Esercizi di modellazione per il corso di Ricerca Operativa 1
|
|
- Rosalia Leonardi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi di modellazione per il corso di Ricerca Operativa 1 4 novembre 2005
2 2
3 Parte I Esercizi 3
4
5 Modelli di programmazione lineare Molti problemi di interesse pratico si prestano ad essere descritti e risolti come modelli di programmazione matematica. Un modello (o programma) è la descrizione di un problema che richiede di massimizzare (o minimizzare) una funzione di costo o profitto su un certo dominio. La scrittura usuale è max z = f(x) (oppure: min z = f(x)) (1) b i g i (x) = b i i = 1,..., m, (2) b i x = (x 1,..., x n ) X R n. (3) Molti problemi di interesse pratico si prestano ad essere descritti e risolti come modelli di programmazione matematica. Un modello (o programma) è la descrizione di un problema che richiede di massimizzare (o minimizzare) una funzione di costo o profitto su un certo dominio. La scrittura usuale è max z = f(x) (oppure: min z = f(x)) (4) b i g i (x) = b i i = 1,..., m, (5) b i x = (x 1,..., x n ) X R n. (6) In un modello sono presenti: una serie di variabili di controllo in funzione delle quali viene formulato ogni altro elemento del modello; queste variabili, almeno in parte, corrispondono alle quantità agendo sulle quali la soluzione verrà implementata; una funzione obiettivo f(x) che determina un costo o profitto legato alla soluzione; 5
6 6 una o più serie di vincoli, che correlano tra loro i valori delle variabili, imponendo condizioni di fisica realizzabilità e/o requisiti particolari richiesti alla soluzione. Tra i modelli di programmazione matematica hanno particolare rilievo i modelli di programmazione lineare, nei quali la f(x) e le g i (x) sono espressioni lineari. Un modello di programmazione lineare è quindi esprimibile sempre come max z = n c j x j (7) j=1 n b i a ij x j = b i i = 1,..., m, (8) j=1 b i x = (x 1,..., x n ) X R n. (9) I campi di esistenza delle variabili x j sono di solito di tipo continuo (spesso non negativo) oppure intero non negativo (x j Z + ), oppure binario (x j {0, 1}) a seconda del tipo di decisione che tali variabili modellano. La particolarità dei modelli lineari è legata alla loro maggiore semplicità, che li rende più facilmente risolvibili rispetto ai modelli non lineari; in effetti sono ormai disponibili pacchetti software commerciali in grado di risolvere in modo efficiente programmi lineari di notevoli dimensioni (intese come quantità di variabili e di vincoli). Questo rende spesso preferibile, per la risoluzione di un problema, lo sviluppo di un modello lineare anche quando un modello non lineare potrebbe essere più compatto. Lo sviluppo di un modello di programmazione lineare parte dall analisi di una situazione reale (più o meno schematizzata) e, in modo simile a quanto accade nello sviluppo di una procedura software, richiede di identificare le variabili di controllo ed i rispettivi domini, i vincoli e la funzione obiettivo. Non ci sono regole rigide da seguire: il modello finale nasce spesso in particolare nela caso di situazioni complesse per raffinamenti successivi. ESERCIZIO 1. Un gruppo di amici dovendo fare una gita ha deciso di mettere cibi e bevande in un unico zaino da 10 Kg. Lo zaino può essere riempito con 1. Cioccolata (confezioni da 500 g.) 2. Succhi di frutta (bottiglie da 1 l.) 3. Lattine di birra (formato da 0.33 l.) 4. Panini imbottiti (da 100 g. l uno) 5. Acqua minerale (bottiglie da 1 l.) 6. Pacchi di biscotti (confezioni da 500 g.) Dopo un indagine tra i partecipanti alla gita (si poteva dare un voto da 1 a 100 ad ogni prodotto) sono stati determinati i seguenti punteggi.
7 7 Prodotto Punti Cioccolata 10 Succhi di frutta 30 Lattine di birra 6 Prodotto Punti Panini imbottiti 20 Acqua minerale 20 Pacchi di biscotti 8 Per non scontentare nessuno si è deciso di portare almeno: 2 confezioni di cioccolata; 2 bottiglie di succo di frutta; 6 lattine di birra; 10 panini imbottiti; 2 conf. di biscotti. Formulare il modello di Programmazione Lineare che massimizzi il punteggio rispettando il vincolo di capacità dello zaino. ESERCIZIO 2. L acciaieria PLASTIK deve evadere un ordine di 1000 tonnellate di acciaio INOX. Per questa produzione servono manganese (almeno l 1% in peso), cromo (almeno il 18%) e molibdeno (almeno il 2%). I fornitori di metalli non ferrosi vendono per esigenze di mercato questi prodotti in tre tipi di confezioni differenti. La prima confezione contiene 2 Kg. di manganese, 2 Kg. di cromo e 1 Kg. di molibdeno e costa 10 euro. La seconda confezione contiene 2 Kg. di manganese, 3 Kg. di cromo e 1 Kg. di molibdeno e costa 15 euro. La terza confezione contiene 1 Kg. di manganese, 2 Kg. di cromo e 5 Kg. di molibdeno e costa 20 euro. Formulare il modello di Programmazione Lineare per minimizzare il costo di acquisto delle confezioni. ESERCIZIO 3. Un azienda produce tre modelli 1, 2 e 3 di un certo prodotto. Ciascun modello richiede due tipi di materiali grezzi (A e B) di cui sono disponibili rispettivamente 4000 e 6000 unità. In particolare, per produrre una unità del modello 1 sono necessarie 2 unità di A e 4 unità di B; per una unità del modello 2 sono necessarie 3 unità di A e 2 unità di B; per una unità del modello 3 sono necessarie 5 unità di A e 7 di B. Il modello 1 richiede, per ogni unità prodotta, il doppio di forza lavoro rispetto al modello 2 e il triplo rispetto al modello 3. La forza lavoro presente in azienda è in grado di produrre al massimo l equivalente di 700 unità/giorno del modello 1. Il settore marketing dell azienda ha reso noto che la domanda minima per ciascun modello è rispettivamente di 200, 200 e 150 unità. Il profitto unitario di ogni modello è di 30, 20 e 50 euro, rispettivamente. Formulare il programma lineare per pianificare la produzione giornaliera massimizzando il profitto. ESERCIZIO 4. La casa editrice ANALFABETA pubblica un quotidiano che viene distribuito da quattro centri di smistamento S 1, S 2, S 3, S 4 che richiedono rispettivamente almeno , , e copie. Il giornale viene stampato in tre tipografie T 1, T 2, T 3 che producono rispettivamente al massimo , e copie I costi per la spedizione sono di 2 euro/km. per giornale e le distanze tra le tipografie ed i centri di smistamento sono rispettivamente di 20, 25, 15 e 5 Km.
