SCENEGGIATURA Moti rettilinei uniformi: sorpassi, incontri e sistemi di due equazioni

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1 SCENEGGIATURA Moti rettilinei uniformi: sorpassi, incontri e sistemi di due equazioni Si lavora sulla descrizione e sull'analisi di esperienze cinematiche relative a sorpassi e incontri con moti di persone e carrelli. Si analizzeranno i metodi per calcolare il punto di sorpasso o di incontro dal punto di vista numerico, dal punto di vista grafico e dal punto di vista algebrico. PRELIMINARI Si analizzano e si commentano i lavori 'per casa e scuola' relativi all attività precedente e si introduce l argomento dell attività. FASCIO DI RETTE PARALLELE Si riprendono alcune esperienze svolte nelle precedenti attività per arrivare alla conclusione che un fascio di rette parallele che rappresentano moti davanti al sonar (con una determinata velocità v(0)) ha equazione: s(t) = v(0) t + k assegnando un valore a k cioè determinando l intercetta s(0) si individua una sola di queste s(t). Per la velocità v(0) >0 tutte le rette sono inclinate verso l alto, per v(0)<0 tutte le rette sono inclinate verso il basso. Position (m) Due rette parallele di due allontanamenti con velocità positiva

2 Position (m) Due rette parallele di due avvicinamenti con velocità negativa CALCOLO DELLO SPAZIO PERCORSO E DELLO SPOSTAMENTO Si può partire da un grafico v(t) costante e, fissato un certo intervallo di tempo, si evidenzia l area sottesa dalla v(t). v(t) [m/s] Altezza del rettangolo Area Base del rettangolo

3 Si avrà un rettangolo in cui la base è rappresentata dall'intervallo di tempo considerato (quindi sarà misurata in secondi), mentre l'altezza è rappresentata dal valore costante della velocità (quindi sarà misurata in metri su secondi). L'area (base x altezza) del rettangolo, quindi, sarà misurata in metri e rappresenta una lunghezza. Cosa rappresenta questa lunghezza? Si realizzano moti a velocità quasi costante, si raccolgono impressioni e punti di vista, arrivando alla conclusione che nel caso considerato essa rappresenta il cammino (lo spazio percorso) pari alla differenza tra le due rispettive distanze dal sonar. Si fa notare quindi che il metodo descritto (calcolo dell'area sotto il grafico v(t)) permette di conoscere spazi percorsi, in dati intervalli di tempo, anche senza conoscere l'andamento di s(t). Calcolo dello spazio percorso, durante un dato intervallo di tempo, da un grafico v(t). Il calcolo dell area sotto il grafico di v(t) è in alcuni casi possibile con formule elementari note. L esercizio svolto collettivamente può aiutare a cogliere il significato fisico dell operazione matematica. velocity (m/s) time (s) Moto a velocità costante. Rettangolo s = t x v velocity (m/s) Moto con accelerazione costante Triangolo: s = ( t x v max ) / time (s) velocity (m/s) Moto con accelerazione costante Trapezio: s = ( t x (v + v )) / time (s) Si chiede agli studenti di progettare e realizzare moti che permettono di confrontare le previsioni con l area calcolata dal software del sistema. Il moto a velocità costante può essere realizzato sia con uno studente che con un carrello su una guida orizzontale. Il moto con accelerazione costante può essere realizzato con un carrello su una guida inclinata. Il sistema MBL calcola l integrale definito con la somma di trapezi aventi un lato pari all intervallo di tempo determinato dalla modalità di campionamento. Ad esempio con 0 dati al secondo il lato non può essere più piccolo di 0,s. 3

4 L analisi dei grafici on-line con il calcolo dell area sottesa da v(t) in diversi intervalli della stessa curva può aiutare a capire il significato dell operazione di integrazione e a distinguere tra spazio percorso (o cammino) e spostamento. Allontanamento e avvicinamento di una persona dal sonar studiati con l area sottesa da v(t) I tre grafici si riferiscono allo stesso moto di allontanamento-avvicinamento. Il primo è il grafico della distanza in funzione del tempo, il secondo e il terzo grafico evidenziano parti di piano v-t sottese in intervalli diversi dalla curva v(t). Nella seconda figura il calcolo dell integrale definito mostra che la parte di piano evidenziata è equivalente a quella di un rettangolo avente approssimativamente base pari a s e altezza pari a,7m/s. L equivalenza geometrica è legata alla modellizzazione del moto come moto con velocità costante. Nei limiti degli errori la differenza tra le distanze agli estermi dell intervallo selezionato (modulo dello spostamento) coincide in questo caso con il cammino (spazio percorso):area=spazio percorso=modulo dello spostamento 4

