Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

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1 a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 58

2 Funzioni reali di variabile reale Una funzione f : D C si dice reale se C R; di variabile reale se D R. Esempi: 1 la funzione che a ogni numero intero associa il suo doppio è reale di variabile reale; 2 la funzione che associa al peso (in grammi) di una lettera l affrancatura (in centesimi di euro) necessaria alla spedizione è reale di variabile reale; 3 la funzione che a ogni città sulla terra, individuata in base alla sua latitudine e longitudine, associa l altitudine è reale ma non di variabile reale (è di due variabili reali). Nota: trattando funzioni reali, per semplicità assumeremo C = R. 2 / 58

3 Dominio, immagine, controimmagine Sia f : D R R. Ricordiamo che: D si chiama dominio o insieme di definizione di f ; talvolta lo denoteremo con dom(f ); per x D, l unico elemento di R che f associa a x si chiama valore di f in x, o anche immagine di x tramite f ; si denota con f (x); per D D, l insieme f (D ) := { f (x) x D } si chiama immagine di D tramite f ; f (D) si chiama immagine di f ; notazione alternativa: imm(f ); per Y R, l insieme { x D f (x) Y } si chiama controimmagine (o immagine reciproca) di Y tramite f ; per y R, diremo controimmagine di y invece di controimmagine di {y}. 3 / 58

4 Esempio Sia f : R R tale che f (x) = 2x + 1. Determiniamo: f (0) f (1.5) f ( 2.34) f (π) f ({ 3, 2, 2.1}) f ([ 2, 4.5)) controimmagine di 3.6 controimmagine di [1, 8) 4 / 58

5 Grafico di una funzione Siano A e B insiemi qualsiasi e sia f : A B. Il grafico di f è l insieme graf(f ) := { (x, y) A B y = f (x) }. In particolare, se f è una funzione reale di variabile reale, il grafico di f è un sottoinsieme di R R, che è in corrispondenza biunivoca con il piano cartesiano. Pertanto, il grafico di f si identifica con un sottoinsieme del piano cartesiano (una curva ), e quindi può essere disegnato. Non tutte le curve sono grafici di funzione: Test delle rette verticali Una curva nel piano cartesiano è grafico di una funzione della variabile x se e solo se ogni retta parallela all asse delle y interseca la curva al più una volta. Giustificare... 5 / 58

6 Informazioni immediatamente deducibili da un grafico Assegnato il grafico di una funzione f = f (x), dom(f ) è la proiezione del grafico sull asse delle ascisse; imm(f ) è la proiezione del grafico sull asse delle ordinate; per x 0 dom(f ), il valore f (x 0 ) è l ordinata dell unico punto del grafico di f che si trova sulla retta di equazione x = x 0 ; perché unico punto? per y 0 imm(f ), la controimmagine di y 0 è formata dalle ascisse dei punti del grafico di f che si trovano sulla retta di equazione y = y 0. 6 / 58

7 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (1) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di [1, 7] controimmagine di [1.4, 2.6] / 58

8 Alcune funzioni modello Funzione costante Sia c R e sia f : R R tale che f (x) = c per ogni x R. Grafico? Funzione identica Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Grafico? Funzione reciproco Sia f : R R tale che f (x) = 1 x per ogni x R. Grafico? 8 / 58

9 Funzione valore assoluto Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Notiamo esplicitamente che { x se x 0 f (x) = x se x < 0 (funzione definita a tratti) Per disegnare il grafico di f basta osservare che y = x è l equazione della bisettrice di primo e terzo quadrante, y = x è l equazione della bisettrice di secondo e quarto quadrante. 0 9 / 58

10 Funzione parte intera inferiore o floor Sia f : R R definita ponendo f (x) = x x R, dove x denota il più grande intero minore o uguale a x. Esempi: 2.5 = 2, 3.2 = 4, 5 = 5. Grafico? Funzione parte frazionaria o mantissa Sia m : R R definita ponendo m(x) = x x x R. Esempi: m(2.5) = 0.5, m( 3.2) = 0.8, m(5) = 0. Grafico? 10 / 58

11 Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di una funzione Se f è una funzione reale, con dominio D, la sua immagine f (D) è un sottoinsieme di R; ha senso allora parlare di maggioranti, minoranti } estremo superiore, estremo inferiore di f (D). massimo e minimo Essi vengono detti, rispettivamente, maggioranti, minoranti } estremo superiore, estremo inferiore di f. massimo (globale o assoluto) e minimo (globale o assoluto) In simboli: sup f := sup f (D), D max D inf D f := max f (D), min D f := inf f (D) f := min f (D) Diciamo che una funzione è limitata (superiormente, inferiormente) se la sua immagine lo è. Interpretazione grafica? 11 / 58