8 8 per la prima tipografia, di 12, 14, 18 e 30 Km per la seconda, e di 19, 11, 40 e 12 Km per la terza. (a) Formulare il modello di Programmazione Lineare per pianificare le spedizioni a costo totale minimo. (b) Si definisca il costo di approvvigionamento di un centro di smistamento come il costo totale delle spedizioni verso quel centro. Formulare il modello di Programmazione Lineare che minimizza il massimo costo di approvvigionamento. ESERCIZIO 5. Un motel autostradale, dovendo garantire un servizio continuato 24 ore su 24, ha bisogno di un numero minimo di inservienti per ogni ora del giorno secondo la seguente tabella. Fascia oraria Numero min Fascia oraria Numero min Ciascun inserviente lavora 8 ore consecutive al giorno. Formulare il modello di Programmazione Lineare per garantire la presenza richiesta utilizzando il minor numero possibile di inservienti. ESERCIZIO 6. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Un caporeparto di un officina di un azienda meccanica deve pianificare l esecuzione di cinque lotti su di una macchina della durata rispettivamente di 5 minuti, 7 minuti, 4 minuti, 7 minuti e 10 minuti. La sequenza di esecuzione (1, 2, 3, 4, 5) è data e non ci può essere sovrapposizione temporale fra i lotti. Il primo lotto ha come ora di consegna desiderata le 10.32, il secondo le 10.38, il terzo le 10.42, il quarto le ed il quinto le Sia l errore di un lotto pari al valore assoluto della differenza tra il suo tempo di fine lavorazione e l ora di consegna. Si vuole minimizzare la somma degli errori dei lotti (ipotesi: il reperto comincia a lavorare alle 8.30). ESERCIZIO 7. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Un azienda alimentare deve pianificare la produzione di un prodotto per i prossimi 4 mesi. Non ci sono giacenze in magazzino all inizio del periodo e non ce ne devono essere alla fine dei 4 mesi. La domanda mensile prevista è di 120 ton, 160 ton, 300 ton e 200 ton rispettivamente (ipotesi: la produzione viene stoccata e rilasciata interamente a fine mese). La capacità produttiva mensile è 140 ton, 150 ton, 140 ton e 160 ton rispettivamente ad un costo di 10 euro/ton. In caso di necessità è possibile produrre in straordinario aumentando la capacità mensile di (al più) 50 ton, 75 ton, 70 ton e 80 ton rispettivamente. La produzione straordinaria ha un costo addizionale di 6 euro/ton. Inoltre, per garantire una produzione omogenea si vuole che la produzione ordinaria di ciascun mese sia almeno pari al 10% della produzione totale dei primi tre. Le eventuali giacenze a fine mese costano 5 euro/ton. L obiettivo è quello di pianificare la produzione di costo minimo. ESERCIZIO 8. Lo stato di Islandia ha quattro industrie esportatrici: acciaio, motori, elettronica e plastica. Il ministro dell economia di questo stato vuole massimizzare il saldo esportazioni-importazioni. La moneta di Islandia
9 è il klutz. I prezzi in klutz sul mercato mondiale per unità di acciaio, motori, elettronica e plastica sono rispettivamente 500, 1500, 300 e La produzione di una unità di acciaio richiede 0.02 unità di motori, 0.01 unità di plastica, 250 klutz di materie prime acquistate sul mercato mondiale e mezzo anno-uomo di manodopera. La produzione di una unità di motori richiede 0.8 unità di acciaio, 0.15 unità di elettronica, 0.11 unità di plastica, 300 klutz di materie prime acquistate sul mercato mondiale e un anno-uomo di manodopera. La produzione di una unità di prodotti elettronici richiede 0.01 unità di acciaio, 0.01 unità di motori, 0.05 unità di plastica, 50 klutz di materie prime acquistate sul mercato mondiale e mezzo anno-uomo di manodopera. La produzione di una unità di plastica richiede 0.03 unità di motori, 0.2 unità di acciaio, 0.05 unità di elettronica, 300 klutz di materie prime acquistate sul mercato mondiale e due anni-uomo di manodopera. La produzione di motori è limitata a unità, quella di plastica a unità. La manodopera totale disponibile in Islandia è di uomini per anno. Acciaio, motori, elettronica e plastica non possono essere importati, ma devono essere prodotti all interno. ESERCIZIO 9. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Si consideri un territorio sul quale siano localizzati 7 punti di domanda (ad es. 7 città) indicati in tabella con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Si considerino, inoltre, 5 punti di offerta indicati in tabella con A, B, C, D, E nei quali potrebbero essere aperti dei centri vendita di un impresa di distribuzione. Tale impresa è interessata a soddisfare la domanda sopramenzionata in modo tale che i clienti non percorrano più di 30 minuti di auto per raggiungere almeno uno dei centri vendita. In tabella, per ogni coppia di punti di domanda e di offerta, viene indicato il tempo auto necessario. L impresa ha inoltre fatto sapere che accetterà soluzioni che prevedano l attivazione del centro vendita B solo se è già attivo uno dei centri C o D. L apertura dei centri vendita costa rispettivamente (in miliardi di lire): A = 310, B = 250, C = 260, D = 330, E = 280. L obiettivo dell impresa è di minimizzare i costi di apertura dei centri vendita garantendo il fatto che che tutti i punti di domanda vengano serviti. 9 A B C D E ESERCIZIO 10. Una raffineria produce benzina verde e super a partire da due tipi di greggio A e B, usando tre impianti. Il primo impianto può produrre 2 barili di verde e 3 di super a partire da 4 barili di greggio tipo A e 3 barili di greggio tipo B. Il secondo impianto può produrre 4 barili di verde e 2 di super a partire da 3 barili di A e 4 barili di B. Il terzo può produrre
10 10 2 barili di verde e 2 barili di super a partire da 3 barili di A e 3 barili di B. Gli impianti lavorano sempre con le proporzioni specificate. La benzina verde viene venduta a 40$/barile, la super a 50$/barile. Sono disponibili per questo mese 5000 barili di greggio A e 6000 barili di greggio B. Per esigenze legate ad altre lavorazioni, almeno uno tra gli impianti deve produrre non più di 1000 barili. Formulare il programma lineare per massimizzare il profitto legato alla produzione mensile. ESERCIZIO 11. Un azienda agricola produce mais, soia e grano in tre tenute A, B, C. La tenuta A dispone di 600 ettari di terreno e di una riserva di m 3 di acqua. La tenuta B ha 700 ettari di terreno e m 3 di acqua. La terza dispone di 450 ettari e di m 3. Le produzioni di mais, soia e grano garantiscono rispettivamente profitti di 5, 7 e 6 Keuro/ettaro. I consumi di acqua sono di m 3 /ha per il mais,10000 m 3 /ha per la soia e m 3 /ha per il grano. Le direttive della comunità europea richiedono che: almeno una tenuta lasci 200 ettari di terreno incolto, e l estensione complessiva del terreno coltivato a soia dall azienda non superi il 40% del totale del suolo coltivato. Formulare il programma lineare per la massimizzazione del profitto. ESERCIZIO 12. Una ditta ha la possibilità di attivare, per l anno corrente, la produzione di quattro tipi di prodotti A, B, C e D. Per ogni tipo di produzione, se attivata, la ditta si impegna a produrre un quantitativo minimo pari rispettivamente a 1000, 1500, 3000 e 2000 unità. La produzione di A, B, C e D richiede un costo fisso per l attivazione delle rispettive linee di produzione ed una quantità di forza lavoro per ogni unità prodotta, ed ogni unità venduta fornisce un profitto, come specificato dalla seguente tabella (in euro). Prodotto Costo fisso Forza lavoro unit. Profitto unit. A B C D La ditta dispone per l anno in corso di unità complessive di forza lavoro. Inoltre i committenti per la quale essa lavora richiedono che nel caso venga attivata la produzione di A venga anche prodotto almeno uno tra C o D, almeno nei quantitativi minimi sopra indicati. Formulare il programma lineare per decidere le produzioni da attivare e pianificarne i quantitativi al fine di massimizzare il saldo costi-profitti. ESERCIZIO 13. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. In una centrale elettrica sono a disposizione tre generatori ed ogni giorno si deve decidere quali usare solo di giorno e quali anche di notte per assicurare una produzione di almeno 4000 megawatts di giorno e di almeno 2800 megawatts di notte. L uso di un generatore comporta la presenza di personale tecnico che sorvegli il suo funzionamento; tale personale viene retribuito in maniera differente a seconda dei turni necessari (12h/24h) e del tipo di generatore. Tali costi di attivazione sono riportati nella tabella che segue (in migliaia di lire) insieme al costo per ogni megawatt prodotta.
11 11 Costo attivazione Costo al giorno giorno/notte megawatt Generatore A Generatore B Generatore C Il generatore A ha una capacità produttiva di 2500 megawatts al giorno ma questa capacità scende a 2000 megawatts se il generatore viene utilizzato sia di giorno che di notte. Analogamente, il generatore B ha una capacità produttiva di 2000 megawatts al giorno ma questa capacità scende a 1500 megawatts se il generatore viene utilizzato sia di giorno che di notte. Infine, il generatore C ha una capacità produttiva di 3000 megawatts al giorno ma questa capacità scende a 2500 megawatts se il generatore viene utilizzato sia di giorno che di notte. Si vuole minimizzare il costo complessivo. ESERCIZIO 14. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Un caporeparto di un officina di un azienda meccanica deve pianificare l esecuzione di cinque lotti su di una macchina della durata rispettivamente di 5 minuti, 7 minuti, 4 minuti, 7 minuti e 10 minuti. Non ci può essere sovrapposizione temporale fra i lotti. Il primo lotto ha come ora di consegna desiderata le 10.32, il secondo le 10.38, il terzo le 10.42, il quarto le ed il quinto le Sia l errore di un lotto pari al valore assoluto della differenza tra il suo tempo di fine lavorazione e l ora di consegna. Si vuole minimizzare la somma degli errori dei lotti (ipotesi: il reperto comincia a lavorare alle 8.30). ESERCIZIO 15. Una ditta che si occupa di riparazioni deve pianificare le assunzioni per i prossimi 5 mesi. All inizio la ditta dispone di 20 operai esperti; ogni operaio esperto fornisce 150 ore di lavoro al mese e percepisce uno stipendio mensile di 1000 euro. Un operaio neoassunto, durante il primo mese di servizio percepisce uno stipendio di 500 euro e non fornisce in pratica lavoro utile; per questo primo mese gli viene invece affiancato un lavoratore esperto per insegnargli il mestiere. Ogni lavoratore esperto che svolge affiancamento rende per 70 ore di lavoro al mese (anziché 150). Dopo il mese di apprendistato i lavoratori neoassunti diventano esperti, con pari abilità lavorativa e stipendio. Le quantità di ore/lavoro da coprire per i prossimi 5 mesi sono rispettivamente di 2000, 4000, 7000, 3000, 3500 ore. Infine, se si assumono almeno 10 persone nel corso dei primi due mesi, l azienda puó incassare un contributo statale di euro. Formulare il programma lineare che consente di pianificare le assunzioni riducendo al minimo i costi del personale nei prossimi cinque mesi. ESERCIZIO 16. L azienda PC4All produce pc e deve acquistare le scorte di materie prime necessarie per la produzione dei case. Per produrre i case nel mese corrente sono necessari i seguenti materiali: viti: unità; plastica: 1300 kg.; acciaio: 2900 kg.