5 Nella terza figura l integrale definito, (calcolato in un intervallo di tempo ai cui estremi si ha la stessa distanza dal sonar) è nullo. Il modulo dello spostamento è 0 mentre lo spazio percorso è all incirca,5m. In riferimento all esempio considerato si può notare che il modulo della velocità in avvicinamento è all incirca uguale a quello in allontanamento. In situazioni analoghe può essere interessante far lavorare gli studenti con diverse velocità di avvicinamento per mostrare che se si ritorna alla stessa distanza di partenza si ottengono nell intervallo di avvicinamento sempre gli stessi valori (negativi) dell area sottesa da v(t) ANALISI DI SORPASSI (L esperimento può essere realizzato con un solo sonar o con due sonar) Si raccolgono i punti di vista degli studenti sul sorpasso, stimolando la discussione con domande: "Cosa rappresenta un sorpasso? Come è possibile realizzarlo davanti al sonar?". Lavorando con un solo sonar si giunge alla conclusione che per realizzare un sorpasso davanti al sonar si devono sovrapporre i grafici di due passeggiate eseguite in tempi diversi da due ragazzi. Ogni studente compie un moto uniforme nella stessa direzione e verso di quello descritto dall'altro ragazzo, ma a valori della velocità (pendenza della retta) e posizione iniziale (intercetta) diversi. 5 Position (m) Grafici posizione-tempo di un sorpasso tra due studenti in moto di allontanamento dal sonar. Ma quali caratteristiche devono avere le due s(t) affinché avvenga il sorpasso? Si stimola la discussione con domande, si raccolgono i punti di vista degli studenti per concordare che: affinché il sorpasso avvenga il ragazzo che tra i due compie la camminata a passo più spedito (pendenza più elevata della s(t)) deve partire da una distanza minore dal sonar (intercetta più piccola della s(t)), rispetto al compagno che con passo più lento (pendenza minore della s(t)) deve partire invece da una distanza maggiore (intercetta più grande della s(t)). Si osservano poi i due grafici in una zona non contenente il punto di sorpasso. Position (m) 5

6 Come si può calcolare l'istante di tempo in cui avviene il sorpasso? E possibile utilizzare diversi metodi: il metodo grafico, la costruzione di tabelle, e la soluzione di un sistema di primo grado. ) Metodo grafico. Il metodo grafico consiste nello stimare, su un grafico posizione-tempo in cui sono riportate le due s(t), l'istante di tempo e la posizione in cui le due leggi orarie si intersecano. 5 Position (m) 4 3 Posizione in cui avviene il sorpasso Istante in cui avviene il sorpasso Determinazione del punto di sorpasso con il metodo grafico La determinazione del punto di sorpasso può essere fatta analizzando la zona d intersezione con il cursore grafico. L analisi deve tener conto del carattere discreto della rivelazione e dell accuratezza dei valori delle posizioni. Si ritroverà quindi che c è un istante in cui è minore la differenza tra le due posizioni che sono quindi assunte uguali con una tolleranza (ad esempio di qualche millimetro). ) Costruzione di tabelle. Determinate le equazioni delle due rette le tabelle possono essere costruite con Excel incrementando il tempo con un passo costante. Individuato l intervallo di intersezione si può infittire la tabella (lavorando con un incremento di tempo minore) fino ad ottenere due valori di posizione che distano meno di un valore assegnato. 3) Risoluzione del sistema di equazioni di primo grado. Il terzo metodo sfrutta la formulazione matematica di legge oraria e consiste nel risolvere, nel caso di leggi orarie corrispondenti a moti uniformi, un sistema di equazioni di primo grado. Risolvere un sistema di equazioni di primo grado, in cui le due equazioni sono le equazioni delle rette che rappresentano i due moti uniformi equivale, infatti, a trovare una coppia di valori posizione-tempo che costituiscono il punto in cui le due rette si incontrano. Il punto di sorpasso corrisponde all'istante di tempo in cui le due s(t) sono uguali. E ovviamente interessante confrontare le soluzioni analitiche con quelle numeriche facendo attenzione alle cifre significative e al significato della modellizzazione. Consideriamo ancora un sorpasso tra due studenti che compiono la loro passeggiata sempre davanti al sonar ma stavolta avvicinandosi a questo ultimo. Si chiede come è possibile in questo caso realizzare il 6