12 Osservazioni L estremo superiore [inferiore] di una funzione f esiste sempre in R; è finito se e solo se f è limitata superiormente [inferiormente]. Non è detto che una funzione f ammetta massimo [minimo] globale. Sono equivalenti le affermazioni (a) f ammette massimo minimo globale in D (b) esiste x 0 D tale che f (x) f (x 0) f (x) f (x 0 ) per ogni x D. x 0 soddisfacente la condizione in (b) si chiama punto di massimo [minimo] globale di f in D. Esempio Stabilire se le funzioni modello sono limitate superiormente e/o inferiormente, calcolarne estremo superiore e inferiore e, se possibile, massimo e minimo globali, specificando i punti di massimo e/o minimo globale. 12 / 58

13 Funzioni monotòne Sia D R e sia f : D R. crescente strettamente crescente Si dice che f è decrescente strettamente decrescente per ogni x 1, x 2 D tali che x 1 < x 2 si ha in D se f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) < f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) > f (x 2 ) Una funzione (strettamente) crescente o decrescente si dice (strettamente) monotòna. Interpretazione grafica della monotonia in un intervallo e in un insieme qualsiasi... Esempio Determinare la monotonia delle funzioni modello. 13 / 58

14 Funzioni simmetriche Sia f una funzione tale che dom(f ) sia simmetrico rispetto all origine. Se per ogni x dom(f ) si ha f ( x) = f (x) si dice che f è una funzione pari f ( x) = f (x) si dice che f è una funzione dispari Osservazione f è pari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate; f è dispari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. Perché? Può esistere una funzione f = f (x) il cui grafico sia simmetrico rispetto all asse delle ascisse? Esempio Stabilire se le funzioni modello sono simmetriche. 14 / 58

15 Funzioni periodiche Sia T > 0. Una funzione si dice periodica di periodo T se per ogni x dom(f ) si ha x + T dom(f ) f (x + T ) = f (x) per ogni x dom(f ) Interpretazione grafica della periodicità? Esempio Stabilire se le funzioni modello sono periodiche. 15 / 58

16 Operazioni con le funzioni A partire da due funzioni reali f e g possiamo definire le seguenti funzioni: nome simbolo valore in x dominio somma f + g f (x) + g(x) dom(f ) dom(g) differenza f g f (x) g(x) dom(f ) dom(g) prodotto f g f (x) g(x) dom(f ) dom(g) rapporto f g f (x) g(x) { x dom(f ) dom(g) g(x) 0 } reciproco 1 f 1 f (x) { x dom(f ) f (x) 0 } 16 / 58

17 Esempi Determinare le funzioni somma, differenza, prodotto, rapporto di f e g, reciproco di f, specificandone il dominio: f (x) = x + 1 g(x) = x 2 f (x) = x g(x) = 1 x 17 / 58

18 Composizione di funzioni Siano f e g due funzioni (qualsiasi) e sia D := { x dom(f ) f (x) dom(g) }. Se D è non vuoto, definiamo la funzione composta di f e g, che denotiamo con g f, ponendo (g f )(x) := g(f (x)) per ogni x D. Osservazioni In generale, dom(g f ) dom(f ). L uguaglianza dom(g f ) = dom(f ) vale se l immagine di f è contenuta nel dominio di g ; in particolare, ciò vale se dom(g) = R. 18 / 58

19 Esempi Determinare (se possibile) g f e f g, specificandone il dominio: f (x) = x + 1 g(x) = x f (x) = x g(x) = 1 x f (x) = x g(x) = 1 x Osservazione Gli esempi mostrano che la composizione tra funzioni non commuta. 19 / 58

20 Trasformazioni di grafici: traslazioni Descriviamo come si trasforma il grafico di una funzione f se su di essa si effettuano determinate operazioni. Assumiamo c > 0. g(x) =... il grafico di g si ottiene da quello di f mediante... f (x) + c traslazione verticale verso l alto (di ampiezza c) f (x) c f (x + c) f (x c) traslazione verticale verso il basso traslazione orizzontale verso sinistra traslazione orizzontale verso destra Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una traslazione orizzontale? E rispetto a una traslazione verticale? 20 / 58