12 12 Per effettuare gli acquisti l azienda si può appoggiare a quattro fornitori, i quali le forniscono le materie prime in lotti contenenti le seguenti quantità di materiale: viti plastica acciaio F F F F Nell ottica di gestire al meglio il proprio magazzino, la PC4All intende avere, alla fine del mese, la minor quantità di materiale non utilizzato possibile e, a tal fine, è disposta anche a comprare una quantità di materie prime inferiore alle proprie necessità. Il costo per lo stockaggio o per il mancato acquisto di una unità di materiale è il seguente: Viti Plastica Acciaio 0.2 euro/pezzo 1 euro/kg. 3 euro/kg. Per motivi commerciali l azienda, se acquista dei lotti di materiale dal fornitore F1, è impossibilitata a rifornirsi dai fornitori F2 ed F4. Formulare il modello di programmazione lineare che minimizzi i costi derivanti dallo scostamento tra le quantità di materiali acquistate e quelle necessarie, tenendo conto che non è possibile comprare porzioni di lotto di materiali.
13 Parte II Soluzioni 13
14
15 Modelli di programmazione lineare 1. Le variabili di controllo determinano la struttura della soluzione di un problema, permettendone la realizzazione. Quindi in questo caso è naturale definire le variabili x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, con il significato x i = unità di alimento (i) caricate nello zaino. Con questa scelta di variabili si può ottenere il seguente modello, nel quale compaiono due serie di vincoli: (1) un vincolo relativo alla capacità dello zaino, che non può essere superata, e (2) vincoli relativi ai quantitativi minimi di alimenti da caricare. max 10x x 2 + 6x x x 5 + 8x x 1 + x x x 4 + x x 6 10 (1.1) x 1 2, x 2 2, x 3 6, x 4 10, x 6 2, (1.2) x 1,..., x 6 Z Le variabili più naturali sono x 1, x 2, x 3, dove x i = numero di confezioni di tipo i acquistato. A volte può non essere evidente quale sia la scelta di variabili più naturale. Una buona regola euristica è spesso la seguente: una definizione di variabili è soddisfacente quando essa permette di scrivere in modo semplice la funzione obiettivo (o comunque i vincoli più significativi) del modello. Ad esempio, in questo caso usare variabili che rappresentano le quantità di materiali (manganese, cromo, molibdeno) acquistate anzichè le confezioni non sarebbe soddisfacente, in quanto la funzione obiettivo risulterebbe molto difficile da esprimere. Con la scelta di variabili indicata invece, si ottiene il modello min 10x x x 3 15
16 16 2x 1 + 2x 2 + x (2.1) 2x 1 + 3x 2 + 2x (2.2) x 1 + x 2 + 5x (2.3) x 1, x 2, x 3 Z +, dove i vincoli (2.1), (2.2) e (2.3) rappresentano i quantitativi minimi di manganese, cromo e molibdeno da garantire, rispettivamente. 3. Le variabili x 1, x 2, x 3 sono sufficienti a modellare il problema, con x i = numero di unità di tipo i prodotte. Quindi si ha max 30x x x 3 2x 1 + 3x 2 + 5x x 1 + 2x 2 + 7x (3.1) x x x (3.2) x 1 200,, x 2 200, x (3.3) x 1, x 2, x 3 Z +, con i vinvoli (3.1), (3.2) e (3.3) che rappersentano i vincoli sulla disponibilità di materie prime, sulla forza lavoro disponibile e sui requisiti minimi di produzione stabiliti dal marketing, rispettivamente. 4. (a) Per come sono specificati i costi di spedizione, la scelta naturale per la definizione delle variabili di controllo è la seguente: x ij = numero di copie spedite da T i a S j. In questo modo il modello diventa max 3 4 c ij x ij j=1 x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x x 14 + x 24 + x (4.1) (4.2) x ij Z +, i, j.
17 17 I vincoli (4.1) e (4.2) impongono che ogni tipografia spedisca non più giornali di quanti ne stampa (per la realizzabilità fisica della soluzione) e che ogni centro ne riceva una quantità pari almeno al proprio fabbisogno. I costi c ij sono ricavati dalla matrice delle distanze indicata dal testo: c ij = 2 (distanza T i -S j ). (b) L obiettivo specificato pone la necessità di scrivere un programma di minimo con una funzione obiettivo del tipo max j { 3 } c ij x ij. Tale espressione è però non lineare e quindi proibita nel tipo di modelli qui trattato. Per conservare la linearità del modello, occorre introdurre una variabile ausiliaria ed una serie di vincoli come segue. min y x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x x 14 + x 24 + x (4.1 ) (4.2 ) 3 c ij x ij y j = 1,..., 4 (4.3) x ij Z +, i, j, y 0 La variabile ausiliaria y ed i vincoli (4.3) permettono di gestire l obiettivo min / max conservando la linearità del modello: in ogni soluzione ottima di questo programma lineare, il valore assunto da y coincide esattamente con max j { n c ijx ij }. I vincoli (4.1 ) e (4.2 ) hanno il ruolo già noto. 5. Questo problema richiede, per essere modellato in modo semplice, una definizione accorta di variabili. Occorre tener presente che: (1) esiste una soluzione ottima dove ogni inserviente comincia lavorare all inizio di una fascia oraria e ne copre esattamente due; (2) ogni inserviente ha (naturalmente) un unico orario di inizio turno. Quindi è possibile definire: x i = numero di inservienti che cominciano il turno nella fascia i (i = 1,..., 6). Con queste variabili si ottiene il modello min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6
18 18 x 1 + x 6 4 (5.1) x 1 + x 2 8 (5.2) x 2 + x 3 10 (5.3) x 3 + x 4 7 (5.4) x 4 + x 5 12 (5.5) x 5 + x 6 4 (5.6) x 1,..., x 6 Z +. Poiché ogni inserviente che comincia il turno nella fascia i copre le fasce i ed i + 1 (modulo 6), i vincoli (5.1) (5.6) garantiscono la copertura richiesta in ogni fascia. La funzione obiettivo rappresenta esattamente il numero di inservienti necessari. 6. Il problema richiede di scrivere un modello in grado di determinare gli istanti di inizio lavirazione dei lotti in esame; si può assumere come zero del tempo l ora delle 8:30, per cui i lotti hanno date di scadenza (espresse in minuti) di 122, 128, 132, 142 e 147. Una serie di variabili è necessaria per rappresentare i tempi di inizio lavorazione: t i = istante di lavorazione (in minuti dalle 8:30) del lotto i. Inoltre l errore del lotto i è dato da i = t i + p i d i, dove p i e d i indicano rispettivamente il tempo di lavorazione e la scadenza del lotto. La funzione obiettivo è quindi del tipo 5 t i + p i d i. Questo genere di funzione è non lineare quindi occorre nuovamente ricorrere ad un espediente per rappresentare i valori assoluti in un modello lineare. Ricordando che x = max(x, x), si può pensare di utilizzare la stessa tecnica usata per obiettivi di tipo min / max. Si introducono quindi le variabili i = errore del lotto i. Il modello è il seguente. min
