min z wz sub F(z) = y (3.1)

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1 37 LA FUNZIONE DI COSTO 3.1 Miimizzazioe dei costi Riprediamo il problema della massimizzazioe dei profitti del capitolo precedete e suppoiamo ora che l'impresa coosca il livello di output che deve produrre; il suo obiettivo diviee allora miimizzare i suoi costi di produzioe. Formalmete il problema si poe ei termii segueti mi z wz sub F(z) = y (3.1) dove y è costate wz è il prodotto tra il vettore dei prezzi degli iput e le quatità di iput. Si tratta di u problema di ottimo vicolato: le variabili, gli elemeti del vettore z, devoo essere scelte i modo da miimizzare la fuzioe wz co il vicolo che il livello dell'output deve soddisfare la fuzioef(z) = y. Per risolvere il problema defiiamo ua fuzioe Lagragiaa L(z,λ)= wz+ λ(y F(z)) (3.2) costruita sommado alla fuzioe da miimizzare il prodotto di ua uova variabile λ (il moltiplicatore di Lagrage) co la fuzioe vicolo uguagliata a zero. La Lagragiaa è ua fuzioe di + 1 variabili, z 1,z 2,...,z,λ. Differeziamo la fuzioe rispetto a ciascua di queste variabili, uguagliamo la derivata a zero e otteiamo + 1 equazioi:

2 38 w i λ F/ z i = 0 y F(z)= 0 i = 1,..., (3 3) I valori di z 1,z 2,...,z, che risolvoo il problema (3.1) devoo soddisfare le equazioi el sistema (3.3) per le ragioi di seguito esposte. La prima della (3.3) può riscriversi come λ = w i F z i i = 1,..., (3.4) Ora w i è il costo di ua uità extra di iput i, metre F z i è il prodotto di quella uità extra di iput. Così il loro rapporto misura il costo per uità di prodotto per otteere più output dall'impiego di ua maggiore quatità dell'iput i ; tale costo è chiamato costo margiale. Suppoiamo che la (3.4) o sia soddisfatta così che, diciamo, w 1 /( F z 1 ) > w 2 /( F z 2 ) Se questo è il caso, il costo per produrre ua quatità fissa di output può essere ridotto riducedo u poco l'impiego di z 1 e accrescedo quato basta l'impiego di z 2 i modo da mateere F(z 1, z 2,...,z ) costate. Abbiamo stabilito che il problema di ottimo vicolato (3.2) o è risolto se le equazioi i (3.3) più il vicolo o risultao soddisfatte. Diciamo pertato che i (3.3) le + 1 equazioi rappresetao altrettate codizioi ecessarie per risolvere il problema di ottimo presetato ella (3.2) U esempio Verifichiamo quato ora affermato mediate u esempio i cui compaioo due soli iput, di modo da cosetirci di discutere il problema della miimizzazioe dei costi i forma grafica. Suppoiamo il seguete problema

3 39 miimizzare 2z 1 + (1/ 2)z 2 soggetto a z 1 12 z 2 12 = 4 (3.5) Nella figura 3.1 il vicolo z 1 12 z 2 12 = 4 è messo i evideza dall'uico isoquato che vi compare. Il valore del costo è 2z 1 + (1/ 2)z 2, che varia co z 1 e z 2. La semiretta che uisce il puto z 1 = 2, z 2 = 0 al puto z 1 = 0, z 2 = 8 rappreseta il luogo dei puti i cui il costo degli iput è uguale a 4. Questa semiretta è chamata liea di isocosto. Essa è il cotoro della fuzioe C = 2z 1 + (1/2)z 2 come u isoquato è il cotoro della fuzioe F(z 1, z 2 ). Nel diagramma soo tracciate ache le liee di isocosto corrispodeti ai costi di 8 e di 12. Le liee di isocosto soo u isieme di semirette parallele, e quelle più prossime all'origie idicao più bassi livelli di costo. Quato specificato aaliticamete i (3.5) può essere visto i termii grafici come la ricerca del puto su u dato isoquato che si trova sulla liea di isocosto la più bassa possibile. Il puto è z 1 = 2, z 2 = 8 sulla liea di isocosto 2z 1 + (1/2)z 2 = 8. I quel puto la liea di isocosto è tagete all'isoquato. E' facile cofermare che la tecica della fuzioe Lagragiaa forisce la stessa risposta. Nell'esempio la fuzioe Lagragiaa è L(z 1,z 2,λ) = 2z z 2 + λ(4 - z 1 12 z 2 12 ) le cui derivate uguagliate a zero dao le tre equazioi segueti: 2 = 1 2 λz z = 1 2 λz z 2 4= z 1 12 z 2 12

