Esercitazione 8 del corso di Statistica (parte 1)

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1 Eserctazone 8 del corso d Statstca (parte ) Dott.ssa Paola Costantn Eserczo Marzo 0 Un urna rossa contene 3 pallne banche, nere e galla. S consder l estrazone d due pallne. S calcol la probabltà d estrarre:. almeno una pallna nera;. due pallne dello stesso colore; 3. una pallna banca alla seconda estrazone; 4. due pallne d colore dverso. Le probabltà vanno calcolate nelle potes d estrazone con e senza rpetzone.

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3 Eserczo n. Un corso d statstca è seguto da 00 student, de qual l 60% è scrtto al corso d Laurea n Economa e Commerco e gl altr sono scrtt al corso d laurea n Scenze Poltche. La probabltà che uno studente sa scrtto al corso d laurea n Economa e super l esame è 0,45. Qual è la probabltà condzonata che uno studente super l esame sapendo che è scrtto al corso d laurea n Economa? B) = 0,60 A B) = 0,45 A B) 0,45 P ( A B) 0,75 B) 0,60 Eserczo n. 3 Un azenda che vende fond comun d nvestmento ha raccolto nformazon tra propr clent crca la percentuale d captale nvestto n fond e l loro stato cvle. I dat raccolt vengono presentat n tabella (dove la varable percentuale d captale è stata suddvsa n class. [0;50] [50;00] Sposato/a 0 6 Celbe/Nuble Vedovo/a 4 [0;50] [50;00] TOTALE Sposato/a 0,4 0,4 0,64 Celbe/Nuble 0,08 0,08 0,6 Vedovo/a 0,04 0,6 0,0 totale 0,5 0,48 Successvamente l azenda desdera selezonare a caso alcun clent per acqusre ulteror nformazon su loro comportament d acqusto. In tale contesto, dato l espermento casuale selezone d un clente, vengono defnt seguent event: A = estrazone d un clente che sa sposato/a. B = estrazone d un clente che sa celbe/nuble. C = estrazone d un clente che nveste fno ad un massmo del 50% del propro captale n fond. D = estrazone d un clente che nveste almeno l 50% del propro captale n fond. S calcolno le probabltà ) A B ) ) A B ) 3) A C )

4 4) A D ) 5) A B C ) Soluzon ) A B ) = A) B) 0,8 ) A B ) = Ø 3) A C ) = P ( A) C) A C) 0,64 0,5 0,338 0, 87 4) A D ) = P ( A)* D) 0,64 *0,48 0, 307 5) A B C ) = P ( A) [ B)* C)] 0,64 0,083 0, 73 Eserczo n. 4 S hanno tre scatole che contengono: la prma, banconote da 00; la seconda, banconota da 00e da 50; la terza, banconote da 50. S scelga a caso una delle tre scatole (tra loro equprobabl) e s estragga una banconota. Rsulta estratta una banconota da 00; quale è la probabltà che la scatola dalla quale è stata estratta sa la prma? Soluzone Questo eserczo va rsolto attraverso l teorema d Bayes. Avendo potzzato l equprobabltà d estrarre una delle tre scatole s ha che la probabltà a pror d estrarre una scatola qualsas è par a /3. A questo punto se ndchamo con S, S, S3 rspettvamente la prma, la seconda e la terza scatola e con C l evento estrazone d una banconota da 00 dobbamo calcolare S C) S ) C S ) S ) C S ) S ) C S ) S ) C S ) 3 3 * 3 * * * Eserczo n.5 In un palazzo vvono solo tre famgle: A, B, C, d 4 component cascuna. La famgla A è composta da 4 masch, la B da 3 masch e femmna, la C da masch e femmne. Consderando equprobable l uscta d un componente d una qualunque delle tre famgle, s osserva che dal portone esce una persona d sesso maschle. Quale è la probabltà che egl appartenga alla famgla B? Soluzone. Questo eserczo va rsolto attraverso l teorema d Bayes. Consderando l equprobabltà dell uscta dal portone d un componente d una qualunque delle tre famgle s ha che A)=B)=C)=/3. Indcando con M l evento l ndvduo è mascho dobbamo calcolare B M) B) M B) A) M A) B) M B) C) M C) * 3 4 * * *

5 Eserczo n. 6 Lancando tre monete, s consder la v.c. descrtta dal numero delle teste che s presentano n una prova. Spazo degl event x p P CCC 0 /8 /8 CCC 4/8 CTC TCC TTC 3/8 7/8 TCT CTT TTT 3 3/8 /8 Calcolare l valore atteso e la varanza d X. E Applcando la formula del valore atteso: X x p abbamo: 3 3 E( X ) 0 3, per cu n una prova l numero atteso d teste è par a,5. ( x ) p Var(X) = = (0,5) 0,5 (,5) 0,375 (,5) 0,375 (3,5) 0,5 0,75 Soltamente rsulta un ndce d varabltà pù convenente da utlzzare perché è espresso nella stessa untà d X. 0,75 0,866 Il numero d teste che s presenta n cascun lanco è dverso da quello atteso (,5) medamente per 0,866 teste. Eserczo 7 Un negozante d abbglamento ha acqustato un capo per 00 euro. Egl può rvenderlo a 00 euro prma de sald oppure n sald a 50 euro, nfne l capo può rmanere nvenduto n magazzno. La probabltà che lo rvenda prma de sald è 0,50 e la probabltà che lo rvenda n sald è 0,30. Sa X la varable casuale che descrve l proftto del negozante su questo capo. Se la vendta avvene prma de sald s ha X = 00, se la vendta avvene nel perodo de sald, s ha X = 50, nfne se l capo resta nvenduto s ha X = -00. La funzone d probabltà d X è rportata n tabella. PROFITTO Probablta 0,0 0,30 0,50

6 F(x)=0 per x -00 F(x)=0, per -00 x 50 F(x)=0,5 (0, +0,3) per 50 x 00 F(x)= per x 00 0,5 0, Eserczo 7 Una fabbrca produce quadr per appendere quadr e l vende n confezon da 0. Il propretaro della fabbrca ha stmato che la probabltà che n una scatola non v sano ganc dfettos è 0,85, la probabltà che v sa un ganco dfettoso è 0,, e la probabltà che v sano due ganc dfettos è 0,03. Sa X la varable casuale che descrve l numero d ganc dfettos, la dstrbuzone d X è rportata n tabella. GANCI DIFETTOSI 0 Probablta 0,85 0, 0,03 0,8

7 0,6 F(x)=0, per x 0 F(x)=0,85 per 0 x F(x)=0,97 per x F(x)= per x 0,4 0, 0,0 0 b. Nel caso d varabl casual dscrete l valore atteso è dato da Nel nostro caso abbamo: E E X x p X xpx x 0 0,85 0, 0,03 0, 8 x0 Tale rsultato può essere nterpretato nel modo seguente: se s consdera un elevato numero d scatole l numero medo d ganc dfettos per scatola è 0,8. Per le varabl casual dscrete la varanza è data da: ( x ) p Nel nostro caso la varanza è data da: x0 x PX x 0 0,8 0,85 0,8 0, 0,8 0,03 0, La varanza può anche essere calcolata come dfferenza tra l valore atteso del quadrato d X e l quadrato della meda. E Var ( X ) EX X 0 0,85 0, 4 0,03 0, 4 0,8 0,03 0,4 0,03 0, 0,458