19 19 t t 2 (1 2) t t 3 (2 3) t t 4 (3 4) t t 5 (4 5) 1 t (t ) 2 t (t ) 3 t (t ) 4 t (t ) 1 t (t ) (6.1) (6.2) t i 0, i 0, i = 1,..., 5. I vincoli (6.1) garantiscono il rispetto della sequenza di lavorazione che, secondo il testo, è predeterminata, mentre i vincoli (6.2) vincolano i i ad assumere il valore assoluto di t i + p i d i. 7. Il problema richiede in più, rispetto ad altri problemi di produzione già risolti, la gestione di scorte di magazzino in un certo numero di periodi di tempo (mesi, in questo caso). Questi problemi, comuni nel settore della pianificazione della produzione, vengono detti multiperiodali. In questi casi è utile (anche se non sempre indispensabile) disporre di un insieme di variabili che rappresentano esplicitamente il livello delle giacenze da gestire alla fine (o all inizio) di ogni periodo. Il problema in esame può essere modellato utilizzando le seguenti variabili. x i = produzione ordinaria (in ton.) per il mese i = 1..., 4, s i = produzione straordinaria (in ton.) per il mese i = 1,..., 4, y i = giacenze in magazzino alla fine del mese i = 1,..., 3. Una y 4 non è stata definita, in quanto è esplicitamente richiesto che essa valga zero in ogni soluzione ammissibile. Occorre modellare l uso della produzione ordinaria e straordinaria, rispettarne i limiti e correlarle alla domanda mensile (che deve essere soddisfatta) ed alle giacenze in magazzino. In base alle variabili specificate, un modello possibile è min 10 4 x i s i y i
20 20 x 1 + s 1 = y 1 x 2 + s 2 + y 1 = y 2 (7.1) x 3 + s 3 + y 2 = y 3 x 4 + s 4 + y 3 = x i 0.1 (x i + s i ) i = 1,..., 4 (7.2) x 1 140, x 2 150, x 3 140, x 4 160, (7.3) s 1 50, s 2 75, s 3 70, s 4 80, (7.4) x i, s i, y i 0, i = 1,..., 4. I vincoli (7.1) svolgono il compito fondamentale di correlare la produzione di ogni mese con livelli di giacenze e domanda, esprimendo il bilancio (produzione mensile)+(giacenze a mese precedente) = (domanda mese)+(giacenze a fine mese). Le serie successive di vincoli sono piuttosto semplici ed esprimono il requisito sui livelli di produzione ordinaria minimi mensili (10% del totale sui primi tre mesi) e sulle capacità produttive massime (ordinaria e straordinaria) per i quattro mesi. 8. Indicando i prodotti con A, M, E, P (Acciaio, Motori, Elettronica, Plastica) si possono riassumere i requisiti per la produzione nella seguente tabella. A M E P Anni uomo Mat. prime A M E P Poiché acciaio, motori, elettronica e plastica vanno prodotti internamente e non acquistati, è conveniente scorporare la produzione per uso interno da quella per esportazioni, definendo le variabili dove x A, x M, x E, x P, y A, y M, y E, y P, x i = unità di prodotto i realizzate per esportazione, i {A, M, E, P }, y i = unità di prodotto i realizzate per uso interno, i {A, M, E, P }. Dall analisi del testo, occorre garantire che: la produzione interna di ogni prodotto sia sufficiente a supportare la produzione totale; le quantità di motori e plastica prodotte non eccedano i limiti imposti;
21 21 il piano produttivo non ecceda il monte-ore diponibile. Con le variabili precedentemente definite, il modello risulta come segue. max 500x A x B + 300x E x P [250(x A + y A ) + 300(x M + y M ) + 50(x E + y E ) + 300(x P + y P )] y A 0.8(x M + y M ) (x E + y E ) + 0.2(x P + y P ) y M 0.02(x A + y A ) (x E + y E ) (x P + y P ) y E 0.15(x M + y M ) (x P + y P ) y P 0.01(x A + y A ) (x M + y M ) (x E + y E ) x M + y M x P + y P (8.1) (8.2) 0.5(x A + y A ) + (x M + y M ) + 0.5(x E + y E ) + 2(x P + y P ) (8.3) x A, x M, x E, x P 0, y A, y M, y E, y P 0. La funzione obiettivo rappresenta il saldo esportazioni-importazioni; i vincoli (8.1) impongono che la produzione interna di ogni prodotto sia in grado di supportare la produzione totale; i vincoli (8.2) impongono i limiti richiesti alle produzioni di motori e plastica, ed infine il vincolo (8.3) impone di non eccedere il monte-ore disponibile. 9. L apertura di un centro è una decisione che differisce da quelle modellate fino a questo momento, per il fatto di essere puramente binaria (un centro viene aperto oppure no, non esistono casi intermedi). Per modellare questo genere di decisioni, è possibile inserire nei programmi lineari variabili binarie, cioè interi con valori limitati all insieme {0, 1}. È da notare che queste variabili, a parte il loro campo di esistenza, non hanno alcun ruolo privilegiato rispetto alle altre; in particolare, non sono disponibili i consueti operatori logici (tipo and, or, not) comuni nei linguaggi di programmazione, che vanno quindi emulati per mezzo di esperessioni lineari puramente algebriche. Inoltre, non è consentito in alcun modo introdurre prodotti del tipo (variabile logica) (altre variabili), errore sorprendentemente comune. Il problema in esame si può modellare con cinque variabili binarie A, B, C, D, E che rappresentano l apertura (variabile= 1) o la non-apertura (variabile= 0) del rispettivo centro. min 310A + 250B + 260C + 330D + 280E
22 22 C + D 1 (9.1) A + B + C 1 (9.2) A + E 1 (9.3) A + D + E 1 (9.4) A + B + C + D 1 (9.5) B + C + D 1 (9.6) D + E 1 (9.7) B C + D (9.8) I vincoli (9.1) (9.7) modellano operatori logici di tipo or: in base ai tempi di percorrenza dati, per servire il punto 1 occorre aprire C oppure D; per servire il punto 2 occorre aprire A oppure B oppure C, e così via. Il vincolo (9.8) modella un implicazione logica B = C D (il requisito B apre solo se... specificato dal testo: confrontare con la tabella di verità dell operatore logico). Si noti anche che nell insieme di vincoli (9.1) (9.8) esistono vincoli ridondanti: ad esempio, (9.1) implica (9.5), (9.6) e (9.8); questi tre vincoli potrebbero quindi essere rimossi dal modello. Questa operazione non è strettamente necessaria ai fini della correttezza del modello, ma è desiderabile in ambito applicativo, in quanto semplifica la risoluzione del modello. 10. La definizione di variabili che porta a realizzare il modello più conciso è probabilmente la seguente: x i = numero di lavorazioni svolte all impianto i = 1, 2, 3. { 1 iff l impianto i è limitato a 1000 barili, y i = i = 1, 2, 3. 0 altrimenti, La definizione suggerita di x i permette di gestire il funzionamento degli impianti con le proporzioni specificate, senza ricorrere a vincoli addizionali. Il modello risulta max 40(2x 1 + 4x 2 + 2x 3 ) + 50(3x 1 + 2x 2 + 2x 3 ) 4x 1 + 3x 2 + 3x x 1 + 4x 2 + 3x (10.1) y 1 + y 2 + y 3 1 (10.2) 5x y 1 + M(1 y 1 ) 6x y 2 + M(1 y 2 ) 4x y 3 + M(1 y 3 ) (10.3) x i 0, y i {0, 1}, i = 1, 2, 3.
