1 VETTORI. 1.1 Operazioni tra vettori

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1 1 VETTORI Ttte le gndee pe l ci definiione non concoono lti elementi l di foi dell loo mis engono dette gndee scli; sono esempi di gndee scli l intello di tempo l mss l tempet ecc Esistono ttti delle gndee pe le qli non è sfficiente n sol qntità pe l loo complet ctteiione Consideimo d esempio il moto ettilineo di n copo pntifome oiginimente iposo in n pnto A; qlo si specificsse nicmente che l temine del moto il copo h pecoso n lnghe l ttto ciò che si potebbe ffeme cic l posiione finle B del copo è l s locliione in n pnto dell speficie sfeic di cento A e ggio l Pe conoscee l posiione B e di consegen lo spostmento sbito dl copo olte ll oigine A del moto e l lnghe dello spostmento occoe spee l dieione ossi l ett AB lngo l qle iene il moimento ed il eso cioè in qle dei de sensi iene pecos l ett AB Le gndee come lo spostmento pe le qli è necessio pecise olte che l loo mis o modlo nche l dieione il eso e in ceti csi nche l oigine o pnto di pplicione engono dette gndee ettoili Sono esempi di gndee ettoili l elocità l cceleione l fo ecc Un gnde ettoile pò essee ppesentt gficmente medinte n segmento oientto OV detto ettoe indicto con: OV L lnghe OV ispetto d n scl pefisst ppesent il modlo (o intensità) del ettoe; l ett s ci gice il segmento oientto OV ppesent l dieione del ettoe il eso è qello che dl pnto O l pnto V e l estemo O indic l oigine del ettoe o il so pnto di pplicione O V 11 Opeioni t ettoi Mente pe le gndee scli lgono le egole del clcolo lgebico qeste non sono lide pe le gndee ettoili Dti i ettoi e di definisce somm n ettoe: V che si ottiene costendo n pllelogmm con i de lti fomti di ettoi e disposti in modo che l oigine di no si post in coisponden dell estemo libeo dell lto Il ettoe è ppesentto dll digonle che si ottiene congingendo l oigine O di con l estemo V di Il modlo del ettoe si ic dll pplicione del teoem di Cnot l tingolo OUV così fomto: O U b

2 1-2 Vettoi cos 2 cos doe è l ngolo di ettoi è commtti petnto: ˆ OUV e è l ngolo spplemente Si osse bnlmente che l somm Dto n ettoe il ettoe opposto O è n ettoe che h lo stesso modlo e l stess dieione di - m eso opposto L sottione di n ettoe d n ettoe pò essee igdt come l ddiione l ettoe del ettoe opposto : V Il podotto di n ettoe pe n qlnqe scle m è definito come n ettoe di modlo l ci dieione è qell di : m il eso è qello di se m 0 ltimenti è qello di Si definisce esoe ssocito l ettoe il ettoe: ˆ ; si ossei che ˆ 1 e petnto i esoi sono dimensionli e seono nicmente specifice l dieione ed il eso di n ettoe ssegnto Spponimo di decompoe il ettoe nei te ettoi e dietti secondo gli ssi di n sistem di coodinte ctesine: llo i ettoi e sono detti componenti ctesini di Intodcendo i esoi ˆ ŷ e ẑ dietti nel eso positio degli ssi coodinti il ettoe si pò espimee come: ˆ ẑ ŷ ˆ ˆ ˆ doe e sono ispettimente i modli dei ettoi componenti e Dll pplicione del teoem di Pitgo il modlo di pò espimesi come: O V - U

3 Vettoi 1-3 Si definisce podotto scle t i ettoi e lo scle: cos doe è l ngolo compeso t le dieioni dei de ettoi Si ossei che il podotto scle pò intendesi nche come il podotto t il modlo di e l poieione di nell dieione di o ltentimente come il podotto t il modlo di e l poieione di nell dieione di Il podotto scle è commttio pe ci: ed il segno cmbi in elione ll ngolo e in pticole: cos cos così è nllo se i ettoi e sono t loo pependicoli Pe i esoi degli ssi coodinti lgono le elioni: ˆˆ ˆˆ ˆˆ 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 (11) dlle qli sege che 1 : doe e sono le componenti ctesine di e e qelle di Si definisce podotto ettoile t i ettoi e il ettoe: di modlo sin doe è l ngolo compeso t le dieioni dei de ettoi 1 Inftti espimendo i ettoi e tteso i esoi degli ssi coodinti dll elioni (11) sege: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

4 1-4 Vettoi dieione pependicole l pino definito di ettoi e e eso gle qello di n ite destos che ot d eso Altentimente il eso di pò essee identificto tteso l egol dell mno dest: se le qtto dit dell mno dest iniilmente oientte eso di si moono nell dieione di olgendo l ngolo llo il pollice indic il eso del ettoe D tle definiione sege che il podotto ettoile non è commttio e islt e inolte se 0 cioè se i ettoi e sono plleli il loo podotto ettoile è nllo così d esempio: 0 Si noti che in qest identità si è ftto so del ettoe nllo 0 che ppesent n ettoe le ci componenti ispetto d n qlnqe sistem di coodinte sono nlle Pe i esoi degli ssi coodinti lgono le elioni: ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 ˆ ˆ ˆˆ ˆ (12) ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ dlle qli sege che 2 : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Si t n ettoe fnione contin (in modlo e dieione o solo in modlo o solo in dieione) di n qntità scle t; si definisce deit di ispetto t l opeione: d t t t t t lim lim dt t t t 2 1 t1t2 t doe t t2 t1 l diffeen dei ettoi t 2 t t Cioè l deit consiste nel clcole il limite pe t 2 tendente t 1 del ppoto t e t 1 e l diffeen t 2 t 1 L dieione e il eso di d dt sono qelli del ettoe 2 1 l limite pe t 2 tendente t 1 2 Inftti espimendo i ettoi e tteso i esoi degli ssi coodinti dll elioni (12) sege: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

5 Vettoi 1-5 Se f f t è n fnione contin si h: d f f tttt f t t lim dt t 0 t f t t t t f t t t f t t t f t t lim t 0 t f tt f t ttt lim tt f t t 0 t t df d f ; dt dt così pe n ettoe potendolo espimee come Rislt infine: d dˆ d dˆ ˆ dt dt dt dt d d d dt dt dt d d d dt dt dt d d d dt dt dt ˆ si h: 12 Relioni ettoili noteoli Di segito engono ipotte lcne identità ettoili noteoli; dti i ettoi b c e d islt: bc c bbc bc c b bc bcbccb0 b c d c b d db c b c d b d c b cd cd b cd b

6 1-6 Vettoi