Cap. 4 - Algebra vettoriale

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1 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Cpitolo 4 Algebr vettorile 4.1. Grndezze sclri Si definiscono sclri quelle grndezze fisiche che sono descritte in modo completo d un numero con l reltiv unità di misur. L tempertur dell ri in un stnz, l mss di un corpo, il numero di studenti in un clsse, il numero delle pgine di un libro, l lunghezz di un segmento, l re di un superficie sono quntità perfettmente note qundo si conosc il vlore numerico che le esprime (d esempio: 30 C, 00 kg, cm, 100 m, 30 persone...). Le operzioni ritmetiche con le grndezze sclri seguono le normli regole dell lgebr. Per e- sempio, sommndo le lunghezze di 10 cm e di 5 cm reltive due segmenti dicenti, si ottiene come risultto un segmento lungo 35 cm; ggiungendo 50 m d un re di 00 m, l superficie complessiv divent 50 m ; ggiungendo 50 kg un oggetto di mss 00 kg si ottiene un mss complessiv di 50 kg. Gli sclri, quindi, sono quelle grndezze per cui si può dire che due più due f sempre quttro!! 4.. Grndezze vettorili Esistono invece lcune grndezze per le quli il discorso precedente non è più vlido. Gli effetti di un forz, dell ccelerzione o dell velocità, inftti, cmbino non solo in funzione del vlore che ne esprime l intensità (il modulo), m nche in funzione dell direzione di ppliczione e del verso. Ad esempio, due treni che prtono dll stess stzione ll velocità di 100 km/h lungo due differenti direzioni rettilinee, dopo lo stesso intervllo di tempo si ritrovernno in loclità comple

2 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile tmente diverse tr loro, nche se ll identic distnz dl punto inizile. Ciò vuol dire che per conoscere completmente gli effetti indotti d un grndezz fisic come l velocità, non bst conoscerne il modulo: occorre vere informzioni precise nche sull su direzione e sul suo verso. Grndezze di questo tipo si chimno vettori; le operzioni ritmetiche che le coinvolgono non seguono le trdizionli regole lgebriche e necessitno di un nuov definizione (che vedremo nel prossimo prgrfo). Ogni vettore v è rppresentto grficmente d un segmento orientto di lunghezz proporzionle l suo modulo, mentre quest ultimo è indicto dl simbolo v oppure dll letter in corsivo v. Qulche volt si preferisce utilizzre un letter soprssegnt d un frecci (o d un semplice trttino): V r. Un letter scritt in grssetto distingue i vettori ( v ) dlle grndezze sclri ( v ). Il punto inizile del segmento che rppresent un vettore si chim punto di ppliczione ; quello finle, individuto d un frecci, ne stbilisce il verso. Due vettori si dicono consecutivi se il punto di ppliczione del secondo coincide con l estremo del primo. Si dicono opposti se hnno lo stesso modulo e l stess direzione, m versi opposti : l opposto di v è il vettore (-v). Due vettori uguli, invece, hnno lo stesso modulo, identic direzione e verso concorde. Si chim, infine, versore un vettore di modulo unitrio (cioè tle che v = 1). Vle l seguente regol del trsporto: un vettore può esser trslto lungo un rett o lungo un qulunque direzione prllel quell di prtenz senz che quest operzione ne lteri il vlore Somm e differenz di vettori Abbimo già nticipto come, per eseguire le operzioni lgebriche con i vettori, occorrno delle nuove procedure di clcolo. Vedimo il perché. Se ci muovimo prtire dll origine O di un sistem di ssi crtesini eseguendo due spostmenti consecutivi di m possimo ffermre di trovrci un distnz di 4 m dl punto O l termine dell operzione svolt? Sicurmente no! Ciò srà vero solo se i due spostmenti vvengono nell stess direzione e nello stesso verso. In tutti gli ltri csi, l distnz tr il punto d rrivo e quello di prtenz srà sempre minore di 4 m. Ad esempio, se il secondo spostmento é diretto perpendicolrmente l primo, pplicndo il teorem di Pitgor ottenimo che il punto finle dist d quello inizile solo,8 m. Se invece il secondo spostmento fosse eseguito con modulo ugule l primo e verso opposto, m sempre lungo l stess direzione, ci ritroveremmo ddirittur l punto di prtenz con uno spostmento totle nullo. Fig. 1 Regol del trsporto e vettori opposti In definitiv, l somm di due vettori di modulo potrebbe dre un vettore di modulo 4, di modulo nullo (zero), oppure di modulo pri un qulunque vlore compreso tr 0 e