23 23 I vincoli (10.1) sono relativi al magazzino disponibile per i due tipi di greggio, che limita la produzione. Il vincolo (10.2) impone che almeno un impianto sia limitato a 1000 barili. I vincoli (10.3) svolgono l importante funzione di collegare i valori delle variabili binarie y i con i valori delle x i ; la costante M (detta spesso big-m ) è una costante estremamente grande. Si noti che ad esempio il primo vincolo di questa serie implica: y 1 = 1 = 5x , y 1 = 0 = 5x 1 M (cioè 5x 1 non vincolato). Questa tecnica del big-m è comunemente usata per correlare variabili binarie e variabili di altro tipo. 11. È necessario scorporare il prodotto sia per tipologia che per tenuta, altrimenti non è possibile gestire le estensioni coltivate e le riserve d acqua. Sono quindi necessarie le variabili x ij = ettari della tenuta j coltivati a coltura i, con i {M, S, G} (Mais, Soia e Grano) e j {A, B, C}. Inoltre tre variabili binarie y A, y B ed y C verranno usate per determinare quale tenuta lascerà 200 ettari incolti (y j = 1 iff la tenuta j lascia 200 ettari incolti). Il modello è il seguente. max 5(x MA + x MB + x MC ) + 7(x SA + x SB + x SC ) + 6(x GA + x GB + x GC ) x MA + x SA + x GA y A x MB + x SB + x GB y B (11.1) x MC + x SC + x GC y C 20000x MA x SA x GA x MB x SB x GB x MC x SC x GC (11.2) x SA + x SB + x SC 0.4 i=m,s,g j=a,b,c x ij (11.3) y A + y B + y C 1 (11.3) x ij 0, y j {0, 1}, i = M, S, G, j = A, B, C. I vincoli (11.1) impediscono di coltivare in una tenuta più del totale del suolo disponibile; i vincoli (11.2) impediscono di coltivare più di quanto si possa irrigare con le scorte d acqua delle varie tenute; il vincolo (11.3) stabilisce che non più del 40% del suolo coltivato in totale può essere messo a soia, ed il vincolo (11.3) impone che almeno una tenuta lasci 200 ha di suolo incolto. Si noti che in questo caso non è necessario introdurre un big-m per collegare le y j con le x ij : è sufficiente definire nel modo opportuno i secondi membri dei vincoli (11.1).
24 Il problema proposto riguarda la pianificazione di certi tipi di produzione con costi fissi imputabili alla preparazione degli impianti produttivi e costi variabili legati alle quantità prodotte. La decisione di attivare o meno la produzione di A, B, C o D è di tipo vero/falso, e quindi si può modellare con variabii binarie y i = 1 iff si attiva la produzione di i {A, B, C, D}. Occorre poi determinare anche i volumi prodotti, rappresentabili mediante un altra serie di variabili x i = numero di unità di tipo i prodotte, i {A, B, C, D}. Tenuto conto dei dati su quantitativi minimi, profitti unitari e forza lavoro dati dal testo il modello risulta come segue. max 50x A + 60x B + 55x C + 80x D (14500y A y B y C y D ) x A 1000y A x B 1500y B x C 3000y C (12.1) x D 2000y D x A My A x B My B x C My C (12.2) x D My D 10x A + 15x B + 5x C + 14x D (12.3) y A y C + y D (12.4) x i Z +, y i {0, 1}, i {A, B, C, D}. I vincoli (12.1) impongono il rispetto dei quantitativi minimi qualora un tipo di produzione venga attivato, mentre i vincoli (12.2) assicurano che non vengano pianificati quantitativi per produzioni non attivate. Il vincolo (12.3) impone di non eccedere la quantità di forza lavoro disponibile; il vincolo (12.4) modella l implicazione logica y A = y C y D, come richiesto dal testo. 13. Assumendo i turni possibili specificati dal testo, si possono definire due serie di variabili binarie: x i =1 iff il generatore i è utilizzato di giorno, i = A, B, C, y i =1 iff il generatore i è utilizzato sia di giorno che di notte, i = A, B, C.
25 25 Inoltre, essendoci un costo/mw, occorrono variabili in grado di specificare il numero di MW prodotti dai generatori. Per mantenere distinte la produzione diurna da quella notturna, si usano nuovamente due serie di variabili: W i =MW prodotti dal generatore i se usato nel turno di giorno, i = A, B, C, Z i =MW prodotti dal generatore i se usato nel turno giorno/notte, i = A, B, C. Il modello risulta min (800x A y A ) + (700x B y B ) + (900x C x C ) + 4(W A + Z A ) + 6(W B + Z B ) + 7(W C + Z C ) x A + y A 1 x B + y B 1 x C + y C 1 (13.1) W A 2500x A, Z A 2000y A W B 2000x B, Z B 1500y B (13.2) W C 3000x C, Z C 2500y C W A + W B + W C + Z A + Z B + Z C 4000 Z A + Z B + Z C 2800 (13.3) W i, Z i 0, x i, y i {0, 1}, i = A, B, C. I vincoli (13.1) impongono che ogni generatore funzioni secondo al più un tipo di turno. I vincoli (13.2) fissano i limiti dell erogazione di potenza come da turno per ogni generatore; si noti anche qui l uso di tecniche in stile big-m: ad esempio, il primo vincolo di questa serie implica x A = 1 = W A 2500, x A = 0 = W A = 0. Infine, i vincoli (13.3) impongono il soddisfacimento delle potenze minime per il giorno e per la notte. 14. In questo problema è importante notare che la sequenza delle lavorazioni non è predeterminata; essa deve essere quindi determinata dalla soluzione del modello. Rispetto all esercizio 6, occorre una serie di variabili in più. Vengono qui proposte due soluzioni possibili. (a) Una sequenza di lavorazione è determinata quando, per ogni coppia (non ordinata) {i, j} di lotti si è in grado di determinare se i viene lavorato prima di j (i j) o viceversa. Si possono quindi usare le variabili binarie x ij = 1 iff i j, i < j. Si usano inoltre tutte le variabili dell esercizio 6. Il valore delle variabili x ij deve poi essere correlato alle variabili t i mediante una serie di vincoli di tipo big-m.
26 26 Nel seguito, p i e d i rappresentano tempo di lavorazione e scadenza (in minuti dalle 8:30) del lotto i. min 5 i i t i + p i d i i = 1,..., 5 i (t i + p i d i ) i = 1,..., 5 (14.1) t i + p i t j + M(1 x ij ) i < j, i = 1,..., 5 t j + p j t i + Mx ij i < j, i = 1,..., 5 (14.2) t i 0, x ij {0, 1}, i, j = 1,..., 5, i < j. I vincoli (14.1) sono del tipo usato per gestire i valori assoluti; le serie di vincoli (14.2) correlano i valori delle x ij con le t i : x ij = 1 = t i + p i t j (i j), x ij = 0 = t j + p j t i (j i). (b) Alternativamente, si può osservare che una sequenza di lavorazione è determinata quando ogni lotto è assegnato ad una e una sola delle posizioni 1, 2,..., 5 disponibili nell ordine di lavorazione. Si possono allora utilizzare le seguenti variabili. x ij = 1 se il lotto i è in posizione j, 0 altrimenti, i, j = 1,..., 5; [j] = errore del lotto in posizione j, j = 1,..., 5; t [j] = tempo di inizio lavorazione del lotto in posizione j, j = 1,..., 5. Siano p i e d i i tempi di lavorazione e le scadenze espresse in minuti per ogni lotto i (nota: questi sono dati). Con le variabili definite sopra si può scrivere il seguente modello. min j=1 [j]
27 27 5 x ij = 1 i = 1,..., 5 j=1 5 x ij = 1 j = 1,..., 5 (14.1) 5 t [j] + p i x ij t [j+1] j = 1,..., 4 (14.2) [j] t [j] + ( [j] t [j] + 5 p i x ij 5 p i x ij 5 d i x ij j = 1,..., 5 5 ) d i x ij j = 1,..., 5 (14.3) x i,j {0, 1}, i, j {1,..., 5}, t [j], [j] 0, j {1,..., 5}. La funzione delle coppie di vincoli (14.1) è cruciale: essi impongono che (1) ogni lotto sia assegnato ad esattamente una posizione della sequenza di lavorazione, e (2) che ogni posizione ospiti esattamente lotto. I vincoli (14.2) impongono la corretta temporizzazione della sequenza (senza sovrapposizioni), ma si noti che sia le t [j] che le [j] sono indicizzate qui rispetto alla posizione nella sequenza, e non rispetto ai lotti: questi vincoli funzionano correttamente grazie alle (14.1): si noti che grazie a questi si ha 5 p i x ij = tempo di lavorazione del j-esimo lotto della sequenza. I vincoli (14.3) gestiscono i valori assoluti, sempre tenendo conto dell assegnazione lotti-posizioni; analogamente a prima, si ha 5 d i x ij = scadenza del lotto in posizione j. 15. Il problema richiede in pratica di gestire un pool di assunti/neoassunti che varia di mese in mese: è un problema multiperiodale. Una soluzione è un piano di assunzioni che permetta di coprire comunque il monte-ore richiesto nei vari mesi compatibilmente con lo svolgimento dell affiancamento da parte degli esperti. Possiamo modellare la situazione con dieci variabili: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, dove y i = disponibilità di esperti al mese i e x i = numero di persone assunte al mese i. Modelliamo con una variabile logica z la scelta di ottenere o non ottenere il contributo statale. Come ulteriore considerazione, si noti che la x 5 è superflua in quanto assumere all ultimo mese è un costo, non fornisce forza