4 40 Elimiado λ dalle prime due equazioi, otteiamo z 2 = 4z 1 ; sostituedo ella terza equazioe si ottiee z 2 = 8 e z 1 = 2 (e λ = 2 ), e u valore di 8 per il costo che si trova sostituedo ella fuzioe di costo 2z 1 + (1/ 2)z 2 i valori trovati per i due iput. z costo 4 costo 8 costo 12 y= FIGURA 3.1 Miimizzazioe dei costi co il vicolo che y=4 z Ua geeralizzazioe I geerale ua tipica liea di isocosto è data dalla relazioe C = w 1 z 1 + w 2 z 2 Riscrivedo la relazioe di costo come z 2 = C / w 2 (w 1 / w 2 )z 1

5 e ricordado che w 1,w 2 soo costati, si può otare che l'icliazioe della liea di isocosto è costate e uguale a w 1 / w 2, e l'itercetta i ordiata è C / w 2. L'itercetta cresce co C; così, se facciamo variare C, otteiamo ua famiglia di liee di isocosto tra di loro parallele, co le più lotae dall'origie rappresetati livelli di costo più elevati e viceversa. La soluzioe al problema di miimizzazioe dei costi si ha el puto i cui ua liea di isocosto è tagete all'isoquato, perchè è l'isocosto più vicio all'origie, rappresetate cioè il costo miimo. Altre liee di isocosto toccao l'isoquato ma rappresetao tutte livelli di costo superiori. La codizioe di tageza tra isocosto e isoquato è ua codizioe ecessaria per l'ottimo ma o è sufficiete; se l'isoquato fosse cocavo rispetto all'origie la codizioe di tageza rivelerebbe u puto i cui i costi sarebbero massimizzati ivece che miimizzati, come rappresetato ella figura z 2 F(z 1,z 2 )=y c=w 2 z 1 +w 2 z 2 0 F(z 1,z 2 )=y FIGURA 3.2 Massimizzazioe dei costi co il vicolo z 1

6 La defiizioe di fuzioe di costo La (3.3) e la (3.4) rappresetao u sistema di +1 equazioi elle variabili z 1, z 2,..., z, e λ. Quado le equazioi vegoo risolte, si ottegoo +1 variabili le quali dipedoo dai valori di w 1, w 2,..., w, y del problema origiale. Scriviamo queste soluzioi come z 1 (w, y), z 2 (w,y),..., z (w,y), λ(w, y) per ricordare questa dipedeza. Notiamo che z i ( w,y) è il valore ottimo di z i dati w ey. Il costo di produrre y quado i costi soo miimizzati è pertato i= 1w i z i ( w, y) Questa fuzioe è chiamata fuzioe di costo e può essere scritta i termii compatti come dove c( w,y) = wz(w,y) (3.6) z(w,y) = z 1 (w,y), z 2 (w,y),..., z (w, y) Si può ioltre otare c(w,y)che è il costo miimo dati w e y. U sottoprodotto della soluzioe della (3.3) e della (3.4) è il valore del moltiplicatore di Lagrage λ(w, y). Vediamo di cogliere il sigificato ecoomico. Si differezi la fuzioe di costo c(w, y) rispetto a y, otteedo

7 43 c( w,y) z = w i (w, y) i=1 i (3.7) Dobbiamo ricordare le soluzioi della (3.3) al cambiare di y. La soluzioe al primo blocco di equazioi della (3.3) è il seguete i= 1 w i z i (w, y) = λ i=1 F z i z i (w, y) (3.8) Differeziado ache l'ultima della (3.3) rispetto a y si ha 1 = i=1 F z i z i ( w, y) (3.9) Sostituedo la (3.9) el lato siistro della (3.8), e il risultato el lato siistro della (3.7), si ottiee c( w,y) = λ(w, y) (3.10) la quale dimostra che il valore del moltiplicatore di Lagrage è i effetti il costo che si sostiee per variare il livello del prodotto y. Esso misura perciò il costo margiale del prodotto; questo risultato è pertato la coferma di quello già idividuato ella discussioe della soluzioe del sistema (3.3).