3 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Possimo così ffermre che nel clcolo vettorile qusi mi due più due f 4!! Tutto ciò ci costringe d introdurre delle nuove procedure per le operzioni lgebriche vettorili. Metodo punt-cod - L somm di n vettori consecutivi si ottiene considerndo il lto di chiusur dell poligonle che h come lti i vettori considerti. Se i vettori non sono consecutivi possimo sempre ricondurci, con l regol del trsporto, l cso qui sopr considerto trslndo i vettori in modo tle che ognuno inizi dove finisce il precedente. Anche due vettori che bbino lo stesso punto di ppliczione possono essere disposti in modo d usre il metodo punt-cod. Se poi i vettori sono prlleli, srà sufficiente eseguire l somm dei moduli: direzione e verso rimrrnno invriti. Il vettore somm si chim vettore risultnte R. Differenz di vettori - Per eseguire l differenz occorre prim ricordre che, se é l opposto di un vettore, i due vettori hnno l stess direzione, lo stesso modulo m verso contrrio. In tl modo possimo clcolre l differenz tr due grndezze vettorili riconducendoci ll somm tr il primo vettore e l opposto del secondo e poi pplicre il metodo punt-cod: b = + (-b) Nel cso di vettori prlleli é sufficiente clcolre l differenz dei moduli: l direzione del vettore risultnte rimne invrit, mentre il verso srà determinto dl vettore di modulo mggiore. L regol del prllelogrmm - L regol del prllelogrmm ci iut sintetizzre questi metodi in un procedimento prticolrmente semplice che permette di clcolre velocemente si l somm che l differenz di due vettori generici e b che bbino lo stesso punto di ppliczione. Se inftti considerimo il prllelogrmm che h come lti i due vettori studiti, possimo notre come l digonle uscente dl punto di ppliczione comune coincid con l direzione e il verso del vettore somm S = + b, mentre l ltr digonle rppresenti il vettore differenz D = b, il cui verso é diretto dl secondo vettore b verso il primo vettore. Fig. Somm e differenz di vettori - 3 -

4 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile L regol del prllelogrmm ci iut così rppresentre grficmente in modo molto semplice e intuitivo l direzione e il verso del vettore risultnte. Per il clcolo numerico del modulo, invece, occorrono lcune considerzioni ggiuntive che srnno esposte nei prossimi prgrfi I tringoli notevoli Si definiscono notevoli tutti quei tringoli rettngoli che hnno un ngolo di 30 e l ltro di 60, oppure due ngoli di 45. Primo cso - Considerimo il tringolo rettngolo ABC e supponimo di conoscere uno dei suoi lti: d esempio si AC = L. Se or duplichimo tle tringolo e considerimo il suo simmetrico rispetto l segmento BC, possimo fcilmente notre che il tringolo ACD é equiltero perché tutti i suoi ngoli sono di 60 (vedi Fig. 3). Quindi il lto AD = L. M il segmento AD é il doppio di AB per costruzione. Quindi AB = L/. Possimo or pplicre il teorem di Pitgor l tringolo di prtenz ABC ed ottenere l lunghezz del terzo lto BC = L p3/. Abbimo così fcilmente ricvto l lunghezz di tutti e tre i lti. Rissumendo: AC = L (noto in prtenz) AB = L/ (perché il tringolo ACD é equiltero di lto L) BC = (pplicndo il teorem di Pitgor l tringolo ABC) Secondo cso - Considerimo or un tringolo rettngolo con i due ngoli cuti di 45. Un tle tringolo h i due cteti uguli, essendo isoscele su bse AC. Duplicndo or l figur in modo simmetrico rispetto l lto AC, si ottiene un qudrto di lto AB = BC e di digonle AC. Se suppongo di conoscere l lunghezz del lto AB = L, con il teorem di Pitgor posso ricvre il vlore dell ipotenus AC (digonle del qudrto ABCD). Per cui si h: AB = L BC = L 3 AC = L / (noto in prtenz) (perché il tringolo é isoscele) (dl teorem di Pitgor). Fig. 3 Proprietà dei tringoli notevoli - 4 -

5 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile 4.5. L scomposizione di un vettore Scomposizione lungo due direzioni qulsisi - Considerimo due semirette uscenti d un punto O generico e un vettore pplicto in O. Se si trccino dll estremo di le prllele lle direzioni considerte, queste individuno su tli semirette due segmenti 1 e che si chimno le componenti di lungo le direzioni dte. Se or ttribuimo questi due segmenti un direzione e un verso, trsformndoli nei vettori 1 e, é evidente per l regol del prllelogrmm che vle l seguente relzione: = 1 + Questo procedimento é detto scomposizione, e 1 e sono detti i vettori componenti di. Fig. 4 Scomposizione di un vettore lungo due direzioni qulsisi Scomposizione lungo due direzioni perpendicolri - Prticolrmente importnte é il cso in cui le due direzioni rbitrrie sono tr loro perpendicolri. Per comodità fccimo coincidere queste direzioni con gli ssi crtesini e considerimo il punto di ppliczione del vettore come origine del sistem di riferimento. Le componenti 1 e risultno llor essere l sciss e l ordint del punto che rppresent l estremo di. Per ottenere un rppresentzione grfic é sufficiente trccire d questo punto le prllele lle due direzioni considerte (gli ssi crtesini). Anche in questo cso vle l regol del prllelogrmm: ogni vettore, cioè, può essere rppresentto come somm vettorile delle sue due componenti crtesine. = 1 + = x + Scomposizione lungo un direzione qulsisi - Considerimo, infine, un vettore individuto in un pino crtesino dl segmento orientto OP e un semirett uscente dl punto di ppliczione O e formnte con il vettore dto un ngolo α. Scomporre lungo tle direzione vuol dire trccire dll estremo P il segmento PH perpendicolre ll semirett considert. Definimo componente prllel di il segmento OH = Definimo, invece, componente perpendicolre di il segmento: PH = Si noti come tr le due componenti e il vettore di prtenz continui vlere l regol del prllelogrmm e come l relzione che leg le due componenti perpendicolri l modulo del vettore di prtenz non si ltro che il Teorem di Pitgor