7 sorpasso davanti al sonar; come si presenterà il suo grafico e quali caratteristiche di pendenza ed intercetta devono avere le due s(t). Impostare una discussione su tale argomento raccogliendo impressioni e punti di vista. Realizzare un grafico posizione - tempo di un tale sorpasso. Spunti dalla ricerca didattica Padronanza del concetto di velocità. Da "Guida all'insegnamento della fisica" A. B. Arons, Zanichelli Editore. Sul concetto di velocità ricerche condotte "mostrano chiaramente come una comprensione intuitiva completa ed efficace di questo concetto non si sviluppi, in realtà, così facilmente... Un'illustrazione sorprendente di ciò che passa per la mente degli studenti è fornita dalla loro analisi della seguente situazione fisica. Lo studente che viene interrogato osserva due sfere che rotolano su due guide parallele. A B La sfera A si muove di moto uniforme da sinistra a destra, mentre la sfera B si muove nello stesso verso con una velocità iniziale che è maggiore di quella della sfera A. Salendo su una lieve pendenza, la sfera B rallenta e alla fine si ferma. Dapprima la sfera B sorpassa la sfera A ma, poco dopo, a sorpassa di nuovo B. lo studente osserva diverse volte il moto delle due sfere, prima separatamente e poi insieme, e ha tutto il tempo di assorbire visivamente l'intera situazione. Nel corso del colloquio agli studenti fu chiesto 'Esiste almeno un momento in cui le due sfere hanno la stessa velocità?' Trownbridge McDermott trovarono che un notevole numero di essi (fino al 30% nei corsi avanzati di fisica e in percentuali ancora maggiori nei corsi meno evoluti) rispondeva a questa domanda indicando però gli istanti dei sorpassi, piuttosto gli istanti in cui le sfere mantenevano una separazione all'incirca costante. L'associazione dell'idea di stessa velocità con il sorpasso o l'essere nella stessa posizione era persistente e indicativa, e non semplicemente una difficoltà personale. Quando questi studenti osservavano i moti variabili di due sfere, preparate in modo che non si sorpassassero essi dicevano che le sfere non avevano mai la stessa velocità anche se c'era un istante in cui effettivamente le due velocità erano eguali. Molti studenti interpretavano la loro personale esperienza di sorpasso in automobile dicendo che si ha una velocità minore quando si è dietro, una velocità maggiore quando si è davanti, e la stessa velocità quando si è testa a testa per un attimo." da "Investigation of student understanding of the concept of velocity in one dimension" D. E. Trownbridge - L. C. McDermott, Am. J. Phys. 48, 00. "In colloqui avvenuti sia prima che dopo i corsi, l'errore nella prova di confronto tra le velocità era dovuto quasi invariabilmente all'uso improprio di un criterio di posizione per determinare la velocità relativa. Sebbene gli studenti che sbagliavano la prova fossero generalmente in grado di fornire una definizione accettabile della velocità, essi non comprendevano il concetto abbastanza bene da essere in 7

8 grado di determinare un procedimento, da utilizzare in una situazione di vita reale, per stabilire se e quando due oggetti hanno la stessa velocità. Invece essi ricadevano nel fenomeno (ovvio dal punto di vista percettivo) del sorpasso." ANALISI DI INCONTRI Come nel caso del sorpasso si raccolgono i punti di vista degli studenti sul significato di incontro. "Cosa rappresenta un incontro? Come è possibile realizzarlo davanti al sonar?". Si realizza quindi un incontro con due passeggiate eseguite da due studenti, i quali eseguono due moti uniformi davanti al sonar con velocità opposta. 5 4 Position (m) Si osservano poi i due grafici sovrapposti in una zona non contenente il punto di incontro. Position (m) Concordando con i ragazzi che, poiché i moti descritti dai due "camminatori" sono moti rettilinei uniformi non è necessario che nel grafico sia rappresentato anche l'istante dell'incontro. L'istante di tempo in cui avviene l'incontro può essere calcolato utilizzando gli stessi metodi descritti nel caso del sorpasso. 8

9 5 4 Position (m) 3 Posizione in cui avviene l'incontro Istante in cui avviene l'incontro RETTE DEI MINIMI QUADRATI E GRAFICI DELLA VELOCITA (i grafici di questo paragrafo si riferiscono tutti allo stesso esempio) I grafici distanza-tempo di un sorpasso. Il punto di sorpasso è nell intervallo di tempo (;,5)s I grafici di velocità del sorpasso mostrano che le velocità sono diverse nel punto di sorpasso 9