28 28 lavoro sfruttabile entro l orizzonte temporale coperto dal modello e non influisce sulla possibilità di ottenere il contributo statale. In ogni soluzione ottima si avrà x 5 = 0. In base alle variabili definite il costo del personale (assunzioni e stipendi) totale nei cinque mesi è: f(x) = 500(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ) z. Il modello complessivo risulta essere: min 500(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ) z (Mese 1) (Mese 2) y 1 = 20 x 1 y 1 150(y 1 x 1 ) + 70x (Mese 3) y 2 = y 1 + x 1 x 2 y 2 150(y 2 x 2 ) + 70x (Mese 4) y 3 = y 2 + x 2 x 3 y 3 150(y 3 x 3 ) + 70x (Mese 5) y 4 = y 3 + x 3 x 4 y 4 150(y 4 x 4 ) + 70x (Vincolo logico) x i, y i Z + i, z {0, 1} y 5 = y 4 + x 4 x 5 y 5 150(y 5 x 5 ) + 70x x 1 + x 2 10z 16. L azienda in questione, a detta del testo, paga un costo sia per lo stoccaggio che per il mancato acquisto di materiali. Quindi, tenuto conto dei quantitativi
29 29 richiesti e del fatto che si può anche comprare meno del fabbisogno, una funzone obiettivo possibile è: 0.2 V P A 2900, dove V, P, A sono rispettivamente i quantitativi totali di viti, plastica e acciaio acquistati. I valori assoluti introducono caratteristiche di non linearità nel modello che devono essere opportunamente gestite. Siccome i fornitori hanno a disposizione lotti dai contenuti standard, una scelta naturale di variabili per descrivere il piano di approvvigionamento è: x 1, x 2, x 3, x 4, dove x i = numero di lotti acquistati dal fornitore F i. Per gestire i valori assoluti sono necessarie tre variabili ausiliarie y V, y P, y A. Si noti che X = max(x, X), quindi i valori assoluti si gestiscono con tecniche simili a quelle usate per i problemi min / max. La scelta tra i fornitori F 2 +F 4 e F 1 è modellata con una variabile logica z 1 ; z 1 = 1 iff l azienda si rifornisce presso F 1. Il modello è il seguente: min 0.2y V + y P + 3y A (Vincoli per gestire i valori assoluti) 50x x x x y V 50x 1 30x 2 25x 3 10x y V 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 8x y P 3x 1 4x 2 x 3 8x y P 5x 1 + 7x 2 + 3x 3 + x y A 5x 1 7x 2 3x 3 x y A (Vincolo logico grande M) x 2 + x 4 M(1 z 1 ) x 1 Mz 1 x 1, x 2, x 3, x 4 Z +, y V, y P, y A Z +, z 1 {0, 1}
Modelli di programmazione lineare
Capitolo 1 Modelli di programmazione lineare Molti problemi di interesse pratico si prestano ad essere descritti e risolti come modelli di programmazione matematica. Un modello (o programma) è la descrizione
DettagliLuigi De Giovanni Esercizi di modellazione matematica Ricerca Operativa
Piani di investimento Un finanziere ha due piani di investimento A e B disponibili all inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni euro investito in A all inizio di ogni anno garantisce, due anni
DettagliModelli con vincoli di tipo logico
Modelli con vincoli di tipo logico Le variabili decisionali possono essere soggette a vincoli di tipo logico, più o meno espliciti. Ad esempio: vincoli di incompatibilità tra varie alternative: se localizziamo
DettagliTitoli FIN FII BOT BOC AI Rendimenti 9.5 10.5 12 12.5 6 Rischi 5 6 7 8 1
(esercizi tratti da: Esercizi di Ricerca Operativa Ghirardi, Grosso, Perboli. Ed. Progetto Leonardo) Esercizio 1 Una società di investimenti finanziari deve gestire un budget di 1000000 Euro per conto
Dettaglimese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000
1.7 Servizi informatici. Un negozio di servizi informatici stima la richiesta di ore di manutenzione/consulenza per i prossimi cinque mesi: mese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000 All inizio
DettagliProdotto Disponibilità Costo 1 3000 3 2 2000 6 3 4000 4. e rispettando le seguenti regole di composizione delle benzine:
1.1 Pianificazione degli investimenti. Una banca deve investire C milioni di Euro, e dispone di due tipi di investimento: (a) con interesse annuo del 15%; (b) con interesse annuo del 25%. Almeno 1 di C
DettagliModelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera
Modelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera 1 Azienda Dolciaria Un azienda di cioccolatini deve pianificare la produzione per i prossimi m mesi. In ogni mese l azienda ha a disposizione
DettagliModelli di Programmazione Lineare Intera
8 Modelli di Programmazione Lineare Intera 8.1 MODELLI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA Esercizio 8.1.1 Una compagnia petrolifera dispone di 5 pozzi (P1, P2, P3, P4, P5) dai quali può estrarre petrolio.
DettagliEsercizio. almeno una tenuta lasci 200 ettari di terreno incolto, e
Un finanziere ha a disposizione due piani di investimento A e B, disponibili all inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni euro investito in A all inizio di ogni anno dà, due anni più tardi, un
DettagliProduzione e forza lavoro
Produzione e forza lavoro Testo Un azienda produce i modelli I, II e III di un certo prodotto a partire dai materiali grezzi A e B, di cui sono disponibili 4000 e 6000 unità, rispettivamente. In particolare,
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliRicerca Operativa e Logistica
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 2011/2012 Lezione 10: Variabili e vincoli logici Variabili logiche Spesso nei problemi reali che dobbiamo affrontare ci sono dei
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliRicerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili Il modello matematico 2: Funzioni obiettivo: ma.min, Min-ma Tipologie di Vincoli Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor
DettagliRicerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari
Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti
DettagliProduttore A B C 1 20% 20% 30% 2 30% 10% 30%
Esercizio 1: Patate Un azienda produce pacchi di patatine surgelate sia a bastoncino (A) che in pezzi più piccoli (B) e di fiocchi surgelati per il puré (C). L azienda acquista da due produttori (1 e 2)
DettagliEsempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014
Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 1) Combinando risorse Una ditta produce due tipi di prodotto, A e B, combinando e lavorando opportunamente tre risorse, R, S e T. In dettaglio:
DettagliI Esonero di Metodi di Ottimizzazione (Laurea in Ingegneria Gestionale-Corso B) Traccia A
I Esonero di Metodi di Ottimizzazione Traccia A 1. Uno stabilimento deve varare un piano di assunzioni di dirigenti, impiegati ed operai. L assunzione di un dirigente può avvenire attraverso un concorso
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
96 matematica per l economia Esercizio 65. Consideriamo ancora il problema 63 dell azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l azienda non può produrre più di 200 bottiglie al mese. Soluzione. La
DettagliUniversità Ca Foscari Venezia
Università Ca Foscari Venezia Dipartimento di Scienze Ambientali, Informatica e Statistica Giovanni Fasano 2 Problemi di Costo Fisso & Vincoli Disgiuntivi (con esercizi ) November 12, 2015 2 Università
DettagliPROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI
1 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all industria, nel settore pubblico e nell
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliRicerca Operativa A.A. 2008/2009
Ricerca Operativa A.A. 08/09 2. Modelli di Programmazione Lineare Modelli di programmazione lineare Il metodo grafico è basato su linearità della funzione obiettivo linearità dei vincoli Sotto queste ipotesi
DettagliN.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL
ESERCIZIO MM1 Una pasticceria usa 5 mescolatori (M1, M2, M3, M4, M5) per produrre giornalmente la farcitura di 2 tipi di bignè (F1, F2), e ciascun miscelatore può indifferentemente produrre le due farciture.