21 Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni g(x) =... il grafico di g si ottiene da quello di f mediante... c f (x) f (c x) dilatazione compressione verticale se c > 1 c < 1 compressione dilatazione orizzontale se c > 1 c < / 58

22 Trasformazioni di grafici: riflessioni g(x) =... il grafico di g si ottiene da quello di f mediante... f (x) riflessione rispetto all asse delle ascisse f ( x) riflessione rispetto all asse delle ordinate 0 0 Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una riflessione rispetto all asse delle ordinate? E rispetto all asse delle ascisse? 22 / 58

23 Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto g(x) =... il grafico di g si ottiene da quello di f... f (x) lasciando invariata la porzione nel semipiano superiore e riflettendo la porzione nel semipiano inferiore simmetricamente rispetto all asse delle ascisse f ( x ) trascurando la porzione nel semipiano sinistro, lasciando invariata la porzione nel semipiano destro e riflettendola simmetricamente rispetto all asse delle ordinate / 58

24 Problema 1 (simmetria / operazioni e composizione) 1 Siano f e g funzioni pari (nei propri domini). Cosa si può dire sulle funzioni f +g, f g, f g, f /g, f g? 2 Come sopra, supponendo che f e g siano dispari. 3 Come sopra, supponendo che f sia pari e g sia dispari. Problema 2 (monotonia / composizione) 1 Siano f e g funzioni crescenti (nei propri domini). Cosa si può dire sulla funzione f g? 2 Come sopra, supponendo che f e g siano decrescenti. 3 Come sopra, supponendo che f sia crescente e g sia decrescente. 24 / 58

25 Problema 3 (monotonia / operazioni) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1 Se f è crescente (nel proprio dominio), la funzione opposta f è decrescente (nel proprio dominio). 2 Se f è crescente, la funzione reciproca 1/f è decrescente. 3 Se f è crescente e ha segno costante, la funzione reciproca 1/f è decrescente. 4 Se f e g sono crescenti, la funzione somma f + g è crescente. 5 Se f e g sono crescenti, la funzione prodotto f g è crescente. 6 Se f e g sono positive e crescenti, la funzione prodotto f g è positiva e crescente. 7 Se f e g sono negative e crescenti, la funzione prodotto f g è positiva e decrescente. Significa dimostrare l affermazione, se vera; fornire un controesempio, se falsa. 25 / 58

26 Funzioni invertibili Sia f : D R R. Diciamo che f è invertibile in D se per ogni y f (D) l equazione f (x) = y ha una e una sola soluzione in D. Test delle rette orizzontali Una funzione f = f (x) reale di variabile reale è invertibile se e solo se ogni retta parallela all asse delle x interseca il grafico di f al più in un punto. Perché? Esempio Stabilire, in base ai rispettivi grafici, se le funzioni modello sono invertibili. 26 / 58

27 Funzione inversa Sia f : D R una funzione invertibile. La funzione, definita in f (D) e a valori in D, che a ogni elemento y di f (D) fa corrispondere l unico elemento x di D tale che f (x) = y, si chiama funzione inversa di f e si denota con il simbolo f 1. Conseguenze immediate (o quasi) della definizione: il dominio di f 1 coincide con l immagine di f ; l immagine di f 1 coincide con il dominio di f ; f 1 (y) = x f (x) = y; f 1 (f (x)) = x x D, f 1 f funzione identica di D f (f 1 (y)) = y y f (D); f f 1 funzione identica di f (D) i grafici di f e di f 1 sono simmetrici rispetto alla retta y = x. 27 / 58

28 Proposizione (Monotonia e invertibilità) Sia f : D R R strettamente crescente [decrescente]. Allora: f è invertibile in D ; f 1 è strettamente crescente [decrescente]. Verifica... Osservazione La stretta monotonia è condizione sufficiente ma non necessaria per l invertibilità. Esempio? Esempio (funzione affine) Siano a R, b R e sia f : R R definita ponendo f (x) = ax + b per ogni x R. Verificare che f è invertibile e determinare la funzione inversa f 1. Grafici? 28 / 58

29 Osservazione importante: le funzioni 1 (reciproco di f ) f f 1 (inversa di f ) sono inversi di f rispetto a leggi di composizione diverse. Quali? Pertanto, esse sono funzioni diverse tra loro e non devono essere confuse! Esempi f := x R x f := x R 2x f := x R 1 x f := x R \ { 1 } 1 2 2x + 1 f 1 non esiste! Perché? f 1 := x R x 1 2 Confrontare i grafici di 1 f e di f 1 29 / 58