10 Uso del cursore grafico per la determinazione del punto d intersezione. Il campionamento è di 0 dati al secondo, il più piccolo intervallo di tempo è pari a 0,05s. E quindi impossibile avvicinarsi maggiormente al punto d intersezione. Le rette dei minimi quadrati che nell intervallo (,0;,30)s interpolano i dati sperimentali Con le rette dei minimi quadrati (o con le equazioni delle rette passanti per due punti) è possibile determinare con maggiore precisione il punto d intersezione. 0

11 t(s) p (m) p (m) t(s) p (m) p (m),000,9 0,95,50,6,35,00,47,074,60,64,47,00,76,95,70,67,59,300,04,37,80,70,7,400,3,439,90,73,83,500,6,56,00,76,95 Tabelle Excel per la determinazione del punto d intersezione. Nella tabella di sinistra il tempo è incrementato con t=0,00s, in quella di destra con t=0,00s Le colonne della posizione p (t) e p (t) sono state calcolate, nelle due tabelle con le equazioni delle rette dei minimi quadrati riportate nella figura precedente in alto. Dall analisi delle ultime due colonne si evince che l istante del sorpasso è t=,80 s. Questo risultato dipende dalla scelta dell intervallo su cui si calcolano le due rette interpolanti. Grafici velocità-tempo. Calcolo dell area Il calcolo delle aree delle parti di piano sottese da v(t) mostra che con buona approssimazione, nell intervallo evidenziato) lo spazio percorso è in questo caso proporzionale alla velocità. L inseguitore è costretto a percorrere, nello stesso tempo, uno spazio quattro volte maggiore.

12 SISTEMI NON LINEARI Distance (m) Velocity (m/s) Sorpasso e incontro con moti di persone Lo studente A si muove in allontanamento con velocità quasi uniforme (grafici con tratto spesso). Lo studente B si allontana sorpassando A poi ritorna indietro in avvicinamento incontrando di nuovo B. La determinazione delle intersezioni tra i grafici della distanza dal sonar in funzione del tempo sono rilevate con il cursore grafico o con la lettura della tabella dei dati. Si ha: sorpasso al tempo t=,05, distanza A =0,898m, distanza B =0,904m; incontro al tempo t=3,5, distanza A =,395m, distanza B =,399m. L analisi dei grafici della velocità e della distanza aiuta a comprendere diversi aspetti che riguardano la relazione tra i due moti:

13 A e B partono quasi dalla stessa distanza dal sonar ma A ha una velocità iniziale maggiore; Nel sorpasso (in allontanamento) le due velocità sono entrambe positive e la velocità dell inseguitore è maggiore di quella dell inseguito; Nell incontro le due velocità sono di segno opposto (positiva di chi si allontana, negativa di chi si avvicina); Le intersezioni tra i grafici della distanza avvengono in istanti diversi da quelle della velocità. Sorpassarsi e incontrasi non significa avere la stessa velocità! B quando è inseguitore, per superare A dovrà avere in un istante precedente al sorpasso una velocità uguale a quella di A! B che decide di tornare indietro dovrà avere in un istante precedente all incontro con A una velocità (positiva) uguale a quella di B ( notare che sia A che B si stanno allontanando)..0.8 y = * (t -.000).6.4 Distance (m) Velocity (m/s) Sorpasso e incontro con moti di carrelli Un carrello va su e giù lungo una guida inclinata (archi di parabola nel grafico distanza tempo). Un altro carrello, su guida orizzontale, inizialmente fermo viene spinto e poi si avvicina al sonar con velocità quasi costante e viene poi bloccato. Quando i due carrelli hanno la stessa distanza dal sonar? Nell intervallo evidenziato in figura, modellizzando il moto del primo carrello come un moto con 3

14 accelerazione costante e il secondo come moto con velocità costante il problema può essere risolto per via analitica con l intersezione tra una parabola e una retta. Il confronto tra le soluzioni analitiche e quelle grafiche può costituire un utile esercizio che mette alla prova competenze fisiche e matematiche. Nella progettazione dell esperienza e con studenti più grandi si possono utilizzare le funzioni statistiche del software che permettono di interpolare i dati sperimentali con rette e parabole dei minimi quadrati. In figura è mostrata la retta dei minimi quadrati che nell intervallo evidenziato interpola i dati relativi al moto con velocità negativa quasi costante. "Investigation of student understanding of the concept of velocity in one dimension" D. E. Trownbridge - L. C. McDermott, Am. J. Phys. 48, 00. SITI CONSIGLIATI 4