6 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Possimo inftti scrivere: = + _ _ Fig. 5 - Scomposizione di un vettore nelle sue due componenti lungo direzioni tr loro perpendicolri ( sinistr). Scomposizione di un vettore lungo un direzione qulunque ( destr) Rppresentzione crtesin dei vettori Il procedimento di scomposizione permette di clcolre il vettore somm S e il vettore differenz D di due vettori noti e b in un modo estremmente rpido. Sino inftti: = x + b = b x + b due vettori generici scritti come somm vettorile delle due componenti crtesine in x e (oppure, in modo nlogo, considerndo l somm delle componenti prllele e perpendicolri). E immedito dimostrre per vi grfic che il vettore somm S e il vettore differenz D sono e- sprimibili ttrverso l somm o l differenz lgebric delle singole componenti di e b: S x = x + b x S = + b D x = x b x D = b Un volt che sino note le componenti crtesine, é immedito costruire per vi grfic S e D utilizzndo l regol del prllelogrmm. Ed é ugulmente fcile clcolrne numericmente il modulo con il teorem di Pitgor, come di seguito suggerito: S = S x + S D = D x + D Per il clcolo del vlore numerico delle componenti crtesine può essere utile ricordrsi delle proprietà geometriche dei tringoli notevoli introdotte in precedenz. Purtroppo tle metodo funzion solo se gli ngoli utilizzti nell scomposizione dei vettori sono di 30, 45, e 60. Nel cso più generle si deve fr ricorso lle funzioni trigonometriche e i cosiddetti teoremi di risoluzione dei tringoli rettngoli, che ffermno un serie di semplici proprietà che sono riportte di seguito: - 6 -

7 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile 1. In un tringolo rettngolo, un cteto é sempre ugule l prodotto tr l ipotenus e il seno dell ngolo opposto x = x cos α. In un tringolo rettngolo, un cteto é sempre ugule l prodotto tr l ipotenus e il coseno dell ngolo dicente = x sen α 3. In un tringolo rettngolo, un cteto é sempre ugule l prodotto tr l ltro cteto e l tngente dell ngolo opposto x = x tn α Fig. 6 - Somm di vettori in rppresentzione crtesin. Interpretzione geometric: le componenti del vettore risultnte si ottengono sommndo le singole componenti dei vettori ddendi. Grzie i teoremi di risoluzione, se sono noti il modulo del vettore e un su componente crtesin, dicimo per esempio e x, utilizzndo le funzioni trigonometriche inverse (operzioni, queste, fcilmente eseguibili d un qulunque clcoltrice scientific medinte i tsti cos() 1, sen() -1, tn() -1 ) si può ottenere il vlore dell ngolo α che individu l direzione del vettore nel pino crtesino. In formule: x x x = cosα cosα = α = r cos( ) = sinα sinα = α = r sin( ) = x tnα tnα = α = r tn( x x ) Fig. 7 Teoremi di risoluzione dei tringoli rettngoli - 7 -

8 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile 4.7. Prodotto sclre Dti due vettori e b, si α l ngolo tr essi compreso. Si definisce prodotto sclre il numero dto dl prodotto tr i loro moduli e il coseno dell ngolo compreso. In formule: Si osservi che: x b = x b x cos(α) 1) il risultto é uno sclre (cioé un numero) ) il prodotto sclre di due vettori perpendicolri é nullo (cos 90 = 0) 3) il prodotto sclre di due vettori prlleli é dto dl prodotto ordinrio dei loro moduli xb (cos 0 = 1) Prodotto vettorile Dti due vettori e b, si α l ngolo tr essi compreso. Si definisce prodotto vettorile un vettore c = ^ b tle che: 1) il modulo di c é dto dll espressione c = x b x sin(α) ) l direzione di c é perpendicolre l pino che contiene e b 3) il verso di c é dto dll regol dell mno destr: ovvero, orientndo come il pollice e b come l indice, il dito medio dà l direzione e il verso del vettore c. Si osservi come, differenz del prodotto sclre, in questo cso il risultto si un vettore. Fig. 8 Regol dell mno destr - 8 -

9 Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Indice Cpitolo Algebr vettorile Grndezze sclri Grndezze vettorili Somm e differenz di vettori I tringoli notevoli L scomposizione di un vettore Rppresentzione crtesin dei vettori Prodotto sclre Prodotto vettorile