30 Trasformazioni di grafici: passaggio al reciproco Come si ottiene il grafico di g := 1 f Occorre tener presente che: a partire da quello di f? g è definita in tutti i punti in cui f è definita e diversa da 0; g non assume mai il valore 0; g è positiva dove f è positiva, negativa dove f è negativa; se in un intervallo f ha segno costante ed è crescente [decrescente], nel medesimo intervallo g ha lo stesso segno di f ed è decrescente [crescente]. Esempio La funzione f ha il grafico indicato a lato. Tracciare approssimativamente il grafico di 1 f / 58

31 Ulteriori funzioni modello Nel resto di questo capitolo introduciamo le seguenti funzioni elementari: funzione potenza (esponente naturale, intero, razionale, reale) funzione polinomiale funzione razionale funzione esponenziale funzione logaritmo funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) funzioni trigonometriche inverse 31 / 58

32 Funzione potenza con esponente naturale Sia n N, n 2. Definiamo p n : R R ponendo p n (x) = x n := x x... x } {{ } n fattori x R. Proprietà n pari n dispari dominio R R immagine R + R??? simmetria pari dispari regola dei segni monotonia strett. crescente in R + strett. crescente in R compatib. strett. decrescente in R rel. ordine e moltiplic / 58

33 Giustifichiamo le affermazioni relative all immagine della funzione potenza. Sia n N, n 2. p n (R + ) R + (compatibilità della relazione d ordine con la moltiplicazione) Teorema Per ogni y R + esiste (un unico) x R + tale che x n = y. proprietà estremo superiore monotonia Conseguenza: R + p n (R + ). Dalle due inclusioni segue p n (R + ) = R +. La conclusione si ottiene per la simmetria della funzione p n, a seconda che n sia pari o dispari. Osservazione Il teorema non è valido in Q. Motivazione? Controesempio? 33 / 58

34 Funzioni polinomiali e funzioni razionali La combinazione lineare di funzioni potenza con esponente naturale si chiama funzione polinomiale: con c 0, c 1,..., c n R. Risulta dom(p) = R. P(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0, Perché? Il rapporto di due funzioni polinomiali si chiama funzione razionale: R(x) = P(x), con P e Q funzioni polinomiali. Q(x) Risulta dom(r) = { x R Q(x) 0 }. Perché? 34 / 58

35 Funzione radice (o potenza con esponente frazionario) Sia n N, n 2. Denotiamo con r n la funzione inversa della restrizione di p n a R +, se n è pari, di p n, se n è dispari. Proprietà n pari n dispari dominio R + R immagine R + R simmetria n/a dispari monotonia strett. crescente in R + strett. crescente in R / 58

36 Il valore che la funzione r n assume in x viene denotato equivalentemente con i simboli n x radice n-esima x 1/n potenza con esponente frazionario Dalla definizione di funzione inversa seguono immediatamente le seguenti affermazioni: { a, b R+ se n è pari n a = b b n = a a, b R se n è dispari ( n x) n = x n x n = x { x R+ se n è pari x R se n è dispari { x R+ se n è pari x R se n è dispari 36 / 58

37 Osservazione Sia n pari. Per x < 0 la scrittura ( n x) n = x è priva di significato. Per x < 0 la scrittura n x n = x ha significato ma è falsa; l uguaglianza corretta è n x n = x. L uguaglianza n x n = x vale per ogni x R. 37 / 58

38 Funzione potenza con esponente intero negativo Sia n Z, n 1. Per x 0, definiamo x n come il reciproco di x n. In simboli: x n := (x n ) 1 o, equivalentemente, x n := 1 x n. Perché x 0? Segue direttamente dalla definizione che la funzione x R x n coincide con la funzione reciproco della funzione potenza p n. n pari (dominio) immagine simmetria monotonia n dispari / 58

39 Funzione potenza con esponente razionale Siano m Z e n N. Poniamo x m/n := n x m o, equivalentemente, x m/n := (x m ) 1/n. Questa definizione ha senso nei seguenti casi (giustificare... ) m 1 m 1 n dispari x R x R n pari, m pari x R x R n pari, m dispari x R + x R + Esempi... Segue direttamente dalla definizione che la funzione x x m/n coincide con la funzione composta di una funzione potenza con esponente intero (non nullo) e di una funzione radice; il suo dominio dipende da m e n. 39 / 58