DettagliModelli di programmazione lineare. Il metodo grafico è basato su linearità della funzione obiettivo linearità dei vincoli
Ricerca Operativa 2. Modelli di Programmazione Lineare Modelli di programmazione lineare Il metodo grafico è basato su linearità della funzione obiettivo linearità dei vincoli Sotto queste ipotesi (come
DettagliCAPITOLO 10 I SINDACATI
CAPITOLO 10 I SINDACATI 10-1. Fate l ipotesi che la curva di domanda di lavoro di una impresa sia data da: 20 0,01 E, dove è il salario orario e E il livello di occupazione. Ipotizzate inoltre che la funzione
DettagliModelli LP (complementi)
Modelli LP (complementi) Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.0 - ottobre 2003 1. Comprare o fabbricare? Electro-Poly è un produttore leader di lavatrici Ha ricevuto
DettagliModelli di Ottimizzazione
Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo
DettagliCapitolo 5: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano
Capitolo 5: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 5.1 Modelli di PLI, formulazioni equivalenti ed ideali Il modello matematico di un problema di Ottimizzazione Discreta è molto spesso
DettagliGESTIONE AVANZATA DEI MATERIALI
GESTIONE AVANZATA DEI MATERIALI Divulgazione Implementazione/Modifica Software SW0003784 Creazione 23/01/2014 Revisione del 27/06/2014 Numero 1 Una gestione avanzata dei materiali strategici e delle materie
DettagliRicerca Operativa Esercizio 1
E1 Esercizio 1 La fonderia ESSELLE deve produrre esattamente 1000 pezzi del peso di un chilogrammo ciascuno. Il ferro con cui questi pezzi saranno fatti deve contenere manganese e silicio nelle seguenti
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliCalcolo del Valore Attuale Netto (VAN)
Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Il calcolo del valore attuale netto (VAN) serve per determinare la redditività di un investimento. Si tratta di utilizzare un procedimento che può consentirci di
DettagliRicerca Operativa e Logistica
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 20/202 Lezione 6-8 Rappresentazione di funzioni non lineari: - Costi fissi - Funzioni lineari a tratti Funzioni obiettivo non lineari:
Dettagliacqua Ore_uomo A 30 25 B 25 20 C 15 15
ESERCIZIO 1 Una ditta produttrice di formaggi dispone di due stabilimenti per la lavorazione del latte, A e B, due magazzini per la stagionatura, 1 e 2, e due siti per la distribuzione, P e Q. In un determinato
DettagliUTILIZZATORI A VALLE: COME RENDERE NOTI GLI USI AI FORNITORI
UTILIZZATORI A VALLE: COME RENDERE NOTI GLI USI AI FORNITORI Un utilizzatore a valle di sostanze chimiche dovrebbe informare i propri fornitori riguardo al suo utilizzo delle sostanze (come tali o all
DettagliMatematica finanziaria: svolgimento prova di esame del 21 giugno 2005 (con esercizio 1 corretto)
Matematica finanziaria: svolgimento prova di esame del giugno 5 (con esercizio corretto). [6 punti cleai, 6 punti altri] Si possiede un capitale di e e lo si vuole impiegare per anni. Supponendo che eventuali
DettagliOgni azienda ha la necessità di conoscere il proprio sistema dei costi sia per controllare la situazione esistente che per verificare il
Ogni azienda ha la necessità di conoscere il proprio sistema dei costi sia per controllare la situazione esistente che per verificare il raggiungimento degli obiettivi avendo come fine il mantenimento
DettagliREGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE
REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE Nella Sezione 16.5 abbiamo visto come un regolatore che voglia fissare il prezzo del monopolista in modo da minimizzare la
DettagliCosti standard secondo il metodo dei costi completi
pagina 1 Costi standard secondo il metodo dei costi completi Frigo SA produce frigoriferi e congelatori di alta qualità per diversi fabbricanti di cucine. Il processo di fabbricazione è simile per i due
DettagliLa gestione delle scorte tramite il punto di riordino ed il lotto economico
La gestione delle scorte tramite il punto di riordino ed il lotto economico 1. Introduzione Le Scorte sono costituite in prevalenza da materie prime, da accessori/componenti, da materiali di consumo. Rappresentano
DettagliLA COMBINAZIONE DEI FATTORI PRODUTTIVI CAP. 5
LA COMBINAZIONE DEI FATTORI PRODUTTIVI CAP. 5 Appunti di estimo Il fine economico dell imprenditore Le motivazioni che spingono un imprenditore ad avviare attività di impresa sono: Produrre beni e servizi,
DettagliIL MARKETING E QUELLA FUNZIONE D IMPRESA CHE:
IL MARKETING E QUELLA FUNZIONE D IMPRESA CHE:! definisce i bisogni e i desideri insoddisfatti! ne definisce l ampiezza! determina quali mercati obiettivo l impresa può meglio servire! definisce i prodotti
DettagliLezione 18 1. Introduzione
Lezione 18 1 Introduzione In questa lezione vediamo come si misura il PIL, l indicatore principale del livello di attività economica. La definizione ed i metodi di misura servono a comprendere a quali
DettagliIL PROBLEMA DELLE SCORTE
IL PROBLEMA DELLE SCORTE Un problema di Ricerca Operativa, di notevole interesse pratico, è il problema della gestione delle scorte, detto anche di controllo delle giacenze di magazzino. Esso riguarda
DettagliLezione 4. Controllo di gestione. Il controllo direzionale
Lezione 4 Il controllo direzionale Sistema di pianificazione e controllo PIANIFICAZIONE STRATEGICA PIANO 1 2 OBIETTIVI OBIETTIVI ATTIVITA 3 DI LUNGO PERIODO DI BREVE PERIODO OPERATIVA 5 BUDGET FEED-BACK
DettagliI ricavi ed i costi di produzione
I ricavi ed i costi di produzione Supponiamo che le imprese cerchino di operare secondo comportamenti efficienti, cioè comportamenti che raggiungono i fini desiderati con mezzi minimi (o, che è la stessa
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliOttava Edizione. Gestione delle Scorte Prof. Sergio Cavalieri
Ottava Edizione Gestione delle Scorte Prof. Sergio Cavalieri Fenomeni di obsolescenza 2 Determinati da: Prodotto inidoneo al segmento di mercato (es: computer) Effetto moda (es: abbigliamento) Mancato
DettagliSommario. Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi.
Algoritmi 1 Sommario Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi. 2 Informatica Nome Informatica=informazione+automatica. Definizione Scienza che si occupa dell
DettagliModelli per la gestione delle scorte
Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Università di L Aquila Seconda Parte Sommario Sui problemi di gestione aperiodica equazioni di stato Funzioni di costo Un modello convesso formulazione
DettagliModelli di Programmazione Lineare
Capitolo 2 Modelli di Programmazione Lineare 2.1 Modelli di allocazione ottima di risorse Esercizio 2.1.1 Un industria manifatturiera può fabbricare 5 tipi di prodotti che indichiamo genericamente con
Dettagli1) Descrivere dettagliatamente a quale problema di scheduling corrisponde il problema.
Un veicolo viene utilizzato da una società di trasporti per trasportare beni a partire da un unico deposito verso prefissate località di destinazione. Si supponga che occorre trasportare singolarmente
DettagliUniversità del Salento
Università del Salento Dipartimento di Matematica DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI.. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE Chefi Triki La Ricerca Operativa Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività
Dettagli03. Il Modello Gestionale per Processi
03. Il Modello Gestionale per Processi Gli aspetti strutturali (vale a dire l organigramma e la descrizione delle funzioni, ruoli e responsabilità) da soli non bastano per gestire la performance; l organigramma
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliCASI ED ESERCIZI DI CONTABILITA ANALITICA
CASI ED ESERCIZI DI CONTABILITA ANALITICA Esercizio 1: variabilità dei costi In base alle seguenti informazioni relative ai costi dell uso aziendale di un autoveicolo: costi fissi: assicurazione 1.200
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliIntegrazione al Manuale Utente 1
RAEE Modulo per la gestione dei Rifiuti derivanti da Apparecchiature Elettriche ed Elettroniche Il Decreto Legislativo 25 luglio 2005 n. 151 prevede che i produttori di Apparecchiature Elettriche ed Elettroniche
DettagliTECNICHE DI SIMULAZIONE
TECNICHE DI SIMULAZIONE INTRODUZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Introduzione alla simulazione Una simulazione è l imitazione
DettagliEasyMACHINERY ERPGestionaleCRM. partner
ERPGestionaleCRM partner La soluzione software per le aziende di produzione di macchine Abbiamo trovato un software e un partner che conoscono e integrano le particolarità del nostro settore. Questo ci
DettagliPertanto la formula per una prima approssimazione del tasso di rendimento a scadenza fornisce
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di MDEF A.A. 015/16 1 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA per le DECISIONI ECONOMICO-FINANZIARIE Vicenza, 9/01/016 ESERCIZIO 1. Data l obbligazione con le seguenti caratteristiche:
DettagliCapitolo II. La forma del valore. 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore.
