Luogo delle Radici. Università degli Studi di Firenze. L. Chisci, P. Falugi

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1 Università degli Studi di Firenze Luogo delle Radici L. Chisci, P. Falugi Corso di Fondamenti di Automatica per CdL Ing. dell Informazione e Ing. dell Ambiente e delle Risorse Anno Accademico 005/06

2 Fondamenti di Automatica 1 Luogo delle radici (Evans 1948) Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a retroazione. + L(s) L(s) = b L(s) a L (s) F.D.T. d anello L(s) La dinamica del sistema ad anello chiuso ( F.D.T. 1+L(s) ) dipende essenzialmente dalla posizione nel piano complesso delle radici del polinomio caratteristico α(s) = a L (s) + b L (s) (1 + L(s) = 0).

3 Fondamenti di Automatica Luogo delle radici Tramite il luogo delle radici si studia la posizione nel piano complesso delle radici di α(s) al variare di un parametro reale p che entra in modo lineare affine ; cioè si studia come variano le radici di α(s, p) = a(s) + pb(s) = 0 al variare di p, dove a(s) e b(s) sono polinomi noti. Caso frequente : p = k guadagno della F.D.T. d anello L(s, k) = kb(s) a(s) = k (s z 1)(s z ) (s z m ) (s p 1 )(s p ) (s p n ) N.B. L(s, k) è assegnata in forma di poli e zeri. p 1, p, p n : poli ad anello aperto z 1, z, z m : zeri ad anello aperto FISSATI m < n k : guadagno variabile in (, + ) = R

4 Fondamenti di Automatica 3 Luogo delle radici Polinomio caratteristico α(s, k) = a(s) + kb(s) = n (s p i ) + k i=1 m (s z i ) dove k è il parametro libero. Definizione: il Luogo delle Radici è il luogo geometrico, nel piano complesso, delle radici del polinomio caratteristico α(s, k) al variare del parametro k (, + ), ovvero In particolare i=1 L {s C : k R t.c. α(s, k) = 0} Luogo positivo: L + = {s C : k 0 t.c. α(s, k) = 0} Luogo negativo: L = {s C : k 0 t.c. α(s, k) = 0}

5 Fondamenti di Automatica 4 Condizioni di appartenenza a L s L k R : n (s p i ) = k i=1 m (s z i ) i=1 s C appartiene ad L se sono soddisfatte le seguenti condizioni 1. Condizione di modulo k = n i=1 (s p i) m i=1 (s z i). Condizione di fase n m (s p i ) (s z i ) = π+ k+lπ = i=1 i=1 (l + 1)π k 0 lπ k 0

6 Fondamenti di Automatica 5 Condizioni di appartenenza a L La condizione di fase non dipende dal valore di k (solo dal segno) è una condizione necessaria e sufficiente di appartenza ad L. Se s C soddisfa la condizione di fase esisterà un k per il quale la condizione di modulo è soddisfatta. La condizione di modulo permette di trovare per ogni s L il corrispondente valore del guadagno k.

7 Fondamenti di Automatica 6 Esempio 1 L(s) = k s p, p R È possibile dedurre il luogo in modo analitico α(s, k) = s (p k) = 0 s = p k Im[s] Luogo negativo Luogo positivo k k=0 x k Re[s]

8 Fondamenti di Automatica 7 Esempio L(s) = k (s p 1 )(s p ), p 1, p R poli reali È possibile dedurre il luogo in modo analitico α(s, k) = (s p 1 )(s p ) + k = s (p 1 + p )s + (p 1 p + k) = 0 s 1, = p 1+p ± ( p 1+p ) p 1 p k Nota: s 1 + s = p 1 + p (somma dei poli costante) Im[s] Luogo negativo Luogo positivo k=0 k=0 x x p p 1 p + p 1 Re[s]

9 Fondamenti di Automatica 8 Esempio 3 L(s) = Cambio di variabile σ = s z L(σ) = k(s z) (s p 1 )(s p ), z, p 1, p R poli reali kσ (σ q 1 )(σ p ) α(σ, k) = σ (q 1 + q k)σ + q 1 q con q i = p i z i = 1, Poli σ 1, = q 1+q k ± ( q 1+q k ) q 1 q Nota: σ 1 σ = q 1 q (prodotto dei poli costante) Im[s] q 1 q Luogo negativo Luogo positivo q 1 q o x x q 1 q q 1 q Re[s] q 1 q

10 Fondamenti di Automatica 9 Regole per il tracciamento qualitativo di L 1. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all asse reale s L (α(s, k) = 0) s L (α(s, k) = 0). Tutti i punti dell asse reale appartengono al luogo delle radici Al luogo positivo (k > 0) appartengono tutti i punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) contati con la loro molteplicità. Al luogo negativo (k < 0) appartengono tutti i punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero pari di singolarità contati con la loro molteplicità.