40 0 0 m n < 0 0 < m n < 1 m n > 1 Le figure mostrano il grafico di x x m/n limitatamente al semipiano destro. Nei casi diversi da n pari, m dispari, la porzione di grafico contenuta nel semipiano sinistro si ottiene per simmetria rispetto all asse delle ordinate se m è pari, rispetto all origine degli assi se m è dispari. 40 / 58

41 Funzione potenza con esponente irrazionale Sia α R \ Q. Per x > 0 poniamo x α := sup { x q q Q, q α } Perché x > 0? Grafico della funzione x x α, al variare di α α > 1 α = 1 α = 1 : funzione identica prolungabile a R α = 0 : funzione costante di valore 1, prolungabile a R < α < 1 α = 0 α < 0 41 / 58

42 Proposizione Per i valori di x, y, p, q per i quali esse hanno significato, valgono le seguenti proprietà: x p+q = x p x q x p q = x p x q (x p ) q = x p q (x y) p = x p y p ( ) x p = x p y y p Convincersi della validità di queste formule, per esponenti p, q prima naturali, poi interi, poi razionali. Per esponenti irrazionali la verifica richiede la conoscenza di alcune proprietà dell estremo superiore che non presentiamo. 42 / 58

43 Funzione esponenziale in base a Sia a R, a > 0, a 1. La funzione x R a x R si chiama funzione esponenziale in base a. Perché a > 0? Perché a 1?!!! Attenzione a non confondere le funzioni potenza: x x α, con esponente α fissato esponenziale: x a x, con base a fissata Osservazioni Per ogni x R si ha a x > 0. Teorema Per ogni y R, con y > 0, esiste un unico x R tale che a x = y. proprietà estremo superiore monotonia = L immagine della funzione esponenziale è l intervallo (0, + ). 43 / 58

44 Proprietà della funzione esponenziale dominio immagine simmetria monotonia R (0, + ) nessuna strettamente decrescente se 0 < a < 1 strettamente crescente se a > 1 lo giustificheremo in seguito 0 < a < 1 a > / 58

45 Funzione logaritmo in base a Sia a > 0, a 1. La funzione inversa della funzione esponenziale in base a si chiama funzione logaritmo in base a e si denota con log a. Proprietà dominio immagine simmetria monotonia (0, + ) R n/a strettamente decrescente se 0 < a < 1 strettamente crescente se a > 1 0 < a < 1 a > / 58

46 Dalla definizione di funzione inversa seguono immediatamente le seguenti affermazioni: log a (x) = y a y = x x R +, y R log a (a x ) = x x R a log a (x) = x x R + 46 / 58

47 Valori notevoli e proprietà algebriche di esponenziali e logaritmi a 0 = 1 log a (1) = 0 a 1 = a log a (a) = 1 a x+y = a x a y log a (x y) = log a (x) + log a (y) (x, y > 0) a x = 1 a x a x y = ax a y ( 1 ) log a = log x a (x) (x > 0) ( x ) log a = log y a (x) log a (y) (x, y > 0) (a x ) y = a x y log a (x y ) = y log a (x) (x > 0, y R) ( x, y R) Verifica / 58

48 Cambiamento di base Una funzione esponenziale / logaritmica in base qualsiasi si può ricondurre a una funzione esponenziale / logaritmica in base prefissata: b x = a cx, log b (x) = c 1 log a (x), con c = log a (b). Le seguenti basi ricoprono ruoli importanti (in contesti diversi): a = 10 a = 2 a = e (numero di Nepero, irrazionale, 2.718) Notazioni e terminologia e x =: exp(x) funzione esponenziale log e (x) =: ln(x) logaritmo naturale log 10 (x) =: Log(x) logaritmo decimale 48 / 58

49 Funzione seno e funzione coseno Preliminari: corrispondenza tra R e la circonferenza unitaria misura in radianti di un angolo orientato Definiamo le funzioni sin: R R (seno) e cos: R R (coseno) come segue: per ogni x R, sin(x) è l ordinata dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria; per ogni x R, cos(x) è l ascissa dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria. Identità fondamentale della trigonometria Per ogni x R si ha sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1. Perché? 49 / 58

50 Proprietà immediate (o quasi) delle funzioni seno e coseno Periodicità Per ogni x R: sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) Limitatezza Per ogni x R: 1 sin(x) 1, 1 cos(x) 1 Simmetria Per ogni x R: sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x) Monotonia... Zeri e segno / 58

