in generale che un massimo vincolato abbia un valore inferiore ad un massimo libero, anche se i due massimi possono avere identico valore.

3 Fig. z ML MV B O A = k(c) 3

4 . Individuazione dei massimi/minimi vincolati. Metodo per sostituzione Il massimo vincolato della semplice funzione di utilità () sotto il vincolo () può essere immediatamente individuato senza impiegare tecniche particolari, operando per semplice sostituzione. Infatti isolando nel vincolo () si ottiene: (3) Sostituendo il vincolo (3) nella funzione obiettivo (), riformula la funzione obiettivo come dipendente dalla sola variabile e in modo da includere il vincolo: U ( 30 ) 3 A questa funzione si può applicare la normale tecnica di individuazione dei massimi liberi. Infatti se determiniamo le condizioni del ordine uguagliando a zero la derivata prima otteniamo: du d 3 4 da cui 8. Sfruttando la (3) otteniamo 4. Sostituendo le soluzioni e nella () possiamo infine determinare il valore massimo della funzione obiettivo U 8.. Metodo del moltiplicatore di Lagrange Il metodo per sostituzione può tuttavia rivelarsi ) troppo complesso quando il vincolo è una funzione complessa o in presenza di più vincoli; 4

5 ) impossibile da applicare quando il vincolo compare in una forma tale per cui non può essere risolto esprimendo una variabile come funzione esplicita dell'altra variabile. In questi casi si ricorre al metodo del moltiplicatore di Lagrange. Il metodo del moltiplicatore di Lagrange consiste essenzialmente nel trasformare un problema di massimo vincolato in una forma tale da consentire anche per essa l'applicazione della condizione del ordine dei massimi liberi. Come opera il metodo del moltiplicatore di Lagrange? Data la funzione () e il vincolo (), scriviamo la cosiddetta funzione lagrangiana Z che non è altro che una modificazione della funzione obiettivo in cui compare anche il vincolo: Z (60 4 ) (4) dove è il cosiddetto moltiplicatore di Lagrange ed è assunto positivo. Se potessimo in qualche modo garantire che 4 60 cioè garantire che il vincolo venga soddisfatto, l'ultimo termine della (4) si annullerebbe e Z sarebbe equivalente ad U. Quindi, quando il vincolo è soddisfatto, i valori di e di che massimizzano o minimizzano la funzione lagrangiana sono gli stessi che massimizzano o minimizzano la funzione obiettivo sottoposta a vincolo. Di conseguenza, una volta eliminato il vincolo, si tratterebbe il cercare soltanto il massimo/minimo libero di Z anziché il massimo/minimo vincolato di U. Il problema è allora: come è possibile annullare l'espressione che compare in parentesi nella (4)? L'approccio da seguire consiste semplicemente nel considerare come se fosse una variabile aggiuntiva, accanto a e, della funzione (4). Le condizioni del ordine per l'individuazione di un massimo libero consistono quindi nel sistema di equazioni simultanee: Z Z Z Z Z 4 0 Z 0 (5) 5

6 dove la prima equazione garantisce automaticamente la soddisfazione del vincolo. Risolvendo la (5) troviamo i valori 8, 4 e 4, che ovviamente coincidono (per e ) con quelli trovati con il metodo per sostituzione. Inoltre, sostituendo nella (4) si ottiene Z 8 che coincide anch'esso con il valore ottenuto per U. In generale data la funzione obiettivo: z f ( sottoposta al vincolo g( c la funzione lagrangiana sarà: Z (, ) f ( [ c g( ] Le condizioni necessarie (condizioni del ordine) per un massimo/minimo di Z saranno: Z Z Z c g( 0 f f g g 0 0 (6) Poiché la prima equazione della (6) altro non è che una riformulazione del vincolo, i valori di massimo/minimo della funzione lagrangiana Z dovranno necessariamente soddisfare i vincoli della funzione originaria z. E poiché l'espressione [ c g( ] è sicuramente nulla, i valori di massimo/minimo di Z dovranno essere identici a quelli di z soggetti al vincolo. Un osservazione finale: il moltiplicatore lagrangiano ha esso stesso un'importante interpretazione economica. Come visto, il metodo del moltiplicatore di Lagrange fornisce come sottoprodotto anche il valore ottimale. E' possibile mostrare (ma qui non lo facciamo) che misura la sensibilità di Z, e quindi di z, a cambiamenti nel 6

7 vincolo, offrendo in tal modo indicazioni di statica comparata. Più precisamente è possibile mostrare che: d z( ( c), ( c)) dc cioè la soluzione per il moltiplicatore di Lagrange fornisce una misura dell'effetto che una variazione del vincolo esercita sul valore ottimale della funzione obiettivo tramite il parametro c. Ad esempio, nel problema di scelta del consumatore visto all'inizio, indica come varia il valore massimo dell'utilità U quando si faccia aumentare al margine la quantità di risorse (60 Euro) a disposizione del consumatore (cioè quando si "rilassi" al margine il vincolo). In altri termini indica l'utilità marginale delle risorse disponibili per il consumo. In altri contesti il moltiplicatore lagrangiano può essere interpretato in un modo differente. Per esempio, se la funzione obiettivo rappresenta una funzione di profitto di una impresa e il vincolo rappresenta il livello disponibile di un certo input, il moltiplicatore di Lagrange esprime il beneficio marginale dell'impresa derivante dal disporre di una unità in più dell'input in questione. In questo caso il moltiplicatore lagrangiano rappresenta il prezzo che l'impresa sarà disposta a pagare per un'unità addizionale dell'input, e tale prezzo è conosciuto come il prezzo-ombra dell'input considerato. 7