11 Fondamenti di Automatica 10 Tale regola deriva dalla condizione di fase s L + s L n i=1 (s p i) m i=1 (s z i) = (l + 1)π n i=1 (s p i) m i=1 (s z i) = lπ l intero. s s z j s p i x p i o z j Dato un punto generico s R, ogni singolarità (p i o z j ) di L(s) a destra di s fornisce un contributo di fase ±π Esempio: L(s) = (s+) s (s+1) Nessun punto dell asse reale fa parte del luogo positivo. Im[s] o x x 1 0 Luogo negativo Re[s]

12 Fondamenti di Automatica Comportamento per k 0 Il luogo delle radici è costituito da n rami. Gli n rami del luogo positivo partono dagli n poli p 1, p,, p n per k = 0. Gli n rami del luogo negativo convergono agli n poli p 1, p,, p n per k 0. Per il luogo positivo, l angolo di partenza α j dal polo p j (j = 1,,, n), di molteplicità µ j, per s p j è (condizione di fase) µ j α j = µ j (s p j ) (l + 1)π dove l = 0,, µ j 1 n (p j p i ) + i=1 m (p j z i ) i=1 Per il luogo negativo, l angolo di arrivo nel polo semplice p j

13 Fondamenti di Automatica 1 (j = 1,,, n) per s p j è µ j (α j π µ j ) = µ j (s p j ) dove l = 0,, µ j 1 n (p j p i )+ i=1 m (p j z i )+lπ Dal polo p j escono µ j rami del luogo positivo e entrano µ j rami del luogo negativo. Complessivamente escono µ j rami alternativamente entranti e uscenti dal polo p j. 4. Comportamento per k Quando k (per il luogo positivo) oppure k (per il luogo negativo), m rami del L.d.R. convergono agli m zeri z 1 z,, z m di L(s). I rimanenti n m rami divergono verso il punto improprio all tendendo asintoticamente a n m asintoti che formano con l asse reale angoli pari a (l+1)π n m l = 0, 1,, n m 1 per L + i=1

14 Fondamenti di Automatica 13 lπ n m l = 0, 1,, n m 1 per L e si incontrano nel seguente punto sull asse reale n i=1 s o = p i m i=1 z i centro degli asintoti n m Se z j è uno zero di molteplicità ν j, si hanno ν j rami (alternativamente di L + e L ) che escano/entrano da/in z j. Gli angoli β j che tali rami formano con l asse reale sono: ν j β + j ν j β j (l + 1)π + n i=1 (z j p i ) m i=1 (z j z i ) per L + lπ + n i=1 (z j p i ) m i=1 (z j z i ) per L con l = 0,, ν j 1

15 Fondamenti di Automatica 14 Esempio L(s) = (s + ) s (s + 1) m =, n = 4 Il L.d.R. ha n=4 rami Per il luogo positivo rami partano da s = 0 rami partano da s = 1 Per il luogo negativo rami arrivano in s = 0 rami arrivano in s = 1

16 Fondamenti di Automatica 15 Esempio Poli: zeri: p 1 = 0 con µ 1 = p = 1 con µ = z 1 = con ν 1 = p 1 = 0 α 1 = (l + 1)π p = 1 α = (l + 1)π π + 0 α 1 = (l+1)π h = 0, 1 α = (l 1)π h = 0, 1 Im[s] α 1 = π, 3π α = π, π o 1 x x 0 Re[s]

17 Fondamenti di Automatica 16 Esempio-Comportamento asintotico Si hanno ν 1 rami entranti e uscenti in z 1 = β + j β j = (l+1)π+4π = 3π, π l = 0, 1 = lπ+4π = π, π l = 0, 1 Rami divergenti all infinito ((n m) = 4) s o = = 1 π, 3π π 0, per L+ per L Dall andamento delle frecce si deduce che si ha una confluenza e una diramazione in s 1 (, ) e s ( 1, 0). Si chiamano punti singolari.. Im[s] o x x s s s o =1 Re[s]

18 Fondamenti di Automatica 17 Punti singolari I punti singolari del L.d.R. sono i punti corrispondenti a radici multiple di α(s, k) Un punto s è un punto singolare di molteplicità µ del luogo delle radici se e solo se k tale che s è una radice di molteplicità µ di α(s, k). Proprietà : s è un punto singolare di molteplicità µ k R: α(s, k) = 0 = 0 s=s α(s,k) s. µ 1 α(s,k) s µ 1 s=s = 0