Capitolo II La forma del valore 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore. I beni nascono come valori d uso: nel loro divenire merci acquisiscono anche un valore (di scambio).
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliLA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice,
DettagliGESTIONE DELLA CAPACITA
Capitolo 8 GESTIONE DELLA CAPACITA Quale dovrebbe essere la capacità di base delle operations? (p. 298 e segg.) 1 Nel gestire la capacità l approccio solitamente seguito dalle imprese consiste nel fissare
DettagliFacoltà di Economia - Parma 1
La contabilità per centri di costo 7 LA CONTABILITA PER CENTRI DI COSTO Ai fini di un corretto calcolo del costo di prodotto occorre definire all interno della combinazione produttiva unità operative dette
DettagliLABORATORIO DI MATEMATICA I PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EXCEL
LABORATORIO DI MATEMATICA I PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EXCEL ESERCITAZIONE GUIDATA I problemi di scelta Problema. Una ditta produttrice di detersivi per lavatrice ha costi al litro
Dettagli1. Considerazioni preliminari
1. Considerazioni preliminari Uno dei principali aspetti decisionali della gestione logistica è decidere dove localizzare nuove facility, come impianti, magazzini, rivenditori. Ad esempio, consideriamo
DettagliAppello di Ricerca Operativa A.A. 2006-2007 (29/3/2007)
Nome... Cognome... 1 Appello di Ricerca Operativa A.A. 2006-2007 (29/3/2007) Si consideri la funzione f(x) = 4x 2 1 + 6x 4 2 2x 2 1x 2. Si applichi per un iterazione il metodo del gradiente a partire dai
DettagliMANUALE DELLA QUALITÀ Pag. 1 di 6
MANUALE DELLA QUALITÀ Pag. 1 di 6 INDICE GESTIONE DELLE RISORSE Messa a disposizione delle risorse Competenza, consapevolezza, addestramento Infrastrutture Ambiente di lavoro MANUALE DELLA QUALITÀ Pag.
DettagliRiforma "Specialista del commercio al dettaglio" Direttive concernenti lo svolgimento di esami modulari per candidati specialisti del commercio al
Specialista del commercio al Riforma "Specialista del commercio al " Direttive concernenti lo svolgimento di esami modulari per candidati specialisti del commercio al (La designazione di persone o gruppi
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016. 1. Esercizi 4
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi 4 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un debito di 1000e viene rimborsato a tasso annuo i = 10%
DettagliBasi di dati. (Sistemi Informativi) teoria e pratica con Microsoft Access. Basi di dati. Basi di dati. Basi di dati e DBMS DBMS DBMS
Basi di Basi di (Sistemi Informativi) Sono una delle applicazioni informatiche che hanno avuto il maggiore utilizzo in uffici, aziende, servizi (e oggi anche sul web) Avete già interagito (magari inconsapevolmente)
Dettaglil acquisizione e l utilizzo di risorse scarse contabilità dei costi contabilità industriale contabilità analitica economico-quantitative
Analisi dei Costi La gestione implica l acquisizione e l utilizzo di risorse scarse, e dunque, costose. L analisi dei costi, è un momento fondamentale del sistema del controllo di gestione con l'espressione
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
Dettaglicosto medio (atteso) di immagazzinamento mensile l indice di rotazione di magazzino semestrale (atteso)
Esercizio 1 La Office Services rivende articoli per ufficio. Dai dati storici relativi allo scorso semestre si prevede che la domanda media di toner sarà di 194 unità al mese, e la deviazione standard
DettagliChe Cosa È GlobalAdShare (GAS)
Versione 1.0 Che Cosa È GlobalAdShare (GAS) GAS è una piattaforma che fornisce una serie di servizi pubblicitari ai propri membri. Il 100% dei profitti che vengono generati dagli acquisti dei pacchetti
DettagliCICLO DI GESTIONE CICLO DI GESTIONE
CICLO DI GESTIONE CICLO DI GESTIONE Entrate mezzi monetari e simili Entrate mezzi monetari e simili Finanziamenti Investimenti Trasformazioni Disinvestimenti Rimborsi o Remunerazioni Uscite mezzi monetari
DettagliAlbez edutainment production. I cicli aziendali. Classe III ITC
Albez edutainment production I cicli aziendali Classe III ITC 1 Alla fine di questo modulo Sarete in grado di definire il Ciclo tecnico Ciclo economico Ciclo finanziario di un azienda Saprete calcolare
DettagliDomande a scelta multipla 1
Domande a scelta multipla Domande a scelta multipla 1 Rispondete alle domande seguenti, scegliendo tra le alternative proposte. Cercate di consultare i suggerimenti solo in caso di difficoltà. Dopo l elenco
DettagliIl sistema monetario
Il sistema monetario Premessa: in un sistema economico senza moneta il commercio richiede la doppia coincidenza dei desideri. L esistenza del denaro rende più facili gli scambi. Moneta: insieme di tutti
DettagliCOMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio 2013. - Come cambia il REA atteso se l'obbligazione sarà ancora in vita dopo le prime tre estrazioni?
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI URBINO (Sede di Fano) COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio 2013 1) L'impresa Gamma emette 250 obbligazioni il cui VN unitario è pari a 100. Il rimborso avverrà tramite
DettagliProgetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione
Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione Posizionamento di antenne È dato un insieme A di possibili siti in cui installare antenne, a ciascuno
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliGESTIONE AVANZATA DEI MATERIALI
GESTIONE AVANZATA DEI MATERIALI Divulgazione Implementazione/Modifica Software SW0003784 Creazione 23/01/2014 Revisione del 25/06/2014 Numero 1 Una gestione avanzata dei materiali strategici e delle materie
DettagliOttava Edizione. La Programmazione e Controllo della Produzione Prof. Sergio Cavalieri
Ottava Edizione La e Controllo della Produzione Prof. Sergio Cavalieri e Controllo di Produzione : compiti 2 Rendere disponibili le informazioni necessarie per: Gestire in modo efficiente ed efficace il
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliModello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE
PRGRMMZIN LINR Problemi di P.L. in due variabili metodo grafico efinizione: la programmazione lineare serve per determinare l allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare
DettagliProdotto Materia S (kg/unità) Materia U (kg/unità) Componente L Alce 0,15 0,45 2 Orso 0,75 0,75 3
Budget Esercizio n 1 L impresa Yellowstone produce due prodotti (Alce e Orso) utilizzando le materie prime S e U e un componente (L). Il componente L può essere prodotto internamente utilizzando un impianto
DettagliPROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione
1 PROBLEMI DI SCELTA Problemi di Scelta Campo di Scelta Funzione Obiettivo Modello Matematico Scelte in condizioni di Certezza Scelte in condizioni di Incertezza Effetti Immediati Effetti Differiti Effetti
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliEasyPLAST. Siamo riusciti a trasferire in EasyPLAST tutte le informazioni e le procedure che prima erano gestite con fogli excel
Abbiamo completamente eliminato i costi di personalizzazione e di continuo sviluppo per cercare di adattare un prodotto software orizzontale e generalista alle problematiche del nostro settore Un software
DettagliRICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007
RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Se
DettagliMODULO MAGAZZINO ARCHIVI DI MAGAZZINO ANAGRAFICA ARTICOLI
MODULO MAGAZZINO ARCHIVI DI MAGAZZINO ANAGRAFICA ARTICOLI L anagrafica prodotti è suddivisa per sezioni: - Dati generici - Dati relativi al trasporto in A.D.R. (merci pericolose) - Dati relativi alla composizione
DettagliLa gestione delle scorte
La gestione delle scorte Controllo delle scorte Sist. prod. / Fornitore ordini domanda I Magazzino R Lead Time T La gestione delle scorte Problema: uando ordinare uanto ordinare Obiettivi: Basso livello
DettagliMD 9. La macroeconomia delle economie aperte. UD 9.1. Macroeconomia delle economie aperte
MD 9. La macroeconomia delle economie aperte In questo modulo, costituito da due Unità, ci occuperemo di analizzare il funzionamento delle economie aperte, ossia degli scambi a livello internazionale.
DettagliEpoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S
L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da
DettagliLA LOGISTICA INTEGRATA
dell Università degli Studi di Parma LA LOGISTICA INTEGRATA Obiettivo: rispondere ad alcuni interrogativi di fondo Come si è sviluppata la logistica in questi ultimi anni? Quali ulteriori sviluppi sono
Dettagli