51 Seno Coseno Osservazione I grafici di seno e coseno coincidono a meno di una traslazione ( orizzontale; ciò è dovuto all uguaglianza sin(x) = cos x π ), 2 vera per ogni x R. 51 / 58

52 Funzione tangente La funzione { π } x R \ 2 + kπ k Z si chiama funzione tangente. Interpretazione geometrica... sin(x) =: tan(x) R cos(x) Proprietà immediate (o quasi) della funzione tangente Periodicità Per ogni x dom(tan): tan(x + π) = tan(x) Simmetria Per ogni x R: Monotonia... Zeri e segno... tan( x) = tan(x) 0 52 / 58

53 Funzione arcoseno, arcocoseno, arcotangente La restrizione della funzione è strettamente crescente decrescente crescente La funzione inversa si chiama seno coseno tangente all intervallo e pertanto invertibile. [ π 2, π ] 2 [0, π] ( π 2, π ) 2 arcoseno (simbolo: arcsin) arcocoseno (simbolo: arccos). arcotangente (simbolo: arctan) Osservazione Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno e tangente non vanno confuse con le funzioni reciproche, che sono chiamate cosecante, secante e cotangente, rispettivamente. Esercizio Determinare gli insiemi di definizione di cosecante, secante e cotangente. Tracciarne i grafici a partire da quelli delle funzioni seno, coseno e tangente, rispettivamente. (Tenere presente pagina 30.) 53 / 58

54 Proprietà immediate (o quasi) arcoseno arcocoseno arcotangente dominio [ 1, 1] [ 1, 1] R [ immagine π 2, π ] ( [0, π] π 2 2, π ) 2 (da giustificare) monotonia strett. crescente strett. decrescente strett. crescente simmetria dispari nessuna dispari / 58

55 Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente x sin(x) cos(x) tan(x) π π π 3 π Altri valori si calcolano tenendo conto delle simmetrie I valori notevoli di arcoseno, seno e arcotangente si ricavano dalla tabella tenendo conto che arcsin(x) = y sin(y) = x, arctan(x) = y tan(y) = x arccos(x) = y cos(y) = x 55 / 58

56 Esercizi sulle trasformazioni di grafici A partire dai grafici delle funzioni elementari, disegnare i grafici di g(x) = x g(x) = 3(x 2 1) g(x) = 2 x 2 g(x) = 2x 2 4x + 7 g(x) = (x + 1) 2 g(x) = x 2 2x 5 g(x) = x 3 1 g(x) = x 3 1 g(x) = x 3 1 g(x) = e x 1 g(x) = 3 e x g(x) = e x g(x) = e x 1 g(x) = e x g(x) = e x g(x) = ln(x) g(x) = ln( x + 2 ) g(x) = 5 ln(x 3) g(x) = 3 x + 1 g(x) = 3 x g(x) = x Perché tanta enfasi sui grafici? 56 / 58

57 Risoluzione di equazioni e disequazioni con l ausilio dei grafici Descrizione (informale) dei passi da compiere 1 Scrivere l equazione / disequazione in forma normale, cioè con una funzione f (x) a primo membro e una costante c (spesso c = 0) a secondo membro. 2 Tracciare un grafico approssimativo della funzione f. 3 Se il grafico di f ha punti di intersezione con la retta y = c, le ascisse di questi punti sono le soluzioni dell equazione f (x) = c ; l equazione va allora risolta analiticamente (se possibile, altrimenti si determinano numericamente soluzioni approssimate), sfruttando le eventuali simmetrie del grafico per agevolare la determinazione di tutte le soluzioni. (segue) 57 / 58

58 4 Individuare i punti sul grafico di f che si trovano nel semipiano superiore definito dalla relazione y > c ; proiettare questi punti sull asse delle ascisse, determinando gli intervalli formati dalle soluzioni della disequazione f (x) > c. Gli estremi di questi intervalli sono stati calcolati al punto precedente. 5 Individuare i punti sul grafico di f che si trovano nel semipiano inferiore definito dalla relazione y < c. Procedendo come al punto precedente, determinare gli intervalli formati dalle soluzioni della disequazione f (x) < c. Esempi 1 x x 2 < 2 2 < 1 x x 2 5x x 2 5x x 2 5x + 2 < 4 π 4 < arctan( x 1) π 4 58 / 58

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