19 Fondamenti di Automatica 18 Punti singolari s è un punto singolare se e solo se k R tale che 1. a(s) + kb(s) α(s, k) = 0. da(s) ds + k db(s) ds α(s,k) s = 0 Se s è un punto singolare b(s) da(s) ds punto singolare solo se k = a(s) b(s) R. a(s) db(s) ds Se k / R la radice trovata non corrisponde ad un punto singolare. In generale ci sono al più n + m 1 punti singolari. Esempio: L(s) = (s+) s (s+1) = 0 ed è un a(s) = s 4 +s 3 +s, b(s) = s +4s+4, b(s) da(s) ds a(s) db(s) ds da(s) ds = 4s 3 +6s +s, = s(s 4 + 7s s + 14s + 4) = 0 db(s) ds = s+4

20 Fondamenti di Automatica 19 Esempio b(s) da(s) ds Le radici sono: a(s) db(s) ds = s(s 4 + 7s s + 14s + 4) = 0 s = 0, s = 1, s =, s = s , s = s Ci sono esattamente m + n 1 = 5 punti singolari. s = 0 e s = 1 sono poli doppi di L(s) e quindi punti singolari corrispondenti a k = 0. s = è zero doppio di L(s) e quindi punto singolare per k ±. s = s e s = s sono punti singolari non banali con k 1 a(s 1) b(s 1 ) e k a(s ) b(s )

21 Fondamenti di Automatica 0 Esempio 10 Root Locus 1.5 Root Locus Imaginary Axis 0 Imaginary Axis Real Axis Real Axis Luogo positivo Luogo negativo

22 Fondamenti di Automatica 1 Esempio 1 L(s) = k (s + 1)(s + ) s(s + 3)(s + 4) Poli: s = 0, s = 3, s = 4 Zeri: s = 1, s = Equazione per il calcolo dei punti singolari: Radici: s 4 + 6s s + 8s + 4 = 0 s , s , s 3, ± j.0646 Quindi i punti singolari sono s 1 e s per k e k.443. k 3, ± j C s 3,4 non sono punti singolari.

23 Fondamenti di Automatica Esempio 1 1 Root Locus 1.5 Root Locus Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis Real Axis Luogo positivo Luogo negativo

24 Fondamenti di Automatica 3 Attraversamento dell asse immaginario Gli eventuali attraversamenti dell asse immagniario da parte del L.d.R. possono essere determinati mediante la tabella di Routh del polinomio α(s, k) come le radici corrispondenti a quei valori di k che annullano elementi della 1 a colonna della tabella. Esempio : L(s) = k s + 4 s(s + 1)(s + )(s + 3)) Rami divergenti all infinito (n m) = 6 s o = Punti singolari: b(s) da(s) ds = 3 a(s) db(s) ds e angoli π 3, π, 5π 3 per L+ π 0, 3, 4π 3 per L = 3s 4 + 8s s + 88s + 4 = 0

25 Fondamenti di Automatica 4 s 1 = s =.6860 s 3 = s 4 = k 1 = k = k 3 = 0.71 k 4 = Attraversamento dell asse immaginario: α(s, k) = s(s+1)(s+)(s+3)+k(s+4) = s 4 +6s 3 +11s +(k+6)s+4k s k s 3 6 k s 60 k 6 4k s 0 1 4k = ( 60 k 6 )(k+6) 4k 60 k 6 k 90k k = (k k A)(k k B ) 60 k k A , k B = (60 k)(k+6) 4 6k 60 k =

26 Fondamenti di Automatica 5 Condizioni di stabilità k > 0 k < 60 k A < k < k B 0 < k < k B k corrispondente all attraversamento dell asse immaginario: k c Radici sull asse immaginario di α(s, k c ) = a(s) + k c b(s) = 0: ±jω c 1.804

27 Fondamenti di Automatica 6 Esempio 6 Root Locus 6 Root Locus 4 4 Imaginary Axis 0 Imaginary Axis Real Axis Luogo positivo Real Axis Luogo negativo

28 Fondamenti di Automatica 7 Procedura per il tracciamento del L.d.R. 1. Si riportano i poli (X) e gli zeri (o) di L(s) sul piano complesso.. Si determinano le parti dell asse reale che appartengono al luogo positivo e negativo. 3. Si determinano il centro e l inclinazione degli asintoti (comportamento per k ± ). 4. Si determina la direzione della tangente al luogo nei poli (comportamento per k 0) e negli zeri (comportamento per k ± ). 5. Si deve tener conto del fatto che sui tratti di luogo appartenenti all asse reale e compresi fra due poli o fra due zeri è presente almeno un punto doppio